冶金過程數(shù)值模擬-Numerical-Modelling-of-Metallurgical-Processing

2025/1/39:36冶金過程數(shù)值模擬

NumericalModellingofMetallurgicalProcessing控制體與坐標(biāo)系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制體與坐標(biāo)系1電磁流體力學(xué)5相間傳輸6什么叫“數(shù)學(xué)描述”？用數(shù)學(xué)要素“數(shù)值、變量、方程（包括方程組）”來說明實(shí)際物理過程的實(shí)質(zhì)！控制體：建立衡算方程時的衡算單元（對象）。一般對于黑箱模型，取研究對象整體作為衡算體，而對于白箱和灰箱模型，最重要的是需要知道其內(nèi)部不同空間、不同時間的具體信息，所以控制體一般都取微元體。微元體：形狀與取法決定于選定的坐標(biāo)系，以便于衡算。坐標(biāo)系：確定坐標(biāo)系和空間維數(shù)。xyz△x△y△z控制體微元體拉格朗日法：同步運(yùn)動的移動坐標(biāo)系。歐拉法：固定坐標(biāo)系。變量f

可以表示壓力、溫度、速度、密度等。一般采用歐拉法較多，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)流動狀況是我們的主要考察內(nèi)容。質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)斯托克斯導(dǎo)數(shù)哈密頓算子（Hamiltonoperator）：▽，又稱微分算符。對于標(biāo)量T有：對于矢量A有：梯度算符作用于標(biāo)量梯度算符作用于矢量控制體與坐標(biāo)系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制體與坐標(biāo)系1通量微分2電磁流體力學(xué)5相間傳輸6xyz△x△y△z控制體（微元體）通量：在空間任意位置上，單位時間內(nèi)通過垂直于運(yùn)動方向上單位面積的物理量。其本身是矢量性質(zhì)，單位是“物理量單位/(m2·s)”。通量傳輸?shù)谋磉_(dá)xyz△x△y△z設(shè)某一物理量的通量矢量J(J=(Jx,Jy,Jz))，該通量因擴(kuò)散或?qū)α魉聝袅魅胨俣葹镼：x方向y方向z方向整理于是，對于單位體積控制體，有式中的“通量濃度”分別代表c(或者ρ，傳質(zhì))、cpρT(傳熱)、

ρu(傳動量)。通量傳輸之質(zhì)量傳輸渦流擴(kuò)散分子擴(kuò)散世界氣體液體流體層流，laminarflow流速小，流層不混湍流，turbulentflow流速大，流層混合劇烈，微團(tuán)運(yùn)動極不規(guī)則雷諾數(shù)Reynoldsnumber流速/粘度/空間2025/1/39:36通量傳輸之質(zhì)量傳輸渦流擴(kuò)散分子擴(kuò)散有效擴(kuò)散系數(shù)＝分子擴(kuò)散系數(shù)+渦流擴(kuò)散系數(shù)固體或?qū)恿鳎和牧鳎撼鲜鰯U(kuò)散型通量，流體流動時同樣存在對流型通量：u——流體運(yùn)動速度菲克第一定律2025/1/39:36通量傳輸之動量傳輸渦流擴(kuò)散分子擴(kuò)散有效粘度＝分子粘度+渦流粘度固體或?qū)恿鳎和牧鳎撼鲜鰯U(kuò)散型通量，流體流動時同樣存在對流型通量：u——流體運(yùn)動速度2025/1/39:36通量傳輸之能量傳輸渦流擴(kuò)散分子擴(kuò)散有效導(dǎo)熱系數(shù)＝分子導(dǎo)熱系數(shù)+渦流導(dǎo)熱系數(shù)固體或?qū)恿鳎和牧鳎撼鲜鰯U(kuò)散型導(dǎo)熱，流體流動時同樣存在對流換熱：u——流體運(yùn)動速度；cp——恒壓熱容；T——溫度；H——單位體積熱焓2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——通量微分通量傳輸之小結(jié)擴(kuò)散型：對流型：單位：單位：2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——通量微分源項(xiàng)鋼鐵冶金過程可能的源項(xiàng)：質(zhì)量傳輸：化學(xué)反應(yīng)的質(zhì)量生成速率；能量傳輸：反應(yīng)熱、相變熱、感應(yīng)熱；動量傳輸：體積力和表面力。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——通量微分源項(xiàng)之質(zhì)量生成速率對于化學(xué)反應(yīng)式：某個組元（包括反應(yīng)物和生成物）的生成（或消失）速度是以單位時間、單位容積內(nèi)改組元生成（或消失）的摩爾數(shù)來表示，有：上式中的k1、k2及冪次a、b、c、d一般均由試驗(yàn)測出，而且反映常數(shù)是溫度的函數(shù)。