江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)：壓軸題提優(yōu)沖刺訓(xùn)練二

2021屆九年級數(shù)學(xué)

第二輪專題復(fù)習(xí)

專題1一線三等角/K型圖（垂直處理）

專題2特殊幾何圖形在坐標(biāo)系（函數(shù)圖像）中

專題3設(shè)點(diǎn)法解決反比例函數(shù)問題

專題4等腰三角形存在性問題

專題5直角三角形存在性問題

專題6特殊四邊形存在性問題

專題7相似、全等三角形存在性問題

專題8相切問題

專題9線段問題

專題10角度問題

專題11面積問題

第1頁

第2頁

專題六特殊四邊形存在性問題

坐標(biāo)系中特殊四邊形的存在性問題的解題策略：

1、平行四邊形的存在性：利用構(gòu)造全等或?qū)蔷€互相平分建立點(diǎn)的坐標(biāo)之間

的關(guān)系；

2、菱形的存在性：利用菱形的鄰邊相等的對稱性，轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在

性問題；

3、矩形的存在性：轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題。

【平行四邊形】

例1：如圖，已知拋物線y=十竽4與4軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)c,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,-3）,

點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M、N,使得以M、N、C、E

為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第3頁

變式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-gf+gx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)

A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的對稱軸。

（2）點(diǎn)D為線段BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接CD、BD,求四邊形COBD面積的最大值及此

時點(diǎn)D的坐標(biāo)。

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)N為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以B、

D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)：

備用圖

第4頁

【菱形】

例2:在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-八十4與x軸交丁點(diǎn)A,與j軸交丁點(diǎn)B,點(diǎn)C在直線

AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)D,使得以0、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形。

第5頁

變式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+4與X軸交于點(diǎn)A,與y軸交

于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，5A4此二矍，點(diǎn)P是線段CA上一動點(diǎn).

⑴求直線CB的解析式；

⑵連接BP,分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F,線段EF的垂直平分線交AC

于點(diǎn)F,連接BG,求BG的長；

(3汨是直線BC上一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)R,使以點(diǎn)0、B、H、R為頂點(diǎn)的四邊形是菱

形?若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第6頁

【矩形】

例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=o?一Zor-Sa（以＜0）與x軸交于A、B

兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過A點(diǎn)的直線/：丁=履+人與y軸交于點(diǎn)C,與拋物線的另一

個交點(diǎn)為D,且CD=4AC。

（1）直接寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線/的函數(shù)表達(dá)式（其中幺。用含。的代數(shù)式表示）；

（2）點(diǎn)E是直線/上方的拋物線上的一點(diǎn)，若△ACE的面積最大值為3,求。的值；

4

（3）設(shè)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成

為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由。

備用圖

第7頁

變式：如圖，直線y=-°x+3與3，軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿BA邊向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q以相同的速度從坐標(biāo)原點(diǎn)0出發(fā)沿0B

邊向終點(diǎn)B運(yùn)動。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為/秒。

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(2)設(shè)的面積為S,求S與運(yùn)動時間f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、P、Q、'為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？

若存在，求，的值，并直接寫出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第8頁

?隨堂練習(xí)

1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（4,0）、B（0,3）,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,相）,過點(diǎn)C作CE_LAB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸正半軸上的一動點(diǎn)，且滿足

OD=2OC,連接DE,以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA。

（1）如果平行四邊形DEFA為矩形，求加的值；

（2）如果平行四邊形DEFA為菱形，請直接寫出機(jī)的值。

第9頁

2、將拋物線G：>=-岳2+。沿X軸翻折，得到拋物線。2,如圖所示。

(1)請直接寫出拋物線的表達(dá)式;

(2)現(xiàn)將拋物線G向左平移加個單位長度，平移后得到新的拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交

點(diǎn)從左向右依次為A、B；將拋物線。2向右也平移機(jī)個單位長度，平移后得到新的拋物線的頂

點(diǎn)為N,與x軸的交點(diǎn)從左向右依次為D、Eo

①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時，求機(jī)的值。

②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請求出此時的

〃，的值；若不存在，請說明理由。

第10頁

3、如圖，拋物線丁=-/+"+。經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D

是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD。

(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，當(dāng)PE=PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作PFLr軸于點(diǎn)F,G為拋物線上一動點(diǎn)，M為x軸上一動點(diǎn),

