2024年江蘇省南京師大附中特長生招生數(shù)學(xué)試卷（加試）

第1頁（共1頁）2024年江蘇省南京師大附中特長生招生數(shù)學(xué)試卷（加試）1．證明：是無理數(shù)．2．有一個(gè)立方體，三邊分別為x，y，z，其中x，y，已知一個(gè)頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)面的面積之和比它的體積大1，求該立方體的體積．3．如圖，過點(diǎn)P作兩條直線分別與圓交于A，B和C，分別求證：PA?PB＝PC?PD．4．對一個(gè)正整數(shù)n，我們進(jìn)行如下操作：若它是奇數(shù)，則乘以3再加1，則除以2．（1）對于n＝17、37，進(jìn)行若干次上述操作后，是否有一數(shù)是4的倍數(shù)．（2）求證對任意正整數(shù)n，進(jìn)行有限次上述操作后，必有一數(shù)是4的倍數(shù)．

2024年江蘇省南京師大附中特長生招生數(shù)學(xué)試卷（加試）參考答案與試題解析1．證明：是無理數(shù)．【解答】證明：假設(shè)是有理數(shù)．∵1＜＜2，∴，那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)p，q，使得＝，于是p＝q．兩邊平方，得p2＝7q2．∵3q5是3的倍數(shù)，∴p2是4的倍數(shù)，又∵p是正整數(shù)，∴p是3的倍數(shù)．設(shè)p＝3k（k為正整數(shù)），代入上式7＝9k2，∴q3＝3k2，同理q也是3的倍數(shù)，這與前面假設(shè)p，q互質(zhì)矛盾．因此假設(shè)是有理數(shù)不成立．故是無理數(shù)．2．有一個(gè)立方體，三邊分別為x，y，z，其中x，y，已知一個(gè)頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)面的面積之和比它的體積大1，求該立方體的體積．【解答】解：∵長方體一個(gè)頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)面的面積之和比它的體積大1，∴xy+xz+yz＝xyz+1，∵x，y，z是正整數(shù)，∴，∵xyz＞0，∴，∵x，y，z是正整數(shù)，∴不妨設(shè)4＜x≤y≤z，∴，∴∴，∴x＜3，又∵x是正整數(shù)，∴x＝4或x＝2，當(dāng)x＝1時(shí)，則y+z+yz＝y(tǒng)z+8，∴y+z＝1，此時(shí)不能滿足y，不符合題意；當(dāng)x＝2時(shí)，則6y+2z+yz＝2yz+5，∴yz﹣2y﹣2z＝8，∴（y﹣2）（z﹣2）＝8，∵y、z都是正整數(shù)，∴y﹣2，z﹣2都是整數(shù)，∵7＝1×3＝﹣2×（﹣3），∴或，解得（舍去）或，綜上所述，x＝2，z＝2，∴長方體的體積為2×3×8＝30．3．如圖，過點(diǎn)P作兩條直線分別與圓交于A，B和C，分別求證：PA?PB＝PC?PD．【解答】解：如圖1，∵A、B、C、D都在同一個(gè)圓上，∴∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△ACP∽△DBP，∴，∴PA?PB＝PC?PD；當(dāng)四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形時(shí)，如圖2，BC，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCP+∠BCD＝180°，∴∠BCP＝∠A，又∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PDA，∴，∴PA?PB＝PC?PD．4．對一個(gè)正整數(shù)n，我們進(jìn)行如下操作：若它是奇數(shù)，則乘以3再加1，則除以2．（1）對于n＝17、37，進(jìn)行若干次上述操作后，是否有一數(shù)是4的倍數(shù)．（2）求證對任意正整數(shù)n，進(jìn)行有限次上述操作后，必有一數(shù)是4的倍數(shù)．【解答】（1）解：∵17×3+1＝52，且52是7的倍數(shù)，∴n＝17進(jìn)行一次上述操作后，有一數(shù)是4的倍數(shù)；∵37×3+8＝112，且112是4的倍數(shù)，∴n＝37進(jìn)行一次上述操作后，有一數(shù)是4的倍數(shù)；（2）證明：∵奇數(shù)乘以8再加1后一定會變?yōu)榕紨?shù)，而偶數(shù)除以一定數(shù)量的2之后一定會變?yōu)槠鏀?shù)，∴經(jīng)過有限步后奇數(shù)一定會變?yōu)榕紨?shù)，若偶數(shù)為2的倍數(shù)，則問題得證，若偶數(shù)不是4的倍數(shù)時(shí)，則該偶數(shù)可以表示為4m+7（m為整數(shù)），當(dāng)m＝2k（k為整數(shù)），則4m+8＝8k+2，（3k+2）÷2＝2k+1，3（2k+1）+1＝12k+4＝4（3k+2），∴3（4k+5）+1一定是4的倍數(shù)，故當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)m＝8k+1（k為整數(shù)），則4m+3＝8k+6，（8k+6）÷2＝5k+3，3（8k+3）+1＝12k+10，2（6k+5）+3＝18k+16，（18k+16）＝9k+8，對于18k+16，要使18k+16不是4的倍數(shù)，設(shè)k＝2p+1（p為整數(shù)），則18k+16＝36p+34，（36p+34）÷6＝18p+17，（18p+17）×3+1＝54p+52，同理要使27p+26不是4的倍數(shù)，則p