黃金卷04-【贏在高考黃金8卷】2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考Ⅱ卷專用）（含解析）

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考H卷專用）

黃金卷04

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設(shè)集合人=卜,2-1一2=（）},8=卜了-3/+2%=0},若集合P=則集合P

的真子集的個數(shù)為（）.

A.63個B.64個C.31個D.32個

2.已知mb,ceR,則“。的必要不充分條件可以是下列的選項（）

II

<2

---<

A.a人B.D.

3.已知邊長為2的菱形A8CO中，NDA3=§,點E是BC上一點,滿足8E=3EC，則AE-BO=（）

4

A.B.C.D.-3

23

4.五岳是中國漢文化中五大名山的總稱，分別為東岳泰山、西岳華山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.

某旅游博主為領(lǐng)略五岳之美，決定用兩個月的時間游覽完五岳，目每個月只游覽五岳中的兩大名山或三大

名山（五岳只游覽一次），則恰好在同一個月游覽華山和恒山的概率為（）

_1_23

A.B.C.D.

5255

5.己知?！耆?兀卜且3cos2a-sina=2,則（）

A.sinf--al=—

B.

12J34

C.cos(n-a)=-D.tan(7c-a)=正

4

6.函數(shù)），=切'（刈是定義在R上的奇函數(shù)，且,〃外在區(qū)間KX+8）上單調(diào)遞增，若關(guān)于實數(shù)/的不等式

/（Iog3r）+/log.r>2/（2）恒成立，則，的取值范圍是（）

01)(9,+8)

A.0,-L(3,+a))B.C.(9,-KO)D.

\3)°5

7.已知拋物線。：9=2〃工（〃>0）的焦點為R準線為/,A,B為。上兩點，且均在第一象限，過4,4作

/的垂線，垂足分別為。，E.若=sinZDFF=1,則△AF8的外接圓面積為（）.

,16幾15兀147t

A.-----B-BC.-----

1515。?管

8.已知函數(shù)f(x)=B,g(x)=-1,若/(xJ=g(w)=?/>0),則—7的最大值為()

x&e

B.1C.-D.-

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多用符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.設(shè)函數(shù)/(x)=sin的+若在［0,可有且僅有5個極值點，則（）

A./（x）在（0㈤有且僅有3個極大值點B./（力在（0,兀）有且僅有4個零點

4353

C.。的取值范圍是—D./(x)在0.4上單調(diào)遞增

\zu/

10.已知一元二次不等式a^+公+c>。的解集為〃，則下列說法正確的是（）

a<0

A.不等式解集M=0的充要條件為

從一4a40

B.若%=卒=幺，則關(guān)于x的不等式〃*+〃尸9>0的解集也為“

abc

C.若“=何一2c<3},則關(guān)于x的不等式I一辰+av0的解集是或

D.若"=［小工-二］,且〃<〃，則竺竺竺的最小值為8

I2ab-a

ii.如圖，在正方體ABC。-A4GA中,/必=正，/>為線段6c上的動點，則下列說法正確的是（）

A.P

B.〃平面/WQ

C.三棱錐P-ACR的體積為定值上

D.AP+PC的最小值為G+l

12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(l)=l且/(x+y)+f(x-y)=/(x)〃y),則()

A./(0)=2B./(2)=0

C./(x)為偶函數(shù)D./(K)為周期函數(shù)

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知之是復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)，則(i+zXi+Z)=4+4i,則|z|=

14.已知圓C的圓心位于第三象限且在直線)，=2x+l上，若圓C與兩個坐標軸都相切，則圓C的標準方程

是.

15.設(shè)函數(shù)=3x,若/(x)為奇函數(shù)，則曲線產(chǎn).但過點(加,-6)的切線方程為.

16.已知雙曲線。。-￡=1(。>0,，)>0)的離心率為2,左、右焦點分別為小K，且"到漸近線的距離為3,

過號的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點,△贈人和△如用的內(nèi)心分別為"、N,則|MN|的最小值

為.

