專(zhuān)題07 與相似有關(guān)的壓軸題九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末解答題必刷專(zhuān)題訓(xùn)練（華師大版） 帶解析

與相似有關(guān)的壓軸題1．如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，BC=2AD，E為邊BC的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖：（1）作BD的中點(diǎn)F；（2）作BE的中點(diǎn)G；（3）如圖2，△BDE的中線(xiàn)EF、DG交于點(diǎn)H，若△EGH的面積為1，則四邊形BGHF的面積為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）2【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分，即可作BD的中點(diǎn)F；（2）找的中位線(xiàn)，即可得BE的中點(diǎn)G；（3）連接AE，，則F、H在A(yíng)E上，設(shè)，則，，推出，，證明，由相似的性質(zhì)，，求出，從而得出，在中，列出等量關(guān)系式，求解即可得出答案．【詳解】（1）連接DE，AE交BD與F，BC=2AD，E為邊BC的中點(diǎn)，AD=BE，ADBC，四邊形ABED是平行四邊形，點(diǎn)F即為BD中點(diǎn)；（2）如圖，延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)M，連接ME交AD于點(diǎn)N，連接NF交BE于點(diǎn)G，由題可得：，∵BC=2AD，∴A為MB中點(diǎn)，又AN//BE，∴AN為的中位線(xiàn)，即N為ME中點(diǎn)，∵四邊形ABED是平行四邊形，∴F為AE中點(diǎn)，∴FN//AM，∴FG//AB，F(xiàn)G為中位線(xiàn)，∴G為BE中點(diǎn)；（3）如圖，連接AE，，則F、H在A(yíng)E上，設(shè)，則，，，，，四邊形ABED是平行四邊形，，，，，，，，即，．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合問(wèn)題，掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的作圖方法以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接EF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接BG．（1）如圖2，若四邊形ABCD為正方形，其面積為S，四邊形BCEG的面積為S1，當(dāng)S1＝S時(shí)，求的值．（2）如圖1，若AB＝20，AD＝10，設(shè)DE＝x，點(diǎn)G到直線(xiàn)BC的距離為y，求出y與x的關(guān)系式；當(dāng)＝時(shí)，求x的值．【答案】（1）的值為；（2）x的值為或．【分析】（1）如圖，連接BE，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，利用角的和差關(guān)系可得∠DAE=∠BAF，利用SAS可證明△DAE≌△BAF，可得DE=BF，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得S△FGB=S△EGB=S△FBE，根據(jù)S1＝S，S△FCE=S△FBG+S1即可得答案；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，根據(jù)點(diǎn)G為EF中點(diǎn)可得GH為△FCE的中位線(xiàn)，可得GH=EC，由DE=x可得EC=20-x，即可得出y與x的關(guān)系式，根據(jù)＝可得BG=EC，利用勾股定理可得BH=，根據(jù)∠DAE=∠BAF，∠D=∠ABF可證明△DAE∽△BAF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BF=2x，分點(diǎn)H在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)兩種情況，根據(jù)FH=CH列方程求出x的值即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接BE，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，∴∠DAE+∠BAE=90°，∠ABF=90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAF，在△DAE和△BAF中，，∴△DAE≌△BAF，∴DE=BF，∵點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴S△FGB=S△EGB=S△FBE，∵S1＝S，S△FCE=S△FBG+S1，∴S△FCE-S△FBG=S正方形ABCD，∴FC·CE-×BF·CE=BC2，∵FC=BC+BF，BC=CD=CE+DE，∴2（CE+2DE）CE-DE·CE=（CE+DE）2，整理得：CE2+DE·CE-DE2=0，∵DE≠0，∴，解得：=或=（舍去），∴的值為．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC于H，∵∠C=∠ABF=90°，∴GH//CD，∵點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，∴GH為△CFE的中位線(xiàn)，∴GH=CE，∵DE=x，GH=y，CD=20，∴EC=CD-DE=20-x，∴GH=（CD-DE），即y=（20-x），∴y與x的關(guān)系式為：y=x+10，∵＝，∴BG=EC，在Rt△GHB中，BH====，∵∠DAE+∠BAE=90°，∠BAF+∠BAE=90°，∴∠DAE=∠BAF，∵∠D=∠ABF=90°，∴△DAE∽△BAF，∴，∴BF=2DE=2x，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，∵FH=CH，∴BF-BH=BC+BH，即2x-=10+解得：x=，如圖，當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，∵FH=CH，∴BF+BH=BC-BH，即2x+=10-，解得：x=，綜上所述：x的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、中位線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理并靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解題關(guān)鍵．3．在菱形ABCD中，CD＝CA＝6，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，E為邊BC上一點(diǎn)，直線(xiàn)EO分別交邊AD、射線(xiàn)BA于點(diǎn)G、F．（1）求菱形ABCD的面積；（2）請(qǐng)判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)△BEF的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2，試確定點(diǎn)E的位置，使得．【答案】（1）18；（2）是，定值為；（3）BE＝4【分析】（1）證明得到△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，即可求出菱形面積；（2）利用平行線(xiàn)段成比例，可以得出△FAG∽△FBE，得出BF的表達(dá)式，即可求出的值，據(jù)此判斷是否為定值；（3）利用（2）各邊的表示方法，可以求出S1、S2的表示方法，依此列方程求解，即可得出BE的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AC，又CD＝CA＝6，∴△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形．∴＝∴S菱形＝＝18．（2）是定值，理由如下：設(shè)BE＝m，則CE＝6－m，∵AD∥BC，AO=CO∴∴AG=CE＝6－m由AG∥BE可知，△FAG∽△FBE．∴＝，＝．得FA＝，∴BF＝．∴＋＝＋＝；（3）由（2）得S1＝·m··＝，S2＝(m+6)·3＝，∴5×＝4×．解得m1＝4，m2＝－12（舍），∴當(dāng)BE＝4時(shí)，＝．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形也比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．如圖，銳角ADC，AO垂直平分BC交CD于O點(diǎn)，B是AD上一點(diǎn)，若記AOC面積為S1，BOD的面積S2，AOD的面積為S3；（1）求證：；（2）若=．①求證：BD=AC·AD；②若OA=1，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②【分析】（1）通過(guò)證明，即可求解；（2）①過(guò)O作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形面積公式化簡(jiǎn)即可；②過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵垂直平分，∴又∵∴∴（2）①過(guò)O作交于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，如下圖：由（1）知∴，即平分∴（角平分線(xiàn)的性質(zhì)）∵，又∵，即∴∴∴②過(guò)點(diǎn)作，如下圖：由①可得：由（1）得：由題意可得：∴，即解得，負(fù)值舍去，又∵∴∴∴由題意可得：∵∴，∴，解得：，【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．5．把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠F＝45°，AB＝DE＝4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線(xiàn)DE與射線(xiàn)AB相交于點(diǎn)P，射線(xiàn)DF與線(xiàn)段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖，當(dāng)射線(xiàn)DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證．此時(shí)，＝．（2）將三角板DEF由圖所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問(wèn)的值是否改變？說(shuō)明你的理由．（3）在（2）的條件下，設(shè)2＜x＜4，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）8；（2）不會(huì)改變，理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）由題意易證得，然后由相似三角形的性質(zhì)即可求得答案；（2）不會(huì)改變，關(guān)鍵還是證，已知一組角，再證明，由此可證得兩三角形相似，因此結(jié)論不變；（3）首先可得當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形，過(guò)作于，于，再根據(jù)即可求得答案．