2023年中考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)全三年基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)講義

2023年中考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)全三年基礎(chǔ)知識(shí)

復(fù)習(xí)講義（精華版）

思考與收獲

第1課時(shí)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念

【知識(shí)梳理】

I.實(shí)數(shù)的分類：整數(shù)（包括:正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（包括:

有限小數(shù)和無限

環(huán)循小數(shù)）都是有理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

2.數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸.實(shí)

數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

工絕對(duì)值：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫數(shù)a的絕對(duì)

值，記作Ia|,正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是

它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

4.相反數(shù)：符號(hào)不同、絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反

數(shù).a的相反數(shù)是0的相反數(shù)是0.

5.有效數(shù)字：一個(gè)近似數(shù)，從左邊笫一個(gè)不是0的數(shù)字起，到最

末一個(gè)數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.

6.科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)數(shù)寫成axion的形式（其中igavio中是整

數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.

如：407000=4.07x105,0.000043=4.3x10-5.

7.大小比較：正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大

的反而小.

8.數(shù)的乘方：求相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方，乘方運(yùn)算的結(jié)

果叫累.

9.平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x'a那么

這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.一個(gè)正數(shù)

有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個(gè)平方根，它

是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根.

io.開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.

11.算術(shù)平方根:一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即X?二a,

那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根

是0.

12.立方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即x3=a,那

么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根），正數(shù)的

立方根是正數(shù);負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0.

13.開立方：求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫做開立方.

【思想方法】

數(shù)形結(jié)合，分類討論

【例題精講】

例1.下列運(yùn)算正確的是（）

A.-|-3|=3B.（I）-'=-3C.百=±3D.ip2J=-3

例2.0的相反數(shù)是（）

A.-V2B.OC.一也D.也

22

例3.2的平方根是（)

A.4B.>/2C.-V2D.±>/2

例4.《廣東省2009年重點(diǎn)建設(shè)項(xiàng)目計(jì)劃（草案）》顯示，港

珠澳大橋工程估算總投資726億元，用科學(xué)記數(shù)法表示正確

的是（）

思考與收獲

A.7.26x10'°元B.72.6xlO9元

C.0.726x10"元D.7.26x10"7C

例5.實(shí)數(shù)ab在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，

則必有（）一o；1------'

例5圖

A.a+b>0B.a-b<0C.ab>0D.—<0

b

例6.（改編題）有一個(gè)運(yùn)算程序，可以使：

a?b=〃（鹿為常數(shù)）時(shí)，得

（〃+1）十b=〃+2,a十（b+1）=n-3

現(xiàn)在已矢口1十1=4,那么2009十2009=.

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.計(jì)算’;［的結(jié)果是（）

A.-B.--C.-D.--

6688

2.-2的倒數(shù)是（）

A.--B.-C.2D.-2

22

3.下列各式中，正確的是（）

A.2<V15<3B.3<V15<4C.4<V15<5D.14<V15<I6

4.已知實(shí)數(shù)〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|+值的

結(jié)果為（）U--?

-101

A.1B.-1C.1-2?D.2a-1第4題圖

5.-2的相反數(shù)是（）

A.2B.-2C.-D.--

22

6.-5的相反數(shù)是一，-;的絕對(duì)值是一，腦=___.

7.寫出一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無理數(shù)，使它們都是小于一1的

數(shù)—.

8.如果□x（—|）=i,則“□”內(nèi)應(yīng)填的實(shí)數(shù)是（）

思考與收獲

第2課時(shí)實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【知識(shí)梳理】

1.有理數(shù)加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕

對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為0;絕對(duì)值

不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減

去較小的絕對(duì)值；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù).

2.有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

3.有理數(shù)乘法法則：兩個(gè)有理數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù),

再把絕對(duì)值相乘；

任何數(shù)與0相乘，積仍為0.

4.有理數(shù)除法法則：兩個(gè)有理數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù),

并把絕對(duì)值相除；

0除以任何非。的數(shù)都得0；除以一個(gè)數(shù)等

于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

5.有理數(shù)的混合運(yùn)算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加

減；

如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.

6.有理數(shù)的運(yùn)算律：

加法交換律：a+b=b+a（a、b為任意有理數(shù)）

加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）（a,b,c為任意有理數(shù)）

乘法交換律:aXb=6Xa；

乘法結(jié)合律：“Xb）Xc=aXSXc）；

乘法分配律：aXe+c）=aX6+“Xr（a力"表示任意有理教）

【思想方法】

數(shù)形結(jié)合，分類討論

【例題精講】

例1.某校認(rèn)真落實(shí)蘇州市教育局出臺(tái)的“三項(xiàng)規(guī)定”，校園生

活豐富多彩.星期二下午4點(diǎn)至5點(diǎn)，初二年級(jí)240名同學(xué)

分別參加了美術(shù)、音樂和體育活動(dòng)，其中參加體育活動(dòng)人數(shù)

是參加美術(shù)活動(dòng)人數(shù)的3倍，參加音樂活動(dòng)人數(shù)是參加美術(shù)

活動(dòng)人數(shù)的2倍，那么參加美術(shù)活動(dòng)的同學(xué)其有

名.

