2023年中考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)全三年基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)講義

2023年中考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)全三年基礎(chǔ)知識

復(fù)習(xí)講義（精華版）

思考與收獲

第1課時實數(shù)的有關(guān)概念

【知識梳理】

I.實數(shù)的分類：整數(shù)（包括:正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（包括:

有限小數(shù)和無限

環(huán)循小數(shù)）都是有理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

2.數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.實

數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng).

工絕對值：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫數(shù)a的絕對

值，記作Ia|,正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是

它的相反數(shù)；0的絕對值是0.

4.相反數(shù)：符號不同、絕對值相等的兩個數(shù)，叫做互為相反

數(shù).a的相反數(shù)是0的相反數(shù)是0.

5.有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊笫一個不是0的數(shù)字起，到最

末一個數(shù)字止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字.

6.科學(xué)記數(shù)法：把一個數(shù)寫成axion的形式（其中igavio中是整

數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.

如：407000=4.07x105,0.000043=4.3x10-5.

7.大小比較：正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,兩個負(fù)數(shù)，絕對值大

的反而小.

8.數(shù)的乘方：求相同因數(shù)的積的運算叫乘方，乘方運算的結(jié)

果叫累.

9.平方根：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x'a那么

這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.一個正數(shù)

有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個平方根，它

是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根.

io.開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方.

11.算術(shù)平方根:一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即X?二a,

那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根

是0.

12.立方根：一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=a,那

么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根），正數(shù)的

立方根是正數(shù);負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0.

13.開立方：求一個數(shù)a的立方根的運算叫做開立方.

【思想方法】

數(shù)形結(jié)合，分類討論

【例題精講】

例1.下列運算正確的是（）

A.-|-3|=3B.（I）-'=-3C.百=±3D.ip2J=-3

例2.0的相反數(shù)是（）

A.-V2B.OC.一也D.也

22

例3.2的平方根是（)

A.4B.>/2C.-V2D.±>/2

例4.《廣東省2009年重點建設(shè)項目計劃（草案）》顯示，港

珠澳大橋工程估算總投資726億元，用科學(xué)記數(shù)法表示正確

的是（）

思考與收獲

A.7.26x10'°元B.72.6xlO9元

C.0.726x10"元D.7.26x10"7C

例5.實數(shù)ab在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，

則必有（）一o；1------'

例5圖

A.a+b>0B.a-b<0C.ab>0D.—<0

b

例6.（改編題）有一個運算程序，可以使：

a?b=〃（鹿為常數(shù)）時，得

（〃+1）十b=〃+2,a十（b+1）=n-3

現(xiàn)在已矢口1十1=4,那么2009十2009=.

【當(dāng)堂檢測】

1.計算’;［的結(jié)果是（）

A.-B.--C.-D.--

6688

2.-2的倒數(shù)是（）

A.--B.-C.2D.-2

22

3.下列各式中，正確的是（）

A.2<V15<3B.3<V15<4C.4<V15<5D.14<V15<I6

4.已知實數(shù)〃在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|+值的

結(jié)果為（）U--?

-101

A.1B.-1C.1-2?D.2a-1第4題圖

5.-2的相反數(shù)是（）

A.2B.-2C.-D.--

22

6.-5的相反數(shù)是一，-;的絕對值是一，腦=___.

7.寫出一個有理數(shù)和一個無理數(shù)，使它們都是小于一1的

數(shù)—.

8.如果□x（—|）=i,則“□”內(nèi)應(yīng)填的實數(shù)是（）

思考與收獲

第2課時實數(shù)的運算

【知識梳理】

1.有理數(shù)加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕

對值相加；異號兩數(shù)相加，絕對值相等時和為0;絕對值

不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減

去較小的絕對值；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

2.有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).

3.有理數(shù)乘法法則：兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù),

再把絕對值相乘；

任何數(shù)與0相乘，積仍為0.

4.有理數(shù)除法法則：兩個有理數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù),

并把絕對值相除；

0除以任何非。的數(shù)都得0；除以一個數(shù)等

于乘以這個數(shù)的倒數(shù).

5.有理數(shù)的混合運算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加

減；

如果有括號，先算括號里面的.

