專題15 圖形的相似綜合（6大考點(diǎn)）（解析版）

第四部分三角形

專題15圖形的相似綜合（6大考點(diǎn)）

核心考點(diǎn)一比例線段

核心考點(diǎn)二相似三角形的判定

核心考點(diǎn)三相似三角形的性質(zhì)

核心考點(diǎn)

核心考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題

核心考點(diǎn)五位似圖形

核心考點(diǎn)六相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

新題速遞

核心考點(diǎn)一比例線段

例1（2022·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）

的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計(jì)一座高度為2m的雷鋒雕像，

那么該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是（）（結(jié)果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：21.414，31.732，52.236）

A．0.73mB．1.24mC．1.37mD．1.42m

【答案】B

x5-1

【分析】設(shè)雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得=,求解即可．

22

【詳解】解：設(shè)雕像的下部高為xm，則上部長(zhǎng)為（2-x）m，

∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，

雷鋒雕像為2m，

x5-1

∴=,

22

第1頁(yè)共99頁(yè).

∴x=5-1?1.24，

即該雕像的下部設(shè)計(jì)高度約是1.24m，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關(guān)鍵．

51

例2（2021·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們

2

以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．已

知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長(zhǎng)度為51，則該矩形的周長(zhǎng)為__________________．

【答案】252或4

【分析】分兩種情況：①邊AB為矩形的長(zhǎng)時(shí)，則矩形的寬為35，求出矩形的周長(zhǎng)即可；

②邊AB為矩形的寬時(shí)，則矩形的長(zhǎng)為2，求出矩形的周長(zhǎng)即可．

【詳解】解：分兩種情況：

51

①邊AB為矩形的長(zhǎng)時(shí)，則矩形的寬為(51)35，

2

矩形的周長(zhǎng)為：2(5135)4；

51

②邊AB為矩形的寬時(shí)，則矩形的長(zhǎng)為：(51)2，

2

矩形的周長(zhǎng)為2(512)252；

綜上所述，該矩形的周長(zhǎng)為252或4，

故答案為：252或4．

【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．

例3（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形ABCD中，BAD的平分線AF交BC于F，延長(zhǎng)AB到E

使BEFC，G是AF的中點(diǎn)，GE交BC于O，連接GD．

第2頁(yè)共99頁(yè).

(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，如圖，求證：①GEGD；②BOGDGOFC．

(2)當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，如圖，（1）中的結(jié)論都成立，請(qǐng)給出結(jié)論②的證明．

【答案】(1)證明見詳解

(2)證明見詳解

【分析】（1）①證明△ADG≌AEG即可；②連接BG，CG，證明△ADG≌BCG，△BOE∽△GOC即

可證明；

（2）①的結(jié)論和（1）中證明一樣，證明△ADG≌AEG即可；②的結(jié)論，作DMBC，連接GM，證明

△BOE∽△GOM即可．

【詳解】（1）證明：①證明過程：

四邊形ABCD為矩形，

ABCBAD90

AF平分BAD

BAFDAF45

ABF為等腰直角三角形

ABBF

BEFC

ABBEBFCF，即AEBCAD

AGAG

△ADG≌AEG

GEGD

②證明：連接BG，CG，

第3頁(yè)共99頁(yè).

G為AF的中點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，

ABCBAD90，ADBC

BGAGFG

AF平分BAD，ABF為等腰直角三角形，

BAFDAF45ABGCBG

△ADG≌BCG

ADGBCG

△ADG≌AEG

EADG

EBCG

BOEGOC

△BOE∽△GOC

BOGOGOBO

BEGCGDCF

BOGDGOFC

（2）作DMBC交BC于M，連接GM，作GNDM交DM于點(diǎn)N，如圖所示

DMB90GNMGNDDMC

由（1）同理可證：△ADG≌AEG

第4頁(yè)共99頁(yè).