例2.下表是5個(gè)城市的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間（單位：時(shí)）那么北京

時(shí)間2006年6月17日上午9時(shí)應(yīng)是（）

明多倫多倫敦北..城_

-4og~g國(guó)際森準(zhǔn)時(shí)間（時(shí)）

例2圖

A.倫敦時(shí)間2006年6月17日凌晨1時(shí).

B.紐約時(shí)間2006年6月17日晚上22時(shí).

C.多倫多時(shí)間2006年6月16日晚上20時(shí).

D.漢城時(shí)間2006年6月17口上午8時(shí).

例3.如圖，由等圓組成的一組圖中，第/個(gè)圖由/個(gè)圓組成,

第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第3個(gè)圖由/9個(gè)圓組成，……,

按照這樣的規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形由

個(gè)圓組成.

O

例3圖

思考與收獲

例4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.V3+V2=75B.A/3xV2=5/6

C.(V3-1)2=3-1D.752-32=5-3

例5.計(jì)算：

1

+

(1)3々+我一()一1)0+-9⑵|-V3|-U-拒)°+tan450

⑶22-（當(dāng)-1）。+（；廣；（4）（_1）2岫+乃。一（；尸+我.

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.下列運(yùn)算正確的是（)

A.4*二不B.5a2b-3a2b=2

C.（-a3）2=a5D.(3ab2)3=9a3b6

2.某市2008年第一季度財(cái)政收入為41.76億元，用科學(xué)記數(shù)法

（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）表示為（）

A.41x108元B.4.1x1()9元C.4.2x109元

D.41.7x108元

3.估計(jì)68的立方根的大小在()

A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5

與6之間

4.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)尸表示的數(shù)可能是()

A.不B.-V7?。??.???

-3—2—10123

C.-3.2D.-V10第4題圖

5.計(jì)算：

(1)(-1)2009一(3一2+V16-cos60°(2)(V3-1)°-W\V4

思考與收獲

第3課時(shí)整式與分解因式

【知識(shí)梳理】

1.嘉的運(yùn)算性質(zhì)：①同底數(shù)事的乘法法則：同底數(shù)事相乘，底

數(shù)不變，指數(shù)相加，即(m、n為正整數(shù))；②同

底數(shù)事的除法法則：同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，

即#“+，=產(chǎn)”(a#),m、n為正整數(shù)，m>n)；③幕的乘方法

則：累的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(")”=〃》"(n為正

整數(shù))；④零指數(shù)：。。=1(ar0)；⑤負(fù)整數(shù)指數(shù)：°-〃=4(a#),

n為正整數(shù))；

2.整式的乘除法：

(1)幾個(gè)單項(xiàng)式相乘除，系數(shù)與系數(shù)相乘除，同底數(shù)的幕結(jié)合起

來相乘除.

(2)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的每一個(gè)項(xiàng).

(3)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，用一個(gè)多一項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一

個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng).

(4)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，將多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)

式.

(5)平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)

數(shù)的平方，

BP(a+b)(a-b)=a2-b2;

⑹完全平方公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方

和，加上(或減去)

它們的積的2倍,BP(a±b)2=a2±2ah+b2

3.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把

這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

4.分解因式的方法：

⑴提公團(tuán)式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就

可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積

的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

⑵運(yùn)用公式法：公式a2-b1={a+b){a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2

5.分解因式的步驟：分解因式時(shí)，首先考慮是否有公因式，

如果有公因式，一定先提取公團(tuán)式，然后再考慮是否能用公

式法分解.

6.分解因式時(shí)常見的思維誤區(qū)：

⑴提公因式時(shí)，其公團(tuán)式應(yīng)找字母指數(shù)最低的，而不是以首

項(xiàng)為準(zhǔn).

⑵提取公因式時(shí)，若有一項(xiàng)被全部提出，括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)“1”易

漏掉.

(3)分解不徹底，如保留中括號(hào)形式，還能繼續(xù)分解等

【例題精講】

［例1］下列計(jì)算正確的是()

A.a+2a=3a2B.3a_2a=a

C.a2ea^a6D.6a2^2a2=3a2

［例2］(2008年茂名)任意給定一個(gè)非零數(shù)，按下列程序

計(jì)算，最后輸出的

結(jié)果是()

結(jié)果

2

A.mB.~C.m+1

D.m-1

【例3】若3々2一4.2=0,則5+2〃-6/=.

