2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：函數(shù)概念與性質(zhì)（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：函數(shù)概念與性質(zhì)（10題）一．解答題（共10小題）1．（2024?安溪縣校級(jí)模擬）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為y=c(exc+e-xc)2，其中c為參數(shù)．當(dāng)c＝1時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為coshx=ex+e-x2，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx；②二倍角公式：cos2x＝2cos（1）寫出sinhx，coshx具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；（2）任意x＞0，恒有sinhx﹣kx＞0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）正項(xiàng)數(shù)列{an}（n∈N*）滿足a1＝a＞1，an+1＝2an2-1，是否存在實(shí)數(shù)a，使得a2024=2．（2024?昔陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）=4-（1）求f（f（3））的值；（2）當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，求f（x）的值域．3．（2024?昔陽(yáng)縣校級(jí)模擬）在①函數(shù)f（x）＝ax﹣（b﹣1）a﹣x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)且f(1)=83，②函數(shù)f（x）＝xlnx+ax+b在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝4x+1，③f（x）＝（a﹣2）2x+2﹣已知函數(shù)g（x）＝loga（b+x）+loga（b﹣x）（a＞0，且a≠1，b＞0）．（1）試確定g（x）的奇偶性；（2）已知_____，求不等式g（x）≤1的解集．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．4．（2024?昔陽(yáng)縣校級(jí)模擬）對(duì)于函數(shù)f1（x），f2（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)F（x）＝a?f1（x）+b?f2（x），那么我們稱F（x）為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”．（1）已知f1（x）＝x﹣3，f2（x）＝﹣2x+1，試判斷F（x）＝5x﹣5是否為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”．若是，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a，b的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知f1（x）＝2x，f2（x）＝4x，F(xiàn)（x）為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”且a＝2，b＝1．若關(guān)于x的方程F（x）＝m?f2（x）+1有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們將學(xué)習(xí)如下重要結(jié)論：“對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，b都有a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a請(qǐng)利用“基本不等式”解決下面的問(wèn)題：已知f1（x）＝x，f2（x）=1x，F(xiàn)（x）為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”（其中a＞0，b＞0），F(xiàn)（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值4．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x1，x2，且x1+x2＝2，不等式F（x1）+F（x2）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)5．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）若存在x0∈D使得f（x）≤f（x0）對(duì)任意x∈D恒成立，則稱x0為函數(shù)f（x）在D上的最大值點(diǎn)，記函數(shù)f（x）在D上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為M．（1）若f（x）＝﹣x2+2x+1，D＝R，求集合M；（2）若f(x)=(2x（3）設(shè)a為大于1的常數(shù)，若f（x）＝x+asinx，D＝[0，b]，證明，若集合M中有且僅有兩個(gè)元素，則所有滿足條件的b從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．6．（2024?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)f(x)=lnx-（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值．7．（2024?自貢二模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）＝f（x）+f（y）且f（1）＝﹣3．（1）求f(12)（2）當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＜0恒成立，求證：a+b＜0時(shí)，有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．8．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)t＞0，函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镽．若對(duì)滿足x2﹣x1＞t的任意x1、x2，均有f（x2）﹣f（x1）＞t，則稱函數(shù)y＝f（x）具有“P（t）性質(zhì)”．（1）在下述條件下，分別判斷函數(shù)y＝f（x）是否具有P（2）性質(zhì)，并說(shuō)明理由；①f(x)=3②f（x）＝10sin2x；（2）已知f（x）＝ax3，且函數(shù)y＝f（x）具有P（1）性質(zhì)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：“函數(shù)y＝f（x）﹣x為增函數(shù)”是“對(duì)任意t＞0，函數(shù)y＝f（x）均具有P（t）性質(zhì)”的充要條件．9．（2024?格爾木市模擬）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣m|﹣|x﹣2m|．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求不等式f(x)≤（2）若f（x）≤m2﹣m﹣3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．10．（2024?涼山州模擬）已知函數(shù)f（x）＝|1﹣2x|+|2x|的最小值為a．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求12x

