專題10 正方形的判定和性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題10正方形的判定和性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?襄州區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，則下列判斷：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；③若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形．正確的是（）A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④解：①∵D是BC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴DE∥AC．∵D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴DF∥AB．∴四邊形AEDF是平行四邊形．∴①正確；②如圖，由①知：AE∥DF，∴∠EAD＝∠ADF．若AD平分∠BAC，則∠EAD＝∠FAD．∴∠FAD＝∠ADF，∴AF＝FD，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形．∴②不正確；③如圖，若AD⊥BC，∵D是BC的中點(diǎn)，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC．∵AD⊥BC，E是AB的中點(diǎn)，∴DE＝AB．同理：DF＝AC，∴DE＝DF．由①知：四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形．∴③正確；④若∠A＝90°，如圖，由①知：四邊形AEDF是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴四邊形AEDF是矩形，∴④正確；綜上可得，正確的結(jié)論有：①③④，故選：C．2．（2分）（2021?石家莊一模）將圖1中兩個三角形按圖2所示的方式擺放，其中四邊形ABCD為矩形，連接PQ，MN，甲、乙兩人有如下結(jié)論：甲：若四邊形ABCD為正方形，則四邊形PQMN必是正方形；乙：若四邊形PQMN為正方形，則四邊形ABCD必是正方形．下列判斷正確的是（）A．甲正確，乙不正確 B．甲不正確，乙正確 C．甲、乙都不正確 D．甲、乙都正確解：若ABCD是正方形，可設(shè)AB＝BC＝CD＝AD＝x，∴AQ＝4﹣x，AP＝3+x，∴PQ2＝AQ2+AP2，即PQ＝＝＝，x取值不同則PQ的長度不同，∴甲不正確，若四邊形PQMN為正方形，則PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°，在△QMD和△PQA中，，∴△QMD≌△PQA（ASA），∴QD＝AP，同理QD＝AP＝MC＝BN，又∵BP＝MD＝AQ，∴QD﹣AD＝PA﹣AB，∴AB＝AD，同理AB＝CD＝AD＝BC，即四邊形ABCD為菱形，∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，則四邊形ABCD為正方形，∴乙正確，故選：B．3．（2分）（2022春?河西區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，并且AF＝BP＝CQ＝DE，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，∴DF＝CE＝BQ＝AP，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵EF＝FP＝PQ＝QE，∴四邊形EFPQ是菱形，∴EF∥PQ，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵△APF≌△BQP，∴∠AFP＝∠BPQ，∵∠AFP+∠APF＝90°，∴∠APF+∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴四邊形EFPQ是正方形．故C選項(xiàng)正確，不符合題意；∵四邊形PQEF的面積＝EF2，四邊形ABCD面積＝AB2，若四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半，則EF2＝AB2，即EF＝AB．若EF≠AB，則四邊形PQEF的面積不是四邊形ABCD面積的一半，故D選項(xiàng)不一定正確，符合題意．故選：D．4．（2分）（2021春?永年區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，BD與AC相交于點(diǎn)O．嘉嘉作DP∥OC，CP∥OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于點(diǎn)P；淇淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于點(diǎn)P，兩人的作法中，能使四邊形OCPD是正方形的是（）A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．嘉嘉和淇淇 D．以上均不正確解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC，OD⊥OC，∵DP∥OC，CP∥OD，∴四邊形DOCP是平行四邊形，∴DP＝OC，CP＝OD，∴DP＝OC＝CP＝OD，∴平行四邊形DOCP是正方形，故嘉嘉正確；∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC，OD⊥OC，∵DP＝OC，CP＝OD，∴DP＝OC＝CP＝OD，∴四邊形DOCP是正方形，故淇淇正確；故選：C．5．（2分）（2021春?黃州區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于G．有以下四個結(jié)論：①GA＝GD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠BAC＝90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正確的是（）A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④解：①根據(jù)已知條件不能推出GA＝GD，∴①錯誤；②∵AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥EF，∴②正確；③∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，∴四邊形AEDF是矩形，∵AE＝AF，∴四邊形AEDF是正方形，∴③正確；④∵AE＝AF，DE＝DF，∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正確；∴②③④正確，故選：D．6．（2分）（2020春?海淀區(qū)校級期末）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在﹣起，重合的部分構(gòu)成一個四邊形，給出以下四個論斷：①這個四邊形可能是正方形②這個四邊形一定是菱形③這個四邊形不可能是矩形④這個四邊形一定是軸對稱圖形，其中正確的論斷是（）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵AD∥BC，DC∥AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵兩張長方形直尺的寬度相等，∴DE＝DF，又∵平行四邊形ABCD的面積＝AB?DE＝BC?DF，∴AB＝BC，∴平行四邊形ABCD為菱形．