（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+隨堂檢測(cè)13拋物線方程及其性質(zhì)（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第第頁資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】第13課拋物線方程及其性質(zhì)考點(diǎn)01拋物線的定義與方程【例1】若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．橢圓B．拋物線C．直線D．雙曲線【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義確定軌跡作答.【詳解】動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，而點(diǎn)不在直線，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)到直線的垂線段中點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線.故選：B【變式1-1】（多選）若拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以為（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則，依題意可知，所以，則.所以點(diǎn)坐標(biāo)為：、.故選：BD

【變式1-2】若拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（

）A．B．1C．D．【答案】D【分析】設(shè)，由拋物線定義列式求得，即可依次求，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.【詳解】由題得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則準(zhǔn)線方程為，設(shè)，根據(jù)拋物線定義有有，∴，∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為.故選：D.考點(diǎn)02拋物線方程與位置特征【例2】（多選）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．開口向左B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．準(zhǔn)線為D．對(duì)稱軸為軸【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，開口向左，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，，對(duì)稱軸為軸，故D正確.故選：AD【變式2-1】（多選）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為B．開口向上，焦點(diǎn)為C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4D．準(zhǔn)線方程為【答案】AC【分析】寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即，即可得到相關(guān)結(jié)論【詳解】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為．故選：AC【變式2-2】拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù).【答案】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其準(zhǔn)線方程即可求得實(shí)數(shù).【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其準(zhǔn)線方程是，而所以，即，故答案為：考點(diǎn)03距離的最值問題【例3】拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則點(diǎn)到拋物線上動(dòng)點(diǎn)的距離最小值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得拋物線的方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，所以拋物線的方程為，且，所以拋物線的方程為，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：B【變式3-1】若點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，且，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．B．C．D．4【答案】A【分析】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)三點(diǎn)共線求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，則，不妨設(shè)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由于，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，所以的最小值為.故選：A

【變式3-2】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若點(diǎn)A為拋物線任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義把問題轉(zhuǎn)化為求取得最小值，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當(dāng)D，B，A三點(diǎn)共線時(shí)最小，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入拋物線方程可知.故選：B.考點(diǎn)04拋物線中的三角形和四邊形問題【例4】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．3B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)，則，過分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，過作于，求得的傾斜角為，得到直線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)，則，如圖所示，不妨設(shè)的傾斜角為銳角，過分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則，，過作于，則，所以，所以的傾斜角為，由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線方程為，即，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，可得，可得，所以.故選：C.

【變式4-1】設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，且平行于x軸，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，若，則梯形的面積為（

）A．12B．6C．D．【答案】D【分析】由已知及拋物線定義證是正三角形，再求梯形的面積即可.【詳解】由題知，拋物線的焦點(diǎn)F為，準(zhǔn)線l為，如圖所示.

由題知，因?yàn)椋?，則.因?yàn)椋?，由拋物線的定義知，所以是正三角形，所以，則.故選：D【變式4-2】過的直線l與拋物線E：交于，兩點(diǎn)，且與E的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，點(diǎn)F是E的焦點(diǎn)，若的面積是的面積的3倍，則【答案】【分析】由題意設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，再由的面積是的面積的3倍，可得到準(zhǔn)線的距離是到準(zhǔn)線有距離的3倍，則，從而可求出，進(jìn)而可求得答案.【詳解】由，得，由題意可知直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，由，得，易得，所以，因?yàn)榈拿娣e是的面積的3倍，所以，所以到準(zhǔn)線的距離是到準(zhǔn)線的距離的3倍，所以，即，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，解得或（舍去），所以，所以，故答案為：考點(diǎn)05拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【例5】定義：既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱的曲線稱為“尚美曲線”，下是方程所表示的曲線中不是“尚美曲線”的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用圓、橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)，根據(jù)條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，由圓的性質(zhì)知，的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為軸，軸，即既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由橢圓的性質(zhì)知，的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為軸，軸，即既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由雙曲線的性質(zhì)知，的對(duì)稱中心為，對(duì)稱軸為軸，軸，即既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由，得到，由拋物線性質(zhì)知，關(guān)于軸對(duì)稱，無對(duì)稱中心，所以選項(xiàng)D正確.故選：D.【變式5-1】為拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】在拋物線中可借助直角三角形的正切值的求解.再由對(duì)稱性求.【詳解】拋物線中時(shí)可得，且則，?。ㄈ鐖D）

，,又對(duì)稱性可知.故選；C.【變式5-1】對(duì)拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為D．開口向右，焦點(diǎn)為【答案】A【解析】將拋物線方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.考點(diǎn)06直線與拋物線的位置關(guān)系【例6】已知直線，拋物線，l與有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條B．2條C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【分析】將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，使得方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求出對(duì)應(yīng)的的取值個(gè)數(shù)即可.【詳解】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程為僅有一解，符合題意；當(dāng)時(shí)，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C【變式6-1】（多選）已知直線l過定點(diǎn)，則與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】分斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)分二次系數(shù)是否為0討論可得.【詳解】（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，直線l的方程為，即，B正確.（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線相切，只有一個(gè)交點(diǎn)，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.