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（解答題）：函數(shù)概念與性質(zhì)（10題）參考答案與試題解析一．解答題（共10小題）1．（2024?安溪縣校級(jí)模擬）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為y=c(exc+e-xc)2，其中c為參數(shù)．當(dāng)c＝1時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為coshx=ex+e-x2，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx；②二倍角公式：cos2x＝2cos（1）寫出sinhx，coshx具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；（2）任意x＞0，恒有sinhx﹣kx＞0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）正項(xiàng)數(shù)列{an}（n∈N*）滿足a1＝a＞1，an+1＝2an2-1，是否存在實(shí)數(shù)a，使得a2024=【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；正弦函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)學(xué)歸納法；類比推理．【專題】新定義；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）①導(dǎo)數(shù)，②二倍角公式，③平方關(guān)系；證明見(jiàn)解析；（2）（﹣∞，1]；（3）存在實(shí)數(shù)a=12(【分析】（1）①求導(dǎo)數(shù)，②用二倍角公式，③利用平方關(guān)系；證明即可；（2）構(gòu)造函數(shù)F（x）＝sinhx﹣kx，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求k的取值范圍即可；（3）方法一、求出a1，a2，a3，猜想an，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．方法二、構(gòu)造數(shù)列{xn}，根據(jù)an＝cosh（xn），利用遞推公式求解即可．【解答】解：（1）①導(dǎo)數(shù)：（sinh（x））′＝cosh（x），（cosh（x））′＝sinh（x），證明如下：(sinh②二倍角公式：cosh（2x）＝2（coshx）2﹣1，證明如下：2(cosh③平方關(guān)系：（coshx）2﹣（sinhx）2＝1，證明如下：（coshx）2﹣（sinhx）2=(e（2）令F（x）＝sinhx﹣kx，x∈（0，+∞），F(xiàn)′（x）＝coshx﹣k，①當(dāng)k≤1時(shí)，由coshx=ex+e-x2≥ex?所以F′（x）＝coshx﹣k＞0，即F（x）為增函數(shù)，此時(shí)F（x）＞F（0）＝0，對(duì)任意x＞0，sinhx＞kx恒成立，滿足題意；②當(dāng)k＞1時(shí)，令G（x）＝F′（x），x∈（0，+∞），則G′（x）＝sinhx＞0，可知G（x）是增函數(shù)，由G（0）＝1﹣k＜0與G(ln2k)=14k＞0可知，存在唯一x0∈（0，ln2k），使得G（x所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，F(xiàn)'（x）＝G（x）＜G（x0）＝0，則F（x）在（0，x0）上為減函數(shù)，所以對(duì)任意x∈（0，x0），F(xiàn)（x）＜F（0）＝0，不合題意；綜上知，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，1]；（3）方法一、由a1＝a＞1，函數(shù)coshx=ex+對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)a1，存在不為0的實(shí)數(shù)m，使得coshm＝a1，類比雙曲余弦函數(shù)的二倍角公式cosh（2x）＝2（coshx）2﹣1，由coshm＝a1，a2=2(coshm)2-1=cosh(2m)由數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1②假設(shè)當(dāng)n＝k（k為正整數(shù)）時(shí)，猜想成立，即akak+1綜上知，an若a2024=cosh(22023m)=178，設(shè)t＝22023m，則cosh即t＝±ln4，所以m=±ln22綜上知，存在實(shí)數(shù)a=12(方法二、構(gòu)造數(shù)列{xn}（xn＞0），且an＝cosh（xn），因?yàn)閍n+1=2an2-1，所以an+1=2(coshxn)2-1=cosh(2xn)，則因?yàn)閏osh（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以xn+1＝2xn，即{xn}是以2為公比的等比數(shù)列，所以x2024=x12又因?yàn)閍2024=cosh(x2024)=所以a=a綜上知，存在實(shí)數(shù)a=12(【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題．2．（2024?昔陽(yáng)縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）=4-（1）求f（f（3））的值；（2）當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，求f（x）的值域．【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題意可得f（3），然后再代入符合條件的解析式即可；（2）分別求得函數(shù)每段解析式的值域，最后取并集即可．【解答】解：（1）由題意可得f（3）＝4﹣32＝﹣5，所以f（f（3））＝f（﹣5）＝1﹣2（﹣5）＝11；（2）由分段函數(shù)可知：當(dāng)﹣4≤x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式為y＝1﹣2x∈（1，9]；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)0＜x＜3時(shí)，函數(shù)的解析式為y＝4﹣x2∈（﹣5，4）；故當(dāng)﹣4≤x＜3時(shí)，求f（x）的值域?yàn)椋海ī?