2019年全國高中數學聯賽浙江省預賽及解析

2019年全國高中數學聯賽浙江省預賽注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分一、填空題1.如圖所示，將長度為1的線段分為x、y兩段，再將長度為x的線段彎成半圓周ACB，將長度為y的線段折成矩形ABDE的三條邊(BD、DE、EA)，構成閉“曲邊形”ACBDEA，則該曲邊形面積的最大值為____________.2.已知集合A={k+1，k+2，…，k+n}，k、n為正整數，若集合A中所有元素之和為2019，則當n取最大值時，集合A=________.3.設，則的最大值為_____4.設三條不同的直線：，，，則它們相交于一點的充分必要條件為____________.5.如圖，在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC=2.在AC邊上取一點D(不含A、C)，將△ABD沿線段BD折起，得到△PBD.當平面PBD垂直平面ABC時，則P到平面ABC距離的最大值為____________.6.如圖，在中，分別為上的點，且，，.設為四邊形內一點（點不在邊界上），若，則實數的取值范圍為______7.設，定義，，則____________.8.設為復數，且滿足(其中i為虛數單位)，則取值為____________.9.設，數列{xn}滿足.若1≤x7≤2，則x8的取值范圍為____________.10.在復平面上，任取方程的三個不同的根為頂點組成三角形，則不同的銳角三角形的數目為____________.評卷人得分二、解答題11.如圖，橢圓，拋物線，設相交于A、B兩點，O為坐標原點.（1）若△ABO的外心在橢圓上，求實數p的值；（2）若△ABO的外接圓經過點，求實數p的值.12.設，(為常數).若，證明：.13.設X是有限集，t為正整數，F是包含t個子集的子集族：F=.如果F中的部分子集構成的集族S滿足：對S中任意兩個不相等的集合A、B，均不成立，則稱S為反鏈.設S1為包含集合最多的反鏈，S2是任意反鏈.證明：存在S2到S1的單射f，滿足或成立.

參考答案1.【解析】1.記圓的半徑為r，矩形的寬為h，則有，所以曲邊形的面積為.因此，當時，.故答案為：．2.{334，335，336，337，338，339}【解析】2.由已知.當n=2m時，得到；當n=2m+1時，得到.所以n的最大值為6，此時集合.故答案為：．3.【解析】3.令，則，則原式可化為，根據函數單調性即可求出最大值.令，則因為，所以原式可化為，因為函數在上是增函數，所以當時，.4.【解析】4.設c=a+b+1，設三條直線相交于點(x，y)，則有，三式相加可得：，即：，據此有：，則：.反之，當時，方程組有解，即三條直線相交于一點.故答案為：．5.2【解析】5.在△ABC中，因為AB=BC=2，∠ABC=120°，所以.由余弦定理可得.設AD=x，則.在△ABD中，由余弦定理可得.在△PBD中，PD=AD=x，PB=BA=2，∠BPD=30°.設P到平面ABC的距離為d，則，解得，由得.故答案為：2．6.【解析】6.取BD中點M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,則由可知,P點在線段GH上運動（不包括端點）,求出端點G,H對應的即可求解.取BD中點M,過M作MH//DE交DF,AC分別為G,H,如圖：則由可知,P點在線段GH上運動（不包括端點）當與重合時，根據,可知，當與重合時,由共線可知，即，結合圖形可知.7.【解析】7.由已知，以此類推，.故答案為：．8.【解析】8.由，設，由得，于是，.故答案為：．9.【解析】9.根據已知條件，用表示出，結合的范圍，利用線性規(guī)劃即可求得目標式的范圍.由已知得，，因為，所以，結合，在坐標下所圍成的線性規(guī)劃區(qū)域為四邊形，它的四個頂點坐標分別為，，所以目標函數在點處取得最小值，在點處取得最大值，.故答案為：．10.39200【解析】10.易知的根在單位圓上，且相鄰兩根之間弧長相等，都為，即將單位圓均勻分成100段小弧.首先選取任意一點A為三角形的頂點，共有100種取法.按順時針方向依次取頂點B和頂點C，設AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，則△ABC為銳角三角形的等價條件為：①計算方程組①的整數解個數，記，，，，則.由于重復計算3次，所以所求銳角三角形個數為.故答案為：39200．11.（1）；（2）3【解析】11.(1)由拋物線、橢圓和圓的對稱性可知，△AB的外心為橢圓的上頂點M(0，1).則有MA=MB=MO=1.設，則有，解得.(2)因為O、A、N、B四點共圓，設AB與y軸相交于，由相交弦定理得AC?CB=CN?CO，即，解得①代入，解得.②將①、②代入橢圓方程得，解得p=3.12.證明見解析【解析】12.記，則有.由已知(因為)，即.13.證明見解析【解析】13.記|S1|=r，稱包含r個元素的反鏈為最大反鏈，最大反鏈可能不唯一稱F的子集P為鏈，如果之一成立.我們證明結論：F可以拆分為r個鏈的并(即Dilworth定理).對t進行歸納證明.t=1時顯然成立.設命題對t－1成立，先假設存在一個最大反鏈S，使得F中既有集合真包含S中的某個集合，也有集合是S中的某個集合的真子集.記前者的全體為F1，后者的全體為F2，即包含S中的某個集合，是S中的某個集合的子集，則均是F的真子集，從而由歸納假設可將都可以拆成r個鏈的并.中的鏈以S中的元素開始，中的鏈以S中的元素結束.將這些鏈“接”起來就將F分成了r條鏈.現在假設不存在這樣的反鏈，從而每個最大反鏈要么滿足，要么滿足.前者意味著S中的子集都是“極大”子集(不是另一個Ai的真子集)，后者意味著S中的子集都是“極小”子集(不真包含另一個Ai)，從而至多有兩個最大反鏈.如果極大子集構成的反鏈和極小子集構成的反鏈均為最大反鏈，則任取極大子集A，以及極小子集，將A、B都去掉用歸納假設將剩下的集合拆分成r－1條鏈，再加上鏈即可如