6.有理數(shù)的運算律：

加法交換律：a+b=b+a（a、b為任意有理數(shù)）

加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）（a,b,c為任意有理數(shù)）

乘法交換律:aXb=6Xa；

乘法結(jié)合律：“Xb）Xc=aXSXc）；

乘法分配律：aXe+c）=aX6+“Xr（a力"表示任意有理教）

【思想方法】

數(shù)形結(jié)合，分類討論

【例題精講】

例1.某校認(rèn)真落實蘇州市教育局出臺的“三項規(guī)定”，校園生

活豐富多彩.星期二下午4點至5點，初二年級240名同學(xué)

分別參加了美術(shù)、音樂和體育活動，其中參加體育活動人數(shù)

是參加美術(shù)活動人數(shù)的3倍，參加音樂活動人數(shù)是參加美術(shù)

活動人數(shù)的2倍，那么參加美術(shù)活動的同學(xué)其有

名.

例2.下表是5個城市的國際標(biāo)準(zhǔn)時間（單位：時）那么北京

時間2006年6月17日上午9時應(yīng)是（）

明多倫多倫敦北..城_

-4og~g國際森準(zhǔn)時間（時）

例2圖

A.倫敦時間2006年6月17日凌晨1時.

B.紐約時間2006年6月17日晚上22時.

C.多倫多時間2006年6月16日晚上20時.

D.漢城時間2006年6月17口上午8時.

例3.如圖，由等圓組成的一組圖中，第/個圖由/個圓組成,

第2個圖由7個圓組成，第3個圖由/9個圓組成，……,

按照這樣的規(guī)律排列下去，則第9個圖形由

個圓組成.

O

例3圖

思考與收獲

例4.下列運算正確的是（）

A.V3+V2=75B.A/3xV2=5/6

C.(V3-1)2=3-1D.752-32=5-3

例5.計算：

1

+

(1)3々+我一()一1)0+-9⑵|-V3|-U-拒)°+tan450

⑶22-（當(dāng)-1）。+（；廣；（4）（_1）2岫+乃。一（；尸+我.

【當(dāng)堂檢測】

1.下列運算正確的是（)

A.4*二不B.5a2b-3a2b=2

C.（-a3）2=a5D.(3ab2)3=9a3b6

2.某市2008年第一季度財政收入為41.76億元，用科學(xué)記數(shù)法

（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）表示為（）

A.41x108元B.4.1x1()9元C.4.2x109元

D.41.7x108元

3.估計68的立方根的大小在()

A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5

與6之間

4.如圖，數(shù)軸上點尸表示的數(shù)可能是()

A.不B.-V7?。??.???

-3—2—10123

C.-3.2D.-V10第4題圖

5.計算：

(1)(-1)2009一(3一2+V16-cos60°(2)(V3-1)°-W\V4

思考與收獲

第3課時整式與分解因式

【知識梳理】

1.嘉的運算性質(zhì)：①同底數(shù)事的乘法法則：同底數(shù)事相乘，底

數(shù)不變，指數(shù)相加，即(m、n為正整數(shù))；②同

底數(shù)事的除法法則：同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，

即#“+，=產(chǎn)”(a#),m、n為正整數(shù)，m>n)；③幕的乘方法

則：累的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即(")”=〃》"(n為正

整數(shù))；④零指數(shù)：。。=1(ar0)；⑤負(fù)整數(shù)指數(shù)：°-〃=4(a#),

n為正整數(shù))；

2.整式的乘除法：

(1)幾個單項式相乘除，系數(shù)與系數(shù)相乘除，同底數(shù)的幕結(jié)合起

來相乘除.

(2)單項式乘以多項式,用單項式乘以多項式的每一個項.

(3)多項式乘以多項式，用一個多一項式的每一項分別乘以另一

個多項式的每一項.

(4)多項式除以單項式，將多項式的每一項分別除以這個單項

式.

(5)平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個

數(shù)的平方，

BP(a+b)(a-b)=a2-b2;

⑹完全平方公式：兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方

和，加上(或減去)

它們的積的2倍,BP(a±b)2=a2±2ah+b2

3.分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把

這個多項式分解因式.