，9]【點(diǎn)評(píng)】本題為分段函數(shù)的考查，分別代入和求解是解決問(wèn)題的方法，屬基礎(chǔ)題．3．（2024?昔陽(yáng)縣校級(jí)模擬）在①函數(shù)f（x）＝ax﹣（b﹣1）a﹣x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)且f(1)=83，②函數(shù)f（x）＝xlnx+ax+b在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝4x+1，③f（x）＝（a﹣2）2x+2﹣已知函數(shù)g（x）＝loga（b+x）+loga（b﹣x）（a＞0，且a≠1，b＞0）．（1）試確定g（x）的奇偶性；（2）已知_____，求不等式g（x）≤1的解集．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；指數(shù)函數(shù)的概念；導(dǎo)數(shù)與切線的斜率；函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的奇偶性．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）偶函數(shù)；（2）（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【分析】（1）由已知結(jié)合函數(shù)奇偶性定義，只要檢驗(yàn)g（﹣x）與g（x）的關(guān)系即可判斷；（2）結(jié)合所選條件求出b，進(jìn)而可求g（x），然后結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵g(x)=loga(b+x)+loga(b-x)=loga(∴g(-故函數(shù)g（x）為偶函數(shù)；（2）若選擇①，∵函數(shù)f（x）＝ax﹣（b﹣1）a﹣x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）＝a0﹣（b﹣1）a0＝1﹣（b﹣1）＝0，∴b＝2，又∵f(1)=a-∴a＝3，g(x)=log故g（x）≤1可化為log3(4-x2)≤1，即0＜4﹣x2≤3，故﹣2＜x≤﹣1或∴不等式g（x）≤1的解集為（﹣2，﹣1]∪[1，2）；若選擇②，∵f（x）＝xlnx+ax+b，∴f'（x）＝lnx+1+a，∴k＝f（1）＝1+a＝4，即a＝3，∵f（1）＝3+b＝5，∴b＝2，g(x)=log故g（x）≤1可化為log3(4-x2)≤1，即0＜4﹣x2≤3，故﹣2＜x≤﹣1或∴不等式g（x）≤1的解集為（﹣2，﹣1]∪[1，2）；若選擇③，∵f（x）＝（a﹣2）2x+2﹣b是指數(shù)函數(shù)，∴a-2=12-b=0∴g(x)=log3(4-x2)，故g（x）≤1可化為log3（4﹣x2）≤1，即0＜4故﹣2＜x≤﹣1或1≤x＜2，∴不等式g（x）≤1的解集為（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?昔陽(yáng)縣校級(jí)模擬）對(duì)于函數(shù)f1（x），f2（x），如果存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)F（x）＝a?f1（x）+b?f2（x），那么我們稱F（x）為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”．（1）已知f1（x）＝x﹣3，f2（x）＝﹣2x+1，試判斷F（x）＝5x﹣5是否為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”．若是，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a，b的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知f1（x）＝2x，f2（x）＝4x，F(xiàn)（x）為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”且a＝2，b＝1．若關(guān)于x的方程F（x）＝m?f2（x）+1有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們將學(xué)習(xí)如下重要結(jié)論：“對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，b都有a+b2≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a請(qǐng)利用“基本不等式”解決下面的問(wèn)題：已知f1（x）＝x，f2（x）=1x，F(xiàn)（x）為f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”（其中a＞0，b＞0），F(xiàn)（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值4．若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x1，x2，且x1+x2＝2，不等式F（x1）+F（x2）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；邏輯推理．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）若F（x）＝5x﹣5是f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”．則F（x）＝5x﹣5＝（a﹣2b）x﹣3a+b，列出方程組，能求出a，b．（2）由題意知：F（x）＝2?2x+4x＝m?4x+1有解，令2x＝t＞0，則方程化為：2t+t2＝mt2+1，從而關(guān)于t的方程（m﹣1）t2﹣2t+1＝0有正根，根據(jù)m＝1，m≠1，分類討論，能求出m的取值范圍．（3）F（x）＝ax+bx，a＞0，b＞0，x∈（0，+∞），由基本不等式知：F（x）＝ax+bx≥2ab，列方程組求出a＝1，b＝4，從而F（x）＝x+4x，則F（x1）+F【解答】解：（1）若F（x）＝5x﹣5是f1（x），f2（x）的“HC函數(shù)”．則F（x）＝5x﹣5＝a（x﹣3）+b（﹣2x+1）＝（a﹣2b）x﹣3a+b，∴a-2b=5-3a+b=-5，解得a＝1，b（2）由題意知：F（x）＝2?2x+4x＝m?4x+1有解，令2x＝t＞0，則方程化為：2t+t2＝mt2+1，∴關(guān)于t的方程（m﹣1）t2﹣2t+1＝0有正根，①m＝1時(shí)，t=1②m≠1時(shí)，Δ＝8﹣4m≥0，解得m≤2，設(shè)其根為t1，t2，1°m∈（1，2]時(shí)，t1+t2=2m-1＞0，t1t2則t1，t2＞0，符合題意，2°m＜1，t1t2=1m-1＜0，則t1，∴m≤2，且m≠1，符合題意．綜上，m∈（﹣∞，2]．（3）F（x）＝ax+bx，a＞0，b＞0，x∈（0，由基本不等式知：F（x）＝ax+b當(dāng)且僅當(dāng)ax=bx，即x=解得a＝1，b＝4，∴F（x）＝x+4x，則F（x1）+F（x2）=又x1，x2＞0，x1+x2＝2，則F（x1）+F（x2）＝x1+x2＝2+8x由基本不等式知：x1+x2=2≥2x1∴x1x2≤1，則F（x1）+F（x2）＝2+8x∴m≤10，即m的最大值為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍、最大值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．