EADG

四邊形ABCD為平行四邊形

AD∥BC

ADMDMC90

BC∥GN∥AD

G為AF的中點(diǎn)，由平行線分線段成比例可得DNMN

DGMG，

\DGDM=DGMD,

\DADG=DBMG=DE

BOEGOM

△BOE∽△GOM

BOGOGOBO

BEGMGDCF

BOGDGOFC

【點(diǎn)睛】本題考查了以矩形與平行四邊形為橋梁，涉及全等三角形的證明，相似三角形的證明，正確作出

輔助線并由此得到相應(yīng)的全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)、線段的比與成比例線段

線段的比兩條線段長(zhǎng)度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)一單位）．

ac

四條線段a、b、c、d中，如果，那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例

成比例線段bd

線段，簡(jiǎn)稱比例線段．

知識(shí)點(diǎn)、比例的性質(zhì)

ac

基本性質(zhì)adbc

bd

合比的性質(zhì)acabcd

bdbd

等比性質(zhì)acmacm

kbdn0k

bdnbdn

第5頁(yè)共99頁(yè).

知識(shí)點(diǎn)、黃金分割

ACBC

若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，這

ABAC

黃金分割

51

時(shí)稱點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱為黃金比，它的值為0.618．

2

知識(shí)點(diǎn)、平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

圖形：

幾何語(yǔ)言：

定理

∵l1∥l2∥l3，

ABDEABDEBCEF

∴，，

BCEFACDFACDF

平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

圖形：幾何語(yǔ)言：

推論ADAE

∵DE∥BC，∴，

DBEC

ADAEBDCE

，

ABACABAC

【變式1】（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）如圖，已知P、Q是邊AB的三等分點(diǎn)，△ABC的面積為27，現(xiàn)從

AB邊一點(diǎn)D，沿平行BC的方向剪下一個(gè)面積為7的三角形，則點(diǎn)D在（）

A．線段AP上B．線段PQ上，且靠近P點(diǎn)

C．線段PQ上，且靠近Q點(diǎn)D．線段BQ上

第6頁(yè)共99頁(yè).

【答案】C

AP1AE1AQ2

【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，則，，，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論可

AB3AB2AB3

知APF，AEG，AQH均與ABC相似，利用相似三角形面積比等于相似比的平方求出APF，AEG，

AQH的面積，與剪下三角形的面積比較即可判斷．

【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，作PF//BC交AC于點(diǎn)F，EG//BC交AC于點(diǎn)G，QH//BC交AC于

點(diǎn)H，

∵P、Q是邊AB的三等分點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，

AP1AE1AQ2

∴E是PQ的中點(diǎn)，，，，

AB3AB2AB3

∵PF//BC，

APAFPF1

∴，

ABACBC3

∴APFABC，

SAP11

∴APF()2()2，

SABCAB39

11

∴SS273，

APF9ABC9

112744

同理可得SS27，SS2712，

AEG4ABC44AQH9ABC9

27

∵3712，

4

∴點(diǎn)D在線段EQ上，即在線段PQ上，且靠近Q點(diǎn)．

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系，掌握相似三角形面積

比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．

【變式2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）ABCD被分別平行于兩邊的四條線段EJ、FI、LG、KH分割

成9個(gè)小平行四邊形，面積分別為S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n個(gè)，就一定能

算出平行四邊形ABCD的面積，則n的最小值是（）．

第7頁(yè)共99頁(yè).

A．2B．3C．4D．6

【答案】B

【分析】由題述相似關(guān)系得AL：AE=KB：FD，設(shè)AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．

又AB：AD=AL：AE=KB：FD可得（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，LK=ky．

222

只需知道S1，S3，S5，便可由x：y：z=S1：S3：S5得到x：y：z=S1：S3：S5，于是

x+y+z22

SABCD=S1（·）=（S+S+S）．

x135

【詳解】解：如圖，

由題述相似關(guān)系得AL：AE=KB：FD，

設(shè)AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．

∵AB：AD=AL：AE=KB：FD

∴（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，

∴LK=ky．

只需知道S1，S3，S5，便可由

222

x：y：z=S1：S3：S5

得到x：y：z=S1：S3：S5，

x+y+z22

于是SABCD=S1（·）=（S+S+S），

x135

故答案選：B．

第8頁(yè)共99頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查了相似四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于設(shè)出未知數(shù)，用正確的表達(dá)式表示面積．

