中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺第10講 全等三角形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）（解析版）

第10講全等三角形（知識(shí)精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3.善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三角形全等.【知識(shí)導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、基本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等；對(duì)應(yīng)的高線，中線，角平分線相等.3.全等三角形的判定方法（1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；（5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL).考點(diǎn)二、靈活運(yùn)用定理三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來．應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點(diǎn)：1.條件充足時(shí)直接應(yīng)用判定定理要點(diǎn)詮釋：在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等.這種情況證明兩個(gè)三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等．2.條件不足，會(huì)增加條件用判定定理要點(diǎn)詮釋：此類問題實(shí)際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案．3.條件比較隱蔽時(shí)，可通過添加輔助線用判定定理要點(diǎn)詮釋：在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等．常見的幾種輔助線添加：①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”；②遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；③遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；④過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；⑤截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目．【典型例題】題型一、全等三角形例1.如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，BP=AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB．求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題．【答案與解析】證明：（1）∵BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴AP=AQ.(2)∵AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【總結(jié)升華】在確定全等條件時(shí)，注意隱含條件的尋找.【變式】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．【答案與解析】（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．題型二、靈活運(yùn)用定理例2．如圖，已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF.【思路點(diǎn)撥】將所求的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)或相關(guān)聯(lián)的三角形中進(jìn)行求解．【答案與解析】證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）,∴BE＋CF＞EF.【總結(jié)升華】當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中.【變式】如圖所示，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：AC=BF.【答案】證明：延長(zhǎng)AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴AC=BH,∠H=∠HAC，∵EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴BH=BF，∴BF=AC．例3．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，AB＞AD，試判斷AB-AD與CD-CB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形中大邊對(duì)應(yīng)大角的關(guān)系．【答案與解析】AB-AD＞CD-CB；證明：在AB上取一點(diǎn)E，使得AE=AD，連結(jié)CE．∵AC平分∠BAD，∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【總結(jié)升華】本題也可以延長(zhǎng)AD到E，使得AE=AB，連結(jié)CE．涉及幾條線段的大小關(guān)系時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形是常用的方法．【變式】如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【答案】證明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．例4．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．【思路點(diǎn)撥】在AC上取AF=AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再證得∠COF=∠COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得結(jié)論．【答案與解析】在AC上取AF=AE，連接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO=∠FAO，在△AEO與△AFO中，∵∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE=∠AOF；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=（180°-∠B）=60°則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（對(duì)頂角相等）則∠COF=60°，∴∠COD=∠COF，又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC=FC，∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．題型三、綜合運(yùn)用例5．如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點(diǎn)，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路點(diǎn)撥】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可寫出結(jié)論．

