數(shù)學人教版二年級必修2-2.4拋物線及其標準方程學案

2.4.1拋物線及其標準方程【學習目標】掌握拋物線的定義、標準方程及其推導過程．【自主學習】1.拋物線定義：．2．推導拋物線的標準方程：如圖所示，建立直角坐標系系，設|KF|=（>0）,那么焦點F的坐標為，準線的方程為，（自己完成推導過程）（1）它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），準線方程是（2）一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式．3．拋物線的準線方程：如圖所示，分別建立直角坐標系，設出|KF|=（>0），則拋物線的標準方程如下：按要求填寫下表：標準方程焦點坐標準線方程【自主檢測】1．拋物線y2＝20x的焦點坐標是()A．(10,0) B．(5,0)C．(0,10) D．(0,5)2．拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點恰好與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的一個焦點重合,則p＝()A．1B．2C．4D．83．拋物線y2＝4x上的點P到焦點的距離是5，則P點坐標是________．4．拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5，求拋物線的標準方程.求拋物線的焦點及準線例1：設拋物線的方程為y＝ax2(a≠0)，求拋物線的焦點坐標與準線方程．訓練1：已知橢圓x2＋ky2＝3k(k>0)的一個焦點與拋物線y2＝12x的焦點重合，則該橢圓的離心率是_______．求拋物線的標準方程例2：求滿足下列條件的拋物線的標準方程，并求對應拋物線的準線方程：(1)過點(－3,2)；(2)焦點在直線x－2y－4＝0上．訓練2：根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：(1)準線方程為y＝－1；(2)焦點在x軸的正半軸上，焦點到準線的距離是2．拋物線定義的應用例3：已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，拋物線上的點M(3，m)到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值．訓練3：1)已知拋物線y2＝4x上一點M與該拋物線的焦點F的距離|MF|＝4，則點M的橫坐標x＝________．(2)斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，則線段AB的長為________．拋物線的實際應用例4：如圖(1)所示，花壇水池中央有一噴泉，水管O′P＝1m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點后落下，若最高點距水面2m，P距拋物線的對稱軸1m，則水池的直徑至少應設計多少米？(精確到1m)訓練4：某河上有座拋物線形拱橋，當水面距拱頂5m時，水面寬為8m，一木船寬4m，高2m，載貨后木船露在水面上的部分高為eq\f(3,4)m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？對含參數(shù)問題中參數(shù)的取值考慮要全面例5：設拋物線y2＝mx的準線與直線x＝1的距離為3，求拋物線的方程．拋物線及其標準方程課后作業(yè)1．拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點到其準線的距離是()A.eq\f(|a|,4)B.eq\f(|a|,2)C．|a|D．－eq\f(a,2)2．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上，則拋物線方程為()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x3．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M到焦點的距離是a(a>eq\f(p,2))，則點M的橫坐標是()A．a(chǎn)＋eq\f(p,2)B．a(chǎn)－eq\f(p,2)C．a(chǎn)＋pD．a(chǎn)－p4．過點M(2,4)作與拋物線y2＝8x只有一個公共點的直線l有()A．0條B．1條C．2條D．3條5．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．設拋物線y2＝2x的焦點為F，過點M(eq\r(3)，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于點C，|BF|＝2，則△BCF與△ACF的面積之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于()A.eq\f(4,5)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,7)D.eq\f(1,2)7．拋物線x2＋12y＝0的準線方程是__________．8．若動點P在y＝2x2＋1上，則點P與點Q(0，－1)連線中點的軌跡方程是__________．9．已知拋物線x2＝y(tǒng)＋1上一定點A(－1,0)和兩動點P，Q，當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標的取值范圍是______________．班級序號：16姓名10．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的點M(－3，m)班級序號：16姓名11．求焦點在x軸上且截直線2x－y＋1＝0所得弦長為eq\r(15)的拋物線的標準方程．2.4.2拋物線的簡單幾何性質【學習目標】掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質．【自主學習】根據(jù)拋物線的標準方程，研究它的幾何性質：1．范圍2．對稱性3．頂點4．離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=．注意：拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線.【自主檢測】1．若拋物線y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標為()A．(eq\f(1,4)，±eq\f(\r(2),4))B．(eq\f(1,8)，±eq\f(\r(2),4))C．(eq\f(1,4)，eq\f(\r(2),4))D．(eq\f(1,8)，eq\f(\r(2),4))頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6的拋物線方程是________．3．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A、B兩點，若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________．4．過拋物線y2＝8x的焦點，作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為()A．8B．16C．32D．615．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若eq\o(FP,\s\up13(→))＝4eq\o(FQ,\s\up13(→))，則|QF|＝()A．eq\f(7,2)B．3C．eq\f(5,2)D．26．直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，且與拋物線相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點．求證：x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2．拋物線的對稱性例1：正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y2＝2px(p>0)上，求這個正三角形的邊長．訓練1：等腰Rt△ABO內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△ABO的面積是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2拋物線焦點弦的性質例2：斜率為2的直線經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，與拋物線相交于兩點A、B，求線段AB的長．訓練2：過拋物線y2＝8x的焦點作直線l，交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則|AB|的值為________．