期中真題必刷壓軸60題（15個(gè)考點(diǎn)專練）原卷版

期中真題必刷壓軸60題（15個(gè)考點(diǎn)專練）

一．正數(shù)和負(fù)數(shù)（共1小題）

1．（2023秋?祁陽縣校級(jí)期中）如圖，一只甲蟲在55的方格（每小格邊長為1)上沿著網(wǎng)格線運(yùn)動(dòng)，它從A處出發(fā)去

看望B、C、D處的其它甲蟲，規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負(fù)．例如從A到B記為：AB(1,4)，從D

到C記為：DC(1,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示左右方向，第二個(gè)數(shù)表示上下方向．

（1）圖中AC(，)，BC(，)，

D(4,2)；

（2）若這只甲蟲從A處去P處的行走路線依次為(2,2)，(2,1)，(2,3)，(1,2)，請?jiān)趫D中標(biāo)出P的位置；

（3）若這只甲蟲的行走路線為ABCD，請計(jì)算該甲蟲走過的路程．

二．有理數(shù)（共1小題）

2．（2023秋?藍(lán)山縣期中）在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)

學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題．

|a||b||c|

【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值．

abc

【解決問題】

解：由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．

|a||b||c|abc

①a，b，c都是正數(shù)，即a0，b0，c0時(shí)，則1113；

abcabc

②當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a0，b0，c0，則

|a||b||c|abc

1(1)(1)1．

abcabc

|a||b||c|

綜上所述，值為3或1．

abc

【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

|a||b||c|

（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值；

abc

abcabc

（2）若a，b，c為三個(gè)不為0的有理數(shù)，且1，求的值．

|a||b||c||abc|

第1頁共20頁.

三．?dāng)?shù)軸（共19小題）

3．（2023秋?洛江區(qū)期中）我們知道，在數(shù)軸上，點(diǎn)M，N分別表示數(shù)m，n則點(diǎn)M，N之間的距離為|mn|．已

2

知點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，且|ac||bc||da|1(ab)，則線段BD的長度為．

5

4．（2023秋?鐘祥市期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|a2||2a||b1||ab|．

3

5．（2023秋?鯉城區(qū)校級(jí)期中）電影《哈利波特》中，小哈利波特穿越墻進(jìn)入“9站臺(tái)”的鏡頭（如示意圖的Q站

4

28

臺(tái)），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象．若A、B站臺(tái)分別位于，處，AP2PB，則P站臺(tái)用類似電影的

33

方法可稱為“站臺(tái)”．

6．（2023秋?武陟縣期中）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)間的距

離為10．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t0)秒．

（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)P表示的數(shù)是（用含t的代數(shù)式表示）；

（2）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)．求：

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇？

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度？

7．（2023秋?南海區(qū)期中）將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點(diǎn)A表示10，

點(diǎn)B表示10，點(diǎn)C表示18．我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上的“友好距離”為28個(gè)單位長度．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2

單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O與點(diǎn)B之間時(shí)速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過點(diǎn)B后

立刻恢復(fù)原速；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B

與點(diǎn)O之間時(shí)速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，?jīng)過O后也立刻恢復(fù)原速．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C需要秒，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A需要秒；

（2）P，Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，求出相遇點(diǎn)M在“折線數(shù)軸”上所對應(yīng)的數(shù)；

（3）是否存在t值，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點(diǎn)A和點(diǎn)B在“折線數(shù)軸”上的“友好距

離”？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

第2頁共20頁.

8．（2023秋?柘城縣期中）如圖，相距5km的A、B兩地間有一條筆直的馬路，C地位于A、B兩地之間且距A地2km，

小明同學(xué)騎自行車從A地出發(fā)沿馬路以每小時(shí)5km的速度向B地勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)B地后立即以原來的速度返回，到

達(dá)A地時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（小時(shí)），小明的位置為點(diǎn)P．

（1）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以從A到B為正方向，用1個(gè)單位長度表示1km畫數(shù)軸，指出點(diǎn)A所表示的有理數(shù)；

（2）在（1）的數(shù)軸上，求t0.5時(shí)點(diǎn)P表示的有理數(shù)；

（3）當(dāng)小明距離C地1km時(shí)，直接寫出所有滿足條件的t值．

9．（2023秋?花都區(qū)校級(jí)期中）如圖：在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)3，B點(diǎn)表示數(shù)1，C點(diǎn)表示數(shù)9．