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——通量微分源項(xiàng)之熱量生成速率A：化學(xué)反應(yīng)熱單反應(yīng)：多反應(yīng)：B：相變熱Lf——單位質(zhì)量鋼的相變潛熱；ρ——鋼的密度；R——凝固前沿推進(jìn)速度C：感應(yīng)熱σe——電導(dǎo)率，Ω-1·m-1；J——電流密度，A/m2。E——電場強(qiáng)度，V/m。歐姆定律2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——通量微分源項(xiàng)之體積力體積力作用于整個微元體之中的力，通常有重力和電磁場下的洛侖茲力，且以單位質(zhì)量物體受力表示。對于重力：對于洛侖茲力：其中，B表示磁通密度，T。式中J×B表示兩者的矢量叉積，即：式中，nJB是垂直于包含向量J和B的平面的單位矢量，其方向是J以最短路線轉(zhuǎn)向B時的右手螺旋的運(yùn)動方向。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——通量微分源項(xiàng)之表面力表面力是指控制體外表面上的力，通常表示成單位面積上的力，最具代表性的表面力便是流體中的壓強(qiáng)。壓強(qiáng)是流體動量傳輸方程中源項(xiàng)的一部分。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——通量微分控制體內(nèi)通量濃度的凈積累率＝控制體內(nèi)通量濃度Φ的凈積累率δΦ/δt的具體形式質(zhì)量傳輸動量傳輸熱量傳輸2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——目錄控制體與坐標(biāo)系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制體與坐標(biāo)系1通量微分2電磁流體力學(xué)5相間傳輸6控制方程32025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之連續(xù)性方程(質(zhì)量守恒)流體作為連續(xù)體處理，必須首先滿足連續(xù)性方程——流體質(zhì)量守恒方程。流體質(zhì)量積累率與凈流入速率相等，于是：對于直角坐標(biāo)系對于穩(wěn)定流條件δρ/δt＝0，流體密度為常數(shù)（所謂流體為不可壓縮流體），則上述公式雖然同樣適用于層流和湍流，但需要說明的是在湍流條件下，公式中的u所代表的是時均速度?等效2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之運(yùn)動方程(動量守恒)運(yùn)動方程的物理意義是在控制體內(nèi)動量通量守恒，按照矢量式表達(dá)：說明如下：運(yùn)動方程必須與連續(xù)方程同時求解；該方程在湍流條件下，u代表時均流速，而μ為有效粘度μeff(μeff=μ+μt)，必須與相應(yīng)的湍流模型同時求解，后續(xù)；上式中▽·(ρuu)取的是散度的形式但并非散度，因?yàn)棣製u是一個并矢積，它有9個分量▽()代表梯度而▽·()取代表散度；體積力Fb由于代表單位質(zhì)量所受的力，因此作衡算時要轉(zhuǎn)化為單位體積的受力ρFb。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之運(yùn)動方程(動量守恒)納維爾-斯托克斯(Navier-Stokes)方程運(yùn)動方程的物理意義是在控制體內(nèi)動量通量守恒，按照矢量式表達(dá)：針對上式轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的表達(dá)形式，則：針對笛卡爾坐標(biāo)系x、y、z軸繼續(xù)分解得到：式中且Fx、Fy、Fz分別為體積力Fb在x、y、z方向上的分量。作業(yè)：從通量控制方程的通式推導(dǎo)如下完整的三維納維爾－斯托克斯方程。