5．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）若存在x0∈D使得f（x）≤f（x0）對(duì)任意x∈D恒成立，則稱x0為函數(shù)f（x）在D上的最大值點(diǎn)，記函數(shù)f（x）在D上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為M．（1）若f（x）＝﹣x2+2x+1，D＝R，求集合M；（2）若f(x)=(2x（3）設(shè)a為大于1的常數(shù)，若f（x）＝x+asinx，D＝[0，b]，證明，若集合M中有且僅有兩個(gè)元素，則所有滿足條件的b從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）M＝{1}．（2）M＝{1，2}．（3）證明見(jiàn)解答．【分析】（1）配方得到當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）＝﹣x2+2x+1取得最大值，得到M＝{1}；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出當(dāng)x＝1或2時(shí)，f（x）取得最大值，故M＝{1，2}；（3）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，并得到f′（x+2π）＝f′（x），得到f(bk)=f(2kπ-π-arccos1a)，結(jié)合f（bk+1）﹣f（bk）＝2π，得到bk+1【解答】解：（1）f（x）＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）＝﹣x2+2x+1在R上取得最大值，故M＝{1}；（2）f(x)=(2xf'=(令q（x）＝2x﹣2x，則q′（x）＝2xln2﹣2，令q′（x）＝0得x=logx(-∞，log(logq′（x）﹣0+q（x）↘極小值↗其中l(wèi)n2∈(lne，lne)=(可以看出q（1）＝0，q（2）＝0，故q（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和2，令f′（x）＝0得x=1ln2∈(1，2)x（﹣∞，1）1(1，1ln2(12（2，+∞）f′（x）+0﹣0+0﹣f（x）↗極大值↘極小值↗極大值↘其中f(1)=f(2)=1故當(dāng)x＝1或2時(shí)，f（x）取得最大值，故M＝{1，2}；（3）f（x）＝x+asinx，D＝[0，b]，a＞1，f′（x）＝1+acosx，D＝[0，b]，a＞1，令f′（x）＝0得x=2kπ±arccos(-1a當(dāng)0＜x＜π-arccos1a時(shí)，f′（當(dāng)π-arccos1a＜x＜π+arccos1a時(shí)，當(dāng)π+arccos1a＜x＜3π-arccos1a時(shí)，f′（當(dāng)3π-arccos1a＜x＜3π+arccos1a時(shí)，當(dāng)3π+arccos1a＜x＜5π-arccos1a，f′（……，由于f′（x+2π）＝1+acos（x+2π）＝1+acosx＝f′（x），故所有的單調(diào)遞增區(qū)間經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移可重合，同理，所有的單調(diào)遞減區(qū)間經(jīng)過(guò)適當(dāng)平移可重合，要想集合M中有且僅有兩個(gè)元素，則需要f(b1)=f(π-arccos或f(b3)=f(5π-arccos其中f（x+2π）＝x+2π+asin（x+2π）＝x+2π+asinx，f（x+2π）﹣f（x）＝x+2π+asinx﹣x﹣asinx＝2π，又f(b所有的bk均處在單調(diào)遞增區(qū)間上，所以bk+1﹣bk為定值，故所有滿足條件的b從小到大排列構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的最值和恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．6．（2024?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)f(x)=lnx-（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1a（2）2e【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)a＞0與a＜0分類討論即可得；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝lnx﹣ax，x＞0，所以f'(x)=1x-a=當(dāng)a＜0時(shí)，由于x＞0，所以f′（x）＞0恒成立，從而f（x）在（0，+∞）上遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)0＜x＜1a時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1從而得f（x）在(0，1a綜上，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1a（2）令h(x)=f(x)-g(x)=lnx-ax-2ax，要使只要使h（x）≤0恒成立，也只要使h（x）max≤0．h'(x)=若a＞0，x＞0，所以ax+1＞0恒成立，當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)2a＜可知h（x）在(0，2a所以h(x)max=h(可知a的最小值為2e若a＜0，x＞0，所以ax﹣2＜0恒成立，當(dāng)0＜x＜-1a時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)-1a可知h（x）在(0，-1a所以h（x）在（0，+∞）內(nèi)無(wú)最大值，且當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，h（x）趨近于+∞，不合題意；綜上所述：a的最小值為2e【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及分類討論思想，屬于中檔題．7．（2024?自貢二模）已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）＝f（x）+f（y）且f（1）＝﹣3．（1）求f(12)（2）當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）＜0恒成立，求證：a+b＜0時(shí)，有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理．【答案】（1）f(12（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)題干已知關(guān)系式代數(shù)求解即可．（2）通過(guò)已知關(guān)系式推導(dǎo)出要證明a+b＜0時(shí)，f（a+b）＞0即可．