（1）若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)表示的點(diǎn)重合；

（2）若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位、1個(gè)單位長度和4個(gè)單位長度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)．

①若t秒鐘過后，A，B，C三點(diǎn)中恰有一點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)，求t值；

②當(dāng)點(diǎn)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，是否存在常數(shù)m，使mBC2AB的值為定值，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．

10．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）定義：若線段AB的中點(diǎn)在線段MN上，則稱點(diǎn)A和B與線段MN關(guān)

聯(lián)．

已知：A、M、N在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為10，0，20

（1）以下數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)和點(diǎn)A與線段MN關(guān)聯(lián)的有（填序號(hào)）．

①30②15③40

（2）若點(diǎn)A和B與線段MN關(guān)聯(lián)，設(shè)點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為x，則|x20||x30|的最大值為，最小值為．

（3）如圖，數(shù)軸上三點(diǎn)C、D、E在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為30，40，50，現(xiàn)將C、D、E同時(shí)沿?cái)?shù)軸向右移

動(dòng)，速度分別為每秒3個(gè)單位、3個(gè)單位、1個(gè)單位，移動(dòng)時(shí)間為t秒．若線段CD上至少有一個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)E與線段MN關(guān)

聯(lián)，則t的取值范圍是．

第3頁共20頁.

11．（2023秋?濱海新區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A與點(diǎn)B的距

離是2，記作AB2，以下類同，BC3，設(shè)點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)數(shù)的和是p．

（1）若以B為原點(diǎn)，則點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)為，p的值為；若以C為原點(diǎn)，則p的

值為；

（2）若原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且CO28，求p的值；在此基礎(chǔ)上，將原點(diǎn)O向右移動(dòng)a(a0)個(gè)單位，

則p的值為；（用含a的式子表示）

（3）若原點(diǎn)O在點(diǎn)B與C之間，且CO2，則p；若原點(diǎn)O從點(diǎn)C出發(fā)沿著數(shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)p5.5時(shí)，求CO

的值．

12．（2023秋?臺(tái)州期中）已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，A、B兩點(diǎn)之間的蹄離可以表示為|ab|，

比如式子|x3|表示有理數(shù)x的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)之間的距離．請回答以下問題：

（1）若a表示一個(gè)有理數(shù)，|a1|3，則a；

（2）若a表示一個(gè)有理數(shù)，|a1||a2|的最小值；

（3）在一工廠流水線上依次排列了n個(gè)工作臺(tái)（工作臺(tái)在同一直線上），第1個(gè)工作臺(tái)安排了2名工人，其他每個(gè)工

作臺(tái)安排了1名工人．現(xiàn)在要在流水線上設(shè)置一個(gè)工具臺(tái)，以方便這(n1)名工人從工作臺(tái)到工具臺(tái)拿取工具．為了

讓工人們拿取工具所走路程之和最短，請直接說出工具臺(tái)設(shè)置在什么位置．

13．（2023秋?鄆城縣期中）如圖，半徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)Q與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合（提示：圓的周長C2r，

本題中的取值為3.14)

（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是；

（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下：2，

1，5，4，3，2

①第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最近？第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？

②當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是多少？

第4頁共20頁.

14．（2023秋?市北區(qū)期中）數(shù)軸是一種非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之

間的內(nèi)在聯(lián)系．小亮在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：

操作一：

（1）折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與1表示的點(diǎn)重合，則2表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；

操作二：

（2）折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，則3表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；假如A、B兩點(diǎn)經(jīng)過折疊后

重合，且數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為5(A在B的左側(cè)），則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是A:，B:；

操作三：

（3）在數(shù)軸上剪下從6到2，長度是8個(gè)單位的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀（如

圖），展開后得到三條線段．若這三條線段的長度之比為1:1:2，則折痕處對應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是．

15．（2023秋?開州區(qū)期中）數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表

示數(shù)b的點(diǎn)的距離記作|ab|，如數(shù)軸上表示數(shù)5的點(diǎn)與表示數(shù)7的點(diǎn)的距離為|57|2，|57||5(7)|表示數(shù)軸

上表示數(shù)5的點(diǎn)與表示數(shù)7的點(diǎn)的距離，|a5|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)5的點(diǎn)的距離．

