函數(shù)的最值-課件

函數(shù)的最值函數(shù)的最值是指函數(shù)在某個區(qū)間上的最大值或最小值。在實際應用中，函數(shù)的最值問題非常普遍，例如，求解一個產(chǎn)品的最大利潤、最小成本等。課程目標理解最值概念掌握函數(shù)最大值和最小值的定義，了解它們在實際問題中的應用。掌握導數(shù)求最值方法運用導數(shù)知識，通過求導判斷函數(shù)的最值，并進行相應的求解。熟悉最值性質(zhì)和應用了解最值的一些重要性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決實際問題。練習最值相關問題通過大量的練習，鞏固對最值概念和求解方法的理解。什么是函數(shù)的最值函數(shù)的最值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大值或最小值。最大值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最大函數(shù)值，最小值是指函數(shù)在定義域內(nèi)取得的最小函數(shù)值。函數(shù)的最值在數(shù)學、物理、工程等領域都有廣泛的應用，例如，尋找最佳的生產(chǎn)方案、設計最優(yōu)的結構等。最大值和最小值的定義最大值在函數(shù)圖像中，函數(shù)的最大值指的是函數(shù)取到的最高點，即y坐標最大的點。最小值函數(shù)的最小值指的是函數(shù)取到的最低點，即y坐標最小的點。利用導數(shù)判斷最值1求導數(shù)找到函數(shù)的一階導數(shù)，表示函數(shù)的斜率2令導數(shù)為零找到導數(shù)為零的點，稱為臨界點3求二階導數(shù)判斷臨界點的類型，是最大值還是最小值4判斷邊界考慮函數(shù)定義域的邊界，檢查是否有最值利用導數(shù)可以幫助我們找到函數(shù)的最值，無論是最大值還是最小值。通過求導數(shù)，我們可以找到函數(shù)的臨界點，這些點可能是最值點。然后通過二階導數(shù)判斷臨界點是最大值還是最小值。最后還需要考慮函數(shù)定義域的邊界，確保沒有遺漏最值點。最大值和最小值的性質(zhì)1最大值函數(shù)在定義域內(nèi)所有值中最大的值被稱為最大值。2最小值函數(shù)在定義域內(nèi)所有值中最小的值被稱為最小值。3唯一性函數(shù)的最大值和最小值不一定唯一，可能存在多個點取得相同的最大值或最小值。4存在性并非所有函數(shù)都存在最大值和最小值，例如定義域為所有實數(shù)的線性函數(shù)。判斷最值的步驟1確定定義域確定函數(shù)定義域2求導數(shù)求函數(shù)的一階導數(shù)3求駐點解導數(shù)為零的方程4判斷最值利用導數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)示例1:尋找最大值該示例展示了如何使用導數(shù)來尋找函數(shù)的最大值。我們首先找到函數(shù)的導數(shù)，并令導數(shù)等于零。然后求解方程，得到函數(shù)的臨界點。最后，我們比較函數(shù)在臨界點和端點上的值，找到最大值。在實際應用中，我們可以使用此方法來解決各種問題，例如尋找最優(yōu)生產(chǎn)方案。示例2:尋找最小值函數(shù)最小值求解函數(shù)最小值，可以使用導數(shù)方法。找到函數(shù)的臨界點，并判斷其是否為最小值。導數(shù)判斷通過導數(shù)判斷函數(shù)的增減性，可以確定函數(shù)最小值點的位置。示例3:實際應用問題函數(shù)的最值在實際應用中有著廣泛的應用。例如，在生產(chǎn)管理中，需要確定最佳產(chǎn)量以最大化利潤；在工程設計中，需要確定最佳參數(shù)以最小化材料消耗；在金融投資中，需要確定最佳投資組合以最大化收益率。這些實際問題往往可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過利用導數(shù)等工具來解決。補充:絕對值函數(shù)的最值絕對值函數(shù)定義域為所有實數(shù)，值域為非負實數(shù)。圖像圖像關于y軸對稱，在x軸上方。最值絕對值函數(shù)的最小值為0，沒有最大值。實操練習1練習1旨在幫助學生鞏固函數(shù)最值的定義和求解方法。學生需要根據(jù)題目中給出的函數(shù)表達式，運用導數(shù)求解函數(shù)的最大值或最小值。練習題的設計涵蓋不同類型的函數(shù)，例如一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等，以幫助學生全面掌握函數(shù)最值的知識。實操練習2已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求該函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。實操練習3求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。實操練習4求函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。實操練習5本題考察了利用導數(shù)求函數(shù)最值的知識點。在實際問題中，我們需要先將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，再運用導數(shù)方法求解。在求解過程中，要注意對函數(shù)定義域進行限制，以及判斷最值是否存在。