⑴求直線與平面AEG所成角的正弦值;

(2)證明：直線EC〃平面AEG并且求出直線尸C到平面AEG的距離.

19.在48c中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若(a+O)(sinA-sin8)=c(sin8+sinC).

(1)求角A的大小；

⑵若。為4C上一點，ZBAD=^ZBAC,4)=3,求4〃+c的最小值.

20.某商場擬在周末進行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該

游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直

至io輪結(jié)束.已知該游戲第一次獲勝的概率是:，若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是:，若上一次失

敗則下一次成功的概率是日.記消費者甲第〃次獲勝的概率為H，數(shù)列｛〃“｝的前〃項和￡”“二7；，且(的

J1=1

實際意義為前〃次游戲中平均獲勝的次數(shù).

⑴求消費者甲第2次獲勝的概率P2;

(2)證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎.

21.已知橢圓C的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在〉軸上，離心率e=；,且過點P(3.2).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線/與橢圓交于AB兩點，且直線的傾斜角互補，判斷直線44的斜率是否為定值？若是，求

出該定值：若不是，請說明理由.

22.已知函數(shù)/（，t）=e'T-alnx.

⑴當(dāng)a=T時,求曲線），=/（“在（1J⑴）處的切線方程；

（2）當(dāng)。＞0,若不等式/（力？。+，山〃恒成立，求。的取值范圍.

【贏在高考?黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考n卷專用）

黃金卷04

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.設(shè)集合4-2=。｝,8=卜,一3/+21=0｝,若集合2=｛（內(nèi)）除人），￡8且X工），｝,則集合尸

的真子集的個數(shù)為（）.

A.63個B.64個C.31個D.32個

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到夕={（-1,。）,（-覃）,（-1,2）,（2,0）,（2,1）},然后根據(jù)集合產(chǎn)中元素的個數(shù)求真子集的個

數(shù)即可.

【詳解】A={-L2},B={0,l,2},所以P={（T,O）,（T,1）,（T,2）00）01）},

因為集合P中有5個元素，所以真子集的個數(shù)為25-1=31個.

故選：C.

2.已知a,b,ceR,則的必要不充分條件可以是下列的選項（）

A.-<7B.ac<beC.ac2<be2D.a2<b2

ab

【答案】C

【分析】利用不等式性質(zhì)進行推導(dǎo)，結(jié)合取值驗證可得.

【詳解】A選項：取。=2的=3,滿足。<"但（>!，所以不是。?〃的必要條件，A錯誤；

23ab

B選項：若aWb,c<0,則aeNbe,所以ac不是aW/?的必要條件，B錯誤；

C選項：若aWb,c=0,則若exO,則/>0,則有ac2K灰工，所以，ac。是a的必要

條件；

取。=0,。=-2,6=-3,顯然滿足420慶2,但。>〃，所以這2?女2不是。4〃的充分條件.

綜上，如2式歷2是。的必要不充分條件，c正確；

D選項：^c=0,a=-2,b=-3,顯然滿足片工"，但。>力，所以"w"不是〃4人的充分條件，口錯誤.

故選：C

3.已知邊長為2的菱形ABC。中，ND4B=1,點E是8c上一點，滿足8E=3EC，則4E.BQ=（）

I14

A.-B.——C.——D.-3

223

【答案】B

【分析［建立平面直角坐標系，得到點的坐標，根據(jù)AE=3EC求出E,從而利用平面向量數(shù)量積

公式求出答案.

【詳解】以A為坐標原點，AB所在直線為無軸，垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系,

則D(LG),8(2,0),C(3,6),4(0,0),設(shè)￡：(〃?,〃),

則BE=(m-2,n),EC=(3-也G-，

II

m--

m-2=3(3-777)4

因為5E=3EC，所以＜〃=3(6向，解得‘

30'

it=-----

4

,,六I1

故EV,

4

119

則AEBO------1—=

442

故選：B

4.五岳是中國漢文化中五大名山的總稱，分別為東岳泰山、西岳華山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.