根據(jù)以上材料回答下列問題：

（1）若|x2|3，則x，|x4||x2|，則x．

（2）若|x3||x2|5，則x能取到的最小值是，最大值是．

（3）若|x3||x2|9，則x的值為多少？

16．（2023秋?臨湘市期中）數(shù)軸上有A，B，C三點(diǎn)，給出如下定義：若其中一個(gè)點(diǎn)與其它兩個(gè)點(diǎn)的距離恰好滿足2

倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點(diǎn)是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

例如：數(shù)軸上點(diǎn)A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時(shí)點(diǎn)B是點(diǎn)A，C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．回答下列問題：

（）若點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)．下列各數(shù)，，，所對應(yīng)的點(diǎn)是、、、．其中是點(diǎn)，的

1A2B11246C1C2C3C4AB

“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是．

（2）點(diǎn)A表示數(shù)4，點(diǎn)B表示數(shù)10，P為數(shù)軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：

①若點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，且點(diǎn)P是點(diǎn)A，B的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是多少？

②若點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P，A，B中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是其它兩個(gè)點(diǎn)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，請直接寫出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)．

第5頁共20頁.

17．（2023秋?龍崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓上有一點(diǎn)與數(shù)軸上原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上

做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，小圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位，大圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位．

（1）若大圓沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，則該圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)是；

（2）若小圓不動(dòng)，大圓沿?cái)?shù)軸來回滾動(dòng)，規(guī)定大圓向右滾動(dòng)時(shí)間記為正數(shù)，向左滾動(dòng)時(shí)間記為負(fù)數(shù)，依次滾動(dòng)的情況

記錄如下（單位：秒）:1，2，4，2，3，8

①第幾次滾動(dòng)后，大圓離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？

②當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留)

（3）若兩圓同時(shí)在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動(dòng)，滾動(dòng)一段時(shí)間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距9，求此時(shí)兩

圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

18．（2023秋?鐵東區(qū)期中）如圖一根木棒放在數(shù)軸上，數(shù)軸的1個(gè)單位長度為1cm，木棒的左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，

右端與點(diǎn)B重合．

（1）若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為20；若將木棒沿

數(shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為5，由此可得到木棒長為cm．

（2）圖中點(diǎn)A所表示的數(shù)是，點(diǎn)B所表示的數(shù)是．

（3）由題（1）（2）的啟發(fā)，請你能借助“數(shù)軸”這個(gè)工具幫助小紅解決下列問題：

一天，小紅去問曾當(dāng)過數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要35年才出生；

你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)130歲，是老壽星了，哈哈！”，請求出爺爺現(xiàn)在多少歲了？

第6頁共20頁.

19．（2023秋?西平縣期中）如圖，A、B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為20，B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為100．

（1）請寫出與A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M所對應(yīng)的數(shù)；

（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以

4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，你知道C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是多少嗎？

（3）若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4

個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，請問：當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，兩只螞蟻間的距離為20個(gè)單位長度？

20．（2023秋?湘潭縣校級(jí)期中）如圖在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，a、b滿足|a2||b4|0；

（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為；點(diǎn)B表示的數(shù)為；

（2）若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B處以2個(gè)單

位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)

的時(shí)間為t（秒)，

①當(dāng)t1時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離；乙小球到原點(diǎn)的距離；

當(dāng)t3時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離；乙小球到原點(diǎn)的距離；

②試探究：甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離可能相等嗎？若不能，請說明理由．若能，請直接寫出甲，乙兩小球到原點(diǎn)的

距離相等時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間．

第7頁共20頁.

21．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）已知：在一條東西向的雙軌鐵路上迎面駛來一快一慢兩列火車，快車長AB2（單位

長度），慢車長CD4（單位長度），設(shè)正在行駛途中的某一時(shí)刻，如圖，以兩車之間的某點(diǎn)O為原點(diǎn)，取向右方向?yàn)?/p>

正方向畫數(shù)軸，此時(shí)快車頭A在數(shù)軸上表示的數(shù)是a，慢車頭C在數(shù)軸上表示的數(shù)是b．若快車AB以6個(gè)單位長度/秒