（2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．【答案與解析】證明：（1）延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)G，連接AD．∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC．∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED與△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）設(shè)AC與FD交于點(diǎn)O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．【變式】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四邊形ACDE是平行四邊形，連結(jié)CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BD交CE于點(diǎn)G，連結(jié)BE.下列結(jié)論中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正確的結(jié)論有()．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè)AABCDEFG【答案】D.例6．如圖，已知△ABC.（1）請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E(BC的中點(diǎn)除外)，連結(jié)AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請(qǐng)你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件，證明AB+AC＞AD+AE．【思路點(diǎn)撥】考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系．本題（2）中通過構(gòu)建全等三角形將已知和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵．【答案與解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面積相等.（2）取DE的中點(diǎn)O，連結(jié)AO并延長(zhǎng)到F點(diǎn)，使得FO=AO，連結(jié)EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可證△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因?yàn)锽D=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可證△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延長(zhǎng)AE交CF于G點(diǎn),在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【總結(jié)升華】正確構(gòu)造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論是關(guān)鍵.【變式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問：DE、AD、BE有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【答案】證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共9小題）1．（2022?成都）如圖，在△ABC和△DEF中，點(diǎn)A，E，B，D在同一直線上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一個(gè)條件，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，則可根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，∵AC＝DF，∴當(dāng)添加∠C＝∠F時(shí)，可根據(jù)“ASA”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加∠ABC＝∠DEF時(shí)，可根據(jù)“AAS”判定△ABC≌△DEF；當(dāng)添加AB＝DE時(shí)，即AE＝BD，可根據(jù)“SAS”判定△ABC≌△DEF．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的根據(jù)，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．2．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】解：A．利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；B．利用三角形兩邊、且夾角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；C．AB，AC，∠B，無(wú)法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；D．根據(jù)∠A，∠B，BC，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．3．（2022?金華）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，OA＝OD，OB＝OC，不添加輔助線，判定△ABO≌△DCO的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法，可以得到判定△ABO≌△DCO的依據(jù)．【解答】解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出△AOB和△DOC全等的證明過程．4．（2022?云南）如圖，OB平分∠AOC，D、E、F分別是射線OA、射線OB、射線OC上的點(diǎn)，D、E、F與O點(diǎn)都不重合，連接ED、EF．若添加下列條件中的某一個(gè)，就能使△DOE≌△FOE．你認(rèn)為要添加的那個(gè)條件是（）A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE【分析】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根據(jù)AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．【解答】解：∵OB平分∠AOC，∴∠DOE＝∠FOE，又OE＝OE，若∠ODE＝∠OFE，則根據(jù)AAS可得△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)D符合題意，而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)A不符合題意，增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)B不符合題意，增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故選項(xiàng)C不符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理并會(huì)應(yīng)用．5．（2022?梧州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，由“AAS”可證△BDE≌△CDF，可得DE＝DF．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，∴∠ADC＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022?泰安）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，∠ABC＝60°，BC＝2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD＝4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE＝S△ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】通過判定△ABE為等邊三角形求得∠BAE＝60°，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠EAC＝30°，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【解答】解：∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BC＝2BE＝2CE，又∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AB⊥AC，故①正確；在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AB⊥AC，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴平行四邊形AECF是菱形，故③正確；∴AC⊥EF，在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，故②正確；在平行四邊形ABCD中，OA＝OC，又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，故④正確；正確的結(jié)論由4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．