某旅游博主為領(lǐng)略五岳之美，決定用兩個月的時間游覽完五岳，且每個月只游覽五岳中的兩大名山或三大

名III（五岳只游覽一次），則恰好在同一個月游覽華山和恒山的概率為（）

【答案】C

【分析】結(jié)合組合計數(shù)知識，由分類與分步計數(shù)原理分別計算樣本空間與事件包含的樣本點個數(shù)，再應(yīng)用

古典概型概率公式求解即可.

【詳解】由題意，確定一個月的游覽方案，則另一個月游覽其余名山即可.

該旅游博主游覽五岳可分兩類方法：

第一類，第一個月游覽兩大名山，從五大名山中任選兩大名山，有C；種方法；

第二類，第一個月游覽三大名山，從五大名山中任選三大名山，有C；種方法；

由分類計數(shù)原理可得，共有C；+C；=2()種方法.

設(shè)X=”該旅游博主恰好在同一個月游覽華山和恒山”，可分兩步完成這件事：

第一步，從兩個月中選一個月游覽華山和恒山，有C；=2種方法；

第二步，確定游覽華山和恒山的這個月的游覽方案，分為兩類：

若該月只游覽兩大名山，則只有1種方法；

若該月瀏覽三大名山，則再從其余三大山中任取一大山游覽，有C；種方法，

則第二步共有1+C；=4種方法；

由分步計數(shù)原理，則完成事件A共有2x4=8種方法.

Q7

由占典概型概率公式得P(A)=4=￡

故選:C.

5.已知?，兀)，且3cos2tz-sina=2,貝！J()

A.sin—a=——B.cos——a=—

12）312）4

271

C.cos（n-a）=—D.tan(n-?)=—

【答案】D

【分析】根據(jù)倍角公式可得sina=g,進而可得cosa,tana,利用誘導(dǎo)公式逐項分析判斷.

【詳解】因為3cos2z-sina=2,可得Gsin?a+sina-l=0,解得sina=g或0山。=-3,

又因為則sina=2,可得cosa=->/l-sin，a=-^^~,tana=""".=一?

12J33cosa4

對于選項A：sin（；-a）=cosa=,故A錯誤；

「71、1

對于選項B：cosy-a=sina=-,故B錯誤；

對于選項C：cos（兀-a）=-cosa故C錯誤；

對于選項D：tan（n-a）=-tana=?故D正確；

故選：D.

6.函數(shù)），=MXx）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（x）在區(qū)間［0，+8）上單調(diào)遞增，若關(guān)于實數(shù)f的不等式

/\

/（log3r）+/log,/>2/（2）恒成立，則，的取值范圍是（）

k3j

A.（0.；）u（3,+oo）B.（（）.；）C.（9,a）D.（0,1）u（9,+oo）

【答案】D

【分析】首先得出/（x）是偶函數(shù),把不等式化為/（10g3，）>/（2）,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，得到|log/|>2,

求解不等式即可.

【詳解】因為函數(shù)y=4"）是定義在R上的奇函數(shù),

即=當(dāng)工工()時/(-x)=/(x),又/(0)有意義,

所以/(幻是定義域R上的偶函數(shù)，

又因為/(x)在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以八1叫。+/(log.0=/(log3f)+/(-log3/)=2/(log30>2/(2)>

3

所以/(log3”〃2),ep/(|log3/|)>/(2),所以|叫3人2,

則log/>2或log3/<-2,解得f>9或0<，<",

所以f的取值范圍是卜.口(9,共).

故選：D.

7.已知拋物線C：y2=2〃M〃>0)的焦點為R準線為/,A,B為。上兩點，且均在第一象限，過A,8作

/的垂線，垂足分別為。，￡若［八8|=1,sinZDFE=1,則△AF8的外接圓面積為().