的速度向右勻速繼續(xù)行駛，同時(shí)慢車CD以2個(gè)單位長度/秒的速度向左勻速繼續(xù)行駛，且|a8|與(b16)2互為相反

數(shù)．

（1）求此時(shí)刻快車頭A與慢車頭C之間相距多少單位長度？

（2）從此時(shí)刻開始算起，問再行駛多少秒鐘兩列火車行駛到車頭AC相距8個(gè)單位長度？

（3）此時(shí)在快車AB上有一位愛動(dòng)腦筋的七年級(jí)學(xué)生乘客P，他發(fā)現(xiàn)行駛中有一段時(shí)間t秒鐘，他的位置P到兩列火

車頭A、C的距離和加上到兩列火車尾B、D的距離和是一個(gè)不變的值（即PAPCPBPD為定值）．你認(rèn)為學(xué)生

P發(fā)現(xiàn)的這一結(jié)論是否正確？若正確，求出這個(gè)時(shí)間及定值；若不正確，請說明理由．

四．絕對值（共5小題）

22．（2023秋?鯉城區(qū)校級(jí)期中）如M{1，2，x}，我們叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元

素具有確定性（如x必然存在），互異性（如x1，x2)，無序性（即改變元素的順序，集合不變）．若集合N{x，

1y

1，2}，我們說MN．已知集合A{2，0，x}，集合B,|x|,，若AB，則xy的值是()

xx

1

A．2B．C．2D．1

2

23．（2023秋?豐澤區(qū)校級(jí)期中）對于有理數(shù)x，y，a，t，若|xa||ya|t，則稱x和y關(guān)于a的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”

為t，例如，|21||31|3，則2和3關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為3．

（1）3和5關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為；

（2）若x和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，求x的值；

（）若和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為，和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為，和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”

3x0x111x1x221x2x33

為，，和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為，．

1x40x41411

①的最小值為；

x0x1

②的最小值為．

x1x2x3x40

第8頁共20頁.

24．（2023秋?荷塘區(qū)期中）在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的

數(shù)學(xué)思想解決問題的過程，請仔細(xì)閱讀，并解答問題．

|a||b||c|

【提出問題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值．

abc

【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．

|a||b||c|abc

①a，b，c都是正數(shù)，即a0，b0，c0時(shí)，則1113；

abcabc

②當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)a0，b0，c0，則

|a||b||c|abc

1(1)(1)1．

abcabc

|a||b||c|

綜上所述，值為3或1．

abc

【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：

ab

（1）已知a，b是不為0的有理數(shù)，當(dāng)|ab|ab時(shí)，則的值是；

|a||b|

abc

（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc0時(shí)，求的值；

|a||b||c|

bccaab

（3）已知a，b，c是有理數(shù)，abc0，abc0，求的值．

|a||b||c|

25．（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）先閱讀，后探究相關(guān)的問題

【閱讀】|52|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；|52|可以看作

|5(2)|，表示5與2的差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．

（1）如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點(diǎn)2.5的相反數(shù)的點(diǎn)B，再把點(diǎn)A向左移動(dòng)1.5個(gè)單位，得到點(diǎn)C，則點(diǎn)B和點(diǎn)C表

示的數(shù)分別為和，B，C兩點(diǎn)間的距離是；

（2）數(shù)軸上表示x和1的兩點(diǎn)A和B之間的距離表示為；如果|AB|3，那么x為；

（3）若點(diǎn)A表示的整數(shù)為x，則當(dāng)x為時(shí)，|x4|與|x2|的值相等；

（4）要使代數(shù)式|x5||x2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是．

第9頁共20頁.

26．（2023秋?太康縣期中）同學(xué)們都知道，|5(2)|表示5與2之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)

軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，試探索：

（1）|5(2)|．

（2）同理|x5||x2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到5和2所對應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和，請你找出所有符合條件的

整數(shù)x，使得|x5||x2|7，這樣的整數(shù)是．

（3）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，|x6||x3|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．

五．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值（共1小題）

27．（2023秋?海安市期中）閱讀下列材料，并回答問題．我們知道|a|的幾何意義是指數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距

離，那么|ab|的幾何意義又是什么呢？我們不妨考慮一下，取特殊值時(shí)的情況．比如考慮|5(6)|的幾何意義，在

數(shù)軸上分別標(biāo)出表示6和5的點(diǎn)，（如圖所示），兩點(diǎn)間的距離是11，而|5(6)|11，因此不難看出|5(6)|就是數(shù)

