2025屆湖北省荊門市重點中學高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題含解析_第1頁
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2025屆湖北省荊門市重點中學高三下學期第五次調(diào)研考試數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.2.已知直線與圓有公共點,則的最大值為()A.4 B. C. D.3.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.44.在等腰直角三角形中,,為的中點,將它沿翻折,使點與點間的距離為,此時四面體的外接球的表面積為().A. B. C. D.5.已知函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.6.若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù),則z的最大值為()A. B.1 C.2 D.07.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.8.在等差數(shù)列中,若為前項和,,則的值是()A.156 B.124 C.136 D.1809.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-310.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.11.盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”,其中只有2張“刮刮卡”有獎,現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張,則至少有一張有獎的概率為()A. B. C. D.12.已知底面為邊長為的正方形,側(cè)棱長為的直四棱柱中,是上底面上的動點.給出以下四個結(jié)論中,正確的個數(shù)是()①與點距離為的點形成一條曲線,則該曲線的長度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中項的系數(shù)為_______.14.設平面向量與的夾角為,且,,則的取值范圍為______.15.某學習小組有名男生和名女生.若從中隨機選出名同學代表該小組參加知識競賽,則選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為___________.16.函數(shù)的極大值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在如圖所示的多面體中,四邊形是矩形,梯形為直角梯形,平面平面,且,,.(1)求證:平面.(2)求二面角的大小.18.(12分)如圖,正方形所在平面外一點滿足,其中分別是與的中點.(1)求證:;(2)若,且二面角的平面角的余弦值為,求與平面所成角的正弦值.19.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.20.(12分)如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點,為的中點,在線段上,且。將沿折起,使點到的位置(如圖2所示),且。(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點,求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F,得到左焦點為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F,令所以c=3,即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因為FC=2CA,所以FA=3又由點A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關于e的方程,即可得2、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點,得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓,所以,解得,因為直線與圓有公共點,所以圓心到直線的距離,即,解得,此時,因為,在遞增,所以的最大值.故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點睛】本題考查中位數(shù)的計算,屬基礎題.4、D【解析】

如圖,將四面體放到直三棱柱中,求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑,然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點,這樣根據(jù)幾何關系,求外接球的半徑.【詳解】中,易知,翻折后,,,設外接圓的半徑為,,,如圖:易得平面,將四面體放到直三棱柱中,則球心在上下底面外接圓圓心連線中點,設幾何體外接球的半徑為,,四面體的外接球的表面積為.故選:D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積,意在考查空間想象能力,和計算能力,屬于中檔題型,求幾何體的外接球的半徑時,一般可以用補形法,因正方體,長方體的外接球半徑容易求,可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體,比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐,或是構(gòu)造直角三角形法,確定球心的位置,構(gòu)造關于外接球半徑的方程求解.5、A【解析】試題分析:由題意,得,解得,故選A.考點:函數(shù)的定義域.6、C【解析】

畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)平移得到最大值.【詳解】若實數(shù)x,y滿足條件,目標函數(shù)如圖:當時函數(shù)取最大值為故答案選C【點睛】求線性目標函數(shù)的最值:當時,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最大,在軸截距最小時,z值最?。划敃r,直線過可行域且在軸上截距最大時,值最小,在軸上截距最小時,值最大.7、B【解析】

由目標函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點的坐標,然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點,使目標函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點,然后得到一個含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.8、A【解析】

因為,可得,根據(jù)等差數(shù)列前項和,即可求得答案.【詳解】,,.故選:A.【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列前項和,解題關鍵是掌握等差中項定義和等差數(shù)列前項和公式,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎題.9、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用問題.10、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.11、C【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù),再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù),根據(jù)古典概型的概率,求出兩張都沒有獎的概率,由對立事件的概率關系,即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張,共有種情況,2張均沒有獎的情況有(種),故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系,意在考查數(shù)學建模、數(shù)學計算能力,屬于基礎題.12、C【解析】

