【八省聯(lián)考】2025屆普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)考前猜想卷（二模）含解析

【八省聯(lián)考】2025屆普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)考前猜想卷（二模）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2．已知集合，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知向量，若，則（

）A． B． C．2 D．4．已知集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．87．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．隨著科技的發(fā)展和燃油車成本的上升，人們對(duì)新能源汽車的需求逐步增加，從而推動(dòng)了廠商產(chǎn)品力的提升和新能源汽車銷量的快速增長(zhǎng)，如圖為某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2017-2025年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模及預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，則（

）A．2017-2023年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模逐年增長(zhǎng)B．2017-2023年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模的中位數(shù)為3.4千億元C．逐年比較，預(yù)計(jì)2025年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模的增長(zhǎng)量最大D．2017-2025年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模與年份的關(guān)系可以用指數(shù)型函數(shù)模型進(jìn)行擬合10．已知中，角所對(duì)的邊分別為的面積記為，若，則（

）A．B．的外接圓周長(zhǎng)為C．的最大值為D．若為線段的中點(diǎn)，且，則11．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.而今我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，a+b=2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最小值是 B．的最小值為3C．的最大值為3 D．的最小值是2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為．13．若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)為．14．已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）良好的用眼習(xí)慣能夠從多方面保護(hù)眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對(duì)于保護(hù)青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學(xué)生能夠掌握良好的用眼習(xí)慣，開展了“愛眼護(hù)眼”有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，班主任將競(jìng)賽題目分為兩組，規(guī)定每名學(xué)生從兩組題目中各隨機(jī)抽取2道題作答．已知該班學(xué)生甲答對(duì)組題的概率均為，答對(duì)組題的概率均為．假設(shè)學(xué)生甲每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．(1)求學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題的概率；(2)設(shè)學(xué)生甲共答對(duì)了道題，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．16．（15分）如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．17．（15分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：．18．（17分）已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線PQ過定點(diǎn).19．（17分）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對(duì)任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．(1)若，且為“2數(shù)列”，求．(2)若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．(3)若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證明：．【八省聯(lián)考】2025屆普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)考前猜想卷（二模）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】，故.故選：C.2．已知集合，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】B【詳解】由題意可得，解得．故選：B.3．已知向量，若，則（

）A． B． C．2 D．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，解得．故選：A4．已知集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【詳解】由，可得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】如圖：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圓半徑為，即.在直角三角形中，，，所以.設(shè)棱錐外接球半徑為，在直角三角形中，，解得.所以球的表面積為.故選：A6．已知函數(shù)的圖象向左平移后所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【正確答案】D【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，所以，又，所以，解得，因?yàn)椋詴r(shí)，取得最小值，最小值為8.故選：D7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．【正確答案】B【詳解】由拋物線可知，焦點(diǎn)為，設(shè)，則，則，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值是，故選：B8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，即，又，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.故選:A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．隨著科技的發(fā)展和燃油車成本的上升，人們對(duì)新能源汽車的需求逐步增加，從而推動(dòng)了廠商產(chǎn)品力的提升和新能源汽車銷量的快速增長(zhǎng)，如圖為某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2017-2025年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模及預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，則（

）

A．2017-2023年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模逐年增長(zhǎng)B．2017-2023年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模的中位數(shù)為3.4千億元C．逐年比較，預(yù)計(jì)2025年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模的增長(zhǎng)量最大D．2017-2025年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模與年份的關(guān)系可以用指數(shù)型函數(shù)模型進(jìn)行擬合【正確答案】ABD【詳解】對(duì)A：從2017-2023年中國(guó)新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模數(shù)據(jù)看新能源汽車市場(chǎng)規(guī)模逐年增長(zhǎng)，故A正確；對(duì)B：數(shù)據(jù)從小到大排列為1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7個(gè)數(shù)據(jù)，其中位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)3.4，故B正確；對(duì)C：2021年增長(zhǎng)是為，2022年增長(zhǎng)1.6，2023年增長(zhǎng)6.9，2024年增長(zhǎng)4.7，從增長(zhǎng)量上看并不是逐年增加，故無(wú)法預(yù)計(jì)2025年的增長(zhǎng)量最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：從數(shù)據(jù)上看，市場(chǎng)規(guī)模前期增長(zhǎng)緩慢，后期增長(zhǎng)較快，故可用指數(shù)型函數(shù)模型進(jìn)行擬合，故D正確；故選：ABD10．已知中，角所對(duì)的邊分別為的面積記為，若，則（