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之運(yùn)動方程(動量守恒)納維爾-斯托克斯(Navier-Stokes)方程運(yùn)動方程的物理意義是在控制體內(nèi)動量通量守恒，按照矢量式表達(dá)：如果流體為粘度不變的不可壓縮流體，則：針對笛卡爾坐標(biāo)系x、y、z軸繼續(xù)分解得到：2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之能量方程(能量守恒)熱能守恒方程的一般形式為：直角坐標(biāo)系下，不可壓縮流體的能量守恒方程為：如果考慮流體粘性作用所導(dǎo)致部分流體動能耗散而形成的熱能，則：2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之能量方程(能量守恒)熱能守恒方程的一般形式為：如果流體流動狀態(tài)是湍流，則熱導(dǎo)率應(yīng)為有效熱導(dǎo)率：式中：PrN——靜態(tài)液相普朗特數(shù)，對于鋼液，PrN≈0.2，對于氣體PrN≈1；PrT——湍流下的普朗特數(shù)，對于鋼液，PrT≈1。求解流體溫度場必須首先已知速度場。求解自然對流條件下的速度場時，對流傳熱方程、流體運(yùn)動方程和連續(xù)性方程要同時求解，因?yàn)闇夭钍亲匀粚α鳟a(chǎn)生的原因所在。求解固體內(nèi)部溫度場時，以上諸式同樣適用，所不同的是所有的速度項(xiàng)均為零。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之溶質(zhì)守恒方程流體中的質(zhì)量傳輸方程的一般形式：直角坐標(biāo)系下：式中，質(zhì)量濃度cA（單位為kg/m3）亦可由組分A的質(zhì)量分?jǐn)?shù)wA表示（cA=ρwA）。在求解湍流流動下的溶質(zhì)濃度分布時，上兩式中的擴(kuò)散系數(shù)D應(yīng)由有效擴(kuò)散系數(shù)Deff代替：2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之小結(jié)回過頭來看看前面所述的控制方程，無論是連續(xù)性方程、運(yùn)動方程、能量方程或者溶質(zhì)方程，他們的形式非常類似，于是我們自然想到建立一個控制方程通式，這樣既幫助我們記憶、理解相關(guān)原理（比如三傳現(xiàn)象的相似性），而且可以通過設(shè)計通用的求解程序讓工作變得更加簡單且移植性較強(qiáng)。用Φ表示通量，則通用的微分方程為式中，?！ㄓ脭U(kuò)散系數(shù)；S——源項(xiàng)?！癲iv”表示散度，對應(yīng)前面所述的哈密頓算符作用于矢量，“grad”表示梯度，對應(yīng)哈密頓算符作用于標(biāo)量或者矢量。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之小結(jié)控制方程ΦΓS備注連續(xù)性方程100溶質(zhì)守恒方程ci(wi)DiRi質(zhì)量濃度(質(zhì)量分?jǐn)?shù))運(yùn)動方程uμeffρFb-

▽pμeff=μ+μt熱量方程cpTλeffqλeff=λ+λt湍流動能κμeff/PrκG-ρεPrκ=1.0湍流動能耗散速度εμeff/PrεC1εG/κ-C2ρε/κPrε=1.3;C1=1.44;C2=1.922025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之邊界條件及初始條件只有具備足夠數(shù)量的賦值（或關(guān)系式），微分方程才能有特解。一般非穩(wěn)態(tài)方程要求有一個初始條件。方程數(shù)目根據(jù)變量個數(shù)確定，而邊界條件數(shù)目則由方程中變量的導(dǎo)數(shù)階次和個數(shù)共同決定，每個n階導(dǎo)數(shù)需要n個邊界條件。一般邊界條件取決于局部條件，邊界條件的典型類別有：一類邊界條件：直接給定邊界上因變量的數(shù)值。如研究流體流動時常設(shè)流體與固體邊界無相互滑移，即固－液界面處u=0。二類邊界條件：邊界上存在通量連續(xù)條件。如分析鋼錠模向外散熱時有式中，ε——錠模表面發(fā)射率；σ——斯芯藩－玻爾茲曼常數(shù)；T0——環(huán)境溫度；Ta——模表面溫度。三類邊界條件：直接給定邊界傳輸通量。如鋼包中心線兩側(cè)鋼液的動能耗散通量為零。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——控制方程控制方程之邊界條件及初始條件邊界條件的具體形式質(zhì)量（動量、能量）衡算具體表達(dá)舉例（1）邊界上濃度（速度、溫度）一定C=C0;u=0;Tx=0=T0（2）邊界上質(zhì)量（動量、熱量）通量連續(xù)[Ni]x=0-=[Ni]x=0+;液液界面τ連續(xù);[q]x=0-=[q]x=0+（3）邊界兩側(cè)濃度（速度、溫度）有函數(shù)關(guān)系[Ci]x=0-=f([ci]x=0+);[u]x=0-=[u]x=0+;[T]x=0-=[T]x=0+;（4）邊界上質(zhì)量（熱量）通量可由試驗(yàn)確定[Ni]x=0=k(ci-ci*);;[q]x=0=h(Ti-Ti*)（5）邊界上質(zhì)量（動量、熱量）通量一定[Ni]x=0=0;氣液界面動量通量近似為零;[q]x=0=q0第四條中試驗(yàn)確定只能針對質(zhì)量通量和熱量通量，動量通量無法測量。