N為直線PF上一動點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

第11頁

4、如圖’在平面直角坐標(biāo)系中‘直線/的解析式為：y=一m"+4'與”軸交于點(diǎn)C,直線,

上有一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6,點(diǎn)A是0C的中點(diǎn)。

(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在直線BC上有兩點(diǎn)P、Q,且PQ=4,使四邊形OAPQ的周長最小，求周長的最小值；

(3)直線AB與)，軸交于點(diǎn)H,將AOBH沿AB翻折得到AUBG,M為直線AB上一動點(diǎn)，N

為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的M、N,使得以H、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在,

直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第12頁

5、如圖，拋物線y=—與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)C,P為拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD_Lx軸于點(diǎn)D,交直線BC于點(diǎn)E。

(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，當(dāng)0D=4PE時，求四邊形POBE的面積。

(3)在(2)的條件下，若M為直線BC上一點(diǎn)，N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣

的點(diǎn)M和點(diǎn)N,使得以B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由。

第13頁

6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-x+h與坐標(biāo)軸交于C、D兩點(diǎn),

直線AB與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OC的長是方程/一3%+2=0的兩個根(OA

>00

(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

⑵直線AB與直線CD交于點(diǎn)E,若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)>=工(厚0)的圖象

x

的一個分支經(jīng)過點(diǎn)E,求2的值；

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)M在直線CD上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)B、E、M、N為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第14頁

專題七相似、全等三角形存在性問題

問題1（1）熟練掌握相似三角形的判定方法：

①“SAS”型（分清對應(yīng)邊）②“AA”型

（2）如何找對應(yīng)角：

①公共角②平行出等角③垂直出等角（同角的余角相等）④等腰出等角

問題2熟練掌握相似的重要結(jié)論和模型

：1）射影定理，如圖1

（2）母子型，如圖2、圖3

3）一線三等角

①三垂直，如圖4；②三個60。，如圖5；③三普通，如圖6.

C

專題攻略

?相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因

此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等。

?判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，

解方程并檢驗(yàn)。

?應(yīng)用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等。

第15頁

例1：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中⑼，中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=o?+公（〃＞（））經(jīng)過

點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B,A0=B0=2,ZAOB=120°o

（1）求拋物線的解析式；

12）連接0M,求NAOM的大?。?/p>

（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

第16頁

變式：直線y=-分別交JV軸、y軸于A、8兩點(diǎn)，△A08繞點(diǎn)。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。

后得到△COQ,拋物線)，=加+法+。經(jīng)過4、C、。三點(diǎn).

(1)寫出點(diǎn)A、B、C、。的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過A、C、。三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)在直線BG上是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)A、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△CO。相似？若存

在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

5

4

3

-4?1-3?1-2*1-1?191234x

-1?1

?2?1

-3*1

T?1

第17頁

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系忒》中，已知二次函數(shù)y=-gf+bx的圖像過點(diǎn)A(4,0),

頂點(diǎn)為B,連接AB、BOo

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)C是BO的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AB上，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線CQ的對稱點(diǎn)為B，，當(dāng)小OCB，

為等邊三角形時，求BQ的長度；

C3)若點(diǎn)D為線段BO上，OD=2DB,點(diǎn)E、F在AOAB的邊上，且滿足△DOF與△DEF全

第18頁

3

例3：如圖1,△ABC中，A3=5,AC=3,cosA=—.。為射線3A上的點(diǎn)(點(diǎn)O不與點(diǎn)

10

8重合)，作。E//5C交射線CA于點(diǎn)E..

(1)若CE=x,BD=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)分別以線段8,CE為直徑的兩圓相切時?，求OE的長度；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在AB邊上時，8c邊上是否存在點(diǎn)F,使△A8C與AOE/相似？若存在，請求

出線段8廠的長；若不存在，請說明理由.

第19頁

?隨堂練習(xí)

1、如圖，拋物線y二?%2+版一3與x軸交于點(diǎn)A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與)，軸交于點(diǎn)D,

頂點(diǎn)為C。

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,過M作MN_Lx軸于點(diǎn)N,使以A、M、N為頂點(diǎn)

的三角形與△BCD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第20頁

2、如圖，直線y=4x+4與x軸、）軸相交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=or?_2or+c（々和）過點(diǎn)

B、C,且與x軸另一個交點(diǎn)為A,以O(shè)C、0A為邊作矩形OADC,CD交拋物線于點(diǎn)G

⑴求拋物線的解析式以及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵已知直線廣加交0A于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)E交AC于點(diǎn)M,交拋物線（CD上方部分）于點(diǎn)

P,請用含機(jī)的代數(shù)式表示PM的長；

（3）在（2）的條件下，連接PC,若APCF和△AEM相似，求〃7的值.

