人教A版高中數(shù)學選擇性必修第二冊第五章5-3-2第3課時導數(shù)在函數(shù)有關問題及實際生活中的應用課件

第3課時導數(shù)在函數(shù)有關問題及實際生活中的應用第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值整體感知[學習目標]

1．進一步掌握導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象、零點等問題中的應用．(數(shù)學運算)2．能利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、解決簡單的實際問題．(數(shù)學運算、邏輯推理)(教師用書)如圖所示，海中有一座油井A，其離岸的距離AC＝1.2km，岸是筆直的，岸上有一座煉油廠B，且BC＝1.6km.現(xiàn)要用輸油管將油井A與煉油廠B連接起來，且輸油管既可以鋪設在水下，也可以鋪設在陸地上，還可以一部分鋪設在水下另一部分鋪設在陸地上．已知水下的鋪設成本為每千米50萬元，陸地的鋪設成本為每千米30萬元．那么，鋪設輸油管的最少花費是多少？[討論交流]

問題

如何應用導數(shù)解決生活中的實際問題？[自我感知]

經(jīng)過認真的預習，結(jié)合對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構(gòu)探究1導數(shù)在實際問題中的應用【鏈接·教材例題】例8某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.(1)瓶子半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？(2)瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最??？

因此，當半徑r＞2時，f′(r)＞0，f(r)單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當半徑r＜2時，f′(r)＜0，f(r)單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．(1)半徑為6cm時，利潤最大．(2)半徑為2cm時，利潤最小，這時f(2)＜0，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．[典例講評]

1．(源自北師大版教材)如圖1所示，一邊長為48cm的正方形鐵皮，四角各截去一個大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一個無蓋長方體容器，如圖2所示．所得容器的容積V(單位：cm3)是關于截去的小正方形的邊長x(單位：cm)的函數(shù)．(1)隨著x的變化，容積V是如何變化的？(2)截去的小正方形的邊長為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？[解]

(1)根據(jù)題意，可得V＝V(x)＝(48－2x)2x.由實際情況可知函數(shù)V(x)的定義域為{x|0＜x＜24}．根據(jù)導數(shù)公式表及導數(shù)的運算法則，可得V′(x)＝－4x(48－2x)＋(48－2x)2＝(48－2x)(－6x＋48)＝12(x－24)(x－8)．解方程V′(x)＝0，得x1＝8，x2＝24.根據(jù)x1，x2列出表如下，分析V′(x)的符號、V(x)的單調(diào)性和極值點．x(0，8)8(8，24)V′(x)＋0－V＝V(x)

極大值

根據(jù)表中V′(x)與V(x)的變化情況可知，x＝8是函數(shù)V＝V(x)的極大值點，相應的極大值為V＝V(8)＝(48－16)2×8＝8192(cm3)．V＝(48－2x)2x的大致圖象如圖．根據(jù)對函數(shù)變化規(guī)律的討論可知：當0＜x≤8時，函數(shù)V＝V(x)單調(diào)遞增；當8≤x＜24時，函數(shù)V＝V(x)單調(diào)遞減．(2)區(qū)間(0，24)上任意點的函數(shù)值都不超過V(8)，因此，x＝8是函數(shù)的最大值點．此時V＝V(8)＝8192(cm3)是函數(shù)V＝V(x)在區(qū)間(0，24)內(nèi)的最大值．即當截去的小正方形的邊長為8cm時，得到的容器容積最大，最大容積為8192cm3.反思領悟

1．解決最優(yōu)問題應從以下幾個方面入手(1)設出變量，找出函數(shù)關系式，確定定義域．(2)在實際應用問題中，若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個極值點，則它就是最值點．2．利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的四個步驟第一步：設出恰當?shù)奈粗?，并確定未知量的取值集合(即函數(shù)的定義域)．第二步：依題意將所求最值的量表示為未知量的函數(shù)．第三步：求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)等于0，得到導數(shù)為0的點．第四步：通過單調(diào)性確定出函數(shù)的極值點及最值．[學以致用]

1．(源自湘教版教材)某企業(yè)要生產(chǎn)容積為Vm3的圓柱形密閉容器(如圖所示)，已知該容器側(cè)面耗材為1元/m2，上下底面的耗材為1.5元/m2.問：如何設計圓柱的高度hm和上下底面的半徑r

m，使得費用最少？

探究2利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根【鏈接·教材例題】例7給定函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex.(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出f(x)的極值；(2)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)的解的個數(shù)．[解]

(1)函數(shù)的定義域為R.f′(x)＝(x＋1)′ex＋(x＋1)(ex)′＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，