除上述邊界條件和初始條件外，還有幾何條件和物理?xiàng)l件。幾何條件是指傳輸空間的幾何形狀和大?。晃锢?xiàng)l件是指傳輸介質(zhì)的物性參數(shù)（如流體密度、粘度值及熱容－溫度關(guān)系等）。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——目錄控制體與坐標(biāo)系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制體與坐標(biāo)系1通量微分2電磁流體力學(xué)5相間傳輸6控制方程3湍流模型42025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型對鋼鐵冶金而言，湍流特征的描述應(yīng)當(dāng)擺在突出位置，因?yàn)殇撹F冶金過程所涉及的流動問題大多數(shù)是湍流問題，一是因?yàn)殇撘?、熔渣等高溫流體都是高粘度流體，二是這些流體（包括很多氣體）的流動都是高速流動，從它們的粘度和速度計算得到的雷諾數(shù)都非常高。描述這些湍流的目的就是為了求解速度場，確切地說，就是通過給定適當(dāng)?shù)南禂?shù)來描述湍流條件下的混合效果，以便進(jìn)一步利用納維爾－斯托克斯方程求解湍流速度場。從模型設(shè)計者的角度，就是找到湍流條件下有效傳輸系數(shù)的途徑。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型湍流模型之湍流特性及其描述雷諾數(shù)：衡量作用于流體上的慣性力與黏性力相對大小的一個無量綱相似參數(shù)，用Re表示，即式中ρ—流體密度；v—流場中的特征速度；L—特征長度；μ——流體的動力粘度。一般管道Re＜2000為層流狀態(tài)，Re＞4000為紊流狀態(tài)，Re＝2000～4000為過渡狀態(tài)。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型湍流模型之湍流特性及其描述tui湍流流動的隨機(jī)脈動粘性流體以高雷諾數(shù)流動時會產(chǎn)生湍流，而湍流會導(dǎo)致流體中各個質(zhì)點(diǎn)流速的三維隨機(jī)脈動。如果我們?nèi)r均速度，則某一點(diǎn)的瞬時速度就可以表示成時均速度和脈動速度之和：壓力也有類似分解。代入到不可壓縮且粘度恒定的納維爾－斯托克斯方程，并將方程兩邊對時間取平均，得到雷諾應(yīng)力2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型湍流模型之湍流特性及其描述雷諾應(yīng)力可以通過剪切力的表達(dá)進(jìn)行轉(zhuǎn)換求解：其中，μt為渦流粘度或表觀湍流粘度。前面已經(jīng)介紹過，流體的有效粘度、有效擴(kuò)散系數(shù)以及有效熱導(dǎo)率都是由兩部分組成：分子傳輸系數(shù)和渦流傳輸系數(shù)。而其中的渦流擴(kuò)散系數(shù)和渦流熱導(dǎo)率可以分別表示成：其中，ScT、PrT分別為湍流施密特數(shù)和湍流普朗特數(shù)。顯然，一旦渦流粘度知道，渦流擴(kuò)散系數(shù)和渦流熱導(dǎo)率就可求。這些有效傳輸系數(shù)知道，流場自然可求。求μt一般采用的有三種方法：普朗特混合長理論（零方程模型）、κ方程模型（單方程模型）和κ－ε雙方程模型，以及后一種方法的變體。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型湍流模型之普朗特混合長模型對于粘性流體，如果湍流微團(tuán)從某一層中由于脈動的作用而到達(dá)速度不同的另一層，微團(tuán)運(yùn)動過程中經(jīng)歷了lm距離，且這一運(yùn)動導(dǎo)致目標(biāo)層的擾動，則隨機(jī)湍流速度ut可表達(dá)為：其中，為x方向時均速度在y方向上的速度梯度的絕對值，lm為特征混合長度。該模型被稱為零方程模型，因?yàn)樗且源鷶?shù)方程表示特征量的?；旌祥L模型的一大特點(diǎn)是不必求解與μt有關(guān)的微分方程，只需要確定混合長（但相當(dāng)困難），但該模型僅限于簡單流場的描述，復(fù)雜流場（如環(huán)流）無能為力。進(jìn)而，普朗特提出渦流粘度可以表達(dá)為2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型湍流模型之κ方程模型我們已知μt=ρlmut，而湍流流動速度與湍流動能的平方根成正比，及湍流脈動速度ut有式中κ為湍流脈動動能，，于是，渦流粘度可以表達(dá)為：式中Cμ為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，κ的數(shù)值由湍流能量衡算得到。例如，在x方向流動的湍流邊界層中，如假設(shè)流動屬穩(wěn)態(tài)，其湍流能量守恒方程為(κ的對流傳遞)(湍流擴(kuò)散)