第21頁

3、RSABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)丁=^伙/0）在第一象限內(nèi)的圖像與

x

邊交于點(diǎn)0（4,而），與AB邊交于點(diǎn)E（2,〃），ABQE的面積為2.

（1）求加與〃的數(shù)量關(guān)系；

（2）當(dāng)tan/A=>!■時，求反比例函數(shù)的解析式和直線4B的表達(dá)式；

2

（3）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F,點(diǎn)尸在射線FQ上，在（2）的條件下，如果△AE。與

△EFP相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第22頁

4、如圖，已知拋物線=13_］口+2"是實(shí)數(shù)且b>2）與/軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、

444

B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與），軸的正半軸交于點(diǎn)C。

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含力的代數(shù)式表示）。

（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PCOB的面積等于幼，且APBC是以

點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使得△QCO、ZkQOA和AQAB中的任意兩

個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請

說明理由。

第23頁

5、如圖，拋物線了=0￥2+&+°5>0）交工軸于4、8兩點(diǎn)（4點(diǎn)在8點(diǎn)左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C.已

知8（8,0）,tanZABC=-,aABC的面積為8.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）若動直線EF（EF〃x軸），從點(diǎn)C開始，以每秒1個單位長度的速度沿y軸負(fù)方向

平移，且交y軸、線段BC于E、F兩點(diǎn)，動點(diǎn)P同時從點(diǎn)B出發(fā)，在線段OB上以每秒2個單

位長度的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動，連接FP,設(shè)運(yùn)動時間為，秒，當(dāng)，為何值時，衛(wèi)二竺的值最大,

EF+OP

求出最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在，的值，使以P、B、尸為頂點(diǎn)的三角形與△48C相似.若

存在，試求出，的值；若不存在，請說明理由.

第24頁

專題八相切問題

專題攻略

直線與圓的位置關(guān)系問題，一般也無法先畫出比較準(zhǔn)確的圖形

解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：R和d,第二步列方程，第三解方

程并驗(yàn)根。

第一步在羅列兩要素R和d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素就是要用

含有x的式子表示的，

第二步列方程，就是根據(jù)直線與圓相切時心R列方程。

附加公式

?兩點(diǎn)間的距離公式：

22

若A（玉，/）、B（%，為），則AB=yj（xi-x2）+（J1-y2）

?點(diǎn)到直線的距離公式：

若點(diǎn)A（x0,%）,直線/的解析式為：y=kx+b,則A點(diǎn)到直線I的距離為!此一%+"?°

J1+&2

例1：如圖，P是拋物線y=V-5x+5上的一個動點(diǎn)，。P的半徑為1,如果。P與坐標(biāo)軸相切,

求圓心P的坐標(biāo)。

第25頁

變式：如圖，已知。尸圓心P在直淺產(chǎn)2x—l的圖像上運(yùn)動.

(1)若。P的半徑為2,當(dāng)0P與x軸相切時，求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若。尸的半徑為2,當(dāng)。P與y軸相切時，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)。尸與x軸和y軸都相切時，。尸的半徑是多少？并寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

第26頁

例2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=3x+4的圖像是直線八4與x軸、y軸分別

交于A、B兩點(diǎn)，直線4過點(diǎn)C（小0）且與直線人垂直，其中。＞0.點(diǎn)P、Q同時從A點(diǎn)出發(fā),

其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動，速度為每秒4個單位；點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動，速度為每秒5個單位.

（1）求出A點(diǎn)的坐標(biāo)和AB的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動了多少秒時，以點(diǎn)Q為圓心，PQ為半徑的。Q與直線4、y軸都相切，

求此時a的值.

第27頁

例3：如圖，拋物線丁=-；/+如+〃的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（2,3）,對稱軸為ml,一次函數(shù)y=H+Z?

的圖像經(jīng)過點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)P,交拋物線于另一點(diǎn)B,點(diǎn)A、B位于點(diǎn)P的同側(cè).