練習：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。函數(shù)的局部最值定義局部最值是指函數(shù)在某一點附近取得的最大值或最小值。例如，函數(shù)在某一點的左側和右側都比該點小，則該點是函數(shù)的局部最小值。舉例利用一階導數(shù)判斷局部最值1導數(shù)為零或不存在函數(shù)的局部最值點可能出現(xiàn)在導數(shù)為零或不存在的點上。2導數(shù)符號變化如果函數(shù)的導數(shù)在最值點附近從正變負，則該點為局部最大值點。反之，則該點為局部最小值點。3驗證最值需要進一步驗證最值點是否為局部最值點，可以使用二階導數(shù)或其他方法。利用二階導數(shù)判斷局部最值二階導數(shù)符號如果函數(shù)在某點處的二階導數(shù)大于零，則該點為局部最小值。二階導數(shù)符號如果函數(shù)在某點處的二階導數(shù)小于零，則該點為局部最大值。二階導數(shù)為零如果函數(shù)在某點處的二階導數(shù)為零，則該點可能為局部最值，也可能不是。無法判斷需要進一步判斷函數(shù)在該點附近的單調(diào)性才能確定最值。示例4：求局部最值利用導數(shù)判斷函數(shù)的局部最值，需要先找到導數(shù)為零的點，即駐點。這些點可能是局部最值點，也可能不是。我們需要利用二階導數(shù)或者其他方法來判斷駐點是否為局部最值點。例如，函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在x=0和x=2處有駐點。但只有在x=0處為局部最大值，在x=2處為局部最小值。因為二階導數(shù)在x=0處為負數(shù)，在x=2處為正數(shù)。示例5:應用實例函數(shù)的最值在實際應用中非常常見。例如，在經(jīng)濟學中，我們可以使用函數(shù)來描述利潤、成本和收入。我們可以使用函數(shù)的最值來找到最大利潤或最小成本。在物理學中，我們可以使用函數(shù)來描述運動軌跡，我們可以使用函數(shù)的最值來找到最高點或最低點。實操練習6請根據(jù)函數(shù)的導數(shù)和二階導數(shù)來判斷函數(shù)的局部最值。在解題時，需要先求出函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)，然后利用導數(shù)的符號變化來判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果函數(shù)的一階導數(shù)在某點為0，則該點可能是函數(shù)的極值點。利用二階導數(shù)的符號來判斷該點是極大值點還是極小值點。實操練習7求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,2]上的全局最大值和最小值。首先，求函數(shù)的一階導數(shù)，并令其等于零，求出駐點。然后，計算函數(shù)在駐點和區(qū)間端點的值，并比較大小，從而確定全局最大值和最小值。實操練習8本練習旨在鞏固函數(shù)局部最值的概念和判斷方法。通過求解給定函數(shù)的局部最值，加深對相關理論的理解和應用。練習內(nèi)容包含求解函數(shù)的臨界點，并運用一階和二階導數(shù)判定這些臨界點是否是局部最值，以及判斷局部最值的類型，例如是局部最大值還是局部最小值。通過完成本練習，學生可以掌握識別和判斷函數(shù)局部最值的方法，并培養(yǎng)解決實際問題的能力，例如在經(jīng)濟學和工程學中，尋找最佳方案通常需要找到函數(shù)的局部最值。函數(shù)的全局最值定義在函數(shù)定義域內(nèi)，函數(shù)取得的最大值或最小值稱為函數(shù)的全局最值，也稱為絕對最值。尋找方法可以通過比較函數(shù)在極值點和邊界點處的函數(shù)值來找到函數(shù)的全局最值。應用在實際問題中，全局最值常用來解決優(yōu)化問題，例如尋找生產(chǎn)成本最低或利潤最高時的產(chǎn)量。全局最大值和最小值的性質(zhì)全局最大值在函數(shù)定義域內(nèi)，如果存在一個點，使得函數(shù)值大于等于其他所有點的函數(shù)值，那么該點對應的函數(shù)值為全局最大值。全局最小值在函數(shù)定義域內(nèi)，如果存在一個點，使得函數(shù)值小于等于其他所有點的函數(shù)值，那么該點對應的函數(shù)值為全局最小值。示例6:求全局最值全局最值示例假設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，并已知其在該區(qū)間內(nèi)存在極值點c。則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的全局最大值或最小值可能出現(xiàn)在以下位置：*區(qū)間端點a或b*極值點c全局最值求解步驟要確定全局最值，需要比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點的函數(shù)值，并選取其中最大或最小的值。實操練習9求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的全局最值。首先，求函數(shù)的一階導數(shù)，并令其等于0，得到臨界點x=0和x=2。然后，將臨界點和區(qū)間端點代入函數(shù)f(x)中，比較函數(shù)值的大小。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的全局最大值為2，全局最小值為-2。實操練習10請