（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第七章隨機變量及其分布75正態(tài)分布課后習(xí)題新人教A版選擇性

7.5正態(tài)分布A組1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布,且正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=16A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2C.μ=2,σ=3 D.μ=3,σ=3解析:由f(x)=13×2答案:C2.若隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=12A.p1>p2 B.p1<p2C.p1=p2 D.不確定解析:由正態(tài)密度函數(shù)的解析式知,μ=0,σ=1,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對稱.所以p1=p2.答案:C3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,則P(0<X<2)=()解析:由P(X<4)=0.8,知P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,故P(0<X<2)=12答案:C4.工人加工機器零件的尺寸在正常情況下服從正態(tài)分布N(μ,σ2).在一次正常的測驗中,隨機取出10000個零件,不屬于[μ3σ,μ+3σ]這個尺寸范圍的零件個數(shù)可能為()A.70 B.100 C.27 D.60解析:正態(tài)變量的取值落在區(qū)間[μ3σ,μ+3σ]上的概率約是0.9973,則不落在區(qū)間[μ3σ,μ+3σ]上的概率約是0.0027.因此隨機取出10000個零件,不屬于這個尺寸范圍的零件個數(shù)可能是27.答案:C5.為了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況,抽查了該地區(qū)1000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重(單位:kg)數(shù)據(jù),抽查結(jié)果表明他們的體重X服從正態(tài)分布N(μ,22),且正態(tài)密度曲線如圖所示.若體重大于58.5kg小于等于62.5kg屬于正常情況,則這1000名男生中體重屬于正常情況的人數(shù)約是()A.997 B.954C.819 D.683解析:由題意及題圖可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5<X≤62.5)=P(μσ<X≤μ+σ)≈0.6827,從而體重屬于正常情況的人數(shù)是1000×0.6827≈683.答案:D6.已知一次考試共有60名考生參加,考生的成績X~N(110,25).據(jù)此估計,大約應(yīng)有57名考生的分?jǐn)?shù)在區(qū)間 ()A.(90,110]內(nèi) B.(95,125]內(nèi)C.(100,120]內(nèi) D.(105,115]內(nèi)解析:5760答案:C7.(多選題)下列說法中正確的是()A.已知隨機變量X服從二項分布B6,1B.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.9,則P(0<X<2)=0.4C.已知隨機變量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,則P(X>2)的值為1+D.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3解析:∵隨機變量X服從二項分布B6,∴P(X=3)=C6∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴正態(tài)曲線的對稱軸是直線x=2.∵P(X<4)=0.9,∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.1,∴P(2<X<4)=12故B正確;已知隨機變量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,則P(X>2)=12(1P(|X|<2))=1故C錯誤;E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=4D(X),故D錯誤.綜上,選AB.答案:AB8.如果正態(tài)變量的取值落在區(qū)間(3,1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(3,5)內(nèi)的概率相等,那么正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望為.

解析:由題意知,正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱,即μ=1,所以正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望為1.答案:19.據(jù)抽樣統(tǒng)計,在某市的公務(wù)員考試中,考生的綜合得分X服從正態(tài)分布N(60,102),考生共10000人,若一考生的綜合得分為80分,則該考生在這次公務(wù)員考試中的名次大約是第名.