【例4】下列因式分解錯(cuò)誤的是()

A.x2-y2=(x+y)(x-j)B.x2+6x+9=(x+3)2

C.x2+xy=x(x+j)D.x2+y2=(x+y)2

思考與收獲

【例5】如圖7.①，圖7-②，圖7.③，圖7-④，…，是用圍

棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣，，字，按照這種規(guī)律，第5

個(gè)“廣，，字中的棋子個(gè)數(shù)是,第〃個(gè)“廣”字中的棋子個(gè)

數(shù)是________

圖7-①圖7-②圖7-③J圖7.④

【例6】給出三個(gè)多項(xiàng)式：1d+2x-l,Lf+4x+i,L/-2X.請(qǐng)

222

選擇你最喜歡的兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分

解.

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.分解因式：9a-a3=,-x3-2x2-x=

2.對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)和(c,d),規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)

a=c且b=d時(shí)，

(a,b)=(c,d).定義運(yùn)算“軟(a,b)0(c,d)=(ac

—bd,ad+bc).若(1,2)?(p,q)=(5,0),貝ijp=,

q=?

3.己知a=L6xl()9,b=4xl03,貝lja2+2b=()

A.2xl07B.4xl0,4C.3.2xl05D.

3.2xl014.

22

4.先化簡(jiǎn),再求值：(a+b)+(a-b)(2a+b)-3a9其中

a=-2-&b=43-2.

5.先化簡(jiǎn)，再求值：(a+b)(“一b)+(a+b)2—2/，其中。=3,/?=--.

3

思考與收獲

第4課時(shí)分式與分式方程

【知識(shí)梳理】

1.分式概念：若A、B表示兩個(gè)整式，且B中含有字母，則

代數(shù)式4叫做分式.

B

2.分式的基本性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：（2）約分：（3）通分：

3.分式運(yùn)算

4.分式方程的意義，會(huì)把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

5.了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，會(huì)判斷所求得的根是否是分

式方程的增根.

【思想方法】

1.類比（分式類比分?jǐn)?shù)）、轉(zhuǎn)化（分式化為整式）

2.檢驗(yàn)

【例題精講】

x2—2,x+1x—1

1.化簡(jiǎn):---2~~；~~~^~2---

X-1X+X

2.先化簡(jiǎn)，再求值：分十一”宗）,其中.2+夜.

3.先化簡(jiǎn)g吉）.號(hào),然后請(qǐng)你給“選取一個(gè)合適值，再

求此時(shí)原式的值.

4.解下列方程(1)f二一，_=0(2)

x~+3xx~-x

x-2x+2_16

x+2x-2%2-4

5.一列列車自2004年全國(guó)鐵路第5次大提速后，速度提高

了26千米/時(shí)，現(xiàn)在該列車從甲站到乙站所用的時(shí)間比原來減

少了1小時(shí)，已知甲、乙兩站的路程是312千米，若設(shè)列車

提速前的速度是x千米，則根據(jù)題意所列方程正確的是（）

312312312312_

1

A.xx-26B.1+26x

思考與收獲

3123121312312,

C.xx+26D.x-26x

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.當(dāng)〃=99時(shí)，分式上1的值是_________.

a-1

2.當(dāng)x_____時(shí)，分式立1有意義；當(dāng)x_______時(shí)，該式的

x-1

值為0.

3.計(jì)算里的結(jié)果為_________.

ab'

4..若分式方程工+3=二有增根，則卜為（）

x-22-x

A.2B.lC.3D.-2

5.若分式二-有意義，則x滿足的條件是：（）

x-3

A.xwOB.x>3C.xw3D.x<3

6.已知x=2008,y=2009,求正誓吆1+上上+口的

5x2-4xy5x-4yx

值

7.先化簡(jiǎn),再求值：（反m其中…

8.解分式方程.

Xr3(x-2)

⑴會(huì)方。⑵三一2二-^；

⑶_J_=2Z￡-3⑷目一言二1

x—22-x

思考與收獲

第5課時(shí)二次根式

【知識(shí)梳理】

I.二次根式：

（1）定義：叫做二

次根式.

2.二次根式的化簡(jiǎn)：

：（1），ab=*ja??630）;（2）入/^^=^^（a20，6>0）.

vb?

3.最簡(jiǎn)二次根式應(yīng)滿足的條件：（1）被開方數(shù)中不含有能開

得盡的因數(shù)或因式.

（2）根號(hào)內(nèi)不含分母（3）分母上沒有根號(hào)

4.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如

果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

5.二次根式的乘法、除法公式:

(1)VaVb=Vab(a>0,b>0)(2)-^r=/—(a>0,b-0)

x/bVb

6.?二次根式運(yùn)算注意事項(xiàng)：(1)二次根式相加減，先把各根

式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式，防止：①該

化簡(jiǎn)的沒化簡(jiǎn)；②不該合并的合并；③化簡(jiǎn)不正確；④合

并出錯(cuò).(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公

式來簡(jiǎn)化計(jì)算，運(yùn)算結(jié)果一定寫成最簡(jiǎn)二次根式或整式.

【思想方法】非負(fù)性的應(yīng)用

【例題精講】

【例1］要使式子叵有意義，x的取值范圍是()

x

A.xwlB.xwOC.