4.分解因式的方法：

⑴提公團式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就

可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積

的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

⑵運用公式法：公式a2-b1={a+b){a-b)；a2±2ab+b2=(a±b)2

5.分解因式的步驟：分解因式時，首先考慮是否有公因式，

如果有公因式，一定先提取公團式，然后再考慮是否能用公

式法分解.

6.分解因式時常見的思維誤區(qū)：

⑴提公因式時，其公團式應(yīng)找字母指數(shù)最低的，而不是以首

項為準(zhǔn).

⑵提取公因式時，若有一項被全部提出，括號內(nèi)的項“1”易

漏掉.

(3)分解不徹底，如保留中括號形式，還能繼續(xù)分解等

【例題精講】

［例1］下列計算正確的是()

A.a+2a=3a2B.3a_2a=a

C.a2ea^a6D.6a2^2a2=3a2

［例2］(2008年茂名)任意給定一個非零數(shù)，按下列程序

計算，最后輸出的

結(jié)果是()

結(jié)果

2

A.mB.~C.m+1

D.m-1

【例3】若3々2一4.2=0,則5+2〃-6/=.

【例4】下列因式分解錯誤的是()

A.x2-y2=(x+y)(x-j)B.x2+6x+9=(x+3)2

C.x2+xy=x(x+j)D.x2+y2=(x+y)2

思考與收獲

【例5】如圖7.①，圖7-②，圖7.③，圖7-④，…，是用圍

棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣，，字，按照這種規(guī)律，第5

個“廣，，字中的棋子個數(shù)是,第〃個“廣”字中的棋子個

數(shù)是________

圖7-①圖7-②圖7-③J圖7.④

【例6】給出三個多項式：1d+2x-l,Lf+4x+i,L/-2X.請

222

選擇你最喜歡的兩個多項式進(jìn)行加法運算，并把結(jié)果因式分

解.

【當(dāng)堂檢測】

1.分解因式：9a-a3=,-x3-2x2-x=

2.對于任意兩個實數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)

a=c且b=d時，

(a,b)=(c,d).定義運算“軟(a,b)0(c,d)=(ac

—bd,ad+bc).若(1,2)?(p,q)=(5,0),貝ijp=,

q=?

3.己知a=L6xl()9,b=4xl03,貝lja2+2b=()

A.2xl07B.4xl0,4C.3.2xl05D.

3.2xl014.

22

4.先化簡,再求值：(a+b)+(a-b)(2a+b)-3a9其中

a=-2-&b=43-2.

5.先化簡，再求值：(a+b)(“一b)+(a+b)2—2/，其中。=3,/?=--.

3

思考與收獲

第4課時分式與分式方程

【知識梳理】

1.分式概念：若A、B表示兩個整式，且B中含有字母，則

代數(shù)式4叫做分式.

B

2.分式的基本性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：（2）約分：（3）通分：

3.分式運算

4.分式方程的意義，會把分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

5.了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，會判斷所求得的根是否是分

式方程的增根.

【思想方法】

1.類比（分式類比分?jǐn)?shù)）、轉(zhuǎn)化（分式化為整式）

2.檢驗

【例題精講】

x2—2,x+1x—1

1.化簡:---2~~；~~~^~2---

X-1X+X

2.先化簡，再求值：分十一”宗）,其中.2+夜.

3.先化簡g吉）.號,然后請你給“選取一個合適值，再

求此時原式的值.

4.解下列方程(1)f二一，_=0(2)

x~+3xx~-x

x-2x+2_16

x+2x-2%2-4

5.一列列車自2004年全國鐵路第5次大提速后，速度提高

了26千米/時，現(xiàn)在該列車從甲站到乙站所用的時間比原來減

少了1小時，已知甲、乙兩站的路程是312千米，若設(shè)列車

提速前的速度是x千米，則根據(jù)題意所列方程正確的是（）

312312312312_

1

A.xx-26B.1+26x

思考與收獲

3123121312312,

C.xx+26D.x-26x

【當(dāng)堂檢測】

1.當(dāng)〃=99時，分式上1的值是_________.

a-1

2.當(dāng)x_____時，分式立1有意義；當(dāng)x_______時，該式的

x-1

值為0.