）A．B．的外接圓周長(zhǎng)為C．的最大值為D．若為線段的中點(diǎn)，且，則【正確答案】AC【詳解】依題意，，故A正確；記外接圓的半徑為，則，則的外接圓周長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；由余弦定理，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；由C可知，當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.而今我們稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，a+b=2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最小值是 B．的最小值為3C．的最大值為3 D．的最小值是2【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，取得最小值3，B正確；對(duì)于C，令，，其中銳角由確定，顯然，則當(dāng)，即時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，取最大值，C不正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取“=”，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和為729，則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為．【正確答案】240或3840【詳解】由于的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，即，解得n＝6．又由于的展開式系數(shù)和為729，令得，即，解得或-4，的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故240或384013．若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)為．【正確答案】【詳解】直線，則，令，解得，所以動(dòng)直線恒過點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為.故14．已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【正確答案】【詳解】易知，由可得，即，則有，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，故，所以，即，設(shè)，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則有，解之得．故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）良好的用眼習(xí)慣能夠從多方面保護(hù)眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對(duì)于保護(hù)青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學(xué)生能夠掌握良好的用眼習(xí)慣，開展了“愛眼護(hù)眼”有獎(jiǎng)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，班主任將競(jìng)賽題目分為兩組，規(guī)定每名學(xué)生從兩組題目中各隨機(jī)抽取2道題作答．已知該班學(xué)生甲答對(duì)組題的概率均為，答對(duì)組題的概率均為．假設(shè)學(xué)生甲每道題是否答對(duì)相互獨(dú)立．(1)求學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題的概率；(2)設(shè)學(xué)生甲共答對(duì)了道題，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題有以下兩種情況：第一種情況是學(xué)生甲答對(duì)組的2道題和組的1道題，其概率......................................................................................................................................................（2分）第二種情況是學(xué)生甲答對(duì)組的l道題和組的2道題，其概率．故學(xué)生甲恰好答對(duì)3道題的概率．.............................................（5分）（2）由題意可知的所有可能取值為．，，，，...........................................................................................（9分）由（1）可知，則的分布列為01234故．............................................................（13分）16．（15分）如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點(diǎn)．(1)證明：平面．(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因?yàn)槠矫?，所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?.......................................................................（2分）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且是等邊三角形，所以．因?yàn)槠矫妫遥云矫妫?....................................................................................................（6分）（2）取的中點(diǎn)，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，故．...................................（8分）設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．............................................（15分）17．（15分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，記較小的實(shí)數(shù)根為，求證：．【詳解】（1），，，，所以在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，整理得：；..........................................................................................（4分）（2）函數(shù)定義域?yàn)?,+∞，..........................（6分）當(dāng)時(shí)，f'x≥0，此時(shí)在0,+當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)在上f'x<0，在單調(diào)遞減，在上f'x>0，在單調(diào)遞增，綜上：時(shí)，的遞增區(qū)間為0,+∞，無(wú)遞減區(qū)間；時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；..........................................（9分）（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，才有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且，則要證，即證，即證，而，則，否則方程不成立），所以即證，化簡(jiǎn)得，................................................................（11分）令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在0,1單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在1,+∞單調(diào)遞增，...........................................（13分）所以，而，所以，所以，得證．...................................................................................................（15分）18．（17分）已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過定點(diǎn)，且與圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PB交直線于點(diǎn)T，連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q；直線AP，AQ的斜率分別為，.（i）求證：為定值；（ii）設(shè)直線，證明：直線PQ過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，圓的圓心，半徑，顯然點(diǎn)在圓內(nèi)，則，于是，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，.................................（2分）長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，則短半軸長(zhǎng)，所以軌跡C的方程為.........................................................................................（4分）（2）（i）設(shè)，，，由（1）知，，顯然，，而，則.（7分），又，即，所以，為定值............................................................................（11分）（ii）由消去x得，，由（i）得，又，......................................（14分）則，解得，滿足，因此直線PQ的方程為，所以直線PQ過定點(diǎn).................................................................................................（17分）19．（17分）已知數(shù)列的前項(xiàng)積為．定義：若存在，使得對(duì)任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．(1)若，且為“2數(shù)列”，求．(2)若，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)的平方和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，求的值和的通項(xiàng)公式．(3)若，，且為“數(shù)列”，的前項(xiàng)和為，證