當(dāng)∠DAB＝90°時，這個四邊形是正方形，∴這個四邊形一定是軸對稱圖形，故選：C．7．（2分）（2020?寧津縣一模）下列說法正確的是（）A．對角線相等且相互平分的四邊形是矩形 B．對角線相等且相互垂直的四邊形是菱形 C．四條邊相等的四邊形是正方形 D．對角線相互垂直的四邊形是平行四邊形解：A、對角線相等且相互平分的四邊形是矩形，故該選項(xiàng)正確；B、對角線相等且相互垂直的四邊形不一定是菱形，故該選項(xiàng)錯誤；C、四條邊相等的四邊形是菱形，不是正方形，故該選項(xiàng)錯誤；D、對角線相互垂直的四邊形不是平行四邊形，故該選項(xiàng)錯誤，故選：A．8．（2分）（2022?城關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P在對角線BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F(xiàn)分別為垂足，連結(jié)AP，EF，則下列命題：①若AP＝5，則EF＝5；②若AP⊥BD，則EF∥BD；③若正方形邊長為4，則EF的最小值為2，其中正確的命題是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：延長EP交AD于Q，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四邊形CEPF為矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四邊形PQDF為正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，則EF＝5，故①正確；若AP⊥BD，則∠PAQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正確；當(dāng)AP⊥BD時，AP有最小值，此時P為BD的中點(diǎn)，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值為，故③錯誤，故選：A．9．（2分）（2022?泰安一模）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個結(jié)論：①OA＝OD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠A＝90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正確的是（）A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④解：如果OA＝OD，則四邊形AEDF是矩形，沒有說∠A＝90°，不符合題意，故①錯誤；∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正確；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂線，∴AD⊥EF，故②正確；∵當(dāng)∠A＝90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，∴四邊形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四邊形AEDF是正方形，故③正確．綜上可得：正確的是：②③④，故選：D．10．（2分）（2021春?秦淮區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是邊AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，則DE的長度是（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4解：如圖，過C作CG⊥AD于G，并延長DG至F，使GF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCG為正方形，∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，∵AD＝3，∴DG＝4﹣3＝1，∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，∴△EBC≌△FGC（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD（SAS），∴ED＝DF，設(shè)ED＝x，則EB＝FG＝x﹣1，∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，∴（5﹣x）2+32＝x2，解得：x＝3.4，∴DE＝3.4．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2021春?萬山區(qū)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△BAD和△ACD的高，得到下列四個結(jié)論：①OA＝OD；②AD⊥EF；③當(dāng)∠A＝90°時，四邊形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正確的是②③④（填序號）．解：如果OA＝OD，則四邊形AEDF是矩形，沒有說∠A＝90°，不符合題意，故①錯誤；∵AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE+DF＝AF+DE，故④正確；∵在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂線，∴AD⊥EF，故②正確；∵當(dāng)∠A＝90°時，四邊形AEDF的四個角都是直角，∴四邊形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四邊形AEDF是正方形，故③正確．綜上可得：正確的是：②③④，故答案為：②③④．12．（2分）（2017?萊西市一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是3．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥DP交BC的延長線于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四邊形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四邊形ABCD的面積＝四邊形DPBE的面積＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案為：3．13．（2分）（2022春?新泰市期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OM、ON分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于點(diǎn)G．給出下列結(jié)論：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的；④DF2+CE2＝EF2.其中正確的為①②③.