專題14.4 因式分解-重難點題型（學(xué)生版）2022年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（人教版）

專題14.4因式分解-重難點題型【人教版】【知識點1因式分解】定義：把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。以上公式都可以用來對多項式進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步驟：（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提取公因式。（2）在各項提出公因式以后或各項沒有公因式的情況下，觀察多項式的項數(shù)：2項式可以嘗試運用公式法分解因式；3項式可以嘗試運用公式法、十字相乘法分解因式；4項式及4項式以上的可以嘗試分組分解法分解因式（3）分解因式必須分解到每一個因式都不能再分解為止?！绢}型1因式分解的定義】【例1】（2021秋?岱岳區(qū)校級月考）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） D．18a3bc＝3a2b?6ac【變式1-1】（2021?唐山一模）下列各式：①x2﹣16＝（x+4）（x﹣4），②（a+b）2＝a2+2ab+b2，③a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）．從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A．2 B．①② C．①③ D．②③【變式1-2】（2021?黃山區(qū)二模）下列因式分解正確的是（）A．2ab2﹣4ab＝2a（b2﹣2b） B．a(chǎn)2+b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2+2xy﹣4y2＝（x﹣y）2 D．﹣my2+4my﹣4m＝﹣m（2﹣y）2【變式1-3】（2021春?青川縣期末）下列因式分解正確的是（）A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z） B．﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x+5） C．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2【題型2分解因式】【例2】（2021春?鄄城縣期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【變式2-1】（2021?漢壽縣模擬）分解因式：x2y2﹣16x2＝（）A．x2（y2﹣16） B．x2（y+4）（y﹣4） C．y2（x2﹣4） D．y2（x+4）（x﹣4）【變式2-2】（2021春?碑林區(qū)校級月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝．【變式2-3】（2020秋?紅山區(qū)期末）分解因式：①8m2n+2mn；②2a2﹣4a+2；③3m（2x﹣y）2﹣3mn2；④x4﹣2x2+1．【題型3因式分解的應(yīng)用（求代數(shù)式的值）】【例3】（2021春?高新區(qū)期末）若a＝b+1，則代數(shù)式a2﹣2ab+b2+2的值為．【變式3-1】（2021?蒼溪縣模擬）若2a﹣3b＝﹣3，則代數(shù)式4a2﹣6ab+9b的值為（）A．﹣1 B．9 C．7 D．5【變式3-2】（2021?內(nèi)江）若實數(shù)x滿足x2﹣x﹣1＝0，則x3﹣2x2+2021＝．【變式3-3】（2021春?諸暨市期末）已知x≠y，且滿足兩個等式x2﹣2y＝20212，y2﹣2x＝20212，則x2+2xy+y2的值為．【題型4因式分解的應(yīng)用（求系數(shù)的值）】【例4】（2021春?南山區(qū)校級期中）若多項式x2+mx﹣21可以分解為（x+3）（x﹣7），則m＝．【變式4-1】（2021?碑林區(qū)校級開學(xué)）若2x﹣5是多項式4x2+mx﹣5（m為系數(shù)）的一個因式，則m的值是（）A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【變式4-2】（2021春?聊城期末）已知二次三項式x2+px+q因式分解的結(jié)果是（x﹣3）（x﹣5），則p+q＝．【變式4-3】（2021?尋烏縣模擬）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；（2）若A﹣B可以分解為（x﹣2）（x﹣3），求A+B．【題型5因式分解的應(yīng)用（判定三角形的形狀）】【例5】（2020秋?中山市期末）已知a，b，c是△ABC的三條邊的長度，且滿足a2﹣b2＝c（a﹣b），則△ABC一定是三角形．【變式5-1】（2020秋?嘉魚縣期末）若△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【變式5-2】（2020秋?衛(wèi)輝市期末）若△ABC的三邊長是a、b、c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，則這個三角形形狀是三角形．【變式5-3】（2021春?滕州市期末）閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多項式只用上述方法無法分解，如：x2﹣4y2﹣2x+4y，細(xì)心觀察這個式子，會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個式子的分解因式．具體過程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．像這種將一個多項式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣2x+2y；（2）△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判斷△ABC的形狀．【題型6因式分解的應(yīng)用（整體思想）】【例6】（2021春?福田區(qū)校級期中）閱讀理解：對于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進(jìn)行因式分解時，換元法是一種常用的方法，下面是某同學(xué)用換元法對多項式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)a2﹣2a＝A，原式＝（A﹣1）（A+3）+4（第一步）＝A2+2A+1（第二步）＝（A+1）2（第三步）＝（a2﹣2a+1）2（第四步）＝（a﹣1）4回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的（填代號）．A．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）請你模仿以上方法，分解因式：（x2﹣4x﹣3）（x2﹣4x+11）+49．【變式6-1】（2021春?江都區(qū)期中）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：9（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+1；（3）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81．【變式6-2】（2021春?金臺區(qū)期末）閱讀下列材料：材料1：將一個形如x2+px+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m+n，則可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），如：（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再將“A”還原得：原式＝（x+y+1）2．上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）根據(jù)材料1，把x2+2x﹣24分解因式；（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）+16；②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3．【變式6-3】（2021春?南山區(qū)校級期中）先閱讀材料：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．解：令a+b＝M，則（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，所以（a+b）2