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x+y）＝f（x）+f（y），f（1）＝﹣3，令x＝y(tǒng)=12，有：f（1）＝f（12+12）＝f（12）+f（所以f（12）=令x＝y(tǒng)＝0，有：f（0）＝2f（0），所以f（0）＝0．令y＝﹣x，有：f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）＝﹣f（﹣x），即f（x）為R上的奇函數(shù)．令x＝y(tǒng)=13，有：f（23）＝2f令x=-23，y＝1，有：f（13）＝f（1）+又因?yàn)閒（-23）＝﹣f（即：f（13）＝﹣2f（13）﹣所以f（13）＝﹣1（2）因?yàn)閒（﹣x）＝﹣f（x），所以f（﹣a）+f（﹣b）＝﹣（f（a）+f（b））＝﹣f（a+b）．即證：a+b＜0時(shí)，有f（a+b）＞﹣f（a+b）即可，即證a+b＜0時(shí)，f（a+b）＞0即可，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0恒成立，則令t＝﹣x（t＜0），所以x＝﹣t＞0，于是f（x）＝f（﹣t）＝﹣f（t），因?yàn)榇朔N情況f（x）＜0，即﹣f（t）＜0，所以f（t）＞0，即當(dāng)t＜0時(shí)，f（t）＞0，從而當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0恒成立，取x＝a+b＜0，此時(shí)有f（a+b）＞0，即a+b＜0時(shí)，有f（a）+f（b）＞f（﹣a）+f（﹣b）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．8．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)t＞0，函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镽．若對(duì)滿足x2﹣x1＞t的任意x1、x2，均有f（x2）﹣f（x1）＞t，則稱函數(shù)y＝f（x）具有“P（t）性質(zhì)”．（1）在下述條件下，分別判斷函數(shù)y＝f（x）是否具有P（2）性質(zhì)，并說(shuō)明理由；①f(x)=3②f（x）＝10sin2x；（2）已知f（x）＝ax3，且函數(shù)y＝f（x）具有P（1）性質(zhì)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）證明：“函數(shù)y＝f（x）﹣x為增函數(shù)”是“對(duì)任意t＞0，函數(shù)y＝f（x）均具有P（t）性質(zhì)”的充要條件．【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)；充分條件與必要條件．【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）①是，②不是（2）a≥4．（3）見(jiàn)解析．【分析】（1）代入P（2）性質(zhì)直接計(jì)算即可．（2）將原式等價(jià)與當(dāng)m＞1時(shí)，am（3）由充要條件的概念以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：（1）①是，因?yàn)閷?duì)任意x2﹣x1＞2，f(x所以符合定義；②不是，學(xué)生只需舉一組反例；（2）顯然a＞0，所以設(shè)x2﹣x1＝m＞0，則f（x2）﹣f（x1）＝ax2，當(dāng)x1=-m2時(shí)，取f（x2）﹣f（x原問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)m＞1時(shí)，am即a＞4m3恒成立，所以得（3）證明：充分性：如果函數(shù)y＝f（x）﹣x為增函數(shù)，則對(duì)任意的x2＞x1，均有f（x2）﹣x2≥f（x1）﹣x1，即f（x2）﹣f（x1）≥x2﹣x1，因此，對(duì)任意t＞0，若x2﹣x1＞t，則f（x2）﹣f（x1）＞t，函數(shù)y＝f（x）具有P（t）性質(zhì)，充分性得證；必要性：若對(duì)任意t＞0，函數(shù)y＝f（x）均具有P（t）性質(zhì)，假設(shè)函數(shù)y＝f（x）﹣x不是增函數(shù)，則存在x2＞x1，滿足f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1，即f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1，取t0則顯然f（x2）﹣f（x1）＜t0＜x2﹣x1，即對(duì)于t0，存在x2﹣x1＞t0，但是f（x2）﹣f（x1）＜t0，與“對(duì)任意t＞0，函數(shù)y＝f（x）均具有P（t）性質(zhì)”矛盾，因此假設(shè)不成立，即函數(shù)y＝f（x）﹣x為增函數(shù)，必要性得證．所以“函數(shù)y＝f（x）﹣x為增函數(shù)”是“對(duì)任意t＞0，函數(shù)y＝f（x）均具有P（t）性質(zhì)”的充要條件．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，應(yīng)注意充要條件的概念，屬于中檔題．9．（2024?格爾木市模擬）已知函數(shù)f（x）＝|x﹣m|﹣|x﹣2m|．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求不等式f(x)≤（2）若f（x）≤m2﹣m﹣3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）（﹣∞，74]（2）(-∞，-【分析】（1）將m＝1代入，去絕對(duì)值求解即可；（2）由三角絕對(duì)值不等式可得f（x）≤|m|，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|m|≤m2﹣m﹣3，即有m2【解答】解：（1）由題意可知，當(dāng)m＝1時(shí)，原不等式即為|x-當(dāng)x≤1時(shí)，不等式為1-x-(2-x)≤當(dāng)1＜x＜2時(shí)，不等式為x-1-當(dāng)x≥2時(shí)，不等式為x-1-綜上，不等式f(x)≤12的解集為（﹣∞，（2）因?yàn)閨x﹣m|﹣|x﹣2m|≤|x﹣m﹣（x﹣2m）|＝|m|，所以|m|≤m2﹣m﹣3，可得m2可得m≥1+132或m≤1-所以m的取值范圍是(-∞，-【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法、轉(zhuǎn)化思想及三角絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?涼山州模擬）已知函數(shù)f（x）＝|1﹣2x|+|2x|的最小值為a．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求12x【考點(diǎn)】函數(shù)的最值．【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）1；（2）252【分析】（1）利用絕對(duì)值的三角不等式計(jì)算即可；（2）法一、利用基本不等式靈活運(yùn)用“1”計(jì)算即可；法二、利用柯西不等式配湊即可；法三、利用權(quán)方和不等式計(jì)算即可．