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PA：PB=3：1,求一次函數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)左＞0時，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使得。C同時與x軸和

直線AP都相切，如果存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

第28頁

■隨堂練習(xí)

1、如圖，直線＞=停工+百與K軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，圓心P的坐標(biāo)為(1,0),

圓P與)，軸相切于點(diǎn)O,若將圓P沿x軸向左移動，當(dāng)圓P與該直線相交時，橫坐標(biāo)為整數(shù)的

點(diǎn)P的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知D(-5,4)、B(-3,0),過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的

垂線，垂足分別為A、C兩點(diǎn)，動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右運(yùn)

動，運(yùn)動時間為，秒.

(1)當(dāng)仁時，PC〃DB；

(2)當(dāng)片時，PC1BC；

(3)以點(diǎn)O為圓心，OP的長為半徑作。0,當(dāng)。O與ABCD的邊所在直線相切時，求f的值.

第29頁

專題九線段問題

例1：如圖，已知一條直線過點(diǎn)(0,4),且與拋物線y=交于A、B兩點(diǎn)，其實(shí)點(diǎn)A的橫

4

坐標(biāo)為-2.

(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)過線段AB上一點(diǎn)P,作PM〃工軸，交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N(0,1),

當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時，MN+3Mp的長度最大？最大值是多少？

第30頁

例2：如圖，拋物線丁=0^+"+°3和）與x軸交于點(diǎn)A,B（l,0）,與y軸交于點(diǎn)C,

直線丁二3工一2經(jīng)過點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為D,對稱軸為直線/.

（1）求拋物線的表達(dá)式、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)及對稱軸/；

（3）設(shè)點(diǎn)N是直線AC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接BN交AC于點(diǎn)M,且MN=2BN,求點(diǎn)N

的坐標(biāo)。

第31頁

（4）設(shè)點(diǎn)G是），軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（5）在直線/上是否存在一點(diǎn)F,使得^BCF的周長最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及ABCF

周長的最小值；若不存在，請說明理由；

第32頁

（6）若點(diǎn)H是拋物線上位于AC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)H作），軸的平行線，交AC于點(diǎn)K,設(shè)點(diǎn)H

的橫坐標(biāo)為〃，線段HK=d.

①求d關(guān)于人的函數(shù)關(guān)系式；

②求d的最大值及此時H點(diǎn)的坐標(biāo).

（7）已知直線y=-/+2交拋物線于點(diǎn)L,交y軸于點(diǎn)P,若點(diǎn)M是直線產(chǎn)-2上一點(diǎn)，過點(diǎn)M

作MNJ_x軸，交x軸于點(diǎn)N,連接PN、ML,是否存在點(diǎn)M,使得PN+PM+ML有最小值？若

存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

第33頁

(8)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，求3幺+尸。的最小值。

5

第34頁

（9）已知x軸上一點(diǎn)R的坐標(biāo)為（石-1,0）,連接CR,點(diǎn)Q是線段CR上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q

作QJJLCO于點(diǎn)J,QIJ_AC于點(diǎn)I,判斷℃2/是否為定值,并說明理由。

第35頁

■隨堂練習(xí)

1、如圖，拋物線>=一9W+孚x+3由與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，與

y軸交于點(diǎn)C，連接AC,8c.點(diǎn)P沿AC以每秒1個單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動，同時,

點(diǎn)。沿8。以每秒2個單位長度的速度由點(diǎn)5向點(diǎn)。運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一個點(diǎn)也

隨之停止運(yùn)動，連接尸。過點(diǎn)。作QO_Lx釉，與拋物線交于點(diǎn)。，與BC交于點(diǎn)E.連接產(chǎn)。，

與BC交于點(diǎn)尸.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為/秒(f>0).

(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

(2)①直接寫出P,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)(用含，的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡)；

②在點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中，當(dāng)PQ=P。時，求，的值；

(3)試探究在點(diǎn)尸，。運(yùn)動的過程中，是否存在某一時刻，使得點(diǎn)尸為P。的中點(diǎn)？若存在,

請直接寫出此時，的值與點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

第36頁

2、如圖，拋物線y=—f+版+c與x軸交于點(diǎn)4(-1,0),8(5,0)兩點(diǎn)，直線＞=一%+3與y

軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是x軸上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)尸,

交直線CD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)若PE=5EF,求m的值；

(3)若點(diǎn)E是點(diǎn)E關(guān)于直線尸C的對稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)E落在y軸上？若存在，請

直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

第37頁

3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系⑼，中，將二次函數(shù)y=/—i的圖像M沿x軸翻折，把所得到的

圖像向右平移2個單位長度再向上平移8個單位長度，得到二次函數(shù)圖像N.

