2023-2024學(xué)年廣東省廣州市五校聯(lián)考高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023學(xué)年下學(xué)期高一期末五校聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)命題學(xué)校；廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)命題人：高一備課組本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共5頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1.開考前，考生務(wù)必用黑色字進(jìn)的鋼筆或簽字筆格自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的銅筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4.考生必須保持答題卡的整潔．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A2 B.2023 C. D.13.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.4.已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A.，， B.，，C.，， D.，5.函數(shù)（且）的大致圖象是（）A. B.C. D.6.已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A.事件A與事件B互斥 B.C. D.事件A與事件B相互獨(dú)立7.已知函數(shù)，則圖象有如下性質(zhì)（）A.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B.關(guān)于直線軸對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱8.已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（）A B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.衡陽市第八中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識(shí)的積累情況，隨機(jī)抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識(shí)測試，測試題共5道，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）A.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測試及格率超過90%B.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測試得滿分的同學(xué)有15名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若八中共有3000名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識(shí)測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1800名10.如圖，已知三棱柱，平面，，，，分別是，中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.直線與直線的夾角為D.若，則平面與平面的夾角為11.已知函數(shù)，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A.2 B.3 C.4 D.5三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同數(shù)字，這3個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為_______.13.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則______．14.函數(shù)的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“囧圓”，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為______________；此時(shí)函數(shù)的所有“囧圓”中，面積的最小值為_____________．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若的最大值為，其中，求的值.16.為普及天文知識(shí)，某校開展了“天文知識(shí)競賽”活動(dòng)，共有1000名學(xué)生參加此次競賽活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了80名，統(tǒng)計(jì)他們的成績，其中成績不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)參加這次競賽的學(xué)生成續(xù)的第75百分位數(shù)；（2）若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為航天達(dá)人的概率；（3）已知組的方差為12，組的方差為8，試估計(jì)參加此次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差（結(jié)果保留整數(shù)）；17.中，角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊上，且直線平分.（1）求證：；（2）若，.①求面積S的最大值；②若和的內(nèi)切圓半徑分別是r和R，求的取值范圍.18.如圖1，在矩形中，已知，，E為的中點(diǎn)，將沿向上翻折，得到四棱錐（圖2）.（1）若，求異面直線與的夾角；（2）求證：；（3）在翻折過程中，當(dāng)二面角為時(shí)，求四棱錐的體積.19.對(duì)于數(shù)列，，…，，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列，，…，，，記，，．對(duì)于數(shù)列，，…，與，，…，，定義．若數(shù)列，，…，滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列．（1）若，寫出，并求；（2）對(duì)于任意給定的正整數(shù)，是否存在數(shù)列，使得若存在，寫出一個(gè)數(shù)列，若不存在，說明理由：（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列A的個(gè)數(shù)．2023學(xué)年下學(xué)期高一期末五校聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)命題學(xué)校；廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)命題人：高一備課組本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共5頁，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1.開考前，考生務(wù)必用黑色字進(jìn)的鋼筆或簽字筆格自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上．3.非選擇題必須用黑色字跡的銅筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4.考生必須保持答題卡的整潔．一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】不等式化為：，解得，即，而，所以.