【變式3】（2022·統(tǒng)考一模）已知線段a51，b51，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于______．

【答案】2

【分析】設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之

積求解即可得出答案．

【詳解】解：設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，

∵a51，b51，

ax

∴，

xb

∴x2=ab=(5+1)(5-1)=5-1=4，

∴x2．

∵x0，

∴x2舍去，

故答案為：2．

ax

【點(diǎn)睛】本題考查的比例中項(xiàng)的含義，理解“若，則x是a,b的比例中項(xiàng)”是解本題的關(guān)鍵．

xb

51

【變式4】（2022·福建莆田·?？家荒＃┪覀儼褜捙c長(zhǎng)的比為黃金比（）的矩形稱為黃金矩形，如圖，

2

在黃金矩形ABCD中，AB＜BC，BC＝4，∠ABC的平分線交AD邊于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_____．

【答案】2(35)

51

【分析】根據(jù)黃金矩形ABCD，得出寬與長(zhǎng)的比為黃金比（），AD//BC，ADBC4，可求

2

51

ABBC2(51)，根據(jù)BE為∠ABC的平分線，證出AEAB，再利用DEADAE計(jì)算即可．

2

【詳解】解：∵四邊形ABCD為黃金矩形，

AB51

∴其寬與長(zhǎng)的比，AD//BC，ADBC4，

BC2

5151

∴ABBC42(51)，

22

∵BE為∠ABC的平分線，

第9頁(yè)共99頁(yè).

∴ABECBE，

∵AD//BC，

∴AEBCBEABE，

∴AEAB2(51)，

∴DEADAE42(51)2(35)．

故答案為：2(35)．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了黃金矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟

練掌握黃金矩形的性質(zhì)、等腰三角形判定與性質(zhì)等知識(shí)并利用線段和差求解．

【變式5】（2020·福建南平·統(tǒng)考一模）在△ABC中，AB＝12，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在AB上，若AE＝6，

ADAE

EC＝4，．

DBEC

（1）求AD的長(zhǎng)；

DBEC

（2）試問能成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

ABAC

36

【答案】(1)AD=；(2)能，理由見解析.

5

【分析】（1）設(shè)AD=x，則BD=AB-AD=（12-x）cm，根據(jù)比例式列出方程求得x的值，即可得AD的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)所求得的數(shù)據(jù)計(jì)算即可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）)設(shè)AD=x,則BD=AB-AD=（12-x）cm，

ADAE

∵，AE＝6，EC＝4，

DBEC

∴x：（12-x）=6：4，

36

解得x=，

5

36

∴AD=；

5

（2）能，理由如下：

36

∵AB＝12，AD＝，

5

24

∴DB＝.

5

DB2

∴，

AB5

∵AE＝6，EC＝4，

∴AC=10

第10頁(yè)共99頁(yè).

EC42

∴，

AC105

DBEC

∴.

ABAC

核心考點(diǎn)二相似三角形的判定

k

例1（2020·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∠ABO＝

x

90°，過AO邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平△行線交AB于點(diǎn)P、Q．若四邊形MNQP的面積為3，則k

的值為（）

A．9B．12C．15D．18

【答案】D

【分析】由ANNMOM,NQ//PM//OB得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)得到三角形之間的面

積關(guān)系，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得答案．

【詳解】解：ANNMOM,NQ//PM//OB,

ANQ∽AMP,AMP∽AOB,

2

SANQAN1

,

SAMPAM4

四邊形MNQP的面積為3，

SANQ1

,

SANQ34

SANQ1,

SAMP4,

第11頁(yè)共99頁(yè).

AMP∽AOB,

2

SAM4

AMP,

SAOBAO9

SAOB9,

k2SAOB18.