16兀_15兀_14兀_157r

A.——B.——C.——D.——

15161514

【答案】A

【分析】由拋物線的定義及平行線的性質(zhì)可得NA/B=2NQ比，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公

式可得sinNAF8=Y6,進而由正弦定理可求得結(jié)果.

8

【詳解】如圖所示，

由拋物線的定義可知|"1=|陽，|防|=|明,

所以ZBFE=NBEF=NEFO,ZAFD=ZADF=Z.DFO,

所以ZDFE=4EFO-/DFO=/BFE-ZAFD=/BAF-Z.DFE,故ZAFB=2/DFE，

易知ND莊為銳角，且由sin/DFE=1可知COSNQFE=49,

44

所以sin/AFB=2sinZDFEcosZDFE=—.

8

設(shè)Z\A陽的外接圓半徑為R,由E弦定理可知一^回一=2R,

sinZAFB

4

又1ABl=1,所以R=［不，

所以有的外接圓面積為兀心=詈.

故選:A.

8.已知函數(shù)〃x）=.Mg（x）=-蛆，若/&）=g（再）=?>0）,則3的最大值為（）

Xx“

A.eB.1C.-D.—

ee-

【答案】C

ln±/t

【分析］根據(jù)題意，由條件可得旦=」_=，，構(gòu)造函數(shù)力（。==">。，求導(dǎo)即可得到其最大值，從而

re

A2ex2e'c'

得到結(jié)果.

【詳解】由"A)=g(w)=f>0,得書4=-g=f,—In—=ln—e'^.

X

2X2X2X2

因為〃司=求，，則r（x）=（l+x）e，，當(dāng)x>0時，/4、）>0,所以〃切在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以王=人!，

x

則上」=Hln=_L?令〃。）=二，/>0,則〃（/）==，所以/?（，）在（。,1）上單調(diào)遞增，在。,S）上單調(diào)遞減

re

,v2e~審一e，e

W（l）=］

c

故選：c

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.設(shè)函數(shù)/（x）=sin（8+1）?>0）,若“X）在［（）,兀］有且僅有5個極值點，則（）

A.f（x）在（0,由有且僅有3個極大值點B.〃力在（0㈤有且僅有4個零點

C.切的取值范圍是毒物D.小）在上單調(diào)遞增

【答案】AD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的極值點（也即最值點）的性質(zhì)，求出極值點，然后根據(jù)條件，結(jié)合圖像列出關(guān)于出

的不等式組，解出口的范圍，然后再逐一判斷每個選項.

【詳解】作出/（冷的草圖如下：

/（%）的極值點滿足的+F=E+：,keZ,即一行+也，

52K=

CO

因為“力在［0,可有且僅有5個極值點，所以&=0/23,4,

37cA37r《42qa

則需記+4兀4兀,且記+3兀之兀，解得蕓W指，故C錯誤；

COco

因為〃0）=2>0,則由圖可知k=o時，再是在（o,兀）上的第一個極大值點,

51（）69

根據(jù)正弦型三角函數(shù)的圖像規(guī)律可知，極大值點與極小值點總是交替出現(xiàn)的，

攵=2次=4時是/（力的兩個極大值點，另外兩個為極小值點，故A正確;

如圖可知，在A點之前已有4個零點，%=限也可能落在C點的右側(cè)，

從而使〃力在（0,勸上有5個零點，故B錯誤；

當(dāng)/=當(dāng)時，"X）的周期最小，此時第一個極大值點為％=黑=普>￡,

10106y5320

而“X）在（0,引上單調(diào)遞增，故/（可在（0啖）上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：AD

10.已知一元二次不等式以2+bx+c>0的解集為M，則下列說法正確的是（）

67<0

A.不等式解集M=0的充要條件為/，,八

［b--4ac<0

B.若幺=￥=幺，則關(guān)于1的不等式的解集也為加

abc

C.若M={M—2CV3},則關(guān)于人■的不等式--法+a<0的解集是卜或

D.若“=［乂］=-二）,且”b,則竺竺竺的最小值為8

I2ab-a

【答案】AD

【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解方法以及一元二次函數(shù)的圖象，對選項逐一分析，求得結(jié)果.