解得x＝－2.f′(x)，f(x)的變化情況如表5.3-4所示．表5.3-4x(－∞，－2)－2(－2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

根據(jù)以上信息，我們畫出f(x)的大致圖象如圖5.3-17所示．

反思領悟

函數(shù)零點問題一般利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)零點或圖象的交點情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實現(xiàn)形與數(shù)的統(tǒng)一．[學以致用]

2．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a(a為實數(shù))，若方程f(x)＝0有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．[解]

f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.當x<－1時，f′(x)>0；當－1<x<1時，f′(x)<0；

反思領悟

利用函數(shù)的最值證明不等式的基本步驟(1)將不等式構(gòu)造成f(x)＞0(或＜0)的形式；(2)利用導數(shù)將函數(shù)y＝f(x)在所給區(qū)間上的最小值(或最大值)求出；(3)證明函數(shù)y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可證得原不等式成立．[學以致用]

3．已知x＞0，證明：1＋2x＜e2x.[證明]

設f(x)＝1＋2x－e2x，則f′(x)＝2－2e2x＝2(1－e2x)．當x＞0時，2x＞0，e2x＞e0＝1，∴f′(x)＝2(1－e2x)＜0，∴函數(shù)f(x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．∵函數(shù)f(x)＝1＋2x－e2x是連續(xù)函數(shù)，∴當x＞0時，f(x)＜f(0)＝0，∴當x＞0時，1＋2x－e2x＜0，即1＋2x＜e2x.243題號1應用遷移√1．設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，若f(x)為偶函數(shù)，且在(0，1)上存在極大值，則f′(x)的圖象可能為(

)A

B

C

D243題號1C

[根據(jù)題意，f(x)為偶函數(shù)，則其導函數(shù)f′(x)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可以排除B，D.又由于函數(shù)f(x)在(0，1)上存在極大值，則其導函數(shù)在(0，1)上存在零點，且零點左側(cè)導函數(shù)值符號為正，右側(cè)導函數(shù)值符號為負，結(jié)合選項可以排除A，只有C選項符合題意．]23題號14

√

23題號41√3．方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三個不等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是(

)A．(－∞，－4)B．(－4，0)C．(－∞，－4)∪(0，＋∞)D．(0，＋∞)23題號41B

[設f(x)＝x3－6x2＋9x，可得f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＞0，即(x－1)(x－3)＞0，解得x＜1或x＞3，令f′(x)＜0，即(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3，所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，則當x＝1時，函數(shù)f(x)取得極大值f(1)＝4，當x＝3時，函數(shù)f(x)取得極小值f(3)＝0，要使得方程x3－6x2＋9x＋m＝0恰有三個不等的實根，即函數(shù)y＝f(x)與y＝－m的圖象有三個不同的交點，所以0＜－m＜4，解得－4＜m＜0，即實數(shù)m的取值范圍是(－4，0)．]243題號14．在區(qū)間(0，π)上，sinx與x的大小關系是________．sinx＜x

[構(gòu)造函數(shù)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)，則f′(x)＝cosx－1＜0，故函數(shù)f(x)在(0，π)上單調(diào)遞減，所以f(x)＜f(0)＝0，故sinx＜x.]sinx＜x1．知識鏈：(1)導數(shù)在實際問題中的應用．(2)研究求函數(shù)零點的方法．(3)利用導數(shù)證明不等式．2．方法鏈：轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法．3．警示牌：不能正確分析函數(shù)圖象的變化趨勢，從而不能正確得到函數(shù)零點的個數(shù)．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．用導數(shù)解決優(yōu)化問題的實質(zhì)是什么？[提示]

生活中常常會遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，用導數(shù)解決這些優(yōu)化問題的實質(zhì)是求函數(shù)的最值．2．用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟是什么？[提示]

①審題：理解文字表達的題意，分析實際問題中各量之間的關系．②建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系．③解模：把數(shù)學問題劃歸為求最值問題．ⅰ.求函數(shù)的導數(shù)，解導數(shù)值為0的方程；ⅱ.比較函數(shù)在區(qū)間端點和使導數(shù)值為0的點處的函數(shù)值的大小，即得最大(小)值．④寫出答案．注意：在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題時，要注意所設變量的取值范圍．3．用導數(shù)解決實際問題中的最值問題應注意哪些事項？[提示]

①要注意考慮實際問題的意義，不符合題意的值應舍去．②在實際問題中，有時會遇到區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′(x)＝0的情形，如果函數(shù)在該點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這是最大(小)值．③要注意問題中涉及的變量關系用函數(shù)式表示，以及確定函數(shù)關系式中自變量的取值范圍．