(1)求N的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)點(diǎn)P(w,n)是以點(diǎn)C(1,4)為圓心，1為半徑的圓上一動點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像M與

x軸相交于A、B兩點(diǎn)，求尸T+尸序的最大值；

(3)若一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則該點(diǎn)稱為整點(diǎn)，求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包

括邊界)整點(diǎn)的個數(shù).

第38頁

第39頁

4^如圖，直線/:丁=一3%+3與x軸、y軸分另U相交于A、B兩點(diǎn)，拋物線y二火?-2or+4+4（。

<0）經(jīng)過點(diǎn)B.

（I）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個動點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)M的

橫坐標(biāo)為根，Z\ABM的面積為S,求S與機(jī)的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時，動點(diǎn)M相應(yīng)的位置記為點(diǎn)ML

①寫出點(diǎn)M，的坐標(biāo)：

②將直線/繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線八當(dāng)直線P與直線AM，重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋

轉(zhuǎn)過程中，直線T與線段BM，交于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)B、M，到直線T的距離分別為4、d2f當(dāng)4+4最

大時，求直線旋轉(zhuǎn)的角度（即NBAC的度數(shù)）.

第40頁

第41頁

第42頁

專題十角度問題

典知識導(dǎo)航

函數(shù)中的動點(diǎn)與角度問題，在考試中，主要體現(xiàn)在：

①角度的存在性問題（特殊角度問題）；

②角度關(guān)系的存在性問題（角之間的和、差、倍、分關(guān)系）

一、角度的存在性問題（特殊角度問題）

角度的存在性問題分為特殊角和非特殊角的存在性問題，主要以特殊角的存在性問題為主,

特殊角通常包括30。、45。、60°>90。等.

幾何法：利用（特殊）角度構(gòu)造直角二角形，從邊氏比例關(guān)系進(jìn)行求解.

工具：

解析法：利用直線y=+與拋物線y=ax2+bx+c（a*0）的交點(diǎn).

工具：知識儲備：（1）一次函數(shù)產(chǎn)丘+6中左的幾何意義

假如廣"+b過兩個不同的點(diǎn)（不兇），（馬,為），由待定系數(shù)法可以解得左=比/，從

百一%

圖象上來看，就是兩個點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值，也就是直線與x軸夾角的正切值（但

要注意符號），即|k|=tan。。

第43頁

引例：根據(jù)圖中條件將直線解析式寫在橫線上

總結(jié)：①解析式為廣母+b的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形;

②解析式為y=±y[3x+b或y=土咚x+b的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是含30°,60°的

直角三角形。

（2）借助輔助圓來解決問題

二、角度關(guān)系的存在性問題（角之間的和、差、倍、分關(guān)系）

角度關(guān)系的問題一般指兩角或多角的和差倍分或大小關(guān)系的問題.

幾何法：構(gòu)造相似或全等三角形進(jìn)行求解.

解析法：利用三角函數(shù)值進(jìn)行求解.

和差關(guān)系

等量關(guān)系大小關(guān)系

(ZA+ZC=ZABD)

A

轉(zhuǎn)化為三角形全等或相似找臨界值，即找等量關(guān)系

D—p

B

專題攻略

函數(shù)中兩個角度相等的問題

①已知兩角相等：可得出這兩個角的三角函數(shù)值相等，或利用這兩個相等角推出平行與

相似;

②求證兩角相等：常常通過這兩個角的三角函數(shù)值來證明，或借助相似來證明.

第44頁

解決角度有關(guān)問題的一般步驟：

1＞讀題，畫圖，理解題意.

2、分析動點(diǎn)、定點(diǎn)，找不變特征，如角有兩邊，其中一邊是確定的.

3、確定分類特征，進(jìn)行分類討論.

4、把角放在直角三角形中，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，根據(jù)三角函數(shù)、相似或全等

的知識解決.

覆例題精練

模塊一角度的存在性問題(特殊角度問題)

例題1:如圖，拋物線y=瓜-4a經(jīng)過A(-1,0)、C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)

B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)D0〃,〃z+l)在第一象限的拋物線上，連接BD,在拋物線上是否存在點(diǎn)P使得

ZDBP=45。？若存在,請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；不存在，說明理由.