【詳解】解：選項A：不等式a/+法+°>0解集知=0,

等價于?元二次函數(shù)），=〃2+灰+。的圖象沒有在犬軸上方的部分，故

67<0

等價于%2〃/八，所以選項A正確；

Z?-Aac<0

選項B：取值。=1力=-2,。=-3,q=-14=2,。=3,此時能滿足幺=4=々，

abc

而2x-3>0的解集為{x|x<T,或X>3},-/+21+3>0的解集為{x|-l<x<3},故B選項錯誤;

選項C：因為?元二次不等式加+bx+c>0的解集為例=何-2。<3},

所以得至ij-2與3是cue2+Z?x+c=0的根且a<0，

-2+3，b=-a

故有”,解得，c=-6a,

rcC

-2x3=-a<0

a

所以不等式cx2-bx+a<0即為-^ax1+公+av0，

等價于不等式_.r-l<0的解集例=所以選項C錯誤;

J乙

Abk22

選項D：因為M=M娼，所以-4g(),即4c=-,

令人-a=f(/>。),

所以“+?+￡_a2+2ab+b2_+2a(z+?)+(/+a)2_4a2+4at+t2

b-aa(b-a)atai

——4。+44+—/>、x-+4=8,當(dāng)且僅當(dāng)超=,即〃=3a取“="，選項D正確.

faata

故選：AD.

11.如圖，在正方體A8CQ-AMGR中，例=Q,P為線段BC」的動點，則下列說法正確的是（）

A.瓦。1A尸

B.OP〃平面4片。

C.三棱錐P-ACR的體積為定值收

D.AP+PC的最小值為6+1

【答案】ABD

【分析】對于A,由線面垂直的判定定理證明用。，平面A3G即可;對于B,根據(jù)面面平行的判定定理證明平

面BOG//平面A&A即可;對于C,根據(jù)線面平行將點P到平面ACA的距離等于點8到平面AC。的距離，再

利用等體積法求解即可;對于D,將平面A8G和平面8CG沿直線8G展開為?個平面,利用余弦定理求解即

可判斷.

【詳解】對于A,連接旦C,如圖:

CD平面BCC,修，BQu平面BCQB},

又BG_L4cAe「CO=C/Cu平面4CQ,C0U平面4C。,

.?.31_L平面/笫,

.qou平面耳。心

；.BC1上B1D,

連接用人,同理可得A/JL瓦。，

ABcBG=8,ABu平面ABG,BGu平面A8C1,

耳。1平面486,

八/匚平面48[,

.?.5QJ.AP,故A正確;

對于B,連接BDCQ,如圖:

.ABHC、D\,AB=C\D\,

四邊形ABGA為平行四邊形，

:.ADJiBC\,

BC,<=平面BDC),AA<z平面BDC,,

AADJI平面6〃C；,

同理四邊形AOG4為平行四邊形.

ABJIDC、,

Z)Cu平面BDC、,AB.cz平面BDC、,

/,微//平面8￡>G,

AB】cAR=A,AB{u平面AB。,AD{u平面AB{

二.平面BDG〃平面A8Q,

OPu平面8DG,

???。尸〃平面ABQI，故B正確;

對于C,如圖:

由B知A。//BC],

QAD.u平面ACD},Bq(Z平面ACD「

.??垢〃平面人。。…

???點尸到平面ACR的距離等于點8到平面ACR的距離，

「?憶皿=匕"叫皿=：］x&x夜x/=4，故C錯誤;

對卜D,將半血A8C；和平囿力CC；沿直線6a展升為一個半囿,如圖:

“(Q>(⑸=2,

A?=AyB=AG

.?.NAGS=60,

,8S/AGC=8S(6O+45)=?4一冬*也盧

AC2=AG2+CC,2-2-AG-CC,-cosZ4C,C=4+2-2x2x72x^-^—=4+25/3,

.,.T4)C=\/3+1,

即AP+PC的最小值為G+l,故D正確.