【解答】解：（1）f（x）＝|1﹣2x|+|2x|≥|1﹣2x+2x|＝1，當(dāng)0≤∴a＝1；（2）法一：由（1）可知a＝1，原式=1當(dāng)且僅當(dāng)2-2x2x=32x所以12x+8法二：由柯西不等式得，1=1當(dāng)且僅當(dāng)12x=2所以12x+8法三：由權(quán)方和不等式得，12當(dāng)12x=4所以12x+8【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值不等式性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說(shuō)，q對(duì)于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．2．函數(shù)的值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域．A是函數(shù)的定義域．【解題方法點(diǎn)撥】（1）求函數(shù)的值域此類問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等．無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域．（2）函數(shù)的綜合性題目此類問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目．此類問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力．在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng)．（3）運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題此類問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決．此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力．【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，有時(shí)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題中出現(xiàn)，是?？碱}型．3．函數(shù)解析式的求解及常用方法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】通過(guò)求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過(guò)程就是函數(shù)的解析式的求解．求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等．【解題方法點(diǎn)撥】常常利用函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征，例如二次函數(shù)的對(duì)稱軸，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等；利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式，有時(shí)利用待定系數(shù)法．【命題方向】求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，在三角函數(shù)的解析式中?？迹腔A(chǔ)題．4．函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的單調(diào)性，有四種方法：定義法；導(dǎo)數(shù)法；函數(shù)圖象法；基本函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)遵循“同增異減”；證明方法有定義法；導(dǎo)數(shù)法．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號(hào)“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“和”或“，”連結(jié)．設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1-x2f(x1)-f(x2)x1-x2②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0?f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0?f（x）在[a，b]上是減函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，定義求解求解一般包括端點(diǎn)值，導(dǎo)數(shù)一般是開(kāi)區(qū)間．【命題方向】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，一般是壓軸題，常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，課改地區(qū)單調(diào)性定義證明考查大題的可能性比較?。畯慕甑母呖荚囶}來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．5．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說(shuō)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對(duì)數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開(kāi)區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開(kāi)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來(lái)看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡(jiǎn)單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測(cè)明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．6．函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點(diǎn)的值，然后進(jìn)行比較可得．【解題方法點(diǎn)撥】①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時(shí)，求2x+8x的最小值，有2x+8x②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過(guò)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行比較．【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)是?？