2024-2025學年福建省福州市鼓樓區(qū)高三上冊第三次月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學年福建省福州市鼓樓區(qū)高三上學期第三次月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的班級、準考證號、姓名填寫在答題卡上.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷上作答，答案無效.第I卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，則（）A. B.0 C.1 D.23.已知，，，則（）A. B. C. D.4.蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（）A.平方米 B.平方米C.平方米 D.平方米5.已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（）A.2 B. C. D.46已知，則（）A. B. C. D.7.若函數(shù)在上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知，不等式對任意的實數(shù)都成立，則實數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和為，且公差.則以下結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則的最大值為D.若成等比數(shù)列，則10.設為復數(shù)，.下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，且，，則（）A. B.圖象關于點對稱C. D.（）第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應橫線上.12.展開式中的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）13.平面直角坐標系中，兩定點和，動點在直線上移動，橢圓以，為焦點且經(jīng)過點，則橢圓C離心率的最大值為________．14.在三棱錐中，，且.記直線，與平面所成角分別為，，已知，當三棱錐的體積最小時，則三棱錐外接球的表面積為______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，，．（1）求B；（2）若B為銳角，邊上的高為，求的周長．16.已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，且數(shù)列的前n項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．17.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．18.平面內(nèi)有一點和直線，動點滿足：到點的距離與到直線的距離的比值是.點的運動軌跡是曲線，曲線上有四個動點.（1）求曲線的方程；（2）若在軸上方，，求直線的斜率；（3）若都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.19.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的值；（3）求證：，，.2024-2025學年福建省福州市鼓樓區(qū)高三上學期第三次月考數(shù)學質(zhì)量檢測試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的班級、準考證號、姓名填寫在答題卡上.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆書寫作答.若在試題卷上作答，答案無效.第I卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用集合的交集運算即可.【詳解】由題意可得，，則.故選:C.2.已知向量，，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】B【分析】求出的坐標，再利用共線向量的坐標表示求得結(jié)果.【詳解】向量，，則，由，得，所以.故選：B3.已知，，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出的取值范圍，即可得出結(jié)論.【詳解】易知，，，所以.故選：B4.蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（）A.平方米 B.平方米C.平方米 D.平方米【正確答案】A【分析】由題意可求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的母線長，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及圓柱的側(cè)面積公式結(jié)合圓的面積公式，即可求得答案.【詳解】由題意知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，設底面圓的半徑為r，則，則圓錐的母線長為（米），故該蒙古包（含底面）的表面積為（平方米），故選：A5.已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，過點作準線的垂線，垂足為，若，則（）A.2 B. C. D.4【正確答案】D【分析】由題知，進而結(jié)合得，在等邊三角形中即可求解.【詳解】因為，所以，設準線與軸交于點，因為，所以.因為，所以，所以在等邊中，.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由兩角和與差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，結(jié)合拆角計算即可.【詳解】由，可得，即，可得，所以.故選：B.7.若函數(shù)在上恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】化簡函數(shù)，再根據(jù)在上恰有兩個零點得，，化簡即可得到答案.【詳解】在上恰有兩個零點，故故選：D.8.已知，不等式對任意的實數(shù)都成立，則實數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】把不等式變形為，設，則不等式對任意的實數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出對任意恒成立，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解.【詳解】由題意，不等式變形為，即，設，則不等式對任意的實數(shù)恒成立，等價于對任意恒成立，又由，則在上單調(diào)遞增，所以，即對任意恒成立，所以恒成立，即，令，則，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，所以，即，所以的最小值是.本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和為，且公差.則以下結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則的最大值為D.