3.計算里的結(jié)果為_________.

ab'

4..若分式方程工+3=二有增根，則卜為（）

x-22-x

A.2B.lC.3D.-2

5.若分式二-有意義，則x滿足的條件是：（）

x-3

A.xwOB.x>3C.xw3D.x<3

6.已知x=2008,y=2009,求正誓吆1+上上+口的

5x2-4xy5x-4yx

值

7.先化簡,再求值：（反m其中…

8.解分式方程.

Xr3(x-2)

⑴會方。⑵三一2二-^；

⑶_J_=2Z￡-3⑷目一言二1

x—22-x

思考與收獲

第5課時二次根式

【知識梳理】

I.二次根式：

（1）定義：叫做二

次根式.

2.二次根式的化簡：

：（1），ab=*ja??630）;（2）入/^^=^^（a20，6>0）.

vb?

3.最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：（1）被開方數(shù)中不含有能開

得盡的因數(shù)或因式.

（2）根號內(nèi)不含分母（3）分母上沒有根號

4.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如

果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式.

5.二次根式的乘法、除法公式:

(1)VaVb=Vab(a>0,b>0)(2)-^r=/—(a>0,b-0)

x/bVb

6.?二次根式運算注意事項：(1)二次根式相加減，先把各根

式化為最簡二次根式，再合并同類二次根式，防止：①該

化簡的沒化簡；②不該合并的合并；③化簡不正確；④合

并出錯.(2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公

式來簡化計算，運算結(jié)果一定寫成最簡二次根式或整式.

【思想方法】非負(fù)性的應(yīng)用

【例題精講】

【例1］要使式子叵有意義，x的取值范圍是()

x

A.xwlB.xwOC.

D.且xwO

【例2】估計后x4+同的運算結(jié)果應(yīng)在().

A.6至U7之間B.7至IJ8之間C.8至U9之間

D.9到10之間

【例3】若實數(shù)x,y滿足Jx+2+(y-6)2=o,則孫的值

是.

【例4】如圖，A,B,C,D四張卡片上分別寫有-2,62兀四

7

個實數(shù)，從中任取兩張卡片.

（1）請列舉出所有可能的結(jié)果（用字母A,B,C,D表

（2）求取到的兩個數(shù)都是無理數(shù)的概率.

思考與收獲

【例5】計算：

(1)V27-(3.14-^)°-3tan30o+(1)~,

(2)(兀-1)。+(一:+|5-V27|-2>/3.

【例6】先化簡，再求值：（二___L）x（/_i）,其中”6一3.

a-\a+\

【當(dāng)堂檢測】

1.計算：(1)V12+|-3|-2tan60+(-l+V2)°.

(2)cos45o-(-l)-2一(2收一后)0+I-V32|十上

2V2-1

(3)|3-V121+(^^=)°+cos230-4sin60

2.如圖，實數(shù)八6在數(shù)軸上的位置，化簡證-屈-屈赤

1a.1，1.bA」

-101

思考與收獲

第6課時一元一次方程及二元一次方程（組）

【知識梳理】

1.方程、一元一次方程、二元一次方程（組）和方程（組）

的解、解方程（組）的概念及解法，利用方程解決生活中的

實際問題.

2.等式的基本性質(zhì)及用等式的性質(zhì)解方程：

等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)，在使用時要注意使性質(zhì)

成立的條件.

3.靈活運用代入法、加減法解二元一次方程組.

4.用方程解決實際問題：關(guān)鍵是找到“等量關(guān)系”，在尋找等

量關(guān)系時有時可以借助圖表等，在得到方程的解后，要檢驗

它是否符合實際意義.

【思想方法】

方程思想和轉(zhuǎn)化思想

【例題精講】

例1.(1)解方程21一二=1.(2)解二元一次方程

56

組｛3x+2y=15

7x+2y-27

例2.已知》=-2是關(guān)于a的方程2(x-m)=8x-4而的解，求加的

值.

方法1方法2

例3r怨程組中當(dāng)曾一次普鷺是()

x2+y=l0x+y=8

x+y=-2xy=15

A.B.C.

D.

例4.藺2y-3=0中，用x的代數(shù)式表示y,則

y=---------------------?