軸上表示6和5兩點(diǎn)間的距離，|ab|的幾何意義是數(shù)軸上a，b兩數(shù)對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．

2

（1）當(dāng)|x|2時(shí)，求出x的值；

3

（2）設(shè)Q|x6||x5|，請問Q是否存在最大值，若沒有請說明理由，若有請求出最大值；

（3）設(shè)Q|x2023||2024x|2|2026x|，當(dāng)Q的值最小時(shí)，求整數(shù)x所有可能的值的和．

六．有理數(shù)的除法（共1小題）

28．（2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）取一個(gè)自然數(shù)，若它是奇數(shù)，則乘以3加上1，若它是偶數(shù)，則除以2，按此規(guī)則經(jīng)過

若干步的計(jì)算最終可得到1．這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明．但舉例驗(yàn)證都是正確的．例如：取自然數(shù)5．經(jīng)過下

面5步運(yùn)算可得1，即：如圖所示．如果自然數(shù)m恰好經(jīng)過7步運(yùn)算可得到1，則所有符合條件的m的值有()

A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)

第10頁共20頁.

七．有理數(shù)的乘方（共1小題）

29．（2023秋?滕州市期中）（1）填空：1.22；122；1202．

（2）根據(jù)上題的規(guī)律猜想：當(dāng)?shù)讛?shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，其平方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)怎樣移動(dòng)？

（3）利用上述規(guī)律，解答下列各題：

如果3.25210.5625，那么0.3252．如果x2105625，那么x．

八．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共8小題）

1111111

30．（2023秋?洛江區(qū)期中）設(shè)A48()，利用等式()(n?3)，則與A

32442410024n244n2n2

最接近的正整數(shù)是()

A．18B．20C．24D．25

31．（2023秋?開州區(qū)期中）我們知道，每個(gè)自然數(shù)都有因數(shù)，對于一個(gè)自然數(shù)a，我們把小于a的正的因數(shù)叫做a的

真因數(shù)．如10的正因數(shù)有1、2、5、10，其中1、2、5是10的真因數(shù)．把一個(gè)自然數(shù)a的所有真因數(shù)的和除以a，

4

所得的商叫做a的“完美指標(biāo)”．如10的“完美指標(biāo)”是(125)10．一個(gè)自然數(shù)的“完美指標(biāo)”越接近1，

5

7474

我們就說這個(gè)數(shù)越“完美”．如8的“完美指標(biāo)”是(124)8，10的“完美指標(biāo)”是，因?yàn)楸雀咏?/p>

8585

1，所以我們說8比10更完美．那么比10大，比20小的自然數(shù)中，最“完美”的數(shù)是．

32．（2023秋?禮縣期中）規(guī)定一種新運(yùn)算“※”，兩數(shù)a，b通過“※”運(yùn)算得(a2)2b，即a※b(a2)2b，

例如：3※5(32)251055，根據(jù)上面規(guī)定解答下題：

（1）求7※(3)的值；

（2）7※(3)與(3)※7的值相等嗎？

33．（2023秋?永城市校級(jí)期中）概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0)的除法運(yùn)算叫做除方，如222，(3)(3)(3)(3)等．類比有理

數(shù)的乘方，我們把222記作2③，讀作“2的圈3次方”，(3)(3)(3)(3)記作(3)④，讀作“3的圈4次

方”，一般地，把a(bǔ)aaaa0記作a?，讀作“a的圈n次方”．

n個(gè)a

初步探究

③1⑤

（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果：2，()；

2

（2）關(guān)于除方，下列說法錯(cuò)誤的是

A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；

B．對于任何正整數(shù)n，1?1；

C.3④4③

第11頁共20頁.

D．負(fù)數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)．

深入思考

我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘

方運(yùn)算呢？

④⑥1⑩

（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式．(3)；5；()．

2

（2）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于；

1④1⑤1⑥

（3）算一算：122()()()33．

323

34．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）已知x，y為有理數(shù)，如果規(guī)定一種運(yùn)算“*”，即x*yxy1，試根據(jù)這種運(yùn)算完成

下列各題．

（1）求2*4；

（2）求(2*5)*(3)；

（3）任意選擇兩個(gè)有理數(shù)x，y，分別計(jì)算x*y和y*x，并比較兩個(gè)運(yùn)算結(jié)果，你有何發(fā)現(xiàn)？

第12頁共20頁.