故選：C2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.2023 C. D.1【答案】D【解析】【分析】先利用虛數(shù)單位的性質(zhì)化簡，從而解方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求得，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義與模的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，即，故，則，故，，故選：D.3.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合臨界值進(jìn)行判斷即可.【詳解】，.故選：B.4.已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A.，， B.，，C.，， D.，【答案】C【解析】【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤．【詳解】對(duì)于A：，，或與相交或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由，，，可能，可能，還可能異面不垂直，也可能相交不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由，，則，又，則，故C正確；對(duì)于D：，或，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.函數(shù)（且）的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可將函數(shù)化簡為，從而可求解.【詳解】由題意，，化簡得，根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得在內(nèi)為增函數(shù)且為正值，在內(nèi)為增函數(shù)且為負(fù)值，在內(nèi)為減函數(shù)且為負(fù)值，故C正確.故選：C.6.已知一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，滿足，，，，則下列說法正確的是（）A.事件A與事件B互斥 B.C. D.事件A與事件B相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】利用古典概型計(jì)算公式可得，利用概率的加法公式可得，再由互斥事件和對(duì)立事件定義可判斷AB錯(cuò)誤，由可知C錯(cuò)誤，利用事件獨(dú)立性定義可判斷D正確.【詳解】易知，同理可得，；由可得，即，對(duì)于A，因?yàn)?，所以事件A與事件B不互斥，可得A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，即所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知，滿足獨(dú)立性定義，即D正確故選：D7.已知函數(shù)，則圖象有如下性質(zhì)（）A.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B.關(guān)于直線軸對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)判斷出C正確，AD錯(cuò)誤；根據(jù)得到B錯(cuò)誤.【詳解】ACD選項(xiàng)，，故，故關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，C正確，AD錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故不關(guān)于直線軸對(duì)稱，B錯(cuò)誤.故選：C8.已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，兩邊平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立問題，用判別式來解，算出，借助，得到，的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，最后用絕對(duì)值的三角不等式來解即可【詳解】根據(jù)題意，，，兩邊平方，整理得到，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，解得，則.由于，如上圖，，則，則的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)終點(diǎn)在同一直線上時(shí)取等號(hào).故選：B．二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.衡陽市第八中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)史知識(shí)的積累情況，隨機(jī)抽取150名同學(xué)參加數(shù)學(xué)史知識(shí)測試，測試題共5道，每答對(duì)一題得20分，答錯(cuò)得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）A.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測試及格率超過90%B.該次數(shù)學(xué)史知識(shí)測試得滿分的同學(xué)有15名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若八中共有3000名學(xué)生，則數(shù)學(xué)史知識(shí)測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)大約有1800名【答案】ACD【解析】【分析】利用扇形圖的數(shù)據(jù)得到及格率判斷A；求出滿分所占百分比，進(jìn)而求出滿分學(xué)生人數(shù)判斷B；求出中位數(shù)和平均數(shù)，比較大小判斷C；求出抽取的學(xué)生成績優(yōu)秀率，再估算出數(shù)學(xué)史知識(shí)測試成績能得優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)判斷D.【詳解】由圖知，及格率為，A正確；該測試滿分同學(xué)的百分比為，則有名，B錯(cuò)誤；由圖知，中位數(shù)為80分，平均數(shù)為分，C正確；由題意，3000名學(xué)生成績能得優(yōu)秀的同學(xué)有，D正確.故選：ACD10.如圖，已知三棱柱，平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.直線與直線的夾角為D.若，則平面與平面的夾角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面平行判定定理求證，即可判斷A；根據(jù)線面垂直關(guān)系先證明平面，從而得，由結(jié)合線面垂直的判定定理，即可判斷B；由，，可得是等腰直角三角形，從而可得直線與直線的夾角，即可判斷C；連接，先證明平面，由線面垂直關(guān)系確定平面與平面的夾角，結(jié)合三角形邊角可求得夾角大小，即可判斷D.【詳解】因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椋矫?，則平面，故B正確；由于為中點(diǎn)，且，，因此是等腰直角三角形.是的中點(diǎn)，則，故直線與直線的夾角為，故C錯(cuò)誤；連接，由于，平面，所以平面，又平面，則，因此平面與平面的夾角為，由于，因此，則，因此，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)兩集合相等可以確定，則B集合中不等式可轉(zhuǎn)化為，然后利用判別式法解不等式組即可求得答案.【詳解】由題意知：，由知：即,由可知：且為此時(shí)須滿足，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是，因此a的取值可以是3,4,5，故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同數(shù)字，這3個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)概率為_______.