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)

鍵．

例2（2021·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，試添加一

個(gè)條件：_____，使得VADE與ABC相似．（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）

ADAE

【答案】

ABAC

【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題．

ADAE

【詳解】解：根據(jù)題意，添加條件，

ABAC

A=A

VADE~ABC

ADAE

故答案為：．

ABAC

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

例3（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，ABC90，E是邊AC上一點(diǎn)，且BEBC，

過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：△ADE∽△ABC．

【答案】見解析

第12頁(yè)共99頁(yè).

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠BEC，又由對(duì)頂角相等可證得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，

即可得出結(jié)論．

【詳解】證明：∵BEBC

∴∠C=∠BEC，

∵∠BEC=∠AED，

∴∠AED=∠C，

∵AD⊥BD，

∴∠D=90°，

∵ABC90，

∴∠D=∠ABC，

∴△ADE∽△ABC．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判

定定理是解題的關(guān)鍵．

知識(shí)點(diǎn)、相似三角形的判定

平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原

預(yù)備定理

三角形相似．

有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．

判定1

判定2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．

第13頁(yè)共99頁(yè).

三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似

判定3

若一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比

例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．

直角三角形

的特殊判定

【變式1】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AG平分BAC，點(diǎn)D在邊AB上，線段CD與

AG交于點(diǎn)E，且ACDB，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

第14頁(yè)共99頁(yè).

A．△ACD∽△ABCB．ADE∽ACG

C．△ACE∽△ABGD．△ADE∽△CGE

【答案】D

【分析】由ACDB，DACCAB，可直接證明△ACD∽△ABC，即可判斷A；由角平分線的定義

得出DAECAG，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得出AEDAGC，從而可證ADE∽ACG，即可

判斷B；由CAEBAG，ACDB，可直接證明△ACE∽△ABG，即可判斷C；沒有條件證明

△ADE∽△CGE，即可判斷D．

【詳解】∵ACDB，DACCAB，

∴△ACD∽△ABC，故A正確，不符合題意；

∵AG平分BAC，

∴DAECAG．

∵AEDCAGACD，AGCDAEB，

∴AEDAGC，

∴ADE∽ACG，故B正確，不符合題意；

∵CAEBAG，ACDB，

∴△ACE∽△ABG，故C正確，不符合題意；

在VADE和CGE中只有AEDCEG，不能證明△ADE∽△CGE，故D錯(cuò)誤，符合題意．

故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)．掌握三角形相似的判定定理

是解題關(guān)鍵．

【變式2】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，C45，將ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在CA的延長(zhǎng)線上，得到ABC，連接AA，交BC于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①ACA90；

②AABC；③ABCAAC；④△AOC∽△BOA．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

第15頁(yè)共99頁(yè).

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推出∠ACA90，即可判斷①的正確性；通過點(diǎn)A、B、A、

C四點(diǎn)共圓可以判斷出②③④的正確性．

【詳解】解：由題意可得：BCBC，∠C∠ACB

∵C45

∴∠BCA45

∵∠ACA∠ACB∠BCA

∴∠ACA90，故①正確；

∵∠BCA∠C45

∴∠CBC90

∵ABCABC

∴ABA90

∴∠ABA∠ACA180，∠CAB∠CAB180

∴點(diǎn)A、B、A、C四點(diǎn)共圓

∵∠ACA90，∠BAC90

∴AA是直徑，BC不是直徑

∴AABC，故②錯(cuò)誤；

∵點(diǎn)A、B、A、C四點(diǎn)共圓

∴∠ABC∠AAC，故③正確；

∵點(diǎn)A、B、A、C四點(diǎn)共圓

∴∠AAC∠ABC，∠ACB∠AAB

∴△AOC∽△BOA，故④正確；

∴正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)

故選C．

第16頁(yè)共99頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理的推論以及相似的判定等知

識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

【變式3】（2021·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．

5

【答案】

3

ABBP

【分析】通過證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．

CPCQ

【詳解】解：如圖，

∵BP＝5，BC＝4，

∴CP＝1，

∵PQ⊥AP，

∴∠APQ＝90°＝∠ABC，

∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，

∴∠BAP＝∠BPQ，

又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，

∴△ABP∽△PCQ，

ABBP

∴，

CPCQ

第17頁(yè)共99頁(yè).