35．（2023秋?鐵西區(qū)期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．

定義“*”運(yùn)算：

(2)*(4)(2242)；(4)*(7)[(4)2(7)2]；

(2)*(4)[(2)2(4)2]；(5)*(7)[(5)2(7)2]；

0*(5)(5)*0(5)2；(3)*00*(3)(3)2．

0*002020

（1）歸納*運(yùn)算的法則：

兩數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算時(shí)，．（文字語言或符號(hào)語言均可）特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*運(yùn)算，．

（2）計(jì)算：(1)*[0*(2)]．

（3）是否存在有理數(shù)m，n，使得(m1)*(n2)0，若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

36．（2023秋?五華區(qū)期中）觀察算式：

111

1，

1222

111112

1，

12232233

111111113

1；

122334223344

（1）按規(guī)律填空：

1111

①；

12233445

11111

②；

1223344599100

11111

③如果n為正整數(shù)，那么；

12233445n(n1)

（2）計(jì)算（由此拓展寫出具體過程）:

1111

①；

1111

②1．

26129900

第13頁共20頁.

11111111

37．（2023秋?濠江區(qū)校級(jí)期中）觀察下列等式：1，，，

12223233434

11111111

把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：1．

12233422334

1

（1）猜想并寫出：；

n(n1)

111111

（2）規(guī)律應(yīng)用：計(jì)算：；

2612203042

1111

（3）拓展提高：計(jì)算：．

24466820062008

九．列代數(shù)式（共5小題）

38．（2023秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）對于一個(gè)四位正整數(shù)M，如果M滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，它的百位上的數(shù)字比

千位上的數(shù)字大1，個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1，則稱M為“進(jìn)步數(shù)”，如：1245就是一個(gè)進(jìn)步數(shù)．對于一個(gè)“進(jìn)

步數(shù)”M記為abcd，它的千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為ab，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為cd，將這

兩個(gè)兩位數(shù)求和記作t；它的千位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為ac，它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為bd，

將這兩個(gè)兩位數(shù)求和記作s，當(dāng)st36時(shí)，M的最大值與最小值的和為．

39．（2023秋?灌云縣期中）如圖，兩摞規(guī)格完全相同的課本整齊疊放在講臺(tái)上．請根據(jù)圖中所給出的數(shù)據(jù)信息，回答

下列問題：

（1）每本課本的厚度為cm；

（2）若有一摞上述規(guī)格的課本x本，整齊疊放在講臺(tái)上，請用含x的代數(shù)式表示出這一摞數(shù)學(xué)課本的頂部距離地面的

高度；

（3）當(dāng)x56時(shí)，若從中取走14本，求余下的課本的頂部距離地面的高度．

第14頁共20頁.

40．（2023秋?惠城區(qū)校級(jí)期中）如圖①所示是一個(gè)長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長方

形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形．

（1）你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于；

（2）請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積．

方法①．方法②；

（3）觀察圖②，你能寫出(mn)2，(mn)2，mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？

（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若ab6，ab4，則求(ab)2的值．

41．（2023秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）小明去文具用品商店給同學(xué)買某品牌水性筆，已知甲、乙兩商店都有該品牌的水性筆

且標(biāo)價(jià)都是1.50元/支，但甲、乙兩商店的優(yōu)惠條件卻不同．

甲商店：若購買不超過10支，則按標(biāo)價(jià)付款；若一次購10支以上，則超過10支的部分按標(biāo)價(jià)的60%付款．

乙商店：按標(biāo)價(jià)的80%付款．

在水性筆的質(zhì)量等因素相同的條件下．

（1）設(shè)小明要購買的該品牌筆數(shù)是x(x10)支，請用含x的式子分別表示在甲、乙兩個(gè)商店購買該品牌筆的費(fèi)用；

（2）若小明要購買該品牌筆30支，你認(rèn)為在甲、乙兩商店中，到哪個(gè)商店購買比較省錢？說明理由．

42．（2023秋?沈北新區(qū)期中）如圖，在一長方形休閑廣場的四角都設(shè)計(jì)一塊半徑相同的四分之一圓的花壇，若圓形的

半徑為r米，廣場長為a米，寬為b米．

（1）請列式表示廣場空地的面積；

（2）若休閑廣場的長為400米，寬為100米，圓形花壇的半徑為10米，求廣場空地的面積（計(jì)算結(jié)果保留)．

第15頁共20頁.