【詳解】解：（1），，．．，，斜邊中點(diǎn)為，，；故答案為：8；（2）的值不會(huì)改變，理由如下：在與中，，∴，∵，∴，，．．；∴的值不會(huì)改變；（3）當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形，過(guò)作于，于，，由（2）知：，∴，則，與的函數(shù)關(guān)系式為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．6．如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在邊AB上向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)在邊AD上向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度都是1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts（），，交BD于點(diǎn)E，點(diǎn)Q關(guān)于PE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是F，射線(xiàn)PF分別與BD，CD交于點(diǎn)M，N．（1）求度數(shù)，并用含t的代數(shù)式表示PE的長(zhǎng)；（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，①求證：，②t為何值時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與相似？【答案】（1）；；（2）①見(jiàn)解析；②或．【分析】（1）首先根據(jù)題意得出是等腰直角三角形，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)得出，即可求出度數(shù)；根據(jù)題意證明，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可表示出PE的長(zhǎng)；（2）①首先設(shè)，然后根據(jù)得出，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例表示出PB的長(zhǎng)度，即可證明出；②首先根據(jù)題意表示出BP的長(zhǎng)度，然后分或兩種情況討論，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∵點(diǎn)P，Q的速度是，∴，∴，∵點(diǎn)Q關(guān)于PE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是F，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：；（2）①如圖，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②∵，∴，，∵，∴，由①可知，，∴，∴，，∴，，∴，∵以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，且，∴或，若時(shí)，且，∴，∴，∴，∴，若時(shí)，，且，∴，∴，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，矩形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)和判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定方法．7．在菱形ABCD中，對(duì)線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，且AC=16cm，BD=12cm；點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DO方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)Q作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．解答下列問(wèn)題：（1）求菱形的邊長(zhǎng)，并用含t的代數(shù)式表示DE的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，線(xiàn)段PE∥AB?（3）設(shè)四邊形CFEP的面積為S（cm2），求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）菱形的邊長(zhǎng)為10cm，DE=；（2）t=；（3）S=；（4）當(dāng)t為4或或時(shí)，以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形【分析】（1）由菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理計(jì)算菱形邊長(zhǎng)，利用△DEQ∽△DAO表示DE長(zhǎng)度即可；（2）當(dāng)PE∥AB時(shí)，四邊形ABPE為平行四邊形，利用BP=AE可得出答案；（3）利用梯形CDEP的面積減去△DEF的面積即可得到四邊形CFEP的面積；（4）分三種情況討論．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，且AC=16cm，BD=12cm，∴AC⊥BD，OA=8cm，OB=6cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB==10cm，即菱形的邊長(zhǎng)為10cm，∵點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DO方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，∴DQ=t，由EF⊥BD，可得△DEQ∽△DAO，∴，即，∴DE=；（2）由（1）得：AE=AD-DE=10-，∵點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，∴BP=2t，∵BP∥AE，當(dāng)PE∥AB時(shí)，四邊形ABPE為平行四邊形，∴BP=AE，即2t=10-，解得：t=，∴當(dāng)t=時(shí)，線(xiàn)段PE∥AB；（3）∵AC=16cm，BD=12cm，AB=10cm，∴由等面積可得：菱形的高h(yuǎn)=，四邊形CDEP為梯形，∴S梯形CDEP==，∵△DEQ∽△DAO，∴，即，∴QE=，∵EF⊥BD，菱形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴EF=2QE=，∴S△DEF==，∴四邊形CFEP的面積：S=S梯形CDEP-S△DEF=，∴S和t的函數(shù)關(guān)系式為：S=；（4）存在，①當(dāng)BP=BQ時(shí)，即2t=12-t，解得：t=4；②當(dāng)PB=PQ時(shí)，∵△CBD為等腰三角形，CB=CD，∴△BPQ∽△BCD，∴，即，解得：t=；③當(dāng)QB=QP時(shí)，此時(shí)△QBP∽△CBD，∴，即，解得：t=；由題意知：P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)用時(shí)：10÷2=5（s），Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)用時(shí)：6÷1=6（s），綜上所述：當(dāng)t為4或或時(shí)，以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等三角形．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要涉及到菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似比求出相關(guān)線(xiàn)段．8．如圖（1），在四邊形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開(kāi)始沿DA邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為2cm/s．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），0＜t＜5（1）用含t的代數(shù)式表示AP；（2）當(dāng)以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似時(shí)，求t的值；（3）如圖（2），延長(zhǎng)QP、BD，兩延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M，當(dāng)△QMB為直角三角形時(shí)，求t的值．【答案】（1）10-2t；（2）或；（3）或【分析】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，則CD=BH=8cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，從而可得AP；（2）分兩種相似情況加以考慮，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可完成；（3）分∠QMB=90゜和∠MQB=90゜兩種情況考慮即可，再由相似三角形的性質(zhì)即可求得t的值．【詳解】（1）如圖，作DH⊥AB于H則四邊形DHBC是矩形∴CD=BH=8cm，DH=BC=6cm∴AH=AB-BH=16-8=8(cm)在Rt△ADH中，由勾股定理得∵DP=2tcm∴AP=AD-DP=(10-2t)cm（2）①當(dāng)△APQ∽△ADB時(shí)則有∴解得：②當(dāng)△APQ∽△ABD時(shí)則有∴解得：綜上所述，當(dāng)或時(shí)，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似；（3）①當(dāng)∠QMB=90゜時(shí)，△QMB為直角三角形如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H∴∠PNQ=∠BHD∵∠QMB=90゜∴∠PQN+∠DBH=90゜∵∠PQN+∠QPN=90゜∴∠QPN=∠DBH∴△PNQ∽△BHD∴即4QN=3PN∵PN∥DH∴△APN∽△ADH∴，∴，∴由4QN=3PN得：解得：②當(dāng)∠MQB=90゜時(shí)，△QMB為直角三角形，如圖則PQ∥DH∴△APQ∽△ADH∴∴即解得：綜上所述，當(dāng)或時(shí)，△QMB是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是相似三角形的綜合應(yīng)用，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意分類(lèi)討論的應(yīng)用．9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分別與AC，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，，BD＝6．求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似即可判斷；（2）解直角三角形求出，，利用相似三角形的性質(zhì)求出，即可．【詳解】（1）證明：，，為邊上的高，，，，是的平分線(xiàn)，，．（2）解：如圖，作于．∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=∠CEB，∵∠BFD=∠CFE，，為等腰三角形，，，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，根據(jù)，即，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交邊CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接EF，交邊AB于點(diǎn)G．設(shè)DE＝x，BF＝y(tǒng)．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）如果AD＝BF，求證：AEF∽DEA；（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，AEG能否成為等腰三角形？如果能，請(qǐng)求出線(xiàn)段DE的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝x，（0＜x＜4）；（2）見(jiàn)詳解；（3）或或．【分析】（1）由矩形的性質(zhì)推出∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，即得∠D＝∠ABF，再由AF⊥AE得出∠EAF＝∠BAD＝90°，然后由∠EAF＝∠BAF＋∠BAE，∠BAD＝∠DAE＋∠BAE，得出∠DAE＝∠BAF，由∠D＝∠ABF，∠DAE＝∠BAF，得△DAE∽△BAF，再由三角形相似的性質(zhì)得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式，從而得出x的取值范圍；（2）由AB∥CD，得出．即得FG＝EG，再由∠EAF＝90°，得AG＝FG，∠FAG＝∠AFG，∠AFE＝∠DAE，再由∠EAF＝∠D，∠AFE＝∠DAE，得△AEF∽△DEA；（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，△AEG能成為等腰三角形，此時(shí)可以推斷出三種情況，一一推斷即可．【詳解】解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝3．∴∠D＝∠ABF=90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝∠BAD＝90°．又∵∠EAF＝∠BAF＋∠BAE，∠BAD＝∠DAE＋∠BAE，∴∠DAE＝∠BAF．∴△DAE∽△BAF．∴，∵DE＝x，BF＝y(tǒng)，∴，即：y＝x．∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝x，（0＜x＜4）；（2）∵AD＝BF，AD＝BC，∴BF＝BC．在矩形ABCD中，AB∥CD，∴，∴FG＝EG．∵∠EAF＝90°，∴AG＝FG．∴∠FAG＝∠AFG．∴∠AFE＝∠DAE．又∵∠EAF＝∠D，∴△AEF∽△DEA；（3）當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上移動(dòng)時(shí)，△AEG能成為等腰三角形．①當(dāng)AG＝EG時(shí)，則∠GAE=∠GEA，∵∠EAF=90°，∴∠GAE+∠GAF=90°，∠GEA+∠AFG=90°，∴∠GAF=∠AFG，∴EG＝FG＝AG，∵AB∥CD，∴FB＝BC＝3當(dāng)y＝3代入y＝x，得x＝，即：DE＝；②當(dāng)AE＝GE時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，∴∠EAG=∠EGA，∠DAG=∠HGA=90°，∴∠DAE=∠HGE，∵∠D=∠GHE=90°，AE＝GE∴△ADE≌△GHE，即EH＝DE＝x，GB＝HC＝4?2x，GH＝3∵△FBG∽△FCE，∴，即，解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是方程的解，即DE＝；③當(dāng)AG＝AE時(shí)，∵AE2＝AD2＋DE2＝9＋x2∴AG＝，∴GB＝4?，∵△FBG∽△FCE，∴，即：解得：x＝，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是方程的解，即DE＝．綜上所述：DE的值為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)和一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，和分類(lèi)討論思想方法是解題的關(guān)鍵．11．（問(wèn)題）如圖①，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng)DE，CA交于點(diǎn)F，若DEEF，AB4，求AE的長(zhǎng)．（提示：如圖②，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，再通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得到AE和AB的比，從而得到AE的長(zhǎng)．請(qǐng)你按照這個(gè)思路完成解答．）（探究）在原問(wèn)題的條件下，可以得到AF和AC的數(shù)量關(guān)系是．（拓展）如圖③，在△ABC中，AD是中線(xiàn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AD上，且AE∶AD1∶3，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，若，則．【答案】（1）1；（2）；（3）14【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，證明△FEH∽△FDC和△AEH∽△ABC，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交DF于點(diǎn)M，證明△AEM∽△BED，△AFM∽△CFD，即可得到結(jié)論；（3）作EG∥BC，F(xiàn)H∥BC，證明△AEG∽△ADC，△FEG∽△FBC，△FEH∽△BED，設(shè)DE=5EH=5x，可得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C，∴△FEH∽△FDC，∴，∵DE＝EF，∴，∵BD＝DC，∴，同理得：△AEH∽△ABC，∴，∵AB＝4，∴AE＝1；（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥BC，交DF于點(diǎn)M，∴△AEM∽△BED，∴，∵BD=CD，∴，∵AM∥BC，∴△AFM∽△CFD，∴，∴，故答案是：；（3）作EG∥BC，F(xiàn)H∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴，∵△FEG∽△FBC，BC=2DC，∴，∵△FEH∽△BED，∴，設(shè)DE=5EH=5x，∵AE∶AD1∶3，∴AD=3AE，∴DE=2AE，∴AE=2.5x，∴AH=1.5x，∴，∴×1=，∵△AHF∽△ADC，∴，∴=×25=15，∴15-1=14，故答案是：14．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，涉及到了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．12．如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在邊上，與點(diǎn)、不重合，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)．設(shè)，．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍．（2）若點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．（3）若直線(xiàn)與線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1），；（2）或；（3）或【分析】（1）易證，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可得到與的關(guān)系，然后根據(jù)的范圍就可得到的范圍；（2）由于點(diǎn)的位置不確定，需分點(diǎn)在線(xiàn)段及點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況進(jìn)行討論，然后利用與的關(guān)系即可解決問(wèn)題；（3）由可得，因而在和中，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，故當(dāng)與相似時(shí)，可分和兩種情況進(jìn)行討論，然后只需用的代數(shù)式表示、、，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1，四邊形是矩形，，．又，，，，，，即．點(diǎn)在線(xiàn)段上，與點(diǎn)、不重合，，，即，，；（2）①當(dāng)點(diǎn)線(xiàn)段上時(shí)，，，此時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為或；（3）在中，，在中，，四邊形是矩形，，，，．，，當(dāng)與相似時(shí)，可分以下兩種情況討論：①，如圖2，則有，，，解得：．②若，如圖3，則有，，，整理得：，解得：，（舍去）．綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解方程等知識(shí)，對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，解題的關(guān)鍵是當(dāng)點(diǎn)的位置不確定、相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定時(shí)，常常需要分類(lèi)討論，避免出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象．13．已知，如圖，在矩形ABCD中，，，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度也為1cm/s：當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)：聯(lián)結(jié)PO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作，交BD與點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，是等腰三角形；（2）設(shè)五邊形OECQF的面積為，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）或5s；（2）；（3）存在，【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理得到AC=10，①當(dāng)AP=PO=t，如圖1，過(guò)P作PM⊥AO，證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到t的值，②當(dāng)AP=AO=t=5，③當(dāng)時(shí)，從而得到結(jié)論；（2）先證得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面積比可求得△DFQ的面積，再證得△AOP≌COE，證得AP=EC=t，得出△OEC的面積，從而可求五邊形OECQF的面積．