7．（2022?西寧）如圖，∠MON＝60°，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B；分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線OP；連接AB，AP，BP，過點(diǎn)P作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F．則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．△AOB是等邊三角形 B．PE＝PF C．△PAE≌△PBF D．四邊形OAPB是菱形【分析】利用等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，和菱形的判定定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B，∴OA＝OB，∵∠MON＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴A的結(jié)論正確，不符合題意；∵分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，∴PA＝PB，在△OPA和△OPB中，，∴△OPA≌△OPB（SSS），∴∠POA＝∠POB．∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE＝PF．∴B的結(jié)論正確，不符合題意；∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴∠PEA＝∠PFB＝90°．在Rt△PAE和Rt△PBF中，，∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）．∴C的結(jié)論正確，不符合題意；由作圖過程可知：OB與PB不一定相等，∴四邊形OAPB是菱形不成立，∴D的結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，基本作圖和菱形的判定定理，利用基本作圖的過程得出線段相等的條件是解題的關(guān)鍵．8．（2022?湘西州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長(zhǎng)即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時(shí)，四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長(zhǎng)最小值為14+8＝22，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵．9．（2022?淄博）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC邊上，過△ABD的內(nèi)心I作IE⊥BD于點(diǎn)E．若BD＝10，CD＝4，則BE的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】如圖，連接AI，BI，CI，DI，過點(diǎn)I作IT⊥AC于點(diǎn)T．證明△IDT≌△IDE（AAS），推出DE＝DT，IT＝IE，證明Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），推出BE＝CT，設(shè)BE＝CT＝x，根據(jù)DE＝DT，可得10﹣x＝x﹣4，求出x即可解決問題．【解答】解：如圖，連接AI，BI，CI，DI，過點(diǎn)I作IT⊥AC于點(diǎn)T．∵I是△ABD的內(nèi)心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，設(shè)BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．二．填空題（共11小題）10．（2022?寧夏）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，OB＝OD，要使△AOB≌△COD，添加一個(gè)條件是OA＝OC（答案不唯一）.（只寫一個(gè)）【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，即可解答．【解答】解：∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∴△AOB≌△COD（SAS），∴要使△AOB≌△COD，添加一個(gè)條件是OA＝OC，故答案為：OA＝OC（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．11．（2022?湖北）如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件∠A＝∠D，使△ABC≌△DEF．【分析】添加條件：∠A＝∠D，根據(jù)ASA即可證明△ABC≌△DEF．【解答】解：添加條件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案為：∠A＝∠D．（答案不唯一）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．12．（2022?牡丹江）如圖，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件CB＝CE（答案不唯一），使△ABC≌△DEC．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB，∵CA＝CD，CB＝CE，∴△ABC≌△DEC（SAS），故答案為：CB＝CE（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．13．（2022?黑龍江）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，請(qǐng)你添加一個(gè)條件OB＝OD（答案不唯一），使△AOB≌△COD．【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的條件是OB＝OD，理由是：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），故答案為：OB＝OD（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．14．（2022?株洲）如圖所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，若OM＝ON，則∠ABO＝15度．【分析】方法一：根據(jù)OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，從而可證Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度數(shù)．方法二：根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．【解答】解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解題的關(guān)鍵．15．（2022?南充）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上（不與A，B重合），將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，連接A1B，將A1B繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C．給出下列四個(gè)結(jié)論：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③點(diǎn)P是直線DE上動(dòng)點(diǎn)，則CP+A1P的最小值為；④當(dāng)∠ADE＝30°時(shí)，△A1BE的面積為．其中正確的結(jié)論是①②③．（填寫序號(hào)）【分析】①正確．根據(jù)SAS證明三角形全等即可；②正確．過點(diǎn)D作DT⊥CA1于點(diǎn)T，證明∠ADE+∠CDT＝45°，∠CDT＝∠BCA1即可；③正確．連接PA，AC．因?yàn)锳，A1關(guān)于DE對(duì)稱，推出PA＝PA1，推出PA1+PC＝PA+PC≥AC＝，可得結(jié)論；④錯(cuò)誤．