2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西壯族自治區(qū)預(yù)賽及解析

2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西壯族自治區(qū)預(yù)賽注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分一、填空題1.已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示為{y，2x2，3xz}，則x=____________.2.如果函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，那么的最小值為____________.3.設(shè)函數(shù)，則y的最小值為____________.4.已知點P(－2，5)在圓上，直線l：與圓C相交于A、B兩點，則____________.5.已知xyz+y+z=12，則的最大值為____________.6.從1，2，…，20中任取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為____________.7.棱長為6的正方體內(nèi)有一個棱長為x的正四面體，且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則x的最大值為____________.8.滿足的正整數(shù)對(x，y)有____________對.評卷人得分二、解答題9.已知函數(shù).（1）設(shè)a>1，討論f(x)在區(qū)間(0，1)上的單調(diào)性；（2）設(shè)a>0，求f(x)的極值.10.設(shè).求證：（1）；（2）.11.如圖所示，AD、AH分別是△ABC（其中AB>AC）的角平分線、高線，點M是AD的中點，△MDH的外接圓交CM于點E.求證：∠AEB=90°.12.如圖所示，設(shè)k>0且k≠1，直線l：y=kx+1與l1：y=k1x+1關(guān)于直線y=x+1對稱，直線l與l1分別交橢圓于點A、M和A、N.（1）求的值；（2）求證：對任意的實數(shù)k，直線MN恒過定點.

參考答案1.1【解析】1.易知xyz≠0，由兩集合各元素之積得.經(jīng)驗證，x=1符合題意.故答案為：1．2.【解析】2.由，得.當k=1，時，滿足題設(shè)條件.即的最小值為.故答案為：．3.【解析】3.令，則，由于，故，由u(x)單調(diào)遞減，求得，則單調(diào)遞增.所以當時，原函數(shù)取得最小值.故答案為：.4.【解析】4.由已知求得圓C：(x－1)2+(y－1)2=52到直線l的距離為3，從而.所以.故答案為：．5.3【解析】5.由已知條件有，，則，當且僅當，y=z=4時取得最大值3.故答案為：3．6.【解析】6.設(shè)取出的3個不同的數(shù)分別為a、b、c.不同的取法共有種，若這3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則有a+c=2b.故、c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，且a與c確定后，b隨之而定.從而所求概率為.故答案為：．7.【解析】7.正方體的內(nèi)切球半徑為3.正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，只需該正四面體為球的內(nèi)接正四面體，也就是說，棱長為x的正四面體的外接球半徑為3.設(shè)正四面體為P－ABC，過點作PO垂直于平面ABC，垂足為O，則O為三角形ABC的中心，從而，正四面體的高為.此時有，解得.故答案為：．8.6【解析】8.設(shè).，由(m+n)與(m－n)奇偶性相同，可知它們同為偶數(shù)，且(m+n)>(m－n)實數(shù)對(m+n，m－n)所有可能的取值共有6對：，，，，，.由有序數(shù)對(x，y)與(m+n，m－n)一一對應(yīng)，可知所求正整數(shù)對為6對.故答案為：6．9.（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）當a>1時，極小值為，極大值為；當a=1時，無極值；當0<a<1時，極小值為，極大值為【解析】9.（1）.由a>1可知，所以f(x)的減區(qū)間是，增區(qū)間是.（2）.當a>1時，f(x)的減間是和[a，+∞)增區(qū)間是.f(x)的極小值為，極大值為.當a=1時，，f(x)無極值.當0<a<1時，f(x)的減區(qū)間是(0，a]和，增區(qū)間是.f(x)的極小值為，極大值為.綜上可得：當a>1時，極小值為，極大值為；當a=1時，無極值；當0<a<1時，極小值為，極大值為.10.（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】10.（1）由已知可得.（2）由已知條件有.當n=1時，，不等式成立.當n≥2時，由（1）的結(jié)論可得.綜上所述，不等式成立.11.證明見解析【解析】11.如圖所示，連結(jié)HE.由點M是Rt△AHD的斜邊AD的中點可知MA=MH=MD，∠MDH=∠MHD.由M、D、H、E四點共圓可得.從而.又由∠CMH=∠HME可知△CMH∽△HME.故，從而.又因為∠CMA=∠AME，所以△CMA∽△AME.故.由AD是角平分線，可得.則有∠BHE+∠BAE=∠DHE+∠DME=180°，從而A、B、H、E四點共圓.所以∠AEB=∠AHB=90°.命題得證.12.（1）1；（2）證明見解析【解析】12.（1）直線l與l1的交點為A(0，1)設(shè)點P(x，y)是直線l上異于點A(0，1)的任意一點，點是點P關(guān)于直線y=x+1的對稱點.由得①由得②聯(lián)立①②解得.代入直線l：y=kx+1可