廣西壯族自治區(qū)普通高中2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

廣西壯族自治區(qū)普通高中2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)，于不同的兩點(diǎn)，若，，則（）A．1 B． C．2 D．32．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且對(duì)任意，，都有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．如圖，在中，，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，則（）A．2 B．3 C．-2 D．-35．若x，y滿(mǎn)足約束條件則z=的取值范圍為（）A．[] B．[，3] C．[，2] D．[，2]6．設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,拋物線(xiàn)C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A． B． C． D．7．已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)足（且），若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．9．正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線(xiàn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有12．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于M點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線(xiàn)C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，則______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，若圓上有且僅有一對(duì)點(diǎn)，使得的面積是的面積的2倍，則的值為_(kāi)______.15．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組，則的最小值為_(kāi)_____.16．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形中，，，，沿對(duì)角線(xiàn)將翻折成，使得.（1）證明：；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）若，解關(guān)于的不等式；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.20．（12分）在邊長(zhǎng)為的正方形，分別為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)沿折疊，使三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐.（1）判別與平面的位置關(guān)系，并給出證明；（2）求多面體的體積.21．（12分）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)，的交點(diǎn)分別為、（、異于原點(diǎn)），當(dāng)斜率時(shí)，求的最小值.22．（10分）已知函數(shù)（1）已知直線(xiàn)：，：.若直線(xiàn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)在處的切線(xiàn)與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，求證：①；②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

連接AO，因?yàn)镺為BC中點(diǎn)，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點(diǎn)共線(xiàn)可知，其表達(dá)式中的系數(shù)和，即可求出的值.【詳解】連接AO，由O為BC中點(diǎn)可得，，、、三點(diǎn)共線(xiàn)，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，由三點(diǎn)共線(xiàn)求參數(shù)的問(wèn)題，熟記向量的共線(xiàn)定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)且在上為減函數(shù)，則不等式等價(jià)于，解得的取值范圍，即可得答案.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閷?duì)任意，，都有，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得：.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.3、C【解析】

由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到（1﹣m），從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于t的方程，求出t的值.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)求出再根據(jù)也在直線(xiàn)上，求出b的值，即得解.【詳解】因?yàn)?，所以所以，又也在直線(xiàn)上，所以，解得所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、D【解析】

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖，目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線(xiàn)斜率的倒數(shù)，由圖可知，直線(xiàn)的斜率最小，直線(xiàn)的斜率最大，由可得，由可得，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了非線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由圓過(guò)原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，，得，從而直線(xiàn)傾斜角為，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線(xiàn)方程得，，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)與圓相交問(wèn)題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題可解，如果僅從方程組角度研究?jī)汕€(xiàn)交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒(méi)法求解．7、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式，進(jìn)而求出，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題.8、D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.9、C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計(jì)算長(zhǎng)度，設(shè)球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.10、D【解析】

利用拋物線(xiàn)的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線(xiàn)方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.11、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說(shuō)法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說(shuō)法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說(shuō)法不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

設(shè)，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，M所在直線(xiàn)為，不妨設(shè)，∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．14、【解析】

寫(xiě)出所在直線(xiàn)方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離，結(jié)合題意可得關(guān)于的等式，求解得答案．【詳解】解：直線(xiàn)的方程為，即．圓的圓心到直線(xiàn)的距離，由的面積是的面積的2倍的點(diǎn)，有且僅有一對(duì)，可得點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的2倍，可得過(guò)圓的圓心，如圖：由，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．15、5【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求動(dòng)直線(xiàn)縱截距的最值，即可求解【詳解】畫(huà)出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影區(qū)域所示，令，則.分析知，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，且.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

先由三視圖在長(zhǎng)方體中將其還原成直觀(guān)圖，再利用球的直徑是長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖所示長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以三棱錐外接球半徑為，故所求外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積，考查學(xué)生空間想象能力以及基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)證明；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連.可證得，，于是可得平面，進(jìn)而可得結(jié)論成立．（2）運(yùn)用幾何法或向量法求解可得所求角的正弦值．【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連.∵，∴．又，∴.在中，，∴．又，∴平面，又平面，∴.（2）解法1：取的中點(diǎn)，連結(jié)，∵，∴,又，∴．又由題意得為等邊三角形，∴，∵，∴平面．作，則有平面，∴就是直線(xiàn)與平面所成的角．設(shè)，則，在等邊中，．又在中，，故．在中，由余弦定理得，∴，∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．解法2：由題意可得，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則在直角三角形中，可得，作于，則有平面幾何知識(shí)可得，∴．又可得，.∴,．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，則得．又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則．所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】利用向量法求解直線(xiàn)和平面所成角時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)是恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，確定斜線(xiàn)的方向向量和平面的法向量．解題時(shí)通過(guò)平面的法向量和直線(xiàn)的方向向量來(lái)求，即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線(xiàn)與平面所成的角．求解時(shí)注意向量的夾角與線(xiàn)面角間的關(guān)系．18、（1）（2）【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得不等式的解集.（2）對(duì)分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由此可知，的解集為（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當(dāng)時(shí)，，且，不恒成立，不符合題意.當(dāng)時(shí)，，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成立，不符合題意.綜上，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查根據(jù)絕對(duì)值不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、（1）或；（2）或.【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析：（1）等價(jià)于或或，解得：或.故不等式的解集為或.（2）因?yàn)椋核?，由題意得：，解得或.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．20、（1）平行，證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）由題意及圖形的翻折規(guī)律可知應(yīng)是的一條中位線(xiàn)，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可求證；（2）利用條件及線(xiàn)面垂直的判定定理可知，，則平面，在利用錐體的體積公式即可．【詳解】（1）證明：因翻折后、、重合，∴應(yīng)是的一條中位線(xiàn)，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：∵，，∴面且，，，又，．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理，線(xiàn)面垂直的判定定理及錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解.(2)解法1：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線(xiàn)，的極坐標(biāo)方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，即，又因?yàn)榍€(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.解法2：設(shè)直線(xiàn)的