過點(diǎn)A1作A1H⊥AB于點(diǎn)H，求出EB，A1H，可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90°，∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正確，過點(diǎn)D作DT⊥CA1于點(diǎn)T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正確．連接PA，AC．∵A，A1關(guān)于DE對(duì)稱，∴PA＝PA1，∴PA1+PC＝PA+PC≥AC＝，∴PA1+PC的最小值為，故③正確，過點(diǎn)A1作A1H⊥AB于點(diǎn)H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD?tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E?sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，解直角三角形，翻折變換，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．16．（2022?大慶）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形ABCD的周長(zhǎng)是△BEF周長(zhǎng)的2倍．連接DE，DF分別與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，N，給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若AE＝2，CF＝3，則EF＝4；②∠EFN+∠EMN＝180°；③若AM＝2，CN＝3，則MN＝4；④若＝2，BE＝3，則EF＝4．其中正確結(jié)論的序號(hào)為②．【分析】根據(jù)已知條件可得EF＝AE+FC，即可判斷①，進(jìn)而推出∠EDF＝45°，判斷②正確，作DG⊥EF于點(diǎn)G，連接GM，GN，證明△GMN是直角三角形，結(jié)合勾股定理驗(yàn)證③，證明∠BEF＝∠MNG＝30°，即可判斷④．【解答】解：∵正方形ABCD的周長(zhǎng)是△BEF周長(zhǎng)的2倍，∴BE+BF+EF＝AB+BC，∴EF＝AE+FC，若AE＝2，CF＝3，則EF＝2+3＝5，故①錯(cuò)誤；如圖，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)H，使得AH＝CF，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°，在△AHD和△CFD中，，∴△AHD≌△CFD（SAS），∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC，又∵EF＝AE+CF，∴EF＝AE+AH＝EH，在△DEH和△DEF中，，∴△DEH≌△DEF（SSS），∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°∴∠EDF＝∠HDE＝45°，∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF，∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFC+∠EDF+∠DEF＝180°，則∠EFN+∠EMN＝180°，故②正確；如圖，作DG⊥EF于點(diǎn)G，連接GM，GN，在△AED和△GED中，，∴△AED≌△GED（AAS），同理，△GDF≌△CDF（AAS），∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF，∴點(diǎn)A，G關(guān)于DE對(duì)稱軸，C，G關(guān)于DF對(duì)稱，∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°，∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形，若AM＝2，CN＝3，∴GM＝2，GN＝3，在Rt△GMN中，MN＝＝，故③錯(cuò)誤；∵M(jìn)G＝AM，且＝2，BE＝3，在Rt△GMN中，sin∠MNG＝＝＝，∴∠MNG＝30°，∵∠EFN+∠EMN＝180°，∠EMN+∠AME＝180°，且∠CFN＝∠EFN，∴∠AME＝∠CFN，∴2∠AME＝2∠CFN，即∠AMG＝∠CFG，∴∠GMN＝∠BFE，∴∠BEF＝∠MNG＝30°，∴cos∠BEF＝cos∠MNG＝＝，∴EF＝2，故④錯(cuò)誤，綜上，正確結(jié)論的序號(hào)為②，故答案為：②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，題目有一定綜合性，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．17．（2022?日照）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長(zhǎng)的最小值是2．【分析】方法一：點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，當(dāng)OF⊥F1F2時(shí)，垂線段OF最短，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時(shí)，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，進(jìn)而得P1A＝P1F1＝AF1＝，求得點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（，0），當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時(shí)，求得點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，﹣4），最后根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線F1F2的解析式為y＝x﹣4，再由線段中垂線性質(zhì)得出F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則根據(jù)面積法得×OF1×OF2＝×F1F2×h，即××4＝××h，解得h＝2，根據(jù)垂線段最短，即可得到線段OF的最小值為2．方法二：如圖，在第二象限作等邊三角形AOB，連接BP、AF，過點(diǎn)B作BP′⊥x軸于點(diǎn)P′，可證得△BAP≌△OAF（SAS），得出BP＝OF，當(dāng)BP⊥x軸時(shí)，BP最小值為2，故OF的最小值為2．【解答】解：方法一：∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝AF，如圖，當(dāng)點(diǎn)F1在x軸上時(shí)，△P1AF1為等邊三角形，則P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（，0），如圖，當(dāng)點(diǎn)F2在y軸上時(shí)，∵△P2AF2為等邊三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，∴當(dāng)OF⊥F1F2時(shí)，線段OF最短，設(shè)直線F1F2的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線F1F2的解析式為y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，設(shè)點(diǎn)O到F1F2的距離為h，則×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即線段OF的最小值為2；方法二：如圖，在第二象限作等邊三角形AOB，連接BP、AF，過點(diǎn)B作BP′⊥x軸于點(diǎn)P′，∵將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等邊三角形，∴AP＝AF，∠PAF＝60°，∵△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)BP⊥x軸時(shí)，BP最小，即點(diǎn)P與點(diǎn)P′重合時(shí)BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值為2，故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運(yùn)用等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積法求最短距離，解題時(shí)注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運(yùn)用．18．（2022?