例5.已矢口a、b、c滿足—十4*一°,貝［Ja：b：c=____________.

a-2b+c=0

例6.某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電

量不超過A度，那么這個月

月份用由量交由帶總數(shù)

這戶只需交10元用電費，如

O口on舟CV二

ARACPftF1r\二

果超過A度，則這個月除了

仍要交10元用電費外，超過部分還要按每度0.5元交費.

①該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規(guī)定的A度，

則超過部分應(yīng)該交電費多少元（用A表示）？.

②右表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況：根據(jù)

右表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定A度為.

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測】

1.方程|工-5|=2的解是.

2.一種書包經(jīng)兩次降價10%,現(xiàn)在售價。元，則原售價為

______元.

3.若關(guān)于x的方程1x=5—左的解是“3,貝以=_______.

3

4.若｛；：；｛（黑，｛；二都是方程ax+by+2=0的解，則

c=.

5.解下列方程(組):

(1)3x-2=-5(x-2);(2)0.7x+1.37=1.5x-0.23;

(2x+5y=2\

(4)

x+3y=8

2x-ll+4x.

35

6.當(dāng)x=-2時，代數(shù)式，+以_2的值是12,求當(dāng)x=2時，這個

代數(shù)式的值.

7.應(yīng)用方程解下列問題：初一(4)班課外乒乓球組買了兩

副乒乓球板，若每人付9元，則多了5元，后來組長收了每

人8元，自己多付了2元，問兩副乒乓球板價值多少？

皿〃片”［由于甲看錯了方

8.甲、乙兩人同時解方程組《

inx-ny=3(2)

Iy—A

程①中的機，得到的解是—乙看錯了方程中②的〃，得

1。'=2

x=2

到的解是4」試求正確利〃的值.

y=5

思考與收獲

第7課時一元二次方程

【知識梳理】

1.一元二次方程的概念及一般形式：ax^bx+c=O（存0）

2.一元二次方程的解法：①直接開平方法②配方法③公式法

④因式分解法

3.求根公式：當(dāng)b2-4ac>0時,一元二次方程ax^+bx+c=O（存0）

-b±ylb2-4ac

x=------------------

2a

的兩根為

4.根的判別式：當(dāng)b2?4ac>0時，方程有實

數(shù)根.

當(dāng)b2-4ac=0時，方程有

實數(shù)根.

當(dāng)b2-4ac<0時;方程________________實

數(shù)根.

【思想方法】

1.常用解題方法——換元法

2.常用思想方法——轉(zhuǎn)化思想，從特殊到一般的思想，分類

討論的思想

【例題精講】

例1.選用合適的方法解下列方程：

(1)(X-15)2-225=0；(2)3/一4工一1=0

（用公式法）;

(3)41—8x+l=0(用配方法);(4)X2+2A/2X=0

例2.已知一'兀二次方程V+76+3加-4=0有一,

個根為零，求機的值.

例3.用22cm長的鐵絲，折成一個面積是30cm2的矩形，求

這個矩形的長和寬.又問：能否折成面積是32cm2的矩形呢？

為什么？

例4.已知關(guān)于x的方程x2—(2k+1)x+4(k-0.5)=0

(1)求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；

(2)若等腰三角形ABC的一邊長為a=4,另兩邊的長b.c恰

好是這個方程的兩個根，求^ABC的周長.

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測】

一、填空

1.下列是關(guān)于X的一元二次方程的有_________①^3x2-2=0

X

②)x2+l=0

③(2x-l)2=(x-lX4x-3)@k2x2+5x+6=0⑤行X?-乎x-J=0@3X2+2-2X=0

2.一元二次方程3x2=2x的解是.

3.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解為0,則m的值

是.

4.已知m是方程x2?x?2=0的一個根，那么代數(shù)式m2?m

5.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根?2,則與￡的值

b

為.

6.關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x—1=0有兩個不相等的實數(shù)

根，則k的取值范圍是.

7.如果關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為3和4,那么這個

一元二次方程可以是.