若成等比數(shù)列，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由可得，故，所以，故A正確，由可得，故，故B正確，若，則，且單調(diào)遞減，故的最大值為或，故C錯誤，若成等比數(shù)列，則，即，解得或（舍去），D正確，故選：ABD10.設為復數(shù)，.下列命題中正確的是（）A.若，則B若，則C.若，則D.若，則【正確答案】BC【分析】根據(jù)復數(shù)的模的定義，共軛復數(shù)的定義，復數(shù)的乘法判斷各選項，錯誤的選項可以舉反例．【詳解】A：由復數(shù)模的概念可知，不能得到，例如，，A錯誤；B：由可得，因為，所以，即，B正確；C：若，則，有，則，故，故C正確；D：取，，顯然滿足，但，D錯誤.故選：BC．11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，且，，則（）A. B.的圖象關于點對稱C. D.（）【正確答案】ABD【分析】對于A，對條件，求導可得；對于B，對條件，兩邊同時除以可得；對于C，反證法，假設C正確，求導，結(jié)合條件，可得與矛盾，可判斷C；對于D，求出，，所以有，，，得出數(shù)列是以0為首項，為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷．【詳解】因為，所以，即，令，得，故A正確；因為，當時，，所以的圖象關于點0,1對稱，故B正確；對于C，假設成立，求導得，即，又，所以，所以與矛盾，故C錯誤；對于D，因為，，所以，，，，所以有，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，又，，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故D正確．故選：ABD．關鍵點點睛：本題解答的關鍵是，的應用，D選項關鍵是推出是以為首項，為公差的等差數(shù)列.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡相應橫線上.12.的展開式中的系數(shù)為________.（用數(shù)字作答）【正確答案】10【分析】由二項式展開式的通項公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，令，則，所以.故13.平面直角坐標系中，兩定點和，動點在直線上移動，橢圓以，為焦點且經(jīng)過點，則橢圓C的離心率的最大值為________．【正確答案】【分析】由題意可知橢圓C中，要使離心率最大，只需最小，即最小，求出點關于直線的對稱點，求出的坐標，即可得最小為，即可求解.【詳解】點關于直線的對稱點為，則解得：，即連接交直線與點，則橢圓C的長軸長的最小值為，所以，即，所以橢圓C離心率，所以橢圓C的離心率的最大值為，故關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是求出橢圓C的長軸長的最小值，即可得離心率的最大值.14.在三棱錐中，，且.記直線，與平面所成角分別為，，已知，當三棱錐的體積最小時，則三棱錐外接球的表面積為______.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，探求點在平面內(nèi)的投影的軌跡，確定當三棱錐體積最小時點的位置，進而可得并求出外接球半徑，求出球的表面積.【詳解】設點在平面內(nèi)的投影為，由直線與平面所成角分別為，且，則，，，于是，以為軸，線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，令，由，，得，，，則，化簡得，因此點在以為圓心，為半徑的圓上，當最小時，最小，即三棱錐的體積最小，此時，，，，因此點在底面上的射影在上，且，又，顯然的中點到點的距離相等，此時三棱錐的外接球的球心為的中點，外接球的半徑，表面積為.故關鍵點點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接問題時，關鍵是確定球心的位置，再求出球半徑即可.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，，．（1）求B；（2）若B為銳角，邊上的高為，求的周長．【正確答案】（1）或（2）分析】（1）利用輔助角公式化條件等式先計算A，再利用正弦定理計算即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論作出圖形，利用直角三角形及三角恒等變換計算，再根據(jù)三角形周長公式計算即可.【小問1詳解】易知，所以，因為中，所以，而，則或；【小問2詳解】由上可知，，則，如圖，則，所以，，則，所以的周長為.16.已知數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，且數(shù)列的前n項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）寫出當時的等式，再與原式兩式相除求解即可；（2）由（1），再根據(jù)錯位相減求解可得，再化簡不等式可得，再設，根據(jù)作差法判斷的單調(diào)性，進而可得最大值.【小問1詳解】，當時，，兩式相除得；，又符合上式，故；【小問2詳解】，，，錯位相減得：，，即，由，得，設，則，故，由，由可知，隨著的增大而減小，故，故恒成立，知單調(diào)遞減，故的最大值為，則17.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）不妨設，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理即可得證；（2）以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】不妨設，因為平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；小問2詳解】由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，，所以，設，則，即，所以；設為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因為軸平面，則可取為平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，解得，故．18.平面內(nèi)有一點和直線，動點滿足：到點的距離與到直線的距離的比值是.點的運動軌跡是曲線，曲線上有四個動點.（1）求曲線的方程；（2）若在軸上方，，求直線的斜率；（3）若都在軸上方，，直線，求四邊形的面積的最大值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由已知條件列出方程化簡即可；（2）設Ax1,y1,Bx2,y2，設，與（3）延長，交橢圓于點，四邊形的面積，設，利用韋達定理結(jié)合基本不等式求的最大值.【小問1詳解】由題意，兩邊平方得，化簡得，所以曲線的方程為；【小問2詳解】，即，則直線的斜率是正數(shù)，設，直線的斜率為，設Ax1,化簡得，所以，由題意知，代入，消，可得，解得，所以直線的斜率是；【小問3詳解】延長，交橢圓于點，，由對稱性可知，和等底等高，，四邊形的面積，設，由（2）知，所以，即，令，所以，當且僅當即時，取到最大值，此時分別在正上方.方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結(jié)合題設條件