包頭）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D為AB邊上一點(diǎn)，且BD＝BC，連接CD，以點(diǎn)D為圓心，DC的長(zhǎng)為半徑作弧，交BC于點(diǎn)E（異于點(diǎn)C），連接DE，則BE的長(zhǎng)為3﹣3．【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝AC＝3，∠A＝∠B＝45°，∵BD＝BC＝3，AC＝BC，∴BD＝AC，AD＝3﹣3．∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC．∵BD＝BC，∴∠DCE＝∠CDB，∴∠CED＝∠CDB，∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，∴∠CDE＝∠B＝45°．∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，∴∠ACD＝∠EDB．在△ADC和△BED中，，∴△ADC≌△BED（SAS）．∴BE＝AD＝3﹣3．故答案為：3﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確找出圖中的全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．（2022?朝陽(yáng)）等邊三角形ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，BD＝2CD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．若CE＝2，則等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3或．．【分析】分兩種情況，先證明△CAE≌△BAD（SAS），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，E點(diǎn)在AD的右邊，∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，如圖，E點(diǎn)在AD的左邊，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，過點(diǎn)E作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，故答案為：3或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明△CAE≌△BAD是解題的關(guān)鍵．20．（2022?深圳）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，連接CE，以CE為底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE邊上的一點(diǎn)，連接BD和BF，且∠FBD＝45°，則AF長(zhǎng)為．【分析】將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HD，連接BH，利用SAS證明△EDH≌△CDB，得EH＝CB＝5，∠HED＝∠BCD＝90°，從而得出HE∥DC∥AB，則△ABF∽△EHF，即可解決問題．【解答】解：將線段BD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段HD，連接BH，延長(zhǎng)HE交BC于G，∴△BDH是等腰直角三角形，∴∠HBD＝45°，∵∠FBD＝45°，∴點(diǎn)B、F、H共線，又∵△EDC是等腰直角三角形，∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，∴△EDH≌△CDB（SAS），∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，∴∠BGH＝∠BDH＝90°，∴HE∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴，∵AE＝2，∴，∴AF＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）21．（2022?銅仁市）如圖，點(diǎn)C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．求證：△ABC≌△CDE．【分析】根據(jù)一線三垂直模型利用AAS證明△ABC≌△CDE即可．【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°，∴∠BCA＝∠DEC，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握一線三垂直模型是解題的關(guān)鍵．22．（2022?益陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．【分析】由垂直的定義可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行線的性質(zhì)可得，∠A＝∠DCE，進(jìn)而由ASA可得結(jié)論．【解答】證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題基礎(chǔ)．23．（2022?廣州）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求證：△ABD≌△ACE．【分析】根據(jù)等角對(duì)等邊可得AB＝AC，然后利用SAS證明△ABD≌△ACE，即可解答．【解答】證明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2022?安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°時(shí)，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性質(zhì)可得BC的長(zhǎng)，由角度關(guān)系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD＝1，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．25．（2022?蘭州）如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根據(jù)SAS可證△BAC≌△EAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC與△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．26．（2022?黃石）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且點(diǎn)D在線段BC上，連CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度數(shù)．【分析】（1）可利用SAS證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AEC的度數(shù)，進(jìn)而可求可求解【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．27．（2022?資陽(yáng)）如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點(diǎn)C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面積．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，設(shè)BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合題意的x的值為2，則BC＝5，再根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，即可求出△BCD的面積．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，設(shè)BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合題意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC?DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面積為10．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的解法等知識(shí)與方法，證明三角形全等以及根據(jù)勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．