D.且xwO

【例2】估計(jì)后x4+同的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在().

A.6至U7之間B.7至IJ8之間C.8至U9之間

D.9到10之間

【例3】若實(shí)數(shù)x,y滿足Jx+2+(y-6)2=o,則孫的值

是.

【例4】如圖，A,B,C,D四張卡片上分別寫有-2,62兀四

7

個(gè)實(shí)數(shù)，從中任取兩張卡片.

（1）請(qǐng)列舉出所有可能的結(jié)果（用字母A,B,C,D表

（2）求取到的兩個(gè)數(shù)都是無理數(shù)的概率.

思考與收獲

【例5】計(jì)算：

(1)V27-(3.14-^)°-3tan30o+(1)~,

(2)(兀-1)。+(一:+|5-V27|-2>/3.

【例6】先化簡(jiǎn)，再求值：（二___L）x（/_i）,其中”6一3.

a-\a+\

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.計(jì)算：(1)V12+|-3|-2tan60+(-l+V2)°.

(2)cos45o-(-l)-2一(2收一后)0+I-V32|十上

2V2-1

(3)|3-V121+(^^=)°+cos230-4sin60

2.如圖，實(shí)數(shù)八6在數(shù)軸上的位置，化簡(jiǎn)證-屈-屈赤

1a.1，1.bA」

-101

思考與收獲

第6課時(shí)一元一次方程及二元一次方程（組）

【知識(shí)梳理】

1.方程、一元一次方程、二元一次方程（組）和方程（組）

的解、解方程（組）的概念及解法，利用方程解決生活中的

實(shí)際問題.

2.等式的基本性質(zhì)及用等式的性質(zhì)解方程：

等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)，在使用時(shí)要注意使性質(zhì)

成立的條件.

3.靈活運(yùn)用代入法、加減法解二元一次方程組.

4.用方程解決實(shí)際問題：關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”，在尋找等

量關(guān)系時(shí)有時(shí)可以借助圖表等，在得到方程的解后，要檢驗(yàn)

它是否符合實(shí)際意義.

【思想方法】

方程思想和轉(zhuǎn)化思想

【例題精講】

例1.(1)解方程21一二=1.(2)解二元一次方程

56

組｛3x+2y=15

7x+2y-27

例2.已知》=-2是關(guān)于a的方程2(x-m)=8x-4而的解，求加的

值.

方法1方法2

例3r怨程組中當(dāng)曾一次普鷺是()

x2+y=l0x+y=8

x+y=-2xy=15

A.B.C.

D.

例4.藺2y-3=0中，用x的代數(shù)式表示y,則

y=---------------------?

例5.已矢口a、b、c滿足—十4*一°,貝［Ja：b：c=____________.

a-2b+c=0

例6.某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個(gè)月的用電

量不超過A度，那么這個(gè)月

月份用由量交由帶總數(shù)

這戶只需交10元用電費(fèi)，如

O口on舟CV二

ARACPftF1r\二

果超過A度，則這個(gè)月除了

仍要交10元用電費(fèi)外，超過部分還要按每度0.5元交費(fèi).

①該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規(guī)定的A度，

則超過部分應(yīng)該交電費(fèi)多少元（用A表示）？.

②右表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費(fèi)情況：根據(jù)

右表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定A度為.

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.方程|工-5|=2的解是.

2.一種書包經(jīng)兩次降價(jià)10%,現(xiàn)在售價(jià)。元，則原售價(jià)為

______元.

3.若關(guān)于x的方程1x=5—左的解是“3,貝以=_______.

3

4.若｛；：；｛（黑，｛；二都是方程ax+by+2=0的解，則

c=.

5.解下列方程(組):

(1)3x-2=-5(x-2);(2)0.7x+1.37=1.5x-0.23;

(2x+5y=2\

(4)

x+3y=8

2x-ll+4x.

35

6.當(dāng)x=-2時(shí)，代數(shù)式，+以_2的值是12,求當(dāng)x=2時(shí)，這個(gè)

代數(shù)式的值.

7.應(yīng)用方程解下列問題：初一(4)班課外乒乓球組買了兩

副乒乓球板，若每人付9元，則多了5元，后來組長(zhǎng)收了每

人8元，自己多付了2元，問兩副乒乓球板價(jià)值多少？

皿〃片”［由于甲看錯(cuò)了方

8.甲、乙兩人同時(shí)解方程組《

inx-ny=3(2)

Iy—A

程①中的機(jī)，得到的解是—乙看錯(cuò)了方程中②的〃，得

1。'=2

x=2

到的解是4」試求正確利〃的值.

y=5

思考與收獲

第7課時(shí)一元二次方程

【知識(shí)梳理】

1.一元二次方程的概念及一般形式：ax^bx+c=O（存0）

2.一元二次方程的解法：①直接開平方法②配方法③公式法

④因式分解法

3.求根公式：當(dāng)b2-4ac>0時(shí),一元二次方程ax^+bx+c=O（存0）

-b±ylb2-4ac

x=------------------

2a

的兩根為

4.根的判別式：當(dāng)b2?4ac>0時(shí)，方程有實(shí)

數(shù)根.