(生成)(耗散)式中CD——流量系數(shù)，Prκ——湍流動能的普朗特數(shù)。與零方程一樣，κ方程模型同樣需要首先確定混合長度，這就對研究諸如氣體攪拌鋼鐵等環(huán)流過程構(gòu)成了障礙。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型湍流模型之κ－ε雙方程模型這一模型的基本出發(fā)點(diǎn)是以特征能量和特征耗散速率來表示對特征長度的函數(shù)關(guān)系，即：式中κ——湍流脈動動能；ε——湍流脈動動能的耗散率。只要確定湍流脈動動能κ和耗散速率ε，則渦流粘度有解。由脈動動量方程推導(dǎo)可以得到描述κ和ε的偏微分方程為式中Gκ為湍流脈動動能κ的產(chǎn)生速率，Cμ、C1及C2都是經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，Prκ、Prε分別為湍流動能和動能耗散速率的普朗特數(shù)。一般取2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——湍流模型湍流模型之κ－ε雙方程模型將κ－ε方程寫成張量分量形式，則有在κ－ε方程中包含速度項(xiàng)，可見湍流條件下求解速度場需要將連續(xù)性方程、運(yùn)動方程及湍流κ－ε方程聯(lián)立求解。求解運(yùn)動方程獲得速度場求解κ、ε方程獲得渦流粘度分布收斂？結(jié)束YesNo……以渦流粘度為前提求解速度場、溫度場等2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——目錄控制體與坐標(biāo)系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制體與坐標(biāo)系1通量微分2電磁流體力學(xué)5相間傳輸6控制方程3湍流模型4電磁流體力學(xué)52025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——電磁流體力學(xué)對鋼鐵冶金而言，電磁場的應(yīng)用由來已久。本質(zhì)上，冶金過程應(yīng)用電磁技術(shù)主要目的是利用電磁場來控制流體流動或供給電能并將電能轉(zhuǎn)化為熱能。電磁場應(yīng)用領(lǐng)域的不同決定了所選定的電磁場具有不同的性質(zhì)。目前主要的電磁應(yīng)用領(lǐng)域（鋼鐵冶金范疇）及電磁特性列于下表。目的場特性工藝過程利用磁場移動交流磁場(幾個Hz~60Hz)連鑄電磁攪拌;ASEA-SKF爐;水口流速控制交流磁場(60Hz~MHz)無芯感應(yīng)爐;電磁鑄機(jī)(無模鑄造)直流磁場電磁制動;液態(tài)金屬流動變形;薄箔邊緣形狀控制利用電場交流電場電渣重熔;電弧爐直流電場電渣重熔;電弧爐利用磁場和電場耦合直流－直流電磁攪拌;電渣爐內(nèi)攪拌;凝固結(jié)構(gòu)控制直流－交流抑制電渣爐中流動;控制氣泡生成交流－交流凝固結(jié)構(gòu)控制;電渣爐電磁攪拌2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——電磁流體力學(xué)麥克斯韋(Maxwell)方程和歐姆(Ohm)定律麥克斯韋方程：歐姆定律：其中，B——磁通密度；E——電場強(qiáng)度；J——電流密度；u——流體速度；μm——磁導(dǎo)率；σe——電導(dǎo)率。驅(qū)動流體的電磁力（洛侖茲力）為電磁場同樣可以起到加熱作用，考慮其加熱效果時要在能量方程中附加J2/σe這一熱源項(xiàng)，即運(yùn)動方程：能量方程：上兩式表明，流場和磁場是相互耦合的。一般認(rèn)為，電磁場影響速度場，而許多場合速度場幾乎對電磁場沒有影響，意味著磁雷諾數(shù)Rem=μmσeuL《1（其中u、L分別為特征速度和特征長度）。法拉第定律安培定律高斯定律2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——電磁流體力學(xué)舉例1：直流磁場的作用OxyzJzByfxux如圖，在y方向施加直流磁場By，流體沿x方向流動而在z方向感應(yīng)出感生電流Jz：磁場繼續(xù)作用于感生電流在x方向上產(chǎn)生洛侖茲力fx：兩次作用的方向判斷都用到右手螺旋定則。利用直流磁場的這種定向作用可以有效地用到冶金過程中的許多地方：比如連鑄水口處針對鋼鐵的電磁制動作用，比如針對鋼鐵內(nèi)的夾雜物的加速上浮作用等。