最值問題例3：設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F(xiàn)為拋物線焦點．(1)求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．訓練3：定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))與拋物線y2＝2x上的點P之間的距離為d1，P到拋物線準線l的距離為d2，則d1＋d2取最小值時，P點坐標為()A．(0,0)B．(1，eq\r(2))C．(2,2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,2)))例4：如圖，過拋物線y2＝x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB、AC交拋物線于B、C兩點，求證：直線BC的斜率是定值．例5：設拋物線C：x2＝2py的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為4eq\r(2)，求p的值及圓F的方程．(2)若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值?！究偨Y提升】類比橢圓、雙曲線的幾何性質，推導拋物線的幾何性質，需注意拋物線不是雙曲線的一支，拋物線不存在漸近線.拋物線的簡單幾何性質課后作業(yè)1．頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線過點(－2,3)，它的方程是()A．x2＝－eq\f(9,2)y或y2＝eq\f(4,3)xB．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,2)xD．x2＝eq\f(4,3)y2．若拋物線y2＝2px(p>0)上三個點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關系是()A．成等差數(shù)列B．既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列3．已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為()A.eq\f(\r(17),2)B．3C.eq\r(5)D.eq\f(9,2)4．設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x5．設直線l1：y＝2x，直線l2經(jīng)過點P(2,1)，拋物線C：y2＝4x，已知l1、l2與C共有三個交點，則滿足條件的直線l2的條數(shù)為()A．1B．2C．3D．46．過拋物線y2＝ax(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若PF與FQ的長分別為p、q，則eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)等于()A．2aB.eq\f(1,2a)C．4aD.eq\f(4,a)7．已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點，若P(2，2)為AB的中點，則拋物線C的方程為________．8．已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，A、B是拋物線C上的兩個點，線段AB的中點為M(2,2)，則△ABF的面積等于________．9．過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸的左側)，則eq\f(|AF|,|FB|)＝________.10．設拋物線y＝mx2(m≠0)的準線與直線y＝1的距離為3，求拋物線的標準方程．11．過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直線方程．2.4.3.直線與拋物線的位置關系【學習目標】通過本節(jié)的學習,能運用性質解決直線與拋物線位置有關的簡單問題,進一步體會數(shù)形結合的思想.【自主學習】1、直線與拋物線的位置關系設直線,拋物線,直線與拋物線的交點的個數(shù)等價于方程組解的個數(shù),也等價于方程解的個數(shù).當時:當時,直線和拋物線____,有____公共點;當時,直線和拋物線____,有____公共點;當時,直線和拋物線____,有____公共點．當,即直線方程為時，則直線與拋物線相交,有一個公共點．特別地,當直線的斜率不存在時,即直線方程為，則當,與拋物線相交,有兩個公共點;當時,與拋物線相切,有一個公共點；當時,與拋物線相離,無公共點.注:直線與拋物線只有一個公共點時，它們可能相切，也可能相交．【自主檢測】在拋物線y2＝8x中，以(1，－1)為中點的弦所在直線的方程是()A.x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝02．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30°的直線，與拋物線交于A，B兩點，若eq\f(|AF|,|BF|)∈(0,1)，則eq\f(|AF|,|BF|)＝()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)3．已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點．若AB中點為(2,2)，則直線l的方程為________．4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為eq\r(3)的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若Aeq\o(M,\s\up13(→))＝Meq\o(B,\s\up13(→))，則p＝__________________．直線與拋物線的位置關系例1：已知拋物線C：y2＝－2x，過點P(1,1)的直線l斜率為k，當k取何值時，l與C有且只有一個公共點，有兩個公共點，無公共點？訓練1：已知點A(0,2)和拋物線C：y2＝6x，求過點A且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程．弦長問題例2：頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線，截直線2x－y＋1＝0所得弦長為eq\r(15)，則拋物線方程為__________________________．訓練2：已知拋物線y2＝4x的一條過焦點的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸交點坐標(0,2)，則eq\f(1,y1)＋eq\f(1,y2)＝________．對稱問題例3：已知拋物線y2＝x上存在兩點關于直線l：y＝k(x－1)＋1對稱，求實數(shù)k的取值范圍．訓練3：已知拋物線y＝－x2＋3上存在關于直線x＋y＝0對稱的相異兩點A、B，求A、B兩點間的距離．注意特殊情形例4：求過點P(0,1)且與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線方程．直線與拋物線的位置關系課后作業(yè)1．已知拋物線y2＝6x的弦AB經(jīng)過點P(4,2)，且OA⊥OB(O為坐標原點)，求弦AB的長．2．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)．(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于eq\f(\r(5),5)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．2.4.1拋物線及其標準方程課后作業(yè)參考答案1．BDBCBA7．y＝38．y＝4x29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)10．y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).焦點坐標為(－2,0)，準線方程為x＝2.2.4.2拋物線的簡單幾何性質課后作業(yè)參考答案1．BAABCD7．y2＝4x8．29.eq\f(1,3)10．x2＝8y或x2＝－16y.11．4x－y－15＝0.2.4.3.直線與拋物線的位置關系課后作業(yè)參考答案1．[解析]由A、B兩點在拋物線y2＝6x上，可設A(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y1)，B(eq\f(y\o\al(2,2),6)，y2)．因為OA⊥OB，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.由eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y