當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程有

實(shí)數(shù)根.

當(dāng)b2-4ac<0時(shí);方程________________實(shí)

數(shù)根.

【思想方法】

1.常用解題方法——換元法

2.常用思想方法——轉(zhuǎn)化思想，從特殊到一般的思想，分類

討論的思想

【例題精講】

例1.選用合適的方法解下列方程：

(1)(X-15)2-225=0；(2)3/一4工一1=0

（用公式法）;

(3)41—8x+l=0(用配方法);(4)X2+2A/2X=0

例2.已知一'兀二次方程V+76+3加-4=0有一,

個(gè)根為零，求機(jī)的值.

例3.用22cm長(zhǎng)的鐵絲，折成一個(gè)面積是30cm2的矩形，求

這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬.又問：能否折成面積是32cm2的矩形呢？

為什么？

例4.已知關(guān)于x的方程x2—(2k+1)x+4(k-0.5)=0

(1)求證：不論k取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)為a=4,另兩邊的長(zhǎng)b.c恰

好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求^ABC的周長(zhǎng).

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測(cè)】

一、填空

1.下列是關(guān)于X的一元二次方程的有_________①^3x2-2=0

X

②)x2+l=0

③(2x-l)2=(x-lX4x-3)@k2x2+5x+6=0⑤行X?-乎x-J=0@3X2+2-2X=0

2.一元二次方程3x2=2x的解是.

3.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解為0,則m的值

是.

4.已知m是方程x2?x?2=0的一個(gè)根，那么代數(shù)式m2?m

5.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根?2,則與￡的值

b

為.

6.關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x—1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根，則k的取值范圍是.

7.如果關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為3和4,那么這個(gè)

一元二次方程可以是.

二、選擇題：

8.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,代數(shù)式x2—5x+10的值是一個(gè)()

A.非負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.整數(shù)D.不能確定的數(shù)

9.已知(l-m2-n2)(m2+n2)=-6,則m2+n2的值是()

A.3B.3或-2C.2或-3D.2

10.下列關(guān)于X的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

的方程是()

(A)X2+4=0(B)4X2-4X+1=0(C)X2+X+3=0(D)

X2+2X-1=0

11.下面是李剛同學(xué)在測(cè)驗(yàn)中解答的填空題，其中答對(duì)的是

()

A.若X2=4,貝IJX=2B.方程x(2x-l)=2x-l

的解為x=l

C.方程x2+2x+2=0實(shí)數(shù)根為0個(gè)D.方程X2?2X?1=0

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

12.若等腰三角形底邊長(zhǎng)為8,腰長(zhǎng)是方程X2-9X+20=0的一個(gè)

根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是()A.16B.18

C.16或18D.21

三、解下方程：

(l)(x+5)(x-5)=7(2)x(x-l)=3-3x

⑶X2-4X-4=0

(4)X2+X-1=0(6)(2y-l)2-2(2y-l)

-3=0

思考與收獲

第8課時(shí)方程的應(yīng)用(一)

【知識(shí)梳理】

1.方程（組）的應(yīng)用；

2.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟；

3.實(shí)際問題中對(duì)根的檢驗(yàn)非常重要.

【注意點(diǎn)】

分式方程的檢驗(yàn)，實(shí)際意義的檢驗(yàn).

【例題精講】

例1.足球比賽的計(jì)分規(guī)則為：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分,

負(fù)一場(chǎng)得0分.某隊(duì)打了14場(chǎng)，負(fù)5場(chǎng)，共得19分，那么

這個(gè)隊(duì)勝了（）

A.4場(chǎng)B.5場(chǎng)C.6場(chǎng)D.13

場(chǎng)

例2.某班共有學(xué)生49人L天，該班某男生因事請(qǐng)假，當(dāng)天

的男生人數(shù)恰為女生人數(shù)的一半.若設(shè)該班男生人數(shù)為x,女

生人數(shù)為y,則下列方程組中，能正確計(jì)算出x、y的是（）

fx-y=49Jx+y=49Jx-y=49

C

A,|y=2（x+l）B,（y=2（x+l）,ly=2（x-l）

fx+y=49

jly=2（x-1）

例3.張老師和李老師同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，步行15千米去縣城

購(gòu)買書籍，張老師比李老師每小時(shí)多走1千米，結(jié)果比李老

師早到半小時(shí)，兩位老師每小時(shí)各走多少千米？設(shè)李老師每

小時(shí)走x千米，依題意得到的方程是（）

〃15151-15151

XA>?