故選:ABD.

12.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/⑴=1且/(x+)，)+/(x-y)=/(x)/(y),則()

A./(O)=2B./(2)=0

C./(力為偶函數(shù)D.7(可為周期函數(shù)

【答案】ACD

【分析】由條件等式通過取特殊值求/(0),〃2)判斷A,B；再推理分析函數(shù)的奇偶性、周期性判斷CD.

【詳解】依題意，x,yeR,f(x￥y)+f(x-y)=f(<x)f(y),

取工=l,y=0,W/(l)+/(l)=/(l)/(0),又=則/(。)=2,A正確：

取x=l,y=l,得/(2)+/(0)=〃1)/⑴，則〃2)=-1,B錯誤；

取工=0,”R,得〃y)+/(-y)=f(O)〃y),而“0)=2,即/(—「)=/()，)，

于是xeR,有F(T)=〃X),則"")為偶函數(shù),C正確；

即xuR,y=l,得l)=/(x)/(l),即l)=/(x),

W/(x+2)+/(x)=/(x+l),于是f(++2)=-f(xT),即有f(x+3)=-*r),

因此/(x+6)=-/(x+3)="r),所以/(力為周期函數(shù)，D正確.

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不

斷變換求解即可.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知Z是復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)，則(i+z^i+可=4+4i,則|z卜

【答案】x/5

【分析】設(shè)2="+力i,用復(fù)數(shù)的運算，算得/+/=5,再計算目即可.

【詳解】設(shè)2=。+撫，則(1+2)。+4=-1+。+三》+25=/+6一]+25=4+41,

:.(r+b2=5,則同=石.

故答案為：\[5.

14.已知圓C的圓心位于第三象限且在直線)=2%+1上，若圓C與兩個坐標軸都相切，則圓C的標準方程

是.

【答案】(x+l>+(y+l)2=l

【分析】根據(jù)幾何性質(zhì)求出圓心的坐標和半徑，即可求出圓C的標準方程.

【詳解】由題意，在圓。中，圓心位于第三象限且在直線y=2/+l上，

設(shè)圓心為C(x,2x+l)(xv0),半徑為r,

???圓。與兩個坐標軸都相切，

，圓心到兩坐標軸的距離相等，r=-(2x+l),解得：x=-l,

/.C(-l,-l),r=-x=l,

，圓C的標準方程為(*+1)2+(.V+1)2=1.

故答案為：（x+l）2+（y+l）2=l.

15.設(shè)函數(shù)/（力=丁+S-l）cosx-3"，若/（.r）為奇函數(shù)，則曲線），=〃x）過點（紈-6）的切線方程為.

【答案】F=-3%和y=24x-54

【分析】由奇函數(shù)的概念求出。=1,再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出切線方程后將點坐標代入求解.

【詳解】因為/（工）=/+（4-l）C0SX-3工為奇函數(shù)，/（-X）=-/（X）,得4=1,

/（x）=x3-3x,/x）=3x2-3,

設(shè)切點（如為）,則切線方程為y-（X-3xo）=（3片一3）（x-x0）,

又切線過點（2,-6），代入得-6-（4-3%）=（34-3）（2-?。?/p>

解得％=0或%=3.當(dāng)％=0時，切點為（0,0）,切線方程為），=-3心

當(dāng)事=3時，切點為（3,18）,切線方程為y=24x-54.

故答案為：y=-3x和），=24x-54

16.已知雙曲線。:￡-[=1（。>0,60）的離心率為2,左、右焦點分別為E、占且”到漸近線的距離為3,

a~b~

過外的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點,人和的內(nèi)心分別為M、N,則|MN|的最小值

為?

