2024-2025學(xué)年陜西省渭南市高三上冊學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省渭南市高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)檢測試卷考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號.回答非選擇題時，將寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先求集合的補(bǔ)集解一元二次不等式再應(yīng)用集合的交集計(jì)算即可.【詳解】由題意可得．故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．3.設(shè)，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以，故，又函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以．故選：A.4.記無窮等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．設(shè)甲：且；乙：有最小值，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【正確答案】A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件與必要條件的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，數(shù)列存在前項(xiàng)小于，從第項(xiàng)開始不小于，此時有最小值，所以甲是乙的充分條件．又當(dāng)時，的最小值為，所以甲不是乙的必要條件．綜上，甲是乙的充分條件不必要條件.故選：A5.已知且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用和角公式先把的分子、分母展開，再弦化切，代入已知條件即可.【詳解】因?yàn)椋蔬x：C6.已知向量滿足，且與的夾角為，則（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)條件計(jì)算出以及，結(jié)合夾角余弦公式求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選：D．7.已知函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由已知得，設(shè)，分，，時，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)即可得結(jié)論.【詳解】由得．令．當(dāng)時，與的大致圖象如圖（1）所示，由于兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于直線對稱，此時如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)的個數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，不可能只有一個；當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，與的大致圖象如圖（2）所示，要使兩個函數(shù)圖象只有一個交點(diǎn)，則有，即，則．故選：C.8.已知四面體ABCD的頂點(diǎn)均在半徑為3的球面上，若，則四面體ABCD體積的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)為AB的中點(diǎn)，為CD的中點(diǎn)，為四面體ABCD外接球的球心，通過，同樣利用進(jìn)行放縮后可得最大值．【詳解】如圖，設(shè)為AB的中點(diǎn)，為CD的中點(diǎn)，為四面體ABCD外接球的球心，因?yàn)?，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)AB與CD垂直，且均與EF垂直時取等號．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知為空間內(nèi)的一條直線，為空間內(nèi)兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)線面及面面位置關(guān)系分別判斷A,D,根據(jù)面面垂直判定定理及面面平行定義判斷B,C.【詳解】對于A，若，則可能或與相交，故A錯誤；對于B，根據(jù)面面垂直的判定定理可知B正確；對于C，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知C正確；對于D，若，則可能，或與相交且成“任意”的角，故D錯誤．故選：BC.10.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】BCD【分析】利用基本不等式逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】對于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，故A錯誤；對于B，由，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C正確；對于D，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確．故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（）A. B.是偶函數(shù) C.以4為周期 D.【正確答案】ABD【分析】令，可判斷A；令，可判斷B；由A知，分析可得，即可判斷C；分析易得，進(jìn)而結(jié)合周期求解即可判斷D.【詳解】由題意，，對于A，令，得，則，令，得，則，所以，故A正確；對于B，令，得，得，所以是偶函數(shù)，故B正確；對于C，由A知，，則，所以，則，所以函數(shù)以6為周期，故C錯誤；對于D，，，則，又，所以，故D正確．故選：ABD.方法點(diǎn)睛：對于抽象函數(shù)問題，常常是進(jìn)行適當(dāng)賦值，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等知識進(jìn)行解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知是奇函數(shù)，則的值為______．【正確答案】4【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，由恒成立，求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以恒成立，即，所以.故413.已知函數(shù)，若，且在區(qū)間上恰有兩個極值點(diǎn)，則______．【正確答案】【分析】先根據(jù)條件確定函數(shù)周期，進(jìn)而確定的值，再求對應(yīng)的函數(shù)值.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)樵趨^(qū)間上恰有兩個極值點(diǎn)，且，所以的最小正周期，即，所以．故14.對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，稱為數(shù)列的階差分?jǐn)?shù)列，其中．已知數(shù)列bn滿足，且為bn的二階差分?jǐn)?shù)列，則數(shù)列bn的前項(xiàng)和______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意得到，變形得到是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，從而求出，利用錯位相減法求和，得到答案.【詳解】因?yàn)闉閎n的二階差分?jǐn)?shù)列，即，由，故，可知，即，得，所以，又，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，，所以①，得②，得，故．故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．（1）求；（2）求在區(qū)間上的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)點(diǎn)處的切線與直線平行得出求參；（2）先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而比較端點(diǎn)函數(shù)值即可求出最大值.小問1詳解】由題意得．由點(diǎn)處的切線與直線平行知，即，所以．【小問2詳解】由（1）知．當(dāng)時，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，在單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上的最大值為和中的較大者．因?yàn)?，所以，即，故在區(qū)間上的最大值為．16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求；（2）如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，且，證明：．【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，并結(jié)合余弦定理即可求得答案；（2）設(shè),在中應(yīng)用余弦定理得或，再結(jié)合（1）及大角對大邊即可得，進(jìn)而證明.【小問1詳解】解：，∴由正弦定理得，整理得．∴由余弦定理得，又．【小問2詳解】設(shè)．在中，由余弦定理可得，，整理得，即：，解得：或，由題易知舍去，下證即可得證明.在中，，即．∴結(jié)合（1）有，故，即．證畢.17.如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，平面平面，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從再由線面垂直的定義可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得直線的方向向量及平面法向量，即可得所求.【小問1詳解】平面平面，平面平面，平面，平面，又平面．【小問2詳解】如圖，過作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)．由（1）得平面平面，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由條件可得，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以為平面的一個法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．18.已知是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，為等比數(shù)列，，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1），（2）（3）【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出、的值，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后對分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得的表達(dá)式；（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析數(shù)列的單調(diào)性，可求出數(shù)列最大項(xiàng)的值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，解得，所以?設(shè)的公比為，因?yàn)?，，解得，所以?【小問2詳解】因，當(dāng)為偶數(shù)時，．當(dāng)為奇數(shù)時，．所以，.【小問3詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以，數(shù)列的最大項(xiàng)為，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，，即?shí)數(shù)的取值范圍為．19.帕德逼近是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)現(xiàn)的一種用有理函數(shù)逼近任意函數(shù)的方法．帕德逼近有“階”的概念，如果分子是次多項(xiàng)式，分母是次多項(xiàng)式，那么得到的就是階的帕德逼近，記作．一般地，函數(shù)在處的階帕德逼近定義為：，且滿足，．注：．已知函數(shù)在處的階帕德逼近為．（1）求的解析式；（2）當(dāng)時，比較與大小；（3）證明：當(dāng)時，．【正確答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意知，然后由可求出，，，從而可求出；（2）根據(jù)題意設(shè)，確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小，從而可得當(dāng)時，與的大??；（3）給不等式兩邊取對數(shù)后，轉(zhuǎn)化為證，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，再次轉(zhuǎn)化為證，然后利用（2）的結(jié)論證明即可．【小問1詳解】由題意知，，即解得所以．【小問2詳解】設(shè)，則．記，則．當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時，，所以，僅當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減．又因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．即當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，．【小問3詳解】證明：要證當(dāng)時，，需證