二、選擇題：

8.對于任意的實數(shù)x,代數(shù)式x2—5x+10的值是一個()

A.非負(fù)數(shù)B.正數(shù)C.整數(shù)D.不能確定的數(shù)

9.已知(l-m2-n2)(m2+n2)=-6,則m2+n2的值是()

A.3B.3或-2C.2或-3D.2

10.下列關(guān)于X的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根

的方程是()

(A)X2+4=0(B)4X2-4X+1=0(C)X2+X+3=0(D)

X2+2X-1=0

11.下面是李剛同學(xué)在測驗中解答的填空題，其中答對的是

()

A.若X2=4,貝IJX=2B.方程x(2x-l)=2x-l

的解為x=l

C.方程x2+2x+2=0實數(shù)根為0個D.方程X2?2X?1=0

有兩個相等的實數(shù)根

12.若等腰三角形底邊長為8,腰長是方程X2-9X+20=0的一個

根，則這個三角形的周長是()A.16B.18

C.16或18D.21

三、解下方程：

(l)(x+5)(x-5)=7(2)x(x-l)=3-3x

⑶X2-4X-4=0

(4)X2+X-1=0(6)(2y-l)2-2(2y-l)

-3=0

思考與收獲

第8課時方程的應(yīng)用(一)

【知識梳理】

1.方程（組）的應(yīng)用；

2.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟；

3.實際問題中對根的檢驗非常重要.

【注意點】

分式方程的檢驗，實際意義的檢驗.

【例題精講】

例1.足球比賽的計分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分,

負(fù)一場得0分.某隊打了14場，負(fù)5場，共得19分，那么

這個隊勝了（）

A.4場B.5場C.6場D.13

場

例2.某班共有學(xué)生49人L天，該班某男生因事請假，當(dāng)天

的男生人數(shù)恰為女生人數(shù)的一半.若設(shè)該班男生人數(shù)為x,女

生人數(shù)為y,則下列方程組中，能正確計算出x、y的是（）

fx-y=49Jx+y=49Jx-y=49

C

A,|y=2（x+l）B,（y=2（x+l）,ly=2（x-l）

fx+y=49

jly=2（x-1）

例3.張老師和李老師同時從學(xué)校出發(fā)，步行15千米去縣城

購買書籍，張老師比李老師每小時多走1千米，結(jié)果比李老

師早到半小時，兩位老師每小時各走多少千米？設(shè)李老師每

小時走x千米，依題意得到的方程是（）

〃15151-15151

XA>?

X+1X一2X一2

C.-^-115

D.--

X—1X2Xx—12

例4.學(xué)校總務(wù)處和教務(wù)處各領(lǐng)了同樣數(shù)量的信封和信箋，總

務(wù)處每發(fā)一封信都只用一張信箋，教務(wù)處每發(fā)出一封信都用3

張信箋，結(jié)果，總務(wù)處用掉了所有的信封，?但余下50張信

箋，而教務(wù)處用掉所有的信箋但余下50個信封，則兩處各領(lǐng)

的信箋數(shù)為x張，?信封個數(shù)分別為y個，則可列方程

組.

例5.團體購買公園門票票價如下:

購票人數(shù)1?5051?100100人以上

每人門票

13元11元9元

（元）

今有甲、乙兩個旅行團，已知甲團人數(shù)少于50人，乙團人數(shù)

不超過100人.若分別購票，兩團共計應(yīng)付門票費1392元，

若合在一起作為一個團體購票，總計應(yīng)付門票費108。元.

⑴請你判斷乙團的人數(shù)是否也少于50人.

⑵求甲、乙兩旅行團各有多少人？

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測】

1.某市處理污水，需要鋪設(shè)一條長為1000m的管道，為了盡

量減少施工對交通所造成的影響，實際施工時，每天比原計

劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前5天完成任務(wù).設(shè)原計劃每天鋪設(shè)

管道xm,則可得方程.

2.“雞兔同籠”是我國民間流傳的詩歌形式的數(shù)學(xué)題，口，雞兔同

籠不知數(shù)，三十六頭籠中露，看來腳有100只，幾多雞兒幾

多兔？”解決此問題，設(shè)雞為x只，兔為y只，所列方程組正

確的是()

x+y=36x+y=36x+y=36y=36

AC.\

x+2y=1002x+4y=l(X)2x+2y=l()()"[4x+2y=100

3.為滿足用水量不斷增長的需求，某市最近新建甲、乙、?丙

三個水廠，這三個水廠的日供水量共計11.8萬n?,?其中乙

水廠的日供水量是甲水廠日供水量的3倍，丙水廠的日供水

量比甲水廠日供水量的一半還多1萬n?.