對于鋼鐵內(nèi)的夾雜物的加速上浮作用，可以看成對鋼液施加直流電、磁場從而改變重力加速度（由g變?yōu)間’）2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——電磁流體力學(xué)舉例2：交變磁場的作用對麥克斯韋方程組中的感生電流方程進(jìn)行變換和變量替代，可以獲得所謂感應(yīng)方程（或稱擴(kuò)散方程）實(shí)際上就是關(guān)于磁場的控制方程：又因?yàn)橐苯疬^程中應(yīng)用的電磁場的磁雷諾數(shù)遠(yuǎn)小于1，因此上式左側(cè)第二項(xiàng)可以忽略。于是xyzOBx導(dǎo)電材料內(nèi)部外部取x-y面作為金屬界面，z軸指向金屬內(nèi)部。高頻磁場在金屬界面的x方向上振蕩，于是，x方向磁場Bx可以表示為其中，ηm為磁擴(kuò)散系數(shù)，ηm＝1/(σeμm)。振蕩磁場的表達(dá)式Bx=μmhx(z)ejωt代入上式，可以得到：其中，hx是磁場強(qiáng)度H在x方向分量值；ω是角頻率。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——電磁流體力學(xué)舉例2：交變磁場的作用進(jìn)一步取邊界條件：代入上式最終得到xyzOBx導(dǎo)電材料內(nèi)部外部并據(jù)此得到電流密度的表達(dá)式：這種振蕩磁場在冶金中的應(yīng)用非常普遍。比如磁場在金屬界面處的生熱。再比如振蕩磁場對流體形狀和流體混合效果的控制，高頻磁場有利于控制流體形狀，低頻磁場則有利于液相的混合。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——目錄控制體與坐標(biāo)系1通量微分2控制方程3湍流模型4控制體與坐標(biāo)系1通量微分2電磁流體力學(xué)5相間傳輸6控制方程3湍流模型4電磁流體力學(xué)5相間傳輸62025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸冶金過程實(shí)質(zhì)就是一個多相反應(yīng)的復(fù)雜過程，其中包括氣－固、氣－液、液－液、液－固、氣－液－固等之間的反應(yīng)。而多相化學(xué)反應(yīng)是傳質(zhì)、傳熱和界面反應(yīng)的綜合過程，作為源項(xiàng)的化學(xué)反應(yīng)速率應(yīng)該考慮傳質(zhì)阻力和界面反應(yīng)阻力等，熱量傳輸也要采用綜合傳熱系數(shù)——有效換熱系數(shù)來反映。下面簡單介紹氣－固相間傳輸模型和流－流傳輸模型。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述填充床模型特性參數(shù)定義公式固體顆粒特征參數(shù)當(dāng)量直徑(dp)形狀系數(shù)(ψp)平均直徑()

，dpi－顆粒直徑;wi－直徑為dpi的顆粒的質(zhì)量分?jǐn)?shù)散料床(層)特性參數(shù)空隙度(ε)(有效通道面積比α)

，V散－散料堆體積比表面積(s)

，散料體積中料塊的表面積與料塊本身的體積之比。氣體的空爐速度(Vg)

，qv－氣體的體積流量；A－料層的截面積氣體的實(shí)際速度(ug)水力學(xué)直徑(d水)2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述填充床內(nèi)流體與固體的運(yùn)動高爐、燒結(jié)、石灰窯等都是典型的填充床，其中包括氣、固、液、粉等多相。針對填充床內(nèi)氣體運(yùn)動可以用連續(xù)流體的納維爾－斯托克斯方程求解，但仍有困難，目前更傾向于半理論的厄根（Ergun）方程來描述。從流體力學(xué)中的直線管流體壓降計算式移植到散料層氣體運(yùn)動的動量傳輸，可以得到：式中，Δp為流體的動壓頭損失；H為散料高度；f和fc分別為與雷諾數(shù)有關(guān)的阻力系數(shù)和料層的阻力系數(shù)；ρg為氣體密度；Vg為空爐速度；s為比表面積；ε為空隙度。其中阻力系數(shù)fc與散料層中的修正雷諾數(shù)Rec有關(guān)，厄根將Rec定義為式中，μg為氣體的動力粘度；Rn為水力學(xué)半徑，Rn=d水/4，即氣體流動的橫截面積與橫截面周長之比。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述填充床內(nèi)流體與固體的運(yùn)動通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)高爐條件下Rec大于2，于是這就是著名的厄根公式，第一項(xiàng)為摩擦阻力損失，它是由氣體的粘滯性引起的，第二項(xiàng)為形狀阻力損失，它是由氣體的運(yùn)動動能引起的。