一十．代數(shù)式求值（共2小題）

43．（2023秋?咸豐縣期中）在有理數(shù)的原有運(yùn)算法則中我們定義一個(gè)新運(yùn)算“★”如下：x?y時(shí)，x★yx2；xy

時(shí)，x★yy．則當(dāng)z3時(shí)，代數(shù)式(2★z)(4★z)的值為．

44．（2023秋?懷仁市期中）某學(xué)校計(jì)劃購買一些乒乓球拍和乒乓球，某商場銷售一種乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每

副定價(jià)80元，乒乓球每盒定價(jià)20元．國慶節(jié)期間商場決定開展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案，即

方案一：買一副乒乓球拍送一盒乒乓球；

方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定價(jià)的90%付款．該學(xué)校要到該商場購買乒乓球拍20副，乒乓球x盒(x20，x為整

數(shù)）．

（1）若該學(xué)校按方案一購買，需付款元；若該學(xué)校按方案二購買，需付款元（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）若x30，請聰明的你幫忙計(jì)算一下，此時(shí)選擇哪種方案比較合算；

（3）若x30，能否找到一種更為省錢的購買方案？如果能，請你寫出購買方案，并計(jì)算出此方案應(yīng)付的錢數(shù)；如果

不能，請說明理由．

一十一．合并同類項(xiàng)（共1小題）

45．（2023秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）已知M，N兩點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，且m，n滿足|m10|(n2)20．

（1）求m，n的值；

（2）①有一個(gè)玩具火車AB如圖1所示，放置在數(shù)軸上，將火車沿?cái)?shù)軸左右水平移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)B所

對應(yīng)的數(shù)為m，當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為n．則玩具火車的長為個(gè)單位長度；

②如圖1所示，將第①題中的玩具火車沿?cái)?shù)軸左右水平移動(dòng)，當(dāng)NA:BM2:1時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)火車AB以每秒2個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q從N、M出發(fā)，分別以每

秒1個(gè)單位長度和3個(gè)單位長度的速度向左和向右運(yùn)動(dòng)，記火車AB運(yùn)動(dòng)后對應(yīng)的位置為AB，是否存在常數(shù)k使得

2PQkBA的值與它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間無關(guān)？若存在，請求出k和這個(gè)定值；若不存在，請說明理由．

第16頁共20頁.

一十二．規(guī)律型：數(shù)字的變化類（共1小題）

46．（2023秋?弋陽縣期中）下列表格中的四個(gè)數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是()

A．135B．170C．209D．252

一十三．規(guī)律型：圖形的變化類（共1小題）

47．（2023秋?沙坡頭區(qū)校級(jí)期中）如圖，將一張正方形紙片，剪成四個(gè)大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一個(gè)

小正方形再按同樣的方法剪成四個(gè)小正方形，再將其中的一個(gè)小正方形剪成四個(gè)小正方形，如此循環(huán)進(jìn)行下去；

（1）填表：

剪的次數(shù)12345

正方形個(gè)

數(shù)

（2）如果剪了100次，共剪出多少個(gè)小正方形？

（3）如果剪了n次，共剪出多少個(gè)小正方形？

（4）觀察圖形，你還能得出什么規(guī)律？

一十四．整式的加減（共11小題）

48．（2023秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在一個(gè)大長方形中放入三個(gè)邊長不等的小正方形①、②、③，若要求出兩個(gè)陰

影部分周長的差，只要知道下列哪個(gè)圖形的面積()

A．正方形①B．正方形②C．正方形③D．大長方形

第17頁共20頁.

49．（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)四位數(shù)m1000a100b10cd（其中1?a，b，c，d?9，且均為整數(shù)），若

abk(cd)，且k為整數(shù)，則稱m為“k型數(shù)”．例如：m7241，因?yàn)?23(41)，則7241為“3型數(shù)”；m4635，

因?yàn)?65(35)，則4635為“5型數(shù)”．若四位數(shù)m是“3型數(shù)”，m3是“1型數(shù)”，將m的百位數(shù)字與十

位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的四位數(shù)n，n也是“3型數(shù)”，則滿足條件的最小四位數(shù)m的值為