键c(diǎn)，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識(shí)點(diǎn)未來(lái)將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個(gè)參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．7．函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．8．奇偶性與單調(diào)性的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)于奇偶函數(shù)綜合，其實(shí)也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說(shuō)關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時(shí)能融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反例題：如果f（x）=a-2x2x解：由題意可知，f（x）的定義域?yàn)镽，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）=a-2x2x+1=-f【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本前提，另外做題的時(shí)候多多總結(jié)，一定要重視這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．9．函數(shù)恒成立問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)恒成立問(wèn)題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時(shí)，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說(shuō)某個(gè)參數(shù)的存在使得在有些情況下無(wú)法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡(jiǎn)化解題過(guò)程．【解題方法點(diǎn)撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問(wèn)題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問(wèn)題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)恒成立問(wèn)題的理解和應(yīng)用能力．關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對(duì)x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對(duì)x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m＜1∵x2+x+1＝（x+12）2∴0＜1∴m≤0．10．函數(shù)的值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的值是指在某一自變量取值下，函數(shù)對(duì)應(yīng)的輸出值．【解題方法點(diǎn)撥】﹣確定函數(shù)的解析式，代入自變量值，計(jì)算函數(shù)的值．﹣驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題分析函數(shù)的值．﹣利用函數(shù)的值分析其性質(zhì)和應(yīng)用．【命題方向】題目包括計(jì)算函數(shù)的值，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題求解函數(shù)的值及其應(yīng)用．已知函數(shù)f（x）=x+2，x＜0x2，0≤x解：f(-f(3f(9故f（f（f（-12）））11．指數(shù)函數(shù)的概念【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】指數(shù)函數(shù)的解析式、定義、定義域、值域1、指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞）．2、指數(shù)函數(shù)的解析式：y＝ax（a＞0，且a≠1）3、理解指數(shù)函數(shù)定義，需注意的幾個(gè)問(wèn)題：①因?yàn)閍＞0，x是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，ax是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．②規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，ax恒等于0；當(dāng)x≤0時(shí)，ax無(wú)意義；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，這時(shí)對(duì)于x=14，x如果a＝1，y＝1x＝1是一個(gè)常量，對(duì)它就沒(méi)有研究的必要，為了避免上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1．12．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．13．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合．14．?dāng)?shù)學(xué)歸納法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k∈N+，且k≥n0）時(shí)命題成立，證明n＝k+1時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要分兩個(gè)步驟，兩者缺一不可．（1）證明了第一步，就獲得了遞推的基礎(chǔ)，但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的正確性．在這一步中，只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了，沒(méi)有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立．（2）證明了第二步，就獲得了推理的依據(jù)．僅有第二步而沒(méi)有第一步，則失去了遞推的基礎(chǔ)；而只有第一步而沒(méi)有第二步，就可能得出不正確的結(jié)論，因?yàn)閱慰康谝徊?，我們無(wú)法遞推下去，所以我們無(wú)法判斷命題對(duì)n0+1，n0+2，…，是否正確．在第二步中，n＝k命題成立，可以作為條件加以運(yùn)用，而n＝k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件，公理，定理，定義加以證明．完成一，二步后，最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確初始值n0并驗(yàn)證真假．（必不可少）②“假設(shè)n＝k時(shí)命題正確”