【答案】##【解析】【分析】先計(jì)算從這個(gè)數(shù)中任意選個(gè)的情況總數(shù)，再計(jì)算當(dāng)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的情況數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算方法求解即可.【詳解】總共個(gè)數(shù)字，選個(gè)，總共種選法，個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)，則為兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，共有種選法,故從這個(gè)數(shù)中選個(gè)不同的數(shù)且和為偶數(shù)的概率為.故答案為：.13.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則______．【答案】【解析】【分析】依題意可得，同除，再由余弦定理、正弦定理將邊化角得到，再由兩角和的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，由正弦定理可得，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所?故答案為：14.函數(shù)的圖象類似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“囧圓”，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為______________；此時(shí)函數(shù)的所有“囧圓”中，面積的最小值為_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空：直接求出與y軸的交點(diǎn)即可求解；第二空：畫出函數(shù)圖象，考慮軸及軸右側(cè)的圖象，軸下方的函數(shù)圖象顯然過點(diǎn)時(shí)面積最小，軸上方的圖象，設(shè)出公共點(diǎn)，表示出半徑的平方，借助二次函數(shù)求出最小值，再比較得出半徑最小值即可求解.【詳解】第一空：由題意知：，，，故與y軸的交點(diǎn)為，則“囧點(diǎn)”坐標(biāo)為；第二空：畫出函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)，，圓心為，要使“囧圓”面積最小，只需要考慮軸及軸右側(cè)的圖象，當(dāng)圓過點(diǎn)時(shí)，其半徑為2，是和軸下方的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)的所有“囧圓”中半徑的最小值；當(dāng)圓和軸上方且軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則點(diǎn)到圓心的距離的平方為，令，則，當(dāng)即時(shí)，最小為3，，顯然在所有“囧圓”中，該圓半徑最小，故面積的最小值為.故答案為：；.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若的最大值為，其中，求的值.【答案】（1）最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式計(jì)算可得，可求得最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）整理可得，由輔助角公式可得，結(jié)合可得.【小問1詳解】易知，所以的最小正周期為，令，可得，因此的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】易知，其中，當(dāng)取最大值為時(shí)需滿足，可得，即，由可得，易知，解得，又，可得.16.為普及天文知識(shí)，某校開展了“天文知識(shí)競賽”活動(dòng)，共有1000名學(xué)生參加此次競賽活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了80名，統(tǒng)計(jì)他們的成績，其中成績不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)參加這次競賽的學(xué)生成續(xù)的第75百分位數(shù)；（2）若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的2人均為航天達(dá)人的概率；（3）已知組的方差為12，組的方差為8，試估計(jì)參加此次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差（結(jié)果保留整數(shù)）；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）先按照分層抽樣求出各層人數(shù)，再利用列舉法結(jié)合古典概型即可得解.（3）利用分層抽樣的方差公式計(jì)算可求方差.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，成績?cè)趦?nèi)的頻率為，成績?cè)趦?nèi)的頻率為，成績?cè)趦?nèi)的頻率為，成績?cè)趦?nèi)的頻率為，成績?cè)趦?nèi)的頻率為，所以成績?cè)诜忠韵碌膶W(xué)生所占的比例為，成績?cè)诜忠韵碌膶W(xué)生所占的比例為，所以成績的第分位數(shù)一定在內(nèi)，即，因此估計(jì)參加這次競賽的學(xué)生成績的百分位數(shù)為；【小問2詳解】因?yàn)椋?，，所以從成績?cè)?，，?nèi)的學(xué)生中分別抽取了人，人，人，其中有人為航天達(dá)人，設(shè)為，有人不是航天達(dá)人，設(shè)為，則從人中選擇人作為學(xué)生代表，有，共種，其中人均為航天達(dá)人為共種，所以被選中的人均為航天達(dá)人的概率為．【小問3詳解】內(nèi)的頻率為，內(nèi)的頻率為，內(nèi)的平均數(shù)為，內(nèi)的平均數(shù)為，內(nèi)的平均數(shù)為，又組的方差為12，組的方差為8，所以這次競賽的學(xué)生不低于80分的成績方差為.17.中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊上，且直線平分.（1）求證：；（2）若，.①求面積S的最大值；②若和的內(nèi)切圓半徑分別是r和R，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）①3，②【解析】【分析】（1）設(shè)邊上的高為，則表示出和，兩式子相比可證得結(jié)論；（2）①設(shè)，由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得，化簡換元后可利用基本不等式求出其最大值；②利用等面積法可得，則，而，代入化簡可求得結(jié)果.小問1詳解】證明：設(shè)邊上的高為，則，，因?yàn)橹本€平分，所以，所以，所以；【小問2詳解】①設(shè)，因?yàn)椋?，所以由?）可知，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以S的最大值為3；②在中，因?yàn)?，，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)?，，所以，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查余弦定理，考查三角形面積公式的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查基本不等式的應(yīng)用，第（2）問解題的關(guān)鍵是利用三角形中等面積法表示出，利用向量的運(yùn)算表示出，考查計(jì)算能力，屬于難題.18.如圖1，在矩形中，已知，，E為的中點(diǎn)，將沿向上翻折，得到四棱錐（圖2）.（1）若，求異面直線與的夾角；（2）求證：；（3）在翻折過程中，當(dāng)二面角為時(shí)，求四棱錐的體積.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，可證，則為異面直線與的夾角，計(jì)算可求（2）在矩形中，可證明，則在翻折過程中，從而可證明平面，從而可證明結(jié)論.（3）過作，垂足為，過作，垂足為，連接.可證明是二面角的平面角，設(shè)，可得，進(jìn)而求得，可求體積.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，又為的中點(diǎn)