X+1X一2X一2

C.-^-115

D.--

X—1X2Xx—12

例4.學(xué)?？倓?wù)處和教務(wù)處各領(lǐng)了同樣數(shù)量的信封和信箋，總

務(wù)處每發(fā)一封信都只用一張信箋，教務(wù)處每發(fā)出一封信都用3

張信箋，結(jié)果，總務(wù)處用掉了所有的信封，?但余下50張信

箋，而教務(wù)處用掉所有的信箋但余下50個(gè)信封，則兩處各領(lǐng)

的信箋數(shù)為x張，?信封個(gè)數(shù)分別為y個(gè)，則可列方程

組.

例5.團(tuán)體購(gòu)買公園門票票價(jià)如下:

購(gòu)票人數(shù)1?5051?100100人以上

每人門票

13元11元9元

（元）

今有甲、乙兩個(gè)旅行團(tuán)，已知甲團(tuán)人數(shù)少于50人，乙團(tuán)人數(shù)

不超過100人.若分別購(gòu)票，兩團(tuán)共計(jì)應(yīng)付門票費(fèi)1392元，

若合在一起作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，總計(jì)應(yīng)付門票費(fèi)108。元.

⑴請(qǐng)你判斷乙團(tuán)的人數(shù)是否也少于50人.

⑵求甲、乙兩旅行團(tuán)各有多少人？

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.某市處理污水，需要鋪設(shè)一條長(zhǎng)為1000m的管道，為了盡

量減少施工對(duì)交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，每天比原計(jì)

劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前5天完成任務(wù).設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)

管道xm,則可得方程.

2.“雞兔同籠”是我國(guó)民間流傳的詩(shī)歌形式的數(shù)學(xué)題，口，雞兔同

籠不知數(shù)，三十六頭籠中露，看來腳有100只，幾多雞兒幾

多兔？”解決此問題，設(shè)雞為x只，兔為y只，所列方程組正

確的是()

x+y=36x+y=36x+y=36y=36

AC.\

x+2y=1002x+4y=l(X)2x+2y=l()()"[4x+2y=100

3.為滿足用水量不斷增長(zhǎng)的需求，某市最近新建甲、乙、?丙

三個(gè)水廠，這三個(gè)水廠的日供水量共計(jì)11.8萬n?,?其中乙

水廠的日供水量是甲水廠日供水量的3倍，丙水廠的日供水

量比甲水廠日供水量的一半還多1萬n?.

(1)求這三個(gè)水廠的日供水量各是多少萬立方米？

(2)在修建甲水廠的輸水管道的工程中要運(yùn)走600t土石，運(yùn)

輸公司派出A型，B?型兩種載重汽車，A型汽車6輛，B型

汽車4輛，分別運(yùn)5次，可把土石運(yùn)完；或者A型汽車3輛,

B型汽車6輛，分別運(yùn)5次，也可把土石運(yùn)完，那么每輛A

型汽車，每輛B型汽車每次運(yùn)土石各多少噸？(每輛汽車運(yùn)

土石都以準(zhǔn)載重量滿載)

4.2009年初我國(guó)南方發(fā)生雪災(zāi)，某地電線被雪壓斷，供電局

的維修隊(duì)要到30km遠(yuǎn)的郊區(qū)進(jìn)行搶修.維修工騎摩托車先

走，15min后，搶修車裝載所需材料出發(fā)，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)

搶修點(diǎn).已知搶修車的速度是摩托車速度的1.5倍，求這兩種

車的速度.

5.某體育彩票經(jīng)售商計(jì)劃用45000?元從省體彩中心購(gòu)進(jìn)彩

票20扎，每扎1000張，已知體彩中心有A、B、C三種不同

價(jià)格的彩費(fèi)，進(jìn)價(jià)分別是A?種彩票每張1.5元，B種彩票每

張2元，C種彩票每張2.5元.

(1)若經(jīng)銷商同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種不同型號(hào)的彩票20扎，用去

45000元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案；

(2)若銷售A型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.2元，B型彩票一張獲

手續(xù)費(fèi)0.3元，C型彩票一張獲手續(xù)費(fèi)0.5元.在購(gòu)進(jìn)兩種彩

票的方案中，為使銷售完時(shí)獲得手續(xù)費(fèi)最多，你選擇哪種進(jìn)

票方案？

(3)若經(jīng)銷商準(zhǔn)備用45000元同時(shí)購(gòu)進(jìn)A、B、C三種彩票

20扎，請(qǐng)你設(shè)計(jì)進(jìn)票方案.

思考與收獲

第9課時(shí)方程的應(yīng)用(二)

【知識(shí)梳理】

1.一元二次方程的應(yīng)用；

2.列方程解應(yīng)用題的一般步驟；

3.問題中方程的解要符合實(shí)際情況.

【例題精講】

例1.一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字和是7,把這個(gè)兩位

數(shù)加上45后，?結(jié)果恰好成為數(shù)字對(duì)調(diào)后組成的兩位數(shù)，則

這個(gè)兩位數(shù)是()

A.16B.25C.34D.