（將正確的序號都填入）解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，∴∠COE＝∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），故①正確；②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正確；③由①全等可得四邊形CEOF的面積與△OCD面積相等，∴四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的，故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴CE＝DF，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∴BE＝CF，在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，∴DF2+BE2＝EF2，故④錯誤；綜上所述，正確的是①②③，故選：①②③．14．（2分）（2022春?碑林區(qū)校級月考）如圖，∠EOD＝90°，點(diǎn)A、B分別在OE，OD上，∠EAB與∠ABD的角平分線交于點(diǎn)P，PC⊥AB于C，若PC＝2，則OP＝2．解：過點(diǎn)P作PG⊥OE于G，PH⊥OD于H，∵∠EOD＝90°，∴四邊形GOHP為矩形，∵AP平分∠EAB，PC⊥AB，PG⊥OE，∴PG＝PC＝2，同理可得：PH＝PC＝2，∴PG＝PH，∴矩形GOHP為正方形，∴OH＝PG＝2，∴OP＝＝2，故答案為：2．15．（2分）（2019春?伊通縣期末）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先把活動學(xué)具制作成圖1所示菱形，并測得∠B＝60°，接著活動學(xué)具制作成圖2所示正方形，并測得正方形的對角線AC＝acm，則圖1中對角線AC的長為acm．解：如圖1，2中，連接AC．在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝a，∴AB＝BC＝a，在圖1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝a，故答案為：a，16．（2分）（2022春?長春期末）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先活動學(xué)具成為圖1所示菱形，并測得∠B＝60°，接著活動學(xué)具成為圖2所示正方形，并測得正方形的對角線AC＝40cm，則圖1中對角線AC的長為20cm．解：如圖1，2中，連接AC．在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∵AC＝40，∴AB＝BC＝20，在圖1中，∵∠B＝60°，BA＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC＝20，故答案為：20，17．（2分）（2022春?武城縣期末）如圖平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，BD＝2BC，E．F．G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①△EFG為等腰三角形；②四邊形AGEF為正方形；③ME⊥GF；④GH＝HE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE．其中正確的有①③④⑤⑥．解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，∴BC＝BO，∵E是CO中點(diǎn)，∴BE⊥AC，∵BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中點(diǎn)，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G為AB中點(diǎn)，∴EG＝AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EF＝CD，∴EG＝EF，∴△EFG為等腰三角形；故①正確；②連接AF，Rt△AEB中，G是AB的中點(diǎn)，∴EG＝AB＝AG，∵EG＝EF，∴AG＝EF，∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∵AB∥CD，∴AG∥EF，∴四邊形AGEF是菱形，∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，故②錯誤，③⑥正確；∵E．F．G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，∴EF∥CD∥AB，EF＝CD＝AB＝BG，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴GH＝HE；故④正確；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD＝2∠CBE，∴故⑤正確；本題正確的有：①③④⑤⑥．故答案為：①③④⑤⑥．18．（2分）（2016春?青山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝45°，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，BD平分∠ABC，則BD的長為6．解：過D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，∵AB⊥BC，∴∠AMD＝∠N＝∠ABC＝90°，∴四邊形DMBN是矩形，∵BD平分∠ABC，∴DM＝DN，∴四邊形DMBN是正方形，∴BM＝BN，設(shè)CN＝x，∵AB＝4，BC＝3，∴AB＝5，AM＝3+x﹣4＝x﹣1，延長AM到G使MG＝CN，連接DG，則∠DMG＝∠N＝90°，DM＝DM，∴△DMG≌△DNC（SAS），∴DG＝DC，∠GDM＝∠CDN，∵∠ADC＝45°，∴∠GDA＝∠GDM+∠MDA＝45°，∴∠GDA＝∠ADC，∵AD＝AD，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴AC＝AG＝AM+CN＝2x﹣1＝5，∴x＝3，∴BN＝6，∴BD＝6．故答案為：6．19．（2分）（2022春?香坊區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，連接BD、CA，且CA平分∠BCD，若AC＝45，BC＝15，則BD＝39．解：將△ADC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AC'D'，連接C'C，過點(diǎn)A作AH⊥CC′于H．則△AC'C是等腰直角三角形，AC＝AC′＝45，CC′＝90，∵∠BCD＝90°，且CA平分∠BCD，∴∠C'＝∠ACB＝45°，∴C'，D'，B，C均在同一直線上，在△DAB與△D'AB中，，∴△DAB≌△D'AB（SAS），∴DB＝D'B，設(shè)DB＝D'B＝x，在Rt△BCD中，BD2﹣CD2＝BC2，∴x2﹣CD2＝152①，∵BC+BD'+C'D'＝CC'＝90，∴15+x+CD＝90，即x+CD＝75②，由①②可得：x＝39，∴BD＝39．故答案為：39．20．（2分）（2021春?惠民縣期末）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，連接AD，DE，DF，有下列結(jié)論：①四邊形AEDF一定是平行四邊形；②若∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，則四邊形AEDF是菱形．其中正確的有①②④．（填序號）解：①∵點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，∴DE、DF為△ABC的中位線，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四邊形AEDF一定是平行四邊形，故正確；②若∠BAC＝90°，則平行四邊形AEDF是矩形，故正確；③若AD平分∠BAC，則∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，∴不能判定四邊形AEDF是正方形，故錯誤；④若AD⊥BC，則AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故正確．