【答案】2石

【分析】求出雙曲線的方程，根據(jù)八優(yōu)瑞與△所尼的內(nèi)心性質(zhì)得到關(guān)系式區(qū)制-|大用=2〃和點M,N的橫

坐標，設(shè)出直線A8的傾斜角，得到|MN|的表達式，即可求出|MN|的取值范圍，則得到其最小值.

22

【詳解】由題意，C:±2=l（a>0/>0）,

J知焦點到漸近線的距離為3,

由對稱性，不妨設(shè)焦點為漸近線y=2x,即尿-@=0,

a

則焦點"（3,0）到漸近線版-什=。的距離為-尸d、="=〃=3,

揚+/c

又離心率為2,

=2?解得a=也

■**c=>Jb2+a2=273，

???雙曲線的方程為。:三-二=1.

39

記的內(nèi)切圓在邊A。，4乃，勺切點分別為P.Q,R,

則歷，R橫坐標相等，且|AH=|A0,恒怩。=怩火|，

由|A制一|整|=勿,即|AP|+|P￡|-(|Ae|+|QK|)=2a,

^\PF]-\QF2\=2a,即區(qū)用一眼用=2a,

由雙曲線定義知點R雙曲線右支上，且在％軸上，則Ra,。），即內(nèi)心M的橫坐標為

同理內(nèi)心N的橫坐標也為。，故MN_LX軸.

設(shè)直線A3的傾斜角為。，則/0丹N=g,/MF2O=9G-g（。為坐標原點）,

在5N中,

00

cossin

|MN|=|MM+|RN|=(c—a)tan^90-g0(…>2=也,

+tan—V2

0

2sincos-,sin。sin。

22)

由于直線人4與雙曲線。的右支交于兩點,

且C的一條漸近線的斜率為2=6,傾斜角為60,

A60<<9<I20,BP—<sinZ7<l,

2

???MM的范圍是［26,4),

當(dāng)。=90時，即直線AB垂直于X軸時，取到最小值2G.

故答案為：26.

【點睛】雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓問題結(jié)論點睛：

雙曲線上一點與兩焦點若構(gòu)成三角形，則焦點三角形鳥的內(nèi)切圓與實軸相切于實軸頂點，當(dāng)P點在雙

曲線左支時，切點為左頂點，且當(dāng)。點在雙曲線右支時，切點為右頂點.

四、解答題；本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

17.己知數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，且生+q=10,&=16.

(1)求｛可｝的通項公式；

⑵數(shù)列也｝滿足“("cN)數(shù)列也｝的前〃項和為S“，求證：5“<4.

Jan,an+l12

【答案】⑴4=2〃-1

(2)證明見解析

【分析】(1)利用等差數(shù)列通項和求和公式可■構(gòu)造方程組求得aS,由此可得通項公式;

（2）由（1）可得"，采用裂項相消法可求得S“，進而分析得到結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛勺｝的公差為"，

\a2+a4=2a3=2q+4d=10_1

則;44x3,（Q〃，解得：）=0

|S4=4qH——d=4q+6d=16[d=2

atl=1+2（//-1）=2/z-l.

,n+[111

（2）由（1）得:“一3田（2“―1）⑵2+1）―4|_（2w-l）3n-（2/j+l）3n+,

I1I11I1I1

?\=-----------------------1---------------------1---------------------F…H-----------------------------------

4|_lx3,3x323x325x335x337x34（2/z-l）3n（2〃+1）3”"

41ili_______]

YE⑵+1）3用_|一丘_（8〃+4）32，

*-（8--n-+-4--）3-n-+-,>0，.,凡sj透__

18.已知正四棱柱ABC。-48CR中，AB=\,M=2,E為線段A片的中點，尸為線段AB的中點.

⑴求直線BBI與平面AEQ所成角的正弦值;

（2）證明：直線/C〃平面4EG并且求出直線FC到平面AEQ的距離.