例2.如圖，在寬為20米、長(zhǎng)為30米的矩J

建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地.

需要551米2,則修建的路寬應(yīng)為()

A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米

例3.為執(zhí)行“兩免一補(bǔ)”政策，某地區(qū)2006年投入教育經(jīng)費(fèi)

2500萬元，預(yù)計(jì)2008年投入3600萬元.設(shè)這兩年投入教育

經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)百分率為x,則下列方程正確的是()

A.2500x2=3600B.2500(1+x)2=3600

C.2500(1+x%)2=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600

例4.某地出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)為7元，超過3千米

以后，每增加1千米，?加收2.4元.某人乘這種出租車從甲

地到乙地共付車費(fèi)19元，?設(shè)此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程

為x千米，那么x的最大值是()_

A.11B.8C.7D.5

例5.已知某工廠計(jì)劃經(jīng)過兩年的時(shí)間，?把某種產(chǎn)品從現(xiàn)在

的年產(chǎn)量100萬臺(tái)提高到121萬臺(tái)，那么每年平均增長(zhǎng)的百

分?jǐn)?shù)約是.按此年平均增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)第4包該工廠

的年產(chǎn)量應(yīng)為萬臺(tái).

例6.某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月

能售出600個(gè).調(diào)查表明：這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其

銷售量就將減少10個(gè).為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000?元的銷售利

潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)?

例7.幼兒園有玩具若干份分給小朋友，如果每人分3件，那

么還余59件.?如果每人分5件，那么最后一個(gè)人不少于3

件但不足5件，試求這個(gè)幼兒園有多少件玩具，有多少個(gè)

小朋友.

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.某印刷廠1?月份印刷了書籍60?萬冊(cè)，?第一季度共印刷了

200萬冊(cè)，問2、3月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少？

2.為了營(yíng)造人與自然和諧共處的生態(tài)環(huán)境，某市近年加快實(shí)

施城鄉(xiāng)綠化一體化工程，創(chuàng)建國(guó)家城市綠化一體化城市.某

校甲，乙兩班師生前往郊區(qū)參加植樹活動(dòng).已知甲班每天比

乙班少種10棵樹，甲班種150棵樹所用的天數(shù)比乙班種120

棵樹所用的天數(shù)多2天，求甲，乙兩班每天各植樹多少棵？

3.A、B、C、D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm,AD=6cm,

動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3

向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s

移動(dòng).

⑴P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)四邊形PBCQ的面積為33

cm2?

⑵P、Q兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離是10

cm?

4.甲、乙兩班學(xué)生到集市上購(gòu)買蘋果，蘋果的價(jià)格如下表所

示.甲班分兩次共購(gòu)買蘋果70kg(第二次多于第一次)，共付

出189元，而乙班則一次購(gòu)買蘋果70kg.

(1)乙班比甲班少付出多少元?

(2)甲班第一次，第二次分別購(gòu)買蘋果多少千克?

30kg以下

不超過但50kg

購(gòu)蘋果數(shù)

30kg不超過以上

50kg

每千克價(jià)

3元2.5元2元

格

思考與收獲

第10課時(shí)一元一次不等式（組）

【知識(shí)梳理】

1.一元一次不等式（組）的概念；

2.不等式的基本性質(zhì)；

3.不等式（組）的解集和解法.

【思想方法】

1.不等式的解和解集是兩個(gè)不同的概念;

2.解集在數(shù)軸上的表示方法.

【例題精講】

例1.如圖所示，O是原點(diǎn)，實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分

別為A、B、C,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.a-b>0B.ab<0C,a+b<0D.b（a-c）>0

1BAOC

例2.不等式的解集是（）一^_—

2

A.x>~—B.x>-2C.x<-2D.x<~—

22

例3.把不等式組工丁的解集表示在數(shù)軸上，下列選項(xiàng)

A.B.C.

D.

例4.不等式組廠"W2的整數(shù)解共有（）

x-2<\

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

例5.小明和爸爸媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為

150kg,爸爸坐在蹺蹺板的一端，小明體/卬卬半，小

明和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這E魂^著地,

那么小明的體重應(yīng)小于()

A.49kgB.50kg

C.24kgD.25kg

例6.若關(guān)于x的不等式x—m2—1的解集如圖所率—Mm等于

01234

()

A.0B.1

C.2D.3

2x+l<x

例7.解不等式組：(1)i_x(2)

—>1

3

x+13-x

4(x+4)<3(JC+6)

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.蘋果的進(jìn)價(jià)是每千克3.8元，銷售中估計(jì)有5%的蘋果正常

損耗.為避免虧本，商家把售價(jià)應(yīng)該至少定為每千克

元.

2.解不等式3x-2<7,將解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出它

的正整數(shù)解.

2x+2>3x+3

3.解不等式組口一上一,并把它的解集在數(shù)軸上表示

出來.