前一項(xiàng)適用于層流，后一項(xiàng)適用于湍流，這時迄今為止解析散料層動能傳輸時應(yīng)用最廣泛的公式。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述填充床內(nèi)流體與固體的運(yùn)動高爐爐料下降到中下部的軟融帶，爐料開始軟融，厄根公式中的阻力系數(shù)開始變化，可以采用范寧公式進(jìn)行計算：式中，εb為軟融帶的空隙度；fb為氣體在軟融帶中的阻力系數(shù)；sr為軟融帶的收縮率；L0、L為收縮前后軟融層的高度；ρb為軟融層填充密度。從式中可以看到，范寧公式實(shí)際上是厄根公式的變形，當(dāng)fb=3.5時，范寧公式就是厄根公式的第二項(xiàng)。除了上述散料層和軟融層的公式，還有針對焦炭夾層的公式和針對滴落帶的相關(guān)公式，這里不一一介紹，請參考教科書。固相的運(yùn)動解析比較困難，一般將固相視為勢流體（potentialflow），其特點(diǎn)就是速度場的旋度為零：2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述填充床內(nèi)流體與固體的連續(xù)方程針對單位體積控制體內(nèi)的氣相和固相分別進(jìn)行總質(zhì)量衡算，得到連續(xù)方程分別為式中，ρg、ρs－分別為氣相、固相密度；ε為填充床層空隙度；Ri*為第i個化學(xué)反應(yīng)的綜合反應(yīng)速度即單位時間、單位體積內(nèi)參加反應(yīng)的量(mol)，且式中，nki－第i

個反應(yīng)中k成分的化學(xué)當(dāng)量數(shù)；Mk－k成分的分子量。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間的熱量傳輸以熱量衡算方式寫出氣－固間熱量守恒控制方程，氣相和固相方程分別為：式中，cp,s、cp,g分別為氣、固相橫壓熱容；λeff,g、λeff,s分別為氣、固相的有效熱導(dǎo)率；hp為顆粒與流體間的換熱系數(shù)；s為料床比表面積；φ為反應(yīng)熱（在氣、固間）的分配系數(shù)；ΔHi為第i個反應(yīng)摩爾放熱（吸熱）量。上式中等號右側(cè)第一項(xiàng)為對流換熱項(xiàng)，第二項(xiàng)為傳導(dǎo)傳熱項(xiàng)，第三項(xiàng)為氣、固間熱交換項(xiàng)，第四項(xiàng)為化學(xué)反應(yīng)熱釋放速率項(xiàng)。式中顆粒－流體間換熱系數(shù)hp需要通過試驗(yàn)確定，也可以通過下述準(zhǔn)數(shù)方程得到：其中，Nu=hpdp/λg，為努賽爾數(shù)；Pr=cp,gμg/λg，為普朗特數(shù)；Re=dpugρg/μg，為雷諾數(shù)。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間的質(zhì)量傳輸以質(zhì)量衡算方式寫出氣－固間組元的質(zhì)量守恒控制方程，氣相和固相方程分別為：式中，ck為組元k的濃度；Deff,g、Deff,s分別為氣、固相的有效擴(kuò)散系數(shù)。在氣－固或液－固界面處由于濃度邊界層的存在，該層內(nèi)主體流動所造成的組分傳遞可以忽略，這時的傳質(zhì)通量主要取決于分子擴(kuò)散系數(shù)即一定主體流速下的有效邊界層厚度，即其中，Nk為k組元的氣－固相間傳輸通量；δe為有效邊界層厚度；ck,s為k組元在固相界面處的濃度；ck,s為k組元在氣相主體中的濃度；km為傳質(zhì)系數(shù)。求解上述方程，必須首先確定傳質(zhì)系數(shù)km和有效擴(kuò)散系數(shù)Deff,g。2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間的質(zhì)量傳輸傳質(zhì)系數(shù)km的求解有三種方法：理論求算；利用準(zhǔn)數(shù)方程；利用類似法由動量及熱量傳遞的參數(shù)來推算?？紤]準(zhǔn)數(shù)方程，對于球狀固體顆粒與氣相間傳質(zhì)的準(zhǔn)數(shù)方程為式中，Sc=μg/(ρgD)，為施密特數(shù)；Sh=kmdp/D，為舍伍德數(shù)。若固相不是單一顆粒而是填充床，氣體的實(shí)際流速比表觀空爐速度大，有人認(rèn)為前者是后者的9倍，因此可將上式修正為同時，固體顆粒與液相間的傳質(zhì)可以采用的準(zhǔn)數(shù)方程或采用蘭茲－馬歇爾（Ranz-Marshall）公式2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間的質(zhì)量傳輸氣－固傳輸往往涉及到氣體在固體空隙內(nèi)的擴(kuò)散，氣體在多孔介質(zhì)中的擴(kuò)散機(jī)制不同，有效擴(kuò)散系數(shù)Deff,g表達(dá)式不同。