考點(diǎn)07拋物線的焦點(diǎn)弦問題【例7】直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（

）A．4B．C．8D．【答案】C【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結(jié)合條件，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得弦長(zhǎng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，因?yàn)?，所以，得，①因?yàn)?，所以，即，②由方程①②可得，，所?故選：C【變式7-1】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作出拋物線與直線AB的圖像，利用拋物線的定義將曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為曲線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，借助幾何圖形可判斷直線AB的傾斜角，從而可得答案．【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，過點(diǎn)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，作，垂足為，則軸，設(shè)，則，，由拋物線的定義得，則有，在中，等于直線的傾斜角，其正切值即為值，，，∴，于是直線l的傾斜角為，斜率．當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得斜率為.故選：D．【變式7-2】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3，則弦AB的長(zhǎng)為．【答案】10【分析】設(shè)，由中點(diǎn)到軸距離結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求解．【詳解】設(shè)，則，由拋物線方程可知，由線段的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3得，，∴故答案為：.考點(diǎn)08拋物線的中點(diǎn)弦問題【例8】已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求得直線斜率，由直線點(diǎn)斜式方程可整理得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，由得：，線段的中點(diǎn)為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.【變式8-1】拋物線：與直線交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的斜率為.【答案】【分析】設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，由，可得，進(jìn)而結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式即兩點(diǎn)間的斜率公式求解即可.【詳解】已知的中點(diǎn)為，設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則，可得，即，即又，所以.故答案為：.【變式8-2】已知拋物線與過焦點(diǎn)的一條直線相交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則弦的長(zhǎng)【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立拋物線及韋達(dá)定理，結(jié)合弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)求參數(shù)，最后應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求即可.【詳解】由題意拋物線焦點(diǎn)，且直線斜率不為0，設(shè)，聯(lián)立拋物線得，，故，，所以，即，則.故答案為：考點(diǎn)9直線與拋物線的綜合問題【例9】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M，N在拋物線上，且.(1)證明：直線過定點(diǎn)；(2)設(shè)C在點(diǎn)M，N處的切線相交于點(diǎn)P，求的取值范圍.【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合平面向量數(shù)量積計(jì)算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得出過M、N的切線方程，求出切線的交點(diǎn)P坐標(biāo)，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得出比值，利用函數(shù)研究計(jì)算其范圍即可.【詳解】（1）由題意可設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立拋物線方程，所以，又，化簡(jiǎn)得，解之得，即直線為：，顯然過定點(diǎn)；（2）由拋物線，則點(diǎn)的切線方程分別為，易知，聯(lián)立切線方程可得，結(jié)合（1）可知，∴，故，，由弦長(zhǎng)公式及（1）可得，所以，易知，即的取值范圍為.【變式9-1】已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線C的方程；(2)直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l否會(huì)過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)；(2)恒過定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出值作答.（2）設(shè)出直線的方程，與的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】（1）由知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，而是該拋物線的焦點(diǎn)，又，因此，解得，所以拋物線C的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，則有，即，因此，則，解得，滿足，直線過定點(diǎn)，所以直線恒過定點(diǎn).

拋物線方程及其性質(zhì)隨堂檢測(cè)1.已知是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由結(jié)合拋物線的定義可求出的值，進(jìn)而可求的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€：的焦點(diǎn)，所以，又，由拋物線的定義可知，解得，所以.故選：A2.設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】5【分析】過作準(zhǔn)線的垂線垂足為，交拋物線于，根據(jù)拋物線的定義可得，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，小值．【詳解】拋物線，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時(shí)，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如圖，過作準(zhǔn)線的垂線垂足為，交拋物線于，由拋物線的定義，可知，故．即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和最小值為．故答案為：．3.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為．【答案】【分析】由題意可求得拋物線的方程，設(shè)，由“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線為，所以易得拋物線的方程為，設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，故，則，由，兩式相減得，所以，故直線的方程為，即．故答案為：.

4.如圖，已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和的最小值為.

【答案】12【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義將點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到焦點(diǎn)的距離之和減去1，繼而利用幾何意義求得答案.【詳解】由拋物線方程可知其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為P到準(zhǔn)線的距離減去1，

由拋物線定義知P到準(zhǔn)線的距離等于P到焦點(diǎn)的距離，設(shè)P到x軸的距離為d，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，而，故，即點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和的最小值為12.5.傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于A，兩點(diǎn)(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求的面積（為坐