解析:依題意,P(6020≤X≤60+20)≈0.9545,則P(X>80)≈12故成績高于80分的考生人數(shù)約為10000×0.0228=228.所以該考生在這次公務(wù)員考試中的名次大約是第229名.答案:22910.在一次測試中,測試結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2,σ2),若X在區(qū)間(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2,求:(1)X在區(qū)間(0,4)內(nèi)取值的概率;(2)P(X>4).解:(1)由X~N(2,σ2),知對稱軸為直線x=2,作出正態(tài)曲線大致如圖所示.因為P(0<X<2)=P(2<X<4),所以P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=12[1P(0<X<4)]=111.已知公司職工年均收入X服從正態(tài)分布,其正態(tài)密度曲線如圖所示.(1)寫出該公司職工年均收入的正態(tài)密度函數(shù)的解析式;(2)求該公司職工年均收入在80000~85000元之間的人數(shù)所占的百分比.解:設(shè)該公司職工年均收入X~N(μ,σ2),由題圖可知μ=80000,σ=5000.(1)該公司職工年均收入的正態(tài)密度函數(shù)解析式為f(x)=1σ(2)因為P(75000≤X≤85000)=P(800005000≤X≤80000+5000)≈0.6827,所以P(80000≤X≤85000)=12即該公司職工年均收入在80000~85000元之間的人數(shù)所占的百分比約為34.14%.B組1.設(shè)某地區(qū)某一年齡段的兒童的身高服從均值為135cm,方差為100的正態(tài)分布,令X表示從中隨機抽取的一名兒童的身高,則下列概率中最大的是()A.P(120<X<130) B.P(125<X<135)C.P(130<X<140) D.P(135<X<145)解析:由題意知X~N(135,100),因此在長度都是10的區(qū)間上,概率最大的應(yīng)該是在對稱軸兩側(cè)關(guān)于對稱軸對稱的區(qū)間.故選C.答案:C2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),若P(X≤1.96)=0.025,則P(|X|<1.96)等于() 解析:由隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),知P(X≥1.96)=P(X≤1.96)=0.025.所以P(|X|<1.96)=P(1.96<X<1.96)=12P(X≤1.96)=12×0.025=0.950.答案:C3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(100,4),若P(m≤X≤104)=0.1359,則m等于()(附:P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545.)A.100 B.101C.102 D.103解析:∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(100,4),∴P(98≤X≤102)≈0.6827,P(96≤X≤104)≈0.9545.∴P(102≤X≤104)=12又P(m≤X≤104)=0.1359,∴m=102.答案:C4.在某市高二下學(xué)期期中考試中,理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X~N(90,σ2),已知P(70<X≤90)=0.35,則從全市理科生中任選一名學(xué)生,他的數(shù)學(xué)成績小于110分的概率為 ()解析:∵X~N(90,σ2),∴μ=90.又P(70<X≤90)=0.35,∴P(90≤X<110)=0.35.∴P(X≥110)=12從而P(X<110)=10.15=0.85.∴他的數(shù)學(xué)成績小于110分的概率為0.85.答案:A5.(多選題)已知某批零件的質(zhì)量指標(biāo)Y(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(25.40,σ2),且P(Y≥25.45)=0.1,現(xiàn)從該批零件中隨機取3件,用X表示這3件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Y不位于區(qū)間(25.35,25.45)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù),則()A.P(25.35<Y<25.45)=0.8B.E(X)=2.4C.D(X)=0.48D.P(X≥1)=0.512解析:由正態(tài)分布的性質(zhì)得P(25.35<Y<25.45)=12P(Y≥24.45)=12×0.1=0.8,故1件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Y不位于區(qū)間(25.35,25.45)內(nèi)的概率P=0.2,所以X~B(3,0.2),所以E(X)=3×0.2=0.6,D(X)=3×0.2×0.8=0.48,P(X≥1)=1P(X=0)=10.83=0.488,故選AC.答案:AC6.若一批燈泡的使用時間X(單位:h)服從正態(tài)分布N(10000,4002),則這批燈泡的使用時間在區(qū)間[9200,10800]內(nèi)的概率約是.

解析:由已知得μ=10000,σ=400,所以P(9200≤X≤10800)=P(100002×400≤X≤10000+2×400)≈0.9545.答案:0.95457.某校的一次數(shù)學(xué)考試有600人參加,已知學(xué)生的考試成績X~N(100,a2),試卷滿分150分,統(tǒng)計結(jié)果顯示考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35,則此次數(shù)學(xué)考試中成績不低于120分的學(xué)生約有解析:因為成績X~N(100,a2),所以其正態(tài)曲線關(guān)于直線x=100對稱.又考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的35,所以考試成績在120分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的12×答案:1208.某品牌攝像頭的使用壽命X(單位:年)服從正態(tài)分布,且使用壽命不少于2年的概率為0.8,使用壽命多于6年的概率為0.2.某校在大門口同時安裝了兩個該品牌的攝像頭,則在4年內(nèi)這兩個攝像頭都能正常工作的概率為.

解析:∵P(X≥2)=0.8,P(X>6)=0.2,∴P(X<2)=P(X>6)=0.2.∴正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=4.∴P(X≥4)=12,即每個攝像頭在4年內(nèi)能正常工作的概率為12.∴兩個該品牌的攝像頭在4年內(nèi)都能正常工作的概率為答案:19.一投資者要在兩個投資方案中選擇一個,這兩個方案的利潤X1,X2(單位:萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(3,22),投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大,那么他應(yīng)選擇哪個方案?解:由題意知,只需求出兩個方案中“利潤超過5萬元”的概率較大者即為應(yīng)選擇的方案.對于第一個方案X1~N(8,32),則μ1=8,σ1=3.于是P(83≤X1≤8+3)=P(5≤X1≤11)≈0.6827.所以P(X1≤5)=12[1P(5≤X1≤11)]≈1所以P(X1>5)≈10.15865=0.84135.對于第二個方案X2~N(3,22),則μ2=3,σ2=2.于是P(32≤X2≤3+2)=P(1≤X2≤5)≈0.6827,所以P(X2>5)=12[1P(1≤X2≤5)]≈1由于P(X1>5)>P(X2>5),故應(yīng)選擇第一個方案.10.已知某種零件的尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布,若正態(tài)曲線在區(qū)間(0,80)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(80,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,且f(80)=18(1)