35

∴

1CQ

5

∴CQ＝，

3

5

故答案為：．

3

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)度

是常用的方法．

【變式4】（2021·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形紙片ABCD中，將AB沿BM翻折，使點(diǎn)A落在BC

上的點(diǎn)N處，BM為折痕，連接MN；再將CD沿CE翻折，使點(diǎn)D恰好落在MN上的點(diǎn)F處，CE為折痕，

連接EF并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)P，若AD=8，AB=5，則線段PE的長(zhǎng)等于____．

20

【答案】

3

【分析】根據(jù)折疊可得四邊形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC

的三邊為3，4，5，在RtMEF中，由勾股定理可以求出三邊的長(zhǎng)，通過作輔助線，可證FNC∽PGF，

可得△PFG三邊的比為3：4：5，設(shè)FG=3m，則PG=4m，PF=5m，通過PG=HN，列方程解方程，進(jìn)而求

出PF的長(zhǎng)，從而可求PE的長(zhǎng)．

【詳解】解：過點(diǎn)P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足為G、H，

由折疊得：

四邊形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，

∴NC=MD=8-5=3，

第18頁(yè)共99頁(yè).

在RtFNC中，F(xiàn)N52324，

∴MF=5-4=1，

在RtMEF中，設(shè)EF=x，則ME=3-x，

2

由勾股定理得，123xx2，

5

解得：x，

3

∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，

∴∠CFN=∠FPG，

又∵∠FGP=∠CNF=90°

∴FNC∽PGF，

∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，

設(shè)FG=3m，則PG=4m，PF=5m，

四邊形ABNM是正方形，

MBN45BPH，

∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，

解得：m=1，

∴PF=5m=5，

520

∴PE=PF+FE=5=，

33

20

故答案為：．

3

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定與性質(zhì)，

掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

【變式5】（2022·四川南充·統(tǒng)考三模）如圖，在ABC中，ACB90，CD是邊AB上的中線，EF垂直

平分CD，分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DE，DF．

(1)求證：△OCE∽△OFD．

第19頁(yè)共99頁(yè).

(2)當(dāng)AE7，BF24時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．

【答案】(1)見解析

(2)EF25

【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得EOCDOF90，EDEC，F(xiàn)DFC，

再根據(jù)三角形全等的判定定理證出EDFECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得12，從而可得

421，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；

（2）如圖（見解析），延長(zhǎng)FD至G，使DGDF，連接AG，EG，先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性

質(zhì)可得EGEF，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出△ADG△BDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得

AGBF24，7B，然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得EAG90，最后在Rt△AEG中，利用勾

股定理即可得．

【詳解】（1）證明：∵EF垂直平分CD，

∴EOCDOF90，EDEC，F(xiàn)DFC，

EDEC

在EDF和△ECF中，F(xiàn)DFC，

EFEF

∴EDFECFSSS，

∴12，

∵ACB90，EOC90，

∴233490，

∴421，

EOCDOF90

在△OCE和△OFD中，，

14

∴OCEOFD．

第20頁(yè)共99頁(yè).

（2）解：如圖，延長(zhǎng)FD至G，使DGDF，連接AG，EG．

則ED垂直平分FG，

EGEF，

CD是邊AB上的中線，

∴ADBD，

DGDF

在△ADG和VBDF中，65，

ADBD

∴△ADG△BDFSAS，

∴AGBF24，7B，

∴AGBC，

∴EAG180ACB90，

∴EGAE2AG27224225，

∴EF25．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等

知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．

核心考點(diǎn)三相似三角形的性質(zhì)

例1（2022·山東威海·統(tǒng)考中考真題）由12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB

＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為()

第21頁(yè)共99頁(yè).