（3）過(guò)D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，據(jù)勾股定理得到，由三角形的面積公式得到，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，∴AC=10，，點(diǎn)O到AD的距離為3，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：當(dāng)AP=PO=t時(shí)過(guò)P作PM⊥AO，如圖1所示：∴，∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴∴，∴；②當(dāng)；③當(dāng)時(shí)即點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，．不合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)或5s時(shí)，為等腰三角形（2）在矩形ABCD中，，，∴∵，∴，∴，在矩形ABCD中，AD//BC，AO=CO，又得∠AOP=∠COE，∴∠PAO=∠ECO，∴△AOP≌COE，∴AP=EC=t，∴，∴（3）存在，理由如下：如圖3，過(guò)D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，在矩形ABCD中，，，∴，∵∠POD=∠COD，∴，∴∵∴OP?DM=3PD，∴∴∵PD2=PM2+DM2，∴解得：t=16（不合題意，舍去），∴當(dāng)時(shí)，OD平分∠COP．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（探究）如圖①，在中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，，．（1）求證：．（2）若、的面積分別為和，則的值為_(kāi)_____．（拓展）如圖②，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，點(diǎn)、在邊上，且，．若、、的面積分別為，，，則的面積為_(kāi)_____．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；拓展：27【分析】（1）根據(jù)已知條件可以判定四邊形BFED是平行四邊形，得出BF=DE，由EF∥AB證出，從而得出，由DE∥BC得出∠AED=∠C，根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形相似；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似比的平方等于面積比，求出對(duì)應(yīng)邊的比值；拓展過(guò)D作DM∥AC交BC于點(diǎn)M，先證明△ADE≌△EGC，求出△BDM的面積，在證明△ADE∽△BDM，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出AD與BD的比值，最后求出△ABC的面積．【詳解】（1）∵EF∥AB，DE∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形，∠AED=∠C，∴BF=DE，∵EF∥AB，∴，∴，∵∠AED=∠C，∴△ADE∽△EFC（SAS）．（2）∵△ADE∽△EFC，∴．【拓展】．如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM∥AC交BC于點(diǎn)M，∴∠DMF=∠C，∵DE∥BC，DF∥EG，∴四邊形DFGE是平行四邊形，∴DF=EG，∠DFM=∠EGC，∵∠DFM=∠C，∴△AFM≌△EGC（AAS），∴S△DFM=S△EGC=5，∴S△BDM=S△DFM+S△DBF=12，∵DE∥BC，DF∥EG，∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠A，∴△DAE∽△BDM（AA），∴，∴，∴，同理可證△ADE∽△ABC，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用三角形相似比的平方等于面積比求出答案即可．15．如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連接．（1）當(dāng)為何值時(shí)，與相似？（2）連接，，如圖1所示，若，求的值．（3）當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形？【答案】（1）當(dāng)為或時(shí)，與相似；（2）；（3）當(dāng)為或或時(shí)，是等腰三角形．【分析】（1）若與相似，分和兩種情況，根據(jù)線(xiàn)段比例關(guān)系得出關(guān)于的等量關(guān)系式，分別求解即可；（2）過(guò)作于點(diǎn)，證,根據(jù)線(xiàn)段比例關(guān)系得出關(guān)于的等量關(guān)系式，求出此時(shí)的值即可；（3）若是等腰三角形，則分,,三種情況分別求出值即可．【詳解】解：（1），，，，由題意知，，，，①當(dāng)時(shí)，，，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，，即，解得；綜上，當(dāng)為或時(shí)，與相似；（2）過(guò)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，解得；（3）若是等腰三角形，可分以下三種情況：①當(dāng)時(shí)，由（1）知，，，即，解得；②當(dāng)時(shí)，作于，，，，即，解得；③當(dāng)時(shí)，作于，，，，即，解得；綜上，當(dāng)為或或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)（不與C，D兩點(diǎn)重合），連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)F，交對(duì)角線(xiàn)BD于點(diǎn)G，交AD邊于點(diǎn)H，連接GE．（1）求證：DH＝CE；（2）如圖2，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)BE＝8時(shí)，求線(xiàn)段GH的長(zhǎng)；（3）設(shè)正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當(dāng)時(shí)，值為．（直接寫(xiě)答案）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）由題意可得，根據(jù)可證明，即可求解；（2）由以及，可得，，即，則，即可求解；（3）設(shè)，則，，求出和，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形為正方形∴，，∴∵∴∴∴在和中∴∴（2）∵∴，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)∴又∵∴又∵∴∴∴∴即（3）當(dāng)，則，∵，∴由正方形的性質(zhì)可得平分，∴到、距離相等，∴由（2）得∴∴，設(shè)，則，∴∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題．17．如圖，在直角中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，交射線(xiàn)于點(diǎn)．（1）求的長(zhǎng)；（2）連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）連接，當(dāng)和相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）或【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度即可；（2）過(guò)點(diǎn)作,垂足為，容易證得,設(shè)，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出的值即可得出結(jié)果；（3）由（2）得，設(shè)，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出的值，在解題時(shí)要注意分類(lèi)討論．【詳解】解：（1）∵在直角中，，，，∴；（2）過(guò)點(diǎn)作,垂足為，∵,∴,∴，設(shè)，∵,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴，化簡(jiǎn)，得，解得：(負(fù)值舍去),∴；（3）由（2）得，設(shè)，∵,∴,∵,∴,∴,當(dāng)和相似時(shí)，有兩種情況：①,∴,即，解得，∴；②,∴,即，解得，∴，綜上：當(dāng)和相似時(shí)，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，題目難度不小，具有一定的綜合性．特別是三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．18．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2），解答下列問(wèn)題：（1）如圖①，連接PQ，直接寫(xiě)出t＝時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似．（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使得PQ＝PC，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）或；（2）存在，；（3）不存在，理由見(jiàn)解析【分析】(1)先根據(jù)勾股定理求出AB，由運(yùn)動(dòng)知，，分兩種情況，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；(2)如圖，過(guò)P點(diǎn)作于M點(diǎn)，利用求出CQ，再利用求出QM，利用求出AM，最后通過(guò)，列式求解即可；(3)假設(shè)線(xiàn)段BC上存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，通過(guò)得到列式可求出的值，再推出的值，即可得到PQ≠PB判斷出平行四邊形PQGB不可能是菱形，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，cm，由運(yùn)動(dòng)知，，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似，①當(dāng)時(shí)，解得；②當(dāng)時(shí)，解得，故答案為：或；（2）存在，如圖，過(guò)P點(diǎn)作于M點(diǎn)，，PQ＝PC，，，（3）不存在，，假設(shè)線(xiàn)段BC上存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，平行四邊形PQGB不可能是菱形，線(xiàn)段BC上不存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形．【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問(wèn)題．19．