【答案】（I）粵

⑵證明見解析‘直線小到平面皿的距離為蜉

【分析】（1）以2為坐標原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果;

（2）根據(jù)尸C.〃=0，由線面平行的向量證明可得結(jié)論；將所求距離轉(zhuǎn)化為點尸到平面4EG的距離，由點

面距離的向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】（1）以A為坐標原點，〃4〃0,。。正方向為工）'，2軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(1Q2),C；(0,1,0),4(1,1,0)，80,1,2),

AE=fo,p-2LAC,=(-),!,-2),B,B=(0,0,2),

設(shè)平面AEG的法向量〃=（占），,z）,

|AEn=—y-2z=0

則2-令，=4,解得：x=2z=l>z?=(2,4,1),

14cl=-x+y-2z=0

/\|80〃2721

'71B.Bn2x⑨-21

即直線網(wǎng)與平面A/q所成角的正弦值為粵.

(2)由(1)知：，:，2),C(0J,2),/.FC=f-l,|,0LM=fo,-1,O

FC/z=-lx2+—x4+0xl=0,pc±n，

又改平面AEG，」.FC〃平面AEG，

???直線尸。到平面AEG的距離即為點F到平面AEC,的距離，設(shè)該距離為d,

則d=邑”=4=半，即直線FC到平面AEG的距離為空空.

/1V212121

19.在A8C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,+/?)(sinA-sinB)=c(sinB+sinC).

(1)求角A的大??；

⑵若。為8c上一點，NBAD=g/BAC,AO=3,求助+c的最小值.

【答案】⑴A=§

(2)27

【分析】(1)利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；

(2)根據(jù)5八叱=5八初+5“/)求出力,。的關(guān)系，再利用基本不等式即可得解.

【詳解】(1)因為(a+~)(sinA-sin3)=c(sin3+sinC),

由正弦定理得g+3(a—〃)=cS+c),^a2-b2=bc+c2,

c2+b2-a2=-hc,

所以COSA="+￡—〃，

2bc2

又A?0,江所以A號；

(2)由=得NBAQ=NC4O=；NBAC=1,

因為SSBCuABDTuACD，

所以,bcsin空='c-3.sin工+，A-3.sin工，

232323

即〃c=3(c+h),—=-+-=1,

becb

所以4〃+f=(4〃+0(3+3]=15+些+主義15+2'些?主=27,

IcbJcbycb

當(dāng)且僅當(dāng)電=4,即c=2〃=9時等號成立，

cb

所以40+c的最小值為27.

20.某商場擬在周末進行促銷活助，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：該

游戲進行10輪，若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，并且游戲結(jié)束：否則鏤續(xù)游戲，直

至1()輪結(jié)束.已知該游戲第一次獲勝的概率是若上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是若上一次失

敗則下一次成功的概率是;.記消費者甲第〃次獲勝的概率為億，數(shù)列｛〃“｝的前〃項和￡〃“二4,且刀,的

Jr=1

’實際意義為前〃次游戲中平均獲勝的次數(shù).

⑴求消費者甲第2次獲勝的概率P2；

⑵證明：為等比數(shù)列；并估計要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲獎.

【答案】(1)4=看

(2)詳見解析

【分析】（1）應(yīng)用全概率公式計算可得出6;

⑵計算得出凡4一廠1"（九，4、,結(jié)合等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；再結(jié)合分組求和計算判斷最

少輪數(shù)即可.

I。11127

【詳解】⑴^=^x-+(l-/])x^=—x—+—x—=一

222312

I、2

414

7

4

4_1

k卞

Py6

4]|41rlY-1

???〃“一三為等比數(shù)列，且公比為一：；.?.p“—3=—'x

'6714V

、〃-1

114

幾=—X+—

14I6J7

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f=l，=|771+-

6

433

1-—n-----+—

“7496J749496

因為內(nèi)=一（、+5>0,7；單調(diào)遞增,

4311flY0十363

當(dāng)日為奇數(shù)時，1=〒一行+中,=4-—1+、6,<4,7；=