故答案為：①②④．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022春?武漢期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的角平分線交于點(diǎn)G，GE⊥BC于點(diǎn)E，GF⊥AC于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形GECF是正方形；（2）若AC＝4，BC＝3，求四邊形GECF的面積．（1）證明：過G作GD⊥AB于D，∵∠CAB、∠CBA的角平分線交于G點(diǎn)，GE⊥BC于點(diǎn)E，GF⊥AC于點(diǎn)F，∴DG＝EG，DG＝FG，∴EG＝FG，∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，GE⊥BC，GF⊥AC，∴∠C＝∠CEG＝∠CFG＝90°，∴四邊形GECF是矩形，∵EG＝FG，∴四邊形GECF為正方形；（2）解：如圖2，連接CG，過G作GD⊥AB于D，由勾股定理得：AB＝＝5，設(shè)EG＝x，則DG＝FG＝x，∵S△ABC＝S△AGB+S△AGC+S△BCG，∴×3×4＝?5x+?4x+?3x，∴x＝1，∴四邊形GECF的面積＝EG2＝1．22．（6分）（2022春?東臺市期中）如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分線交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別作直線CE，CF的垂線，點(diǎn)B，D為垂足．（1）∠EAF＝45°（直接寫結(jié)果）．（2）①求證：四邊形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝2，求DF的長．（1）解：∵∠C＝90°，∴∠CFE+∠CEF＝90°，∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，故答案為：45°；（2）①證明：作AG⊥EF于G，如圖1所示：則∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四邊形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分線交于點(diǎn)A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形；②解：設(shè)DF＝x，∵BE＝EC＝2，∴BC＝4，由①得四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4，在Rt△ABE與Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，即22+（4﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝，∴DF的長為．23．（8分）（2022?南明區(qū)二模）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，AB＝，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG．（1）求證：矩形DEFG為正方形；（2）求證：CE+CG＝8．（1）證明：如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）證明：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×4＝8，24．（8分）（2021秋?威寧縣校級期末）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的長；（3）當(dāng)∠ADE＝40°時，求∠EFC的度數(shù)．（1）證明：過點(diǎn)E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DCA＝∠BCA＝45°．∵EP⊥CD，EQ⊥BC，∴∠QEC＝∠PEC＝45°，EQ＝EP．∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED．在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形．（2）解：如圖2，在Rt△ABC中，，∵CE＝2，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時△DCG是等腰直角三角形，∴CG＝2．（3）解：當(dāng)∠ADE＝40°時，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°．∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°．25．（8分）（2022春?桂林期末）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG⊥AE于點(diǎn)G，DG與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形ABEF是正方形；（2）若AD＝AE，求證：AB＝AG；（3）在（2）的條件下，已知AB＝1，求OD的長．（1）證明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四邊形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四邊形ABEF是正方形；（2）∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，，∴△AGD≌△ABE（AAS），∴AB＝AG；（3）∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四邊形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，∴四邊形ABEF是正方形；∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，∴DF＝﹣1，∵EF⊥AD，∴∠FDO＝∠FOD＝45°，∴DF＝FO＝﹣1，∴DO＝DF＝2﹣．26．（8分）（2022春?沂水縣期中）（1）將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)A'處，得到折痕DE，如圖1．求證：四邊形AEA'D是正方形；（2）將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AD上的點(diǎn)C'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，得到折痕EF，B'C'交AB于點(diǎn)M，如圖2．線段MC'與ME是否相等？若相等，請給出證明；若不等，請說明理由．（1）證明：∵ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)A'處，得到折痕DE，∴AD＝A′D，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AD＝AE＝A′E＝A′D，∴四邊形AEA′D是菱形，∵∠A＝90°，∴四邊形AEA′D是正方形；（2）解：MC′＝ME．證明：如圖1，連接C′E