變式：如圖，已知拋物線)，=3丁+笈+。與x軸相交于A(-6,0),B(1,0),與y軸相交于

點(diǎn)C,直線/_LAC,垂足為C.

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)若直線/與該拋物線的另一個交點(diǎn)為O,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)設(shè)動點(diǎn)PCm,〃)在該拋物線上，當(dāng)4%C=45。時，求m的值.

第45頁

例題2：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-f+履一2女的頂點(diǎn)為N.

(1)若此拋物線過點(diǎn)A(-3,1),求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，若拋物線與y軸交于點(diǎn)B,連接。為腦物線上一點(diǎn)，且位于線段

45的上方，過。作8垂直X軸于點(diǎn)。，CD交于點(diǎn)E,若CE=ED,求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(3)已知點(diǎn)M(2-竽，0),且無論Z取何值，拋物線都經(jīng)過定點(diǎn)“，當(dāng)ZMH7V=6O。時，求拋

第46頁

物線的解析式.

備用圖

例題3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=af+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)、B(0,3)、

C(1,0)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)將拋物線的對稱軸繞拋物線的頂點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)60。，與直線y=-x交于點(diǎn)N.在直線ON

上是否存在點(diǎn)M,使得ZA/ON=75。.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

第47頁

模塊二角度關(guān)系的存在性問題（角之間的和、差、倍、分關(guān)系）

例題1:（2018?常州）如圖，二次函數(shù)），=-+2+6+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,與），軸交

于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為《0）,乃是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、8、C不重合）.

（1）b=,點(diǎn)8的坐標(biāo)是;

第48頁

（2）設(shè)直線尸8與直線AC相交于點(diǎn)是否存在這樣的點(diǎn)尸，使得尸M:M8=1:2?若存在,

求出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）連接AC、BC,判斷NC4B和NC8A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

變式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)），=；/+瓜+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-3,6）,

并與x軸交于點(diǎn)B（-1,0）和點(diǎn)C,頂點(diǎn)為尸.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)O為線段OC上的一點(diǎn)，若NDPC=/BAC,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

第49頁

變式：如圖，已知拋物線丁二"2+法+。的對稱軸為直線1=2,且與x軸交于A、8兩點(diǎn).與y

軸交于點(diǎn)C.其中41，0),C?-3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(點(diǎn)尸異于點(diǎn)A),當(dāng)NPC6=N6C4時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第50頁

變式：拋物線y=(x-3)(x+l)與x軸交于A,B兩點(diǎn).(點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)

。為頂點(diǎn).

(1)求點(diǎn)8及點(diǎn)。的坐標(biāo)：

(2)連結(jié)80，CD,拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)￡

①若線段BO上一點(diǎn)P,使=求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

第51頁

②若拋物線上一點(diǎn)M,作MV_L8,交直線CO于點(diǎn)N,使NCMN=/BDE,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

備用圖

變式：(2020?常州)如圖，二次函數(shù)y=f+法+3的圖象與y軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作x軸的平

行線交拋物線于另一點(diǎn)B,拋物線過點(diǎn)C(l,0),且頂點(diǎn)為。，連接47、BC、BD、CD.

(1)填空：b=;

(2)點(diǎn)?是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)大于1,直線PC交直線8。于點(diǎn)Q.若NCQD=ZACB,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

第52頁

(3)點(diǎn)E在直線AC上，點(diǎn)E關(guān)于直線或)對稱的點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸關(guān)于直線8C對稱的點(diǎn)為G,連

接AG.當(dāng)點(diǎn)尸在工軸上時，直接寫出AG的長.

(備用圖)

例題2：如圖，拋物線+笈+。與1軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)B坐標(biāo)

為(4,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為E,連接BO.

第53頁

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)尸是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)/￡&4=24。石時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)。

例題3：如圖，直線＞=一式+〃與工軸交于點(diǎn)4(3,0),與丁軸交于點(diǎn)B,拋物線y=2+Z?x+c

經(jīng)過點(diǎn)A3.

(1)求拋物線的解析式;

第54頁

(2)E?,0)為x軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸，交直線4B于點(diǎn)O,交拋物線于點(diǎn)尸，連

接BP.點(diǎn)E在工軸的正半軸上運(yùn)動，若NPBD+NCBO=450,請求出〃?的值.