如圖，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；與點(diǎn)P同時(shí)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交DC于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），（0＜t＜4），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t＝時(shí)，BP長(zhǎng)為cm，AQ長(zhǎng)為cm；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)0＜t＜時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，當(dāng)t=秒時(shí)，PQ平分∠APC；（3）t=或t=時(shí)，△PQE是直角三角形．【分析】（1）根據(jù)題意可直接寫(xiě)出；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)，得出AP=AQ，運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三種情況討論：①當(dāng)∠QEP=90°時(shí)，先證明△QDE∽△ECP，根據(jù)相似三角形性質(zhì)建立方程求解即可；②當(dāng)∠PQE=90°時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)P作線(xiàn)段PI⊥AD于點(diǎn)I，根據(jù)△QDE∽△PIQ，建立方程求解即可；③當(dāng)∠QPE=90°，不滿(mǎn)足題意．【詳解】解：（1）由題意知：vP=2cm/s，vQ=1cm/s且P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為ts，∴BP=2t(cm)，DQ=tcm，∴AQ=AD-DQ=8-t，當(dāng)時(shí)，故答案為：（2）如圖1，當(dāng)PQ平分∠APC，則有∠APQ=∠CPQ，∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴AD∥BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，∠B=90°，∴∠CPQ=∠AQP，∴∠APQ=∠AQP=∠CPQ，∴AP=AQ，∴AP2=AQ2，∵∠B=90°，∴AP2=AB2+BP2=62+（2t）2，∴62+（2t）2=（8-t）2，解得：t1=，t2=，∵0＜t＜4，∴t=，即：當(dāng)t=秒時(shí)，PQ平分∠APC；（3）①當(dāng)∠QEP=90°，如圖，∵QE∥AC，∴△DQE∽△DAC，∴，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，QD=tcm，∴DE=t(cm)，EC=DC-DE=（6-t）cm，BP=2tcm，CP=（8-2t）cm，∵∠QED+∠EQD=90°，∠CEP+∠EQD=90°，∴∠CEP=∠EQD，又∵∠QDE=∠ECP=90°，∴△QDE∽△ECP，∴，即，解得：t=或t=0∵0＜t＜，故t=0舍去，∴t=；②當(dāng)∠PQE=90°時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P作線(xiàn)段PI⊥AD于點(diǎn)I，∵∠EQD+∠PQI=90°，∠QED+∠EQD=90°，∴∠PQI=∠QED，又∵∠QDE=∠PIQ=90°，∴△QDE∽△PIQ，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，QD=tcm，由（2）可知，DE=t(cm)，BP=AI=2t(cm)，∴QI=AD-QD-AI=8-t-2t=（8-3t）cm，PI=AB=6cm，∴，即，解得：t=或t=0，∵0＜t＜，故t=0舍去，∴t=；③當(dāng)∠QPE=90°，不滿(mǎn)足題意，綜上所述，t=或t=時(shí)，△PQE是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用方程思想和分類(lèi)討論思想思考問(wèn)題是解題關(guān)鍵．20．如圖，已知矩形中，，．（1）如圖①，若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CA邊上以每秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BC邊上以每秒的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），連接BQ、AP，若，求t的值；（2）若點(diǎn)Q在對(duì)角線(xiàn)AC上，，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿BC運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，請(qǐng)你探索：從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，以點(diǎn)Q、P、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？請(qǐng)求出所有可能的t的值．【答案】（1）；（2）4或1.6或5.5．【分析】（1）根據(jù)，，可得；再根據(jù)得到，則有，即：，求得的值即可；（2）分為三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的值．【詳解】解：如圖示，∵，，∴當(dāng)時(shí)，，∴，即：解之得：；（2）分為三種情況：①如圖1所示，當(dāng)時(shí)，，秒；②如圖2所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則，，即，解得，，，，，秒；③如圖3所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)作于，則，，，，，即，，，秒．綜上所述，從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò)4秒或1.6秒或5.5秒時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合應(yīng)用，矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等，作輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，解題時(shí)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．21．如圖，在△ABC中，BA=BC，AB=kAC．點(diǎn)F在A(yíng)C上，點(diǎn)E在BF上，BE=2EF．點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接AD、AE，∠ACD+∠DAE=180°．（1）證明：；（2）求的值（用含k的式子表示）；（3）如圖2，若，求的值（用含k的式子表示）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等證明即可；（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)C做∠ACM=∠ABE，交AD于點(diǎn)M．證明△AEB∽△AMC，可得，因?yàn)锳B=kAC，推出AM=AE，CM=BE，CM=FE，再證明△DCM∽△AFE，可得，求出DM即可解決問(wèn)題；（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)B做BN∥AC交AE延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．，證明△AHC∽DHA，推出AH2=HC?DH，，可得AD=AC，由AB=kAC，推出AD=AB，由，可得AE=AB，設(shè)AH=2a，AB=BC=b，推出DH=3a，AE=b，再證明△ADH∽△NBH’，推出，可得，推出9b2-12ab-20a2k2=0，求出b與k的關(guān)系，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)M．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖3中，過(guò)點(diǎn)B作BN∥AC交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴由（2）知，，∵，∴∴，∴，∴（舍），，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．22．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果點(diǎn)E由點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F由點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為每秒2cm和1cm，F(xiàn)Q⊥BC，分別交AC、BC于點(diǎn)P和Q，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．（1）連接EF，若運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝秒時(shí)，求證：EQF是等腰直角三角形．（2）連接EP，當(dāng)EPC的面積為3cm2，求t值．（3）當(dāng)EF⊥AC時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)EQ=FQ=6即可證明；（2）由題意可分別得到BE、DF、CQ的長(zhǎng)，再易得△CPQ∽△CAB，從而可求得PQ的長(zhǎng)，則由面積關(guān)系可得關(guān)于t的方程，解方程即可；（3）設(shè)AC、EF交于點(diǎn)G，可分別得到△CGE∽△CBA及△AGF∽△ADC，從而可分別求得CG、AG，再由AG+CG=AC建立方程，即可求得t的值．【詳解】（1）由題意得：，∵四邊形ABCD是矩形∴CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，∠B=∠D=∠BCD=90゜∵FQ⊥BC∴∠FQC=90゜∴∠D=∠BCD=∠FQC=∠DFQ=90゜∴四邊形CDFQ為矩形∴即EQ=FQ，且FQ⊥BC∴△EQF是等腰直角三角形（2）由題意及（1）知，BE=2tcm，DF=CQ=tcm∴CE=BC-BE=(8-2t)cm∵∠B=∠FQC=90゜∴FQ∥AB∴△CPQ∽△CAB∴∴∵∴化簡(jiǎn)得:解得：即當(dāng)當(dāng)EPC的面積為3cm2，t的值為2（3）如圖，設(shè)AC與EF交于點(diǎn)G∵EF⊥AC∴∠CGE=∠AGF=90゜∴∠CGE=∠B=90゜∵∠GCE=∠BCA∴△CGE∽△CBA∴由題意得：BE=2tcm，DF=tcm∴CE=BC-BE=(8-2t)cm，AF=(8-t)cm由勾股定理得：∴同理：△AGF∽△ADC∴∵AG+CG=AC∴解得：即當(dāng)EF⊥AC時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解決是本題的關(guān)鍵．23．如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)為_(kāi)__________時(shí)，？