(1)求這三個水廠的日供水量各是多少萬立方米？

(2)在修建甲水廠的輸水管道的工程中要運走600t土石，運

輸公司派出A型，B?型兩種載重汽車，A型汽車6輛，B型

汽車4輛，分別運5次，可把土石運完；或者A型汽車3輛,

B型汽車6輛，分別運5次，也可把土石運完，那么每輛A

型汽車，每輛B型汽車每次運土石各多少噸？(每輛汽車運

土石都以準(zhǔn)載重量滿載)

4.2009年初我國南方發(fā)生雪災(zāi)，某地電線被雪壓斷，供電局

的維修隊要到30km遠(yuǎn)的郊區(qū)進(jìn)行搶修.維修工騎摩托車先

走，15min后，搶修車裝載所需材料出發(fā)，結(jié)果兩車同時到達(dá)

搶修點.已知搶修車的速度是摩托車速度的1.5倍，求這兩種

車的速度.

5.某體育彩票經(jīng)售商計劃用45000?元從省體彩中心購進(jìn)彩

票20扎，每扎1000張，已知體彩中心有A、B、C三種不同

價格的彩費，進(jìn)價分別是A?種彩票每張1.5元，B種彩票每

張2元，C種彩票每張2.5元.

(1)若經(jīng)銷商同時購進(jìn)兩種不同型號的彩票20扎，用去

45000元，請你設(shè)計進(jìn)票方案；

(2)若銷售A型彩票一張獲手續(xù)費0.2元，B型彩票一張獲

手續(xù)費0.3元，C型彩票一張獲手續(xù)費0.5元.在購進(jìn)兩種彩

票的方案中，為使銷售完時獲得手續(xù)費最多，你選擇哪種進(jìn)

票方案？

(3)若經(jīng)銷商準(zhǔn)備用45000元同時購進(jìn)A、B、C三種彩票

20扎，請你設(shè)計進(jìn)票方案.

思考與收獲

第9課時方程的應(yīng)用(二)

【知識梳理】

1.一元二次方程的應(yīng)用；

2.列方程解應(yīng)用題的一般步驟；

3.問題中方程的解要符合實際情況.

【例題精講】

例1.一個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字和是7,把這個兩位

數(shù)加上45后，?結(jié)果恰好成為數(shù)字對調(diào)后組成的兩位數(shù)，則

這個兩位數(shù)是()

A.16B.25C.34D.

例2.如圖，在寬為20米、長為30米的矩J

建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地.

需要551米2,則修建的路寬應(yīng)為()

A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米

例3.為執(zhí)行“兩免一補”政策，某地區(qū)2006年投入教育經(jīng)費

2500萬元，預(yù)計2008年投入3600萬元.設(shè)這兩年投入教育

經(jīng)費的年平均增長百分率為x,則下列方程正確的是()

A.2500x2=3600B.2500(1+x)2=3600

C.2500(1+x%)2=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600

例4.某地出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)是：起步價為7元，超過3千米

以后，每增加1千米，?加收2.4元.某人乘這種出租車從甲

地到乙地共付車費19元，?設(shè)此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程

為x千米，那么x的最大值是()_

A.11B.8C.7D.5

例5.已知某工廠計劃經(jīng)過兩年的時間，?把某種產(chǎn)品從現(xiàn)在

的年產(chǎn)量100萬臺提高到121萬臺，那么每年平均增長的百

分?jǐn)?shù)約是.按此年平均增長率，預(yù)計第4包該工廠

的年產(chǎn)量應(yīng)為萬臺.

例6.某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月

能售出600個.調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲1元，其

銷售量就將減少10個.為了實現(xiàn)平均每月10000?元的銷售利

潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進(jìn)臺燈多少個?

例7.幼兒園有玩具若干份分給小朋友，如果每人分3件，那

么還余59件.?如果每人分5件，那么最后一個人不少于3

件但不足5件，試求這個幼兒園有多少件玩具，有多少個

小朋友.