變式：如圖，已知拋物線y=(3-⑼/+2(6-3)犬+4切-加2的頂點(diǎn)八在雙曲線),=3上，直線

x

y=/nr+b經(jīng)過點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,與x軸交于點(diǎn)C.

(1)確定直線43的解析式.

(2)將直線A8繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。，與x軸交于點(diǎn)O,與y軸交于點(diǎn)瓦求sin/BOE的值.

第55頁

(3)過點(diǎn)B作x軸的平行線與雙曲線交于點(diǎn)G,點(diǎn)M在直線BG上，且到拋物線的對稱軸的

距離為6.設(shè)點(diǎn)N在直線8G上，請你直接寫出使得ZAA/B+/4A6=45。的點(diǎn)N的坐標(biāo).

?隨堂練習(xí)

1、如圖直線)，=gx+m與拋物線y=*+加+c交于C、。兩點(diǎn)，其中點(diǎn)。在y軸上，點(diǎn)。的坐

第56頁

標(biāo)為卜■!),點(diǎn)尸是)，軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作莊_Lx軸于點(diǎn)￡交CD于點(diǎn)F.

(1)求一次函數(shù)和拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3當(dāng)，為何值時，四邊形OCP尸是平行四邊形？請說明理由.

(3)在。。上方是否存在點(diǎn)P,使ZPC尸=45。，若存在，求出相應(yīng)的點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在,

請說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù))，=0￥2+公+。的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(；,O)、B(O,)、

C(2,0),其中對稱軸與％軸交于點(diǎn)D,M(s,/)為拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，連接MA、

MB,若NAMB不小于60。，求f的取值范圍？

第57頁

3、已知在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,0）,

點(diǎn)E是直線y=x+4上的一個動點(diǎn)，若NEAB=NABO,求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

第58頁

3

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=奴2-]x+c與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,

直線y=gx+2經(jīng)過A、C兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)NPCA=N8C0時，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

第59頁

5、如圖，拋物線＞=0?+法+。交x軸于O(0,0)、A(8,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為4.

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C是拋物線上異于原點(diǎn)0的一點(diǎn)，且滿足2BC?=01+2002,試判斷^OBC的形

狀，并說明理由;

第60頁

(3)在(2)的條件下，若拋物線上存在一點(diǎn)D,使得NOCD二NAOC-NOCA,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

6、如圖，拋物線y=+3與x軸交于4—3,0),8(1,0)兩點(diǎn)，與3軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是

拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)M是y軸正半軸上的一點(diǎn)，OM=&，點(diǎn)。在對稱軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動，直線。。交

第61頁

拋物線的對稱軸于點(diǎn)N,連接MN,當(dāng)MN平分NOV。時，求點(diǎn)0的坐標(biāo);

專題十一面積問題

類型一面積最值問題

解題技巧：

鉛垂法求三角形面積：A,B兩點(diǎn)之間的水平距離稱為“水平寬”;過點(diǎn)C作x軸的垂線

第62頁

與AB交于點(diǎn)D,線段CD即為AB邊的“鉛垂高”.

D

/

鉛

垂

高

圖2

水平寬、鉛垂高還可以這樣做：如圖2,取AC作水平寬，過點(diǎn)B作8口_1_工軸交直線AC

于點(diǎn)D,BD即對應(yīng)的鉛垂高，

°cc水平寬x鉛垂高

SAABC—SAABD-SABCD—?

【解題步驟】

(1)求A,B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；

(2)過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D,可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

⑶求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；

(4)根據(jù)C,D坐標(biāo)求得鉛垂高；

(5)利用公式求得三角形面積.

【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=0^+公+。與x軸交于點(diǎn)A(—2,0),點(diǎn)B(4,

0)f與y軸交于點(diǎn)C(0,8),連接BC,又已知位于)，軸右側(cè)且垂直于工軸的動直線/,沿x軸正

方向從O運(yùn)動到B(不含O點(diǎn)和B點(diǎn))，且分別交拋物線、線段BC以及R軸于點(diǎn)P,D,E.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)作PFJ_BC,垂足為F,當(dāng)直線/運(yùn)動時，求Rt/kPFD面積的最大值.

第63頁

【變式】如圖，已知拋物線>=以2+法一2(。20)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與與y軸交于c

點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D,且D(2