（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上？（4）若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線(xiàn)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）由題意得，PQ∥AB，則四邊形PABQ是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，由勾股定理求出BD=6，證明△ADB∽△BHQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得QH=，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可得，可得出BE=，根據(jù)y=S四邊形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先證出△APE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，可得PE=6-，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得EQ=PE，由（2）得QH=，可得出BH=，根據(jù)勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）連接FF′交AB于點(diǎn)N，由對(duì)稱(chēng)及平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠FEB=∠ABD，由等角對(duì)等邊得EF=FB，則，再證△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后證明△BNF∽△BDA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得t的值．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四邊形PABQ是平行四邊形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t=，∴當(dāng)t=時(shí)，PQ∥AB；故答案為：；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2-AD2=100-64=36，即BD=6，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴，即，∴，∵PE∥BD，∴，即，∴，∴y=S四邊形APQB-S△BEQ=；（3）如圖：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴，即，∴，∵點(diǎn)E在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上，∴EQ=，由（2）得，∴，∴，Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴，即t2+2t-4=0，解得：（舍去），∴當(dāng)t=時(shí)，點(diǎn)E在PQ的垂直平分線(xiàn)上；（4）連接FF'交AB于點(diǎn)N，∵點(diǎn)F關(guān)于A(yíng)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F′，∴∠FEB=∠F′EB，F(xiàn)N⊥EB，∵點(diǎn)P，E，F(xiàn)′三點(diǎn)共線(xiàn)，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴，∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴，∴，解得：t=，∴存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)P，E，F(xiàn)′三點(diǎn)共線(xiàn)，t的值為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．24．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，為的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)對(duì)折，使點(diǎn)落在處，連接，過(guò)點(diǎn)作于．（1）寫(xiě)出點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）判斷與是否相似，若是，請(qǐng)給出證明；（3）求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）、、；（2），見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）因?yàn)檎叫蔚乃倪叾枷嗟?，所以，，點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合圖很好寫(xiě)出；（2），由于和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故有．再根據(jù)同角的余角相等，可得，再加上一對(duì)直角，那么兩個(gè)三角形相似．（3）先利用勾股定理求出，即是，再利用相似比可求出，，的值，故可求出的坐標(biāo)．【詳解】解：（1），、、．（2），證明：如圖：四邊形是正方形，．又，．．又根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知：于點(diǎn)，在中，．在中，，．，（3）是的中點(diǎn)，．在中，．又是斜邊上的高，．．又，．．，．．【點(diǎn)睛】本題利用了正方形的性質(zhì)，同角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．25．如圖（1），在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)速度均為．點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，．（1）用含的代數(shù)式表示；（2）當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的值；（3）如圖（2），延長(zhǎng)，，兩延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．【答案】（1）；（2）s或s；（3）或【分析】（1）作于，可得四邊形是矩形，根據(jù)矩形性質(zhì)和勾股定理求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)分別求解即可；（3）分兩種情況求解：①當(dāng)時(shí)，即為直角三角形，作于，于，根據(jù)相似三角形的判定證明和，由相似三角形的性質(zhì)列方程求得t值；②當(dāng)時(shí)，即為直角三角形，根據(jù)相似三角形的判定證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求解t值即可解答【詳解】解：（1）如圖（1），過(guò)D作于，則四邊形是矩形，∴，，∴，，由題意，．（2）①當(dāng)時(shí)，得，解得：，∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．②當(dāng)時(shí)，，解得：，∴當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．綜上所述，當(dāng)s或s時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．（3）①當(dāng)時(shí)，即為直角三角形．如圖（2），過(guò)作于，過(guò)D作于，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，∴當(dāng)時(shí)，，即為直角三角形．②當(dāng)時(shí)，即為直角三角形，如圖（3）所示，作于，∴=90°，又，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，∴當(dāng)時(shí)，，即為直角三角形．綜上所述，當(dāng)或時(shí)，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解分式方程等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分類(lèi)討論的思想的應(yīng)用．26．如圖，在中，，P，D分別是BC，AC邊上的點(diǎn)，且．若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求BP的長(zhǎng)．【答案】或8【分析】方法1：要使為直角三角形，有兩種情形可證，利用“一線(xiàn)三等角”結(jié)構(gòu)，證明△PAD∽△CEA．方法2：識(shí)別“母子型相似”結(jié)構(gòu)．由，可得．則，即；要使為直角三角形，有兩種情形．方法3：先作于點(diǎn)E．①如圖，∠PAD=90°，由，，利用等腰三角形性質(zhì)求出，勾股定理求出，證明△APE∽△CAE，可得，根據(jù)比例設(shè)，代入比例式求，②當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，證點(diǎn)P與點(diǎn)E重合即可．【詳解】妙解1如圖2，要使為直角三角形，有兩種情形：①當(dāng)時(shí)，如答圖1，作AE⊥BC于E，由不變角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PAD=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CEA，∴在中有，故有，則，從而；②當(dāng)時(shí)，作AE⊥BC于E，由不變角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PDA=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CAE，∴如答圖，在中有，故有，則，從而；綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，或8.妙解2由，可得．則，即；①當(dāng)時(shí)，作AE⊥BC于E，由不變角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PAD=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CEA，∴如答圖，“眼中有角心中有比”，可設(shè)，．則有，解得（舍去），故．再由，易得．從而有；②當(dāng)時(shí)，如答圖，作AE⊥BC于E，由不變角可知，∵AE⊥BC，AB=AC，∴BE=EC=，∠CEA=90°，∴∠PDA=∠AEC=90°，∠APD=∠C∴△PAD∽△CAE，∴∴PD·AC=AP·CE，又∵∠PAC=∠PAD，∠APD=∠C，∴△APD∽△ACP，∴∴AP2=AD·AC，如答圖，在中有可設(shè)，．AP=5t,則有，解得，（舍去），故．再由，．從而有；綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，或8.妙解3①如圖4，∠PAD=90°，先作于點(diǎn)E．由，∴，∴.