4443

A．（）3B．（）7C．（）6D．（）6

3334

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得出A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，確定與△AOB位似的三角形為

6

△，利用銳角三角函數(shù)找出相應(yīng)規(guī)律得出23，再由相似三角形的性質(zhì)求解即可．

GOHOG=x

3

【詳解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°

∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，

∴A、O、G在同一直線上，B、O、H在同一直線上，

∴與△AOB位似的三角形為△GOH，

設(shè)OA=x，

1

則OA23x23，

OB=x

cos3033

2

∴OB4x23，

OC=x

cos3033

3

∴OC83x23，

OD=x

cos3093

…

6

∴23，

OG=x

3

6

∴OG23，

OA3

126

S234

∴GOH，

SAOB33

第22頁(yè)共99頁(yè).

∵SAOB1，

6

∴4，

SGOH

3

故選：C．

【點(diǎn)睛】題目主要考查利用銳角三角函數(shù)解三角形，找規(guī)律問題，相似三角形的性質(zhì)等，理解題意，找出

相應(yīng)邊的比值規(guī)律是解題關(guān)鍵．

例2（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知F是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，F(xiàn)D∥BC，F(xiàn)E∥AB，若BDFE

11

的面積為2，BDBA，BEBC，則ABC的面積是________．

34

【答案】12

【分析】延長(zhǎng)EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，可以得到相似三角形并利用相似三角形分別求出AM、MN、

CN之間的關(guān)系，從而得到三角形的面積關(guān)系即可求解．

【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)EF、DF分布交AC于點(diǎn)M、N，

11

FD∥BC，F(xiàn)E∥AB，BDBA，BEBC，

34

CE3BE，AD2BD，

CMCEANAD

3，2，

AMBECNBD

第23頁(yè)共99頁(yè).

令A(yù)Mx，則CM3x，

AC4x，

2814

ANACx，CNACx，

3333

5

MNx，

3

NM5NM5

，，

AN8MC9

：，：

S△NMFS△NAD25:64S△NMFS△MEC25:81，

，，

設(shè)S△NMF25aS△NAD64aS△MEC81a，

S四邊形FECN56a，

S△ABC2120a，

2

S64aAD4

ADN，

SABC2120aAB9

1

求出a,

12

S△ABC2120a12，

故答案為：12．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形中的A型，也可以利用平行線分線段成比例知識(shí)，具有一定的難度，不斷

的利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解線段的長(zhǎng)度；利用相似三角形的面積之比等于相似比

的平方是解題的關(guān)鍵．

例315．（2020·山東濟(jì)南·中考真題）在等腰ABC中，AC＝BC，VADE是直角三角形，∠DAE＝90°，

1

∠ADE＝∠ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD△的中點(diǎn)，連接CF．

2

（1）當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)．

①如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠EAB與∠CBA的數(shù)量關(guān)系是．線段BE與線段CF

的數(shù)量關(guān)系是；

②如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予

證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問題；

△

第24頁(yè)共99頁(yè).

思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全

等或相似有關(guān)知識(shí)來(lái)解快問題．

（2）當(dāng)∠CAB＝30°時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由．

1

【答案】（1）①EABABC，CFBE；②仍然成立，證明見解析；（2）BE23CF，理由見解

2

析．

【分析】（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．首先證明ADAE,BDBE,再利用直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)解決問題即可．②解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．證

明CMF≌BMN（SAS），可得結(jié)論．解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把CAG

繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CBT，連接DT，GT，BG．證明四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT

是平行四邊形，可得結(jié)論．

（2）結(jié)論：BE＝23CF．如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．證明BAE∽CTF，可得結(jié)論．

【詳解】解：（1）①如圖1中，連接BE，設(shè)DE交AB于T．

∵CA＝CB，∠CAB＝45°，

∴∠CAB＝∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝90°，

1

∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，

2

第25頁(yè)共99頁(yè).