4.我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運(yùn)完A、B、C三種臍橙共100

噸到外地銷售.按計(jì)劃，20輛汽車都要裝運(yùn)，每輛汽車只能

裝運(yùn)同一種臍橙，且必須裝滿.根據(jù)下表提供的信息，解答

以下問題：

臍橙品種ABC

每輛汽車運(yùn)載量

654

（噸）

每噸臍橙獲得(百

121610

元)

(1)設(shè)裝運(yùn)A種臍橙的車輛數(shù)為x,裝運(yùn)B種臍橙的車輛數(shù)

為力求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果裝運(yùn)每種臍橙的車輛數(shù)都不少于4輛，那么車輛的

安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；

(3)若要使此次銷售獲利最大，應(yīng)采用哪種安排方案？并求

出最大利潤(rùn)的值.

思考與收獲

第11課時(shí)平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)及其圖像

【知識(shí)梳理】

一、平面直角坐標(biāo)系

1.坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)；

2.各象限點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào);

3.坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

x軸\（a-b）

4.點(diǎn)P（a,b）關(guān)于?y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo),（-兄力

原點(diǎn)（-。，-b）

5.兩點(diǎn)之間的距離

（1加（即0）,旦（孫0），|PR|=|五一百

（2*（0,心2（0,為），出以及到一匆

6.線段AB的中點(diǎn)C,右A(x1,y{),B(X2,y2),C(x0,y0)則

、，_乂+力

二、函數(shù)的概念

1.概念：在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的

每一個(gè)值,y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),那么就說x是自變量,

y是x的函數(shù).

2.自變量的取值范圍：（1）使解析式有意義（2）實(shí)際問

題具有實(shí)際意義

3.函數(shù)的表示方法；（1）解析法（2）列表法（3）圖

象法

【思想方法】

數(shù)形結(jié)合

【例題精講】

例1,函數(shù)y=展中自變量x的取值范圍是；

函數(shù)》=后與中自變量x的取值范圍是.

例2.已知點(diǎn)A（m-L3）與點(diǎn)8（2,〃+1）關(guān)于x軸對(duì)稱，則

m=,n=?

例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(10,0),

點(diǎn)B的坐標(biāo)為

(8,0),點(diǎn)C、。在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB

是平行四邊形.

求點(diǎn)。的坐標(biāo).’

°MBAx

例3圖

例4.閱讀以下材料：對(duì)于三個(gè)數(shù)a,b,c用M{a,b,c}表示這三個(gè)

數(shù)的平均數(shù)，用min{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù),例如：

M{T,2,3}=T+；+3=g；

min{-l,2,3}=-l；min{-1,2,a]=[aSWT)；解決下列問題：

1J(-1(a>-l).

(1)填空：min{sin30°,sin45°,tan30°}=；

(2)①如果M{2,x+l,2x}=mix{2,x+l,2x},求x；②根據(jù)①,

你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么(填

a,b,c的大小關(guān)系)思考與收獲

③運(yùn)用②的結(jié)論，填空：

M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x?y}若,

貝I」x+y=.

(3)在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x+l,y=(x-l)2,y=2-x

的圖象(不需

【當(dāng)堂檢測(cè)】

1.點(diǎn)尸在第二象限內(nèi)，P到X軸的距離是4,到)，軸的距離是3,

那么點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(-4,3)B.(-3,-4)C.(-3,4)D.(3,-4)

2.已知點(diǎn)P(x,y)位于第二象限，并且ygx+4,x,y為整數(shù)，寫出

二個(gè)符合上述條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：.

3.點(diǎn)P(2m.l,3)在第二象限，則〃，的取值范圍是()

A.m>0.5B.m>0.5C.m<0.5D.m<0.5

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/是第一、三象限的角平

分線.

⑴由圖觀察易知A(0,2)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,

0),請(qǐng)?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5,3)、C(-2,5)關(guān)于直線/的對(duì)稱

點(diǎn)、B,、C的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B,、

⑵結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)

任一點(diǎn)P3力)關(guān)于第一、三象限的角平分線I的對(duì)稱點(diǎn)p的坐

標(biāo)為(不必證明)；

⑶己知兩點(diǎn)。(1,-3)、￡(-1,-4),試在直線/上確定一點(diǎn)。，使

思考與收獲

第12課時(shí)一次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識(shí)梳理】

1.正比例函數(shù)的一般形式是y=kx(k^O),一次函數(shù)的一般形

式是y=kx+b(krO).

2.一次函數(shù)二質(zhì)的圖象是經(jīng)過0)和(0,b)兩點(diǎn)

k

的一條直線.

3.一次函數(shù)y=Ax+h的圖象與性質(zhì)

k、b的符k>0,b>00,b<0k列p,b>0k刊彳b<0

號(hào)/

/0/x、0x”

CX□y

圖像的

大致位

置

經(jīng)過象第_____象第_____象第_____象第____象

限限限限限

y隨x的增y隨x的增y隨x的增y隨x的增

性質(zhì)大大而而___大大

而________而_