∵∠PAD=90°；∴∠PAE+∠CAE=90°，∵，∴∠APE+∠PAE=90°，∠AEP=∠AEC=90°，∴∠APE=∠CEA，∴△APE∽△CAE，∴設(shè)，∴∴∴BP=8-．②當(dāng)∠ADP=90°時(shí)，作AE⊥BC于E，∵∠ADP=∠AEC=90°，∠APD=∠C，∴△APD∽△ACP，∴∠PAD=∠EAC，∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=CE=BP=綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，或8.【點(diǎn)睛】本題屬直角三角形存在性問(wèn)題，需狠抓其不變角，以直角為標(biāo)準(zhǔn)，分兩類(lèi)情形考慮，巧施三角比，結(jié)合“一線(xiàn)三等角”結(jié)構(gòu)的相似比來(lái)解決．27．已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)速度為；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，？（2）是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）是否存在某一時(shí)刻t，使為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）時(shí)，；（2）存在，當(dāng)時(shí)，；（3）存在，當(dāng)t等于2或或時(shí)，為等腰三角形．【分析】（1）在中，由勾股定理得：，再根據(jù)得出即，求解即可；（2）作于點(diǎn)D，由，，得，所以，即，求得：，面積為，根據(jù)，則，即：，整理得：，求解即可；（3）需要進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)D，先證明，所以，即，根據(jù)，得出，求解即可；當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)E，證明，所以，即，解得，再根據(jù)，，解得．【詳解】解：（1）在中，由勾股定理得：∵∴即，解得；（2）作于點(diǎn)D，∵，，∴，所以，即，解得：，所以，是面積，∵，則，即：，整理得：，解得，∴當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)D，∵，∴所以，即∵，，解得；當(dāng)時(shí)，作于點(diǎn)E，∵，∴，所以，即，，∵，，解得；所以，當(dāng)t等于2或或時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，利用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解．28．在中，，E為AC上一點(diǎn)，連接BE．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：；（2）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q．①如圖2，若，求證：；②如圖3，若，，，求AP的長(zhǎng)（用含a、k的式子表示）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)互余得出角的關(guān)系，再利用垂直的定義解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由題可得：，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，如圖2，，，，，，，，在與中，，，，，，，；（3）過(guò)作于，，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)解答．29．如圖1，已知在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，以BC為邊作正方形BCDE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，連接PQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜6.5），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）如圖2，連接PQ，交BC于點(diǎn)F，是否存在某一時(shí)刻t，使△BFP與△QFC相似？（3）用含t的代數(shù)式表示出五邊形PEDCQ的面積．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由題意得，，由勾股定理求出AC=13cm，則，再證明，得到即，由此求解即可；（2）先根據(jù)相似三角形的判定條件得到∠FQC=∠FBP=90°，從而證明△APQ∽△ACB，即，由此求解即可；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB于M，則可證△AMQ∽△ABC，得到即，則，再由進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，，∵在Rt△ABC中，AB＝5cm，BC＝12cm，∴，∴，∵，∴，∴即，解得；（2）∵∠BFP=∠QFC，∴要使得△BFP與△QFC相似，那么必有另一組對(duì)應(yīng)角相等，∵∠ABC=∠PBF=90°，∠QCF≠90°，∴∠FQC=∠FBP=90°，∴∠FCQ=∠FPB，∠AQP=∠ABC=90°∴△APQ∽△ACB，∴即，解得；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AB于M，∴∠AMQ=∠ABC=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMQ∽△ABC，∴即，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定．30．矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是對(duì)角線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s．過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線(xiàn)段PH，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持PH與BC互相垂直，連接HQ交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜1.5），解答下列問(wèn)題：（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PHCQ為矩形；（2）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請(qǐng)求出t值；如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）是否存在一個(gè)時(shí)刻，使矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的，如果存在請(qǐng)求出t值；如果不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，【分析】（1）當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，構(gòu)建方程求解即可；（2）證明，由相似的性質(zhì)得出，，由此構(gòu)建方程求解即可；（3）根據(jù)矩形的面積是四邊形面積的，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：（1），，，由題可得：，，，四邊形是矩形，，，，，，，即，，，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，，，解得：，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形；（2）存在一個(gè)時(shí)刻，使，當(dāng)時(shí)，，，，，，，即，，解得：，當(dāng)時(shí)，；（3）存在，由題意得：，解得：或（舍去），當(dāng)時(shí)，矩形的面積是四邊形面積的．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合問(wèn)題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．31．如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上，∠EBF=45°．（1）當(dāng)BE=BF時(shí)，求證：AE=CF；（2）求證：△ABF∽△CEB；（3）如圖2延長(zhǎng)BF交CD于點(diǎn)G，連接EG．判斷線(xiàn)段BE與EG的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，進(jìn)而得出∠AEB=∠BFC，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS證明兩個(gè)三角形全等；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA證明兩個(gè)三角形相似；（3）根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)得出△BEF∽△CGF，得出邊的比例關(guān)系，根據(jù)邊的比例關(guān)系轉(zhuǎn)換和對(duì)頂角的性質(zhì)得出△EFG∽△BFC，進(jìn)而得出∠BGE=45°，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．∴∠AEB=∠CFB．∴△ABE≌△CBF．∴AE=CF．（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=+∠ABE，∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，∴∠BEC=∠ABF．∵∠BAF=∠BCE=，∴△ABF∽△CEB．（3）答：EB=EG，BE⊥EG理由如下：如圖.∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，∴△BEF∽△CGF∴.即.∵∠EFG=∠BFC，∴△EFG∽△BFC.∴∠EGF=∠BCF=45°.∴∠EBF=∠EGF=45°.∴EB=EG，∠BEG=90°∴EB=EG，BE⊥EG．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系和題中的圖中的條件，判定另一組三角形相似，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答．32．（感知）小明同學(xué)復(fù)習(xí)“相似三角形”的時(shí)候遇到了這樣的一道題目：如圖，在中，，D為BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交AC于點(diǎn)E．求證：∽．小明同學(xué)分析后發(fā)現(xiàn)，是的外角，可得，再結(jié)合已知條件可以得到∽．請(qǐng)根據(jù)小明的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．（探究）在中，，，D為BC上一點(diǎn)．