∴∠ADE＝∠AED＝45°，

∴AD＝AE，

DAE90,

EABDATABC45,

∴AT⊥DE，DT＝ET，

∴AB垂直平分DE，

∴BD＝BE，

∵∠BCD＝90°，DF＝FB，

1

∴CF＝BD，

2

1

∴CF＝BE．

2

1

故答案為：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．

2

②結(jié)論不變．

解法一：如圖2﹣1中，取AB的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接CM，MN．

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，

∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，

由①得：ADAE,

設(shè)AD＝AE＝y(tǒng)．FM＝x，DM＝a，

點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

則DF＝FB＝a+x，

∵AM＝BM，

∴y+a＝a+2x，

∴y＝2x，即AD＝2FM，

∵AM＝BM，EN＝BN，

第26頁(yè)共99頁(yè).

∴AE＝2MN，MN∥AE，

∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，

∴∠CMF＝∠BMN＝90°，

∴CMF≌BMN（SAS），

∴CF＝BN，

∵BE＝2BN，

1

∴CF＝BE．

2

解法二：如圖2﹣2中，取DE的中點(diǎn)G，連接AG，CG，并把CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CBT，

連接DT，GT，BG．△

∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，

∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，

∵∠CAB＝45°，

∴∠CAG＝90°，

∴AC⊥AG，

∴AC∥DE，

∵∠ACB＝∠CBT＝90°，

AC//BT,

∴AC∥BT∥DE，

∵AG＝BT，

∴DG＝BT＝EG，

∴四邊形BEGT是平行四邊形，四邊形DGBT是平行四邊形，

∴BD與GT互相平分，BEGT,

∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，

第27頁(yè)共99頁(yè).

∴BD與GT交于點(diǎn)F，

∴GF＝FT，

由旋轉(zhuǎn)可得；CGCT,GCT90,

GCT是等腰直角三角形，

∴CF＝FG＝FT，

1

∴CF＝BE．

2

（2）結(jié)論：BE＝23CF．

理由：如圖3中，取AB的中點(diǎn)T，連接CT，F(xiàn)T．

∵CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，

∵AT＝TB，

∴CT⊥AB，

CT3

tan30,

AT3

∴AT＝3CT，

∴AB＝23CT，

∵DF＝FB，AT＝TB，

∴TF∥AD，AD＝2FT，

∴∠FTB＝∠CAB＝30°，

∵∠CTB＝∠DAE＝90°，

∴∠CTF＝∠BAE＝60°，

1

∵∠ADE＝∠ACB＝60°，

2

第28頁(yè)共99頁(yè).

AE

tan603,

AD

∴AE＝3AD＝23FT，

ABAE

∴23，

CTFT

∴BAE∽CTF，

BEBA

∴23，

CFCT

∴BE23CF．

【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判

定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等

三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．

知識(shí)點(diǎn)、相似三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。

相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比。

∽，則

由比例性質(zhì)可得：

性質(zhì)2

類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比。

相似三角形的面積比等于相似比的平方。

∽，則分別作出與的高

性質(zhì)3

11

BCADkBCkAD

S

和，則△ABC22=k2

S11

△ABCBCADBCAD

22

第29頁(yè)共99頁(yè).

要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的。

如果把兩個(gè)相似多邊形分成若干個(gè)相似的三角形，我們還可以得到：

相似多邊形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線之比等于相似比。

性質(zhì)4

要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段。

【變式1】（2022·廣東佛山·佛山市南海區(qū)石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考三模）如圖，在ABC中，AB4，AC3，

BC5.將ABC沿著點(diǎn)A到點(diǎn)C的方向平移到DEF的位置，圖中陰影部分面積為4，則平移的距離為（）

A．36B．6C．36D．26

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求出ABC是直角三角形，求出ABC的面積，根據(jù)平移的性質(zhì)得出

ACDF3，DEF的面積ABC的面積6，再根據(jù)面積比等于相似比的平方得出即可．

【詳解】解：AB4，AC3，BC5，

AB2AC2BC2，

ABC是直角三角形，A90，

將ABC沿著點(diǎn)