28．（2022?荊門）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對(duì)折到△ACE的位置，AE和CD交于點(diǎn)F．（1）求證：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF＝CF是解題的關(guān)鍵．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共4小題）1．（2023?金安區(qū)校級(jí)模擬）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝45°，F(xiàn)是高BD和CE的交點(diǎn)，AD＝3，CD＝5，則線段BF的長(zhǎng)度為（）A．1 B．2 C． D．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CD＝BD，再利用ASA證明△CDF≌△BDA，得DF＝AD，從而得出答案．【解答】解：∵F是高BD和CE的交點(diǎn)，∴∠CDF＝∠ADB＝∠CEB＝90°，∵∠CFD＝∠BFE，∴∠DCF＝∠DBA，∵∠ACB＝45°，∠CDB＝90°，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝BD，在△CDF和△BDA中，，∴△CDF≌△BDA（ASA），∴DF＝AD＝3，∴BF＝BD﹣DF＝5﹣3＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明△CDF≌△BDA是解題的關(guān)鍵．2．（2023?海口一模）如圖，將邊長(zhǎng)6cm的正方形紙片沿虛線剪開，剪成兩個(gè)全等梯形．已知裁剪線與正方形的一邊夾角為60°，則梯形紙片中較短的底邊長(zhǎng)為（）A．（3﹣）cm B．（3﹣2）cm C．（6﹣）cm D．（6﹣2）cm【分析】過M點(diǎn)作ME⊥AD于E點(diǎn)，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，有AD＝CD＝6，∠C＝∠D＝90°，由裁剪的兩個(gè)梯形全等，可得AN＝MC；再證明四邊形MCDE是矩形，即有MC＝ED，ME＝CD＝6，進(jìn)而有AN＝ED，在Rt△MNE中，解直角三角形可得NE＝2，則可得AN＝3﹣問題得解．【解答】解：如圖，過M點(diǎn)作ME⊥AD于E點(diǎn)，∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為6，∴AD＝CD＝6，∠C＝∠D＝90°，∵裁剪的兩個(gè)梯形全等，∴AN＝MC，∵M(jìn)E⊥AD，∴四邊形MCDE是矩形，∴MC＝ED，ME＝CD＝6，∴AN＝ED，根據(jù)題意有∠MNE＝60°，∴在Rt△MNE中，NE＝＝＝2，∴AN+ED＝AD﹣NE＝6﹣2，∴AN＝3﹣，即梯形中較短的底為（3﹣）（cm）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)梯形全等得出AN＝MC是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023?三亞一模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D為BC的中點(diǎn)，E為邊AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，作EH⊥AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BF∥AC交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AG＝3，則陰影部分的面積為（）A．12 B．12.5 C．13 D．13.5【分析】設(shè)DG＝a，CG＝b，則CD＝a+b，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x和y的代數(shù)式的值，然后用含有x和y的代數(shù)式表示出陰影部分的面積，進(jìn)而求出陰影部分的面積即可．【解答】解：設(shè)DG＝a，CG＝b，則CD＝a+b，∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，又∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝AD＝CD＝a+b，BC＝2BD＝2（a+b），∵EG⊥BC，EH⊥AD，∴四邊形DGEH為矩形，∠GEC＝45°，∴DH＝EG＝CG＝b，∵BF∥AC，∴∠FBG＝∠ACB＝45°，∵EF⊥BC，∴∠F＝45°，∴GF＝BG＝BD+DG＝a+b+a＝2a+b，由勾股定理得，AD2+DG2＝AG2，∴（a+b）2+a2＝32，整理得，2a2+2ab+b2＝9，由題意知，S陰＝S△ABC+S△BGF﹣S矩形DGEH＝BC?AD+BG?GF﹣DG?DH＝BD?AD+BG2﹣DG?DH＝（a+b）2+（2a+b）2﹣ab＝a2+2ab+b2+2a2+ab+b2﹣ab＝（2a2+2ab+b2）＝×9＝13.5，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直角三角形的知識(shí)，熟練掌握勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023?金安區(qū)校級(jí)模擬）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠ACB＝∠EDC＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，點(diǎn)B在DE上，若∠ACE＝2∠BCD，則∠ABE的大小為（）A．75° B．45° C．60° D．65°【分析】設(shè)∠BCD＝x，則∠ACE＝2x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得∠ECD＝60°，進(jìn)一步可得∠BCE＝60°﹣x，再根據(jù)∠ACB＝90°列方程2x+60°﹣x＝90°，可求出x＝30°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CBE，進(jìn)一步即可求出∠ABE的度數(shù)．【解答】解：設(shè)∠BCD＝x，則∠ACE＝2x，∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴∠ECD＝60°，∴∠BCE＝60°﹣x，∵∠ACB＝90°，∴2x+60°﹣x＝90°，解得x＝30°，∴∠BCD＝30°，∴∠CBE＝∠D+∠BCD＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝120°﹣45°＝75°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，涉及三角形的內(nèi)角和，外角的性質(zhì)，熟練掌握以上這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）5．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，求α+β＝45度．【分析】連接BC，根據(jù)勾股定理AB＝BC＝＝，AC＝＝，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ABC＝90°，求得∠BAC＝∠ACB＝45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接BC，∵AB＝BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵AB＝BC＝，AE＝BD＝1，BE＝CD＝2，∴△ABE≌△BCD，∴∠ACD＝∠ABE＝α，∵AE∥CD，∴∠DCA＝∠CAE＝β，∴α+β＝∠BCA＝45°，故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等圖形，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023?瓊山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC與△ABD全等，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)可以是（3，﹣2）（答案不唯一）（寫出一個(gè)即可）．