（1）如圖②，過(guò)點(diǎn)D作，交AC于點(diǎn)E．當(dāng)時(shí)，AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）如圖③，過(guò)點(diǎn)D作，分別交AB、AC于點(diǎn)F、E．當(dāng)時(shí)，BF的長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】[感知]見(jiàn)解析；[探究]（1）；（2）【分析】[感知]根據(jù)題意，證明，結(jié)合已知條件，即可得證；[探究]（1）由可得，進(jìn)而由已知條件，可得，根據(jù)等角對(duì)等邊可得設(shè)，則，，根據(jù)，可得，列出比例式求得，由，列出比例式求得，進(jìn)而可得方程，解方程求解即可；（2）根據(jù)題意，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，證明，列出比例式求得，即求得的最小值，當(dāng)當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，即可求得的最大值，進(jìn)而求得的取值范圍．【詳解】[感知]證明：，是的外角，[探究]（1）設(shè)，則，即即解得故答案為：（2）當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖，解得當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．33．已知，在A(yíng)BC中，D是BC上一點(diǎn)，AB＝AD．（1）如圖1，當(dāng)BD＝CD，F(xiàn)是AD中點(diǎn)時(shí)，連BF并延長(zhǎng)交AC于E．①判斷ABC與BFD是否相似，并說(shuō)明理由．②連接DE，求證：DE⊥BC．（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求∠BAC的度數(shù)．（3）如圖2，當(dāng)BD＝2CD時(shí)，作DE⊥BC交AC于E，連BE交AD于F，求AF：FD的值．【答案】（1）①相似，見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）∠BAC＝90°；（3）【分析】（1）①利用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等即可證明；②根據(jù)可得，由此可得，再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一即可證得DE⊥BC；（2）由可得，，由此可證得，由此可得，再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一可得，最后再根據(jù)即可得證；（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，先證明BH＝DH＝CD，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求得，，由此即可求得答案．【詳解】解：（1）①，理由如下：∵AB＝AD，∴，∵F是AD中點(diǎn)，∴，∴，∵BD＝CD，∴，∴，又∵，∴；②如圖，連接DE，由①得：，∴，∴，又∵BD＝CD，∴DE⊥BC；（2）∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵，BD＝CD，∴DE平分∠BEC，∴，∴，∵DE⊥BC，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，交BF于點(diǎn)G，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝DH，又∵BD＝2CD，∴BH＝DH＝CD，∵AH⊥BD，DE⊥BC，∴，∴，，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴AF：FD的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．34．△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在A(yíng)D上，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E；（1）如圖1，若D為BC的中點(diǎn)，，求證：AF＝FD；（2）尺規(guī)作圖：在圖2中，請(qǐng)利用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在A(yíng)C上找一點(diǎn)E，使得；（3）若F為AD的中點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)求出m、n之間的等量關(guān)系．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）作圖見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可證明；（2）作△ABC的中線(xiàn)AD，再作AD中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根據(jù)平行得出比例式，根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，得出m、n之間的等量關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴＝＝1，∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴＝，∵，EG＝GC，∴＝1，∴＝1．∴AF＝FD；（2）作△ABC的中線(xiàn)AD，再作AD中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴＝＝，∵，設(shè)AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m(a-an)，∵EF∥DG，∴＝，∵F為AD的中點(diǎn)，∴即．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作平行線(xiàn)，利用比例式解決問(wèn)題35．（1）（問(wèn)題背景）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，以AM為邊作等邊△AMN（A，M，N按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，連接CN，求證：AC=CM+CN（2）（變式探究）如圖2，已知△ABC∽△ADE，請(qǐng)指出圖中的另外一對(duì)相似三角形并進(jìn)行證明；（3）（拓展應(yīng)用）如圖3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，點(diǎn)D在BC邊上，求的值和∠DCE的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△ABD∽△ACE，理由見(jiàn)解析；（3）=∠DCE=90°【分析】（1）由△ABC與△AMN均為等邊三角形可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，再證△BAM≌△CAN（SAS），可得BM=CN即可；（2）△ABD∽△ACE理由如下由△ABC∽△ADE，可得，可證即可；（3）由∠BAC=∠DAE=90°，利用30°角直角三角形的性質(zhì)與勾股定理，BC=2AC，AB=，DE=2AE，AD=，可得，再證△BAD∽△CAE，即可．【詳解】（1）證明：∵△ABC與△AMN均為等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM+∠MAC=∠CAN+∠MAC=60°，∴∠BAM=∠CAN，在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM=CN，∵BC=BM+MC=CN+MC，∴AC=CN+MC；（2）△ABD∽△ACE理由如下證明：∵△ABC∽△ADE，∴，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴，∴△ABD∽△ACE；（3）解：∵∠BAC=∠DAE=90°，在Rt△BAC中，∠ABC=30°，∴BC=2AC，AB=，，在Rt△DAE中，∠ADE=30°，∴DE=2AE,AD=，，∴，∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠DCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=90°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．36．在平行四邊形中，，，的頂點(diǎn)在上，交直線(xiàn)于點(diǎn)．（1）如圖1，若，，則_______．圖1（2）如圖2，在上取點(diǎn)，使，連接，若，求證：．圖2（3）如圖3，若，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，交于點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．圖3【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）證明△EBF∽△DCE，可得，由此可得結(jié)論；（2）先證明△BGE是等邊三角形，再證△CDE∽△GEF，利用相似三角形的性質(zhì)，即可證明；（3）先證明，從而易證明，用等積法求出CM的長(zhǎng)，再由三角形中位線(xiàn)定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，從而可得結(jié)果．【詳解】（1）∵∠B=90°∴平行四邊形ABCD是矩形∴∠C=∠B=90°，BC=AD=8∴∠FEB+∠BFE=90°∵∠FED=90°∴∠FEB+∠DEC=90°∴∠DEC=∠BFE∴△EBF∽△DCE∴∵CE=BC－BE=8－5=3∴∴故答案為：（2）∵BG=BE，∠B=60°，如圖∴△BGE是等邊三角形∴∠BGE=∠BEG=60°，GE=BE∴∠GFE+∠GEF=∠BGE=60°，∠FGE=180°－∠BGE=120°∵∠BEG+∠FED+∠GEF+∠CED=180°∴∠GEF+∠CED=60°∴∠CED=∠GFE∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠C=180°－∠B=120°∴∠C=∠FGE∴△CDE∽△GEF∴∵GE=BE∴（3）∵點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)∴，，∴∵∠ABC=90°∴平行四邊形ABCD是矩形∴BC=AD=8，∠BCD=90°，OA=OC∴∴∵∴∴∴∥BD∴∴在Rt△BCD中，由勾股定理得：∴OC=DO=∵∴在Rt△CMO中，由勾股定理得：∵，OA=OC∴OM是的中位線(xiàn)∴∴即∴【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．37．已知：如圖①，在平行四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB．△ACD沿AC方向以速度為1cm/s勻速平移得到△PMN；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．當(dāng)△PMN停止平移時(shí)，點(diǎn)Q也