式中，DAB為雙組分混合物的分子擴(kuò)散系數(shù)；ε為多孔介質(zhì)的孔隙度；τ為曲折因子（對不固結(jié)粒料，取1.5~2.0；壓實(shí)粒料取7~8）；ξ為迷宮度系數(shù)。普通擴(kuò)散（分子擴(kuò)散）這時的固相毛細(xì)孔徑遠(yuǎn)大于氣體分子平均自由程，擴(kuò)散阻力主要由分子間碰撞決定，此時的有效擴(kuò)散系數(shù)為式中，r為平均孔半徑；T為絕對溫度；Mk為組分k的分子量。修正后的有效擴(kuò)散系數(shù)為Deff=εξDk。如果是合成效果，則合成關(guān)系為(1/Deff)=(1/Deff,1)+(1/Deff,2)。努森擴(kuò)散（Knudsendiffusion）這時氣體分子平均自由程遠(yuǎn)大于孔徑，擴(kuò)散阻力主要取決于分子對孔壁的碰撞，努森擴(kuò)散系數(shù)為2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間化學(xué)反應(yīng)之鐵礦石氣體還原一界面未反應(yīng)核模型模型分成三層：邊界層、反應(yīng)完全的Fe層、未反應(yīng)核（完全Fe2O3）層；還原氣體的擴(kuò)散也按照這三層進(jìn)行描述，對應(yīng)的三層邊界氣體濃度由外到內(nèi)分別是氣相空間濃度c0、半徑r＝r0的礦球表面濃度c1、內(nèi)核界面（也是化學(xué)反應(yīng)界面）濃度c，另外還有針對內(nèi)核界面的平衡濃度ce；反應(yīng)發(fā)生在內(nèi)核界面，屬于一級可逆反應(yīng)：cc1c0H2(CO)的濃度變化Fe2O3Fe層rr0邊界層ce恒溫橫壓條件下，F(xiàn)e2O3被CO(或H2)還原，反應(yīng)進(jìn)行在氣－固界面上，可用一界面未反應(yīng)核模型描述。模型說明：整個還原過程及各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)描述如下…2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間化學(xué)反應(yīng)之鐵礦石氣體還原一界面未反應(yīng)核模型邊界層氣體擴(kuò)散還原氣體分子在邊界層的擴(kuò)散符合菲克第一定律。cc1c0H2(CO)的濃度變化Fe2O3Fe層rr0邊界層ce式中，R1－擴(kuò)散速度；A－礦球外層表面積；δ－邊界層厚度；c1、c0－氣體在礦球表面及氣相本體的濃度；D－擴(kuò)散系數(shù)；km－傳質(zhì)系數(shù)，=D/δ。Fe層氣體擴(kuò)散還原氣體分子在Fe層的擴(kuò)散同樣符合菲克第一定律。式中，R2－擴(kuò)散速度；Deff－有效擴(kuò)散系數(shù)。準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散條件下，R2為常數(shù)，于是對上式積分得到得到2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間化學(xué)反應(yīng)之鐵礦石氣體還原一界面未反應(yīng)核模型界面化學(xué)反應(yīng)一般鐵氧化物還原反應(yīng)中，氧化亞鐵的還原是限制性環(huán)節(jié)cc1c0H2(CO)的濃度變化Fe2O3Fe層rr0邊界層ce式中，k、k’－分別為正逆反應(yīng)速度常數(shù)。當(dāng)反應(yīng)平衡時，kcCO,e=k’cCO2,e，k/k’=K(K為反應(yīng)平衡常數(shù))。于是按照質(zhì)量守恒可以得到還原速度方程視鐵礦石還原過程為準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)，即傳輸及反應(yīng)的各個環(huán)節(jié)中沒有物質(zhì)積累，總反應(yīng)速度R整理得到反應(yīng)速度為2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間傳輸?shù)臄?shù)學(xué)描述氣－固間化學(xué)反應(yīng)之鐵礦石氣體還原一界面未反應(yīng)核模型cc1c0H2(CO)的濃度變化Fe2O3Fe層rr0邊界層ce邊界層傳質(zhì)阻力Fe層傳質(zhì)阻力化學(xué)反應(yīng)阻力按照控制方程中源項(xiàng)單位，將化學(xué)反應(yīng)速度處理成單位體積的生成速度R’，則式中r無法直接測量，為此我們定義一個還原度f式中W0為r=r0時的球中的氧重；W為r時球中的氧重。于是最后得到2025/1/39:36冶金數(shù)值——數(shù)學(xué)描述——相間傳輸氣－固相間