【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)即可得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：延長(zhǎng)CB到D，使BD＝BC，連接AD，∵△ABC與△ABD全等，∴BD＝BC，∠ABC＝∠ABD＝90°，∵C的坐標(biāo)為（3，2），∴D的坐標(biāo)為（3，﹣2），故答案為：（3，﹣2）（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確掌握全等圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三．解答題（共9小題）7．（2023?秦都區(qū)校級(jí)模擬）如圖，∠C＝∠E，AC＝AE，點(diǎn)D在BC邊上，∠1＝∠2，AC和DE相交于點(diǎn)O．求證：△ABC≌△ADE．【分析】先利用三角形外角性質(zhì)證明∠ADE＝∠B，然后根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△ADE．【解答】證明：∵∠ADC＝∠1+∠B，即∠ADE+∠2＝∠1+∠B，而∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠B，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．8．（2023?廣西模擬）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．（1）求證：△ABC≌△CDA；（2）求草坪造型的面積．【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，結(jié)合三邊關(guān)系得出答案；（2）直接利用全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形中30度所對(duì)邊與斜邊的關(guān)系的得出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【解答】（1）證明：在△ABC和△CDA中，∵，∴△ABC≌△CDA（SSS）；（2）解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝2米，∠B＝30°，∴AE＝1米，∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），則S△CDA＝（平方米），∴草坪造型的面積為：2×＝3（平方米）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．9．（2023?雁塔區(qū)一模）已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證：△ABC≌△DCB．【分析】根據(jù)ASA證明△ABC≌△DCB即可．【解答】證明：在△ABC與△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意BC是兩個(gè)三角形的公共邊．10．（2023?銅川一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于點(diǎn)E，且CE＝AB．求證：△CED≌△ABC．【分析】由垂直的定義可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行線的性質(zhì)可得，∠A＝∠DCE，進(jìn)而由ASA可得結(jié)論．【解答】證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，，∴△CED≌△ABC（ASA）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定，垂直的定義和平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題基礎(chǔ)．11．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖①，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，DA＝DE．（1）求證：∠BAD＝∠EDC；（2）如圖②，M是點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接DM，AM，CM，求證：DM＝AM．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可；（2）證明△ADM是等邊三角形即可解決問題．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣∠DAE，∠EDC＝∠ACB﹣∠E＝60°﹣∠E，又∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠E，∴∠BAD＝∠EDC．（2）∵點(diǎn)M是點(diǎn)E關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，∴DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，∵DA＝DE，∴DM＝DA，由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD，∵在△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∴∠MDC+∠ADB＝120°，∴∠ADM＝180°﹣（∠MDC+∠ADB）＝60°，∴△ADM是等邊三角形，∴DM＝AM．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平角的定義等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是理解和掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．12．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）如圖1，等腰△ABC和等腰△DEC中，AB＝AC＝AD，DE＝DC．（1）求證：∠BAE＝∠D；（2）如圖2，如果AB⊥AC，求BE：EC的值（提示：先求∠D的度數(shù)）；（3）延長(zhǎng)線段BA交DC于點(diǎn)F．如果△ACF是等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝2，求DC的長(zhǎng)．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及其三角形的外角和定理；（2）過點(diǎn)B作BH∥AC交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例得到；（3）分兩種情況討論：①如圖2，AF＝CF，②如圖3，AC＝CF，由直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)可得出答案．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠BAE＝∠DEC﹣∠B，∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，∴∠BAE＝∠DCA，∵AC＝AD，∴∠D＝∠DCA，∴∠BAE＝∠D；（2）解：由（1）知：∠BAE＝∠D＝∠ACD，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝∠BAE+∠D+∠ACD＝90°，即∠BAE＝∠D＝∠ACD＝30°．過點(diǎn)B作BH∥AC交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠ABH＝45°+45°＝90°，在Rt△ABH中，BH：BA＝1：，即BH：AC＝1：＝：3，∵BH∥AC，∴△BHE∽△CHA，∴BE：EC＝BH：AC＝：3；（3）解：①如圖2：AF＝CF，∴∠FAC＝∠ACF，由（1）知：∠BAE＝∠DAF＝∠D，∴∠DAC＝∠D+∠ACF＝90°，∵AC＝AD＝2，∴CD＝2；②如圖3，AC＝CF，由已知條件知：∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACF，由（1）知：∠BAE＝∠DAF＝∠D，∴AF＝DF，∴∠D＝∠ADF＝∠ACD，∴△DAF∽△DCA，∴DF：AD＝AD：DC，設(shè)DC＝x，則DF＝x﹣2，∴（x﹣2）：2＝2：x，即x2﹣2x﹣4＝0，解得x＝+1或x＝﹣+1＜2（舍去）．綜上所述CD的長(zhǎng)為2或+1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．13．（2023?蓮湖區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠ABD＝∠EDC，利用AAS證明△ABD≌△EDC，即可得結(jié)論．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC，在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），∴DB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．