①與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長公式,可得結(jié)論;②當在(或時,與面所成角(或的正切值為最小,當在時,與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設,,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長,即可求出六個面上的正投影長度之和.【詳解】如圖:①錯誤,因為,與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,長度為;②正確,因為面面,所以點必須在面對角線上運動,當在(或)時,與面所成角(或)的正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點),當在時,與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設,則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長分別為,,,所以六個面上的正投影長度之,當且僅當在時取等號.故選:.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點,綜合性強,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、40【解析】

根據(jù)二項定理展開式,求得r的值,進而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項定理展開式的通項式得所以,解得所以系數(shù)【點睛】本題考查了二項式定理的簡單應用,屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)已知條件計算出,結(jié)合得出,利用基本不等式可得出的取值范圍,利用平面向量的數(shù)量積公式可求得的取值范圍,進而可得出的取值范圍.【詳解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍,考查計算能力,屬于中等題.15、【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:【點睛】組合數(shù)與概率的基本運用,熟悉組合數(shù)公式16、【解析】

先求函的定義域,再對函數(shù)進行求導,再解不等式得單調(diào)區(qū)間,進而求得極值點,即可求出函數(shù)的極大值.【詳解】函數(shù),,,令得,,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,函數(shù)取到極大值,極大值為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意定義域優(yōu)先法則的應用.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】

(1)根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì),可證明;由所給線段關系,結(jié)合勾股定理逆定理,可證明,進而由線面垂直的判定定理證明平面.(2)建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并求得平面和平面的法向量,由空間向量法求得兩個平面夾角的余弦值,結(jié)合圖形即可求得二面角的大小.【詳解】(1)證明:∵平面平面ABEG,且,∴平面,∴,由題意可得,∴,∵,且,∴平面.(2)如圖所示,建立空間直角坐標系,則,,,,,,.設平面的法向量是,則,令,,由(1)可知平面的法向量是,∴,由圖可知,二面角為鈍二面角,所以二面角的大小為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定,面面垂直及線面垂直的性質(zhì)應用,空間向量法求二面角的大小,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先證明EF平面,即可求證;(2)根據(jù)二面角的余弦值,可得平面,以為坐標原點,建立空間直角坐標系,利用向量計算線面角即可.【詳解】(1)連接,交于點,連結(jié).則,故面.又面,因此.(2)由(1)知即為二面角的平面角,且.在中應用余弦定理,得,于是有,即,從而有平面.以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,于是,,設平面的法向量為,則,即,解得于是平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為,因此.【點睛】本題主要考查了線面垂直,線線垂直的證明,二面角,線面角的向量求法,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)由已知可證,即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標系,求出坐標,進而求出平面和平面的法向量坐標,由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點,∴,∵平面且,∴平面,以為原點,分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,∴設平面的法向量為,則,∴,取,則.設平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點,因為四邊形為平行四邊形,所以為中點,又因為四邊形為菱形,所以為中點,∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【點睛】本題主要考查線面平行的證明,考查空間向量法求面面角,意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng),屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)要證明線面平行,需證明線線平行,取的中點,連接,根據(jù)條件證明,即;(2)以為原點,所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,求兩個平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取的中點,連接.∵,∴為的中點.又為的中點,∴.依題意可知,則四邊形為平行四邊形,∴,從而.又平面,平面,∴平面.(2),且,平面,平面,,,且,平面,以為原點,所在直線為軸,過作平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,不妨設,則,,,,,,,,.設平面的法向量為,則,即,令,得.設平面的法向量為,則,即,令,得.從而,故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題,意在考查空間想象能力,推理證明和計算能力,屬于中檔題型,證明線面平行,或證明面面平行時,關鍵是證明線線平行,所以做輔助線或證明時,需考慮構(gòu)造中位線或平行四邊形,這些都是證明線線平行的常方法.21、(1);(2)【解析】

(1)分類討論去絕對值號,即可求解;(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立,分別求函數(shù)與的最小值,根據(jù)能同時成立,可得的最小值,即可求解.【詳解】(1)①當時,不等式可化為

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