14．（2023?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AC＝BC，D、E分別為AB、BC上一點(diǎn)，∠CDE＝∠A．若BC＝BD，求證：CD＝DE．【分析】先根據(jù)條件得出∠ACD＝∠BDE，BD＝AC，再根據(jù)ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD＝DE．【解答】證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵AC＝BCBC＝BD，∴AC＝BD，∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDE+∠BDE，∠CDE＝∠A，∴∠ACD＝∠BDE，在△ACD與△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（ASA），∴CD＝DE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（2023?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足為D，點(diǎn)E在AD上，BE平分∠ABD，點(diǎn)F在BD延長(zhǎng)線上，BF＝CE，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)H．（1）求證：∠CBE＝45°；（2）寫出線段BH和EH的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可證明∠ABC＝∠C＝∠DAB，而∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，則∠CBE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°；（2）延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝AE，連接EG，因?yàn)锳B＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可證明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可證明∠G＝∠DAB，則∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝EH．【解答】（1）證明：∵BD⊥AC于D，∴∠BDC＝∠FDC＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠C＝∠DAB，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE＝∠DBA，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝（∠DAB+∠DBA）＝45°.（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，證明：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝AE，連接EG，∵AB＝AC，∴AB+AG＝AC+AE，∴BG＝CE，∵BF＝CE，∴BG＝BF，在△EBG和△EBF中，，∴△EBG≌△EBF（SAS），∴∠G＝∠F，∵∠G＝∠AEG，∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，∴∠G＝∠DAB，∴∠G＝∠C，∴∠F＝∠C，∵∠HEC＝∠DEF，∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，∴BH⊥EH，∵∠HEB＝∠HBE＝45°，∴BH＝EH．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【名校自招練】一．選擇題（共4小題）1．（2021?江夏區(qū)校級(jí)自主招生）如圖所示的4×4正方形網(wǎng)格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（）A．330° B．315° C．310° D．320°【分析】利用正方形的性質(zhì)，分別求出多組三角形全等，如∠1和∠7的余角所在的三角形全等，得到∠1+∠7＝90°等，可得所求結(jié)論．【解答】解：由圖中可知：①∠4＝×90°＝45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等∴∠1+∠7＝90°同理∠2+∠6＝90°，∠3+∠5＝90°∠4＝45°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝3×90°+45°＝315°故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的性質(zhì)與判定；做題時(shí)主要利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到幾對(duì)角的和的關(guān)系，認(rèn)真觀察圖形，找到其中的特點(diǎn)是比較關(guān)鍵的．2．（2022?南岸區(qū)自主招生）如圖，點(diǎn)F，E在AC上，AD＝CB，∠D＝∠B．添加一個(gè)條件，不一定能證明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE＝BF D．AE＝CF【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，又AD＝CB，∠D＝∠B，∴△ADE≌△CBF（ASA），故A不符合題意；∵DE∥FB，∴∠AED＝∠CFB，又AD＝CB，∠D＝∠B，∴△ADE≌△CBF（AAS），故B不符合題意；∵DE＝BF，又AD＝CB，∠D＝∠B，∴△ADE≌△CBF（SAS），故C不符合題意；∵AE＝CF，又AD＝CB，∠D＝∠B，不能判定△ADE≌△CBF，故D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）Rt△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN＝90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①（BE+CF）＝BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四邊形AEDF＝AD?EF；④AD≥EF；⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】先由ASA證明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，再由勾股定理即可得出BE+CF＝AB＝BC，從而判斷①；設(shè)AB＝AC＝a，AE＝CF＝x，先由三角形的面積公式得出S△AEF＝﹣（x﹣a）2+a2，S△ABC＝×a2＝a2，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；由勾股定理得到EF的表達(dá)式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得EF最小值為a，而AD＝a，所以EF≥AD，從而④錯(cuò)誤；先得出S四邊形AEDF＝S△ADC＝AD，再由EF≥AD得到AD?EF≥AD2，∴AD?EF＞S四邊形AEDF，所以③錯(cuò)誤；如果四邊形AEDF為平行四邊形，則AD與EF互相平分，此時(shí)DF∥AB，DE∥AC，又D為BC中點(diǎn)，所以當(dāng)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)時(shí)，AD與EF互相平分，從而判斷⑤．【解答】解：∵Rt△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，∵∠MDN＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF．在△AED與△CFD中，∵，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，在Rt△ABD中，BE+CF＝BE+AE＝AB＝＝BD＝BC．故①正確；設(shè)AB＝AC＝a，AE＝CF＝x，則AF＝a﹣x．∵S△AEF＝AE?AF＝x（a﹣x）＝﹣（x﹣a）2+a2，∴當(dāng)x＝a時(shí)，S△AEF有最大值a2，又∵S△ABC＝×a2＝a2，∴S△AEF≤S△ABC．故②正確；EF2＝AE2+AF2＝x2+（a﹣x）2＝2（x﹣a）2+a2，∴當(dāng)x＝a時(shí)，EF2取得最小值a2，∴EF