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測】

1.某印刷廠1?月份印刷了書籍60?萬冊，?第一季度共印刷了

200萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？

2.為了營造人與自然和諧共處的生態(tài)環(huán)境，某市近年加快實

施城鄉(xiāng)綠化一體化工程，創(chuàng)建國家城市綠化一體化城市.某

校甲，乙兩班師生前往郊區(qū)參加植樹活動.已知甲班每天比

乙班少種10棵樹，甲班種150棵樹所用的天數(shù)比乙班種120

棵樹所用的天數(shù)多2天，求甲，乙兩班每天各植樹多少棵？

3.A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=6cm,

動點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3

向點B移動，一直到達(dá)B為止，點Q以2cm/s

移動.

⑴P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時四邊形PBCQ的面積為33

cm2?

⑵P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點P和點Q的距離是10

cm?

4.甲、乙兩班學(xué)生到集市上購買蘋果，蘋果的價格如下表所

示.甲班分兩次共購買蘋果70kg(第二次多于第一次)，共付

出189元，而乙班則一次購買蘋果70kg.

(1)乙班比甲班少付出多少元?

(2)甲班第一次，第二次分別購買蘋果多少千克?

30kg以下

不超過但50kg

購蘋果數(shù)

30kg不超過以上

50kg

每千克價

3元2.5元2元

格

思考與收獲

第10課時一元一次不等式（組）

【知識梳理】

1.一元一次不等式（組）的概念；

2.不等式的基本性質(zhì)；

3.不等式（組）的解集和解法.

【思想方法】

1.不等式的解和解集是兩個不同的概念;

2.解集在數(shù)軸上的表示方法.

【例題精講】

例1.如圖所示，O是原點，實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點分

別為A、B、C,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.a-b>0B.ab<0C,a+b<0D.b（a-c）>0

1BAOC

例2.不等式的解集是（）一^_—

2

A.x>~—B.x>-2C.x<-2D.x<~—

22

例3.把不等式組工丁的解集表示在數(shù)軸上，下列選項

A.B.C.

D.

例4.不等式組廠"W2的整數(shù)解共有（）

x-2<\

A.3個B.4個C.5個D.6個

例5.小明和爸爸媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為

150kg,爸爸坐在蹺蹺板的一端，小明體/卬卬半，小

明和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這E魂^著地,

那么小明的體重應(yīng)小于()

A.49kgB.50kg

C.24kgD.25kg

例6.若關(guān)于x的不等式x—m2—1的解集如圖所率—Mm等于

01234

()

A.0B.1

C.2D.3

2x+l<x

例7.解不等式組：(1)i_x(2)

—>1

3

x+13-x

4(x+4)<3(JC+6)

思考與收獲

【當(dāng)堂檢測】

1.蘋果的進(jìn)價是每千克3.8元，銷售中估計有5%的蘋果正常

損耗.為避免虧本，商家把售價應(yīng)該至少定為每千克

元.

2.解不等式3x-2<7,將解集在數(shù)軸上表示出來，并寫出它

的正整數(shù)解.

2x+2>3x+3

3.解不等式組口一上一,并把它的解集在數(shù)軸上表示

出來.

4.我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運完A、B、C三種臍橙共100

噸到外地銷售.按計劃，20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能

裝運同一種臍橙，且必須裝滿.根據(jù)下表提供的信息，解答

以下問題：

臍橙品種ABC

每輛汽車運載量

654

（噸）

每噸臍橙獲得(百

121610

元)

(1)設(shè)裝運A種臍橙的車輛數(shù)為x,裝運B種臍橙的車輛數(shù)

為力求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果裝運每種臍橙的車輛數(shù)都不少于4輛，那么車輛的

安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；

(3)若要使此次銷售獲利最大，應(yīng)采用哪種安排方案？并求

出最大利潤的值.

思考與收獲

第11課時平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)及其圖像

【知識梳理】

一、平面直角坐標(biāo)系

1.坐標(biāo)平面上的點與有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成一一對應(yīng)；

2.各象限點的坐標(biāo)的符號;

3.坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)特征.

x軸\（a-b）

4.點P（a,b）關(guān)于?y軸對稱點的坐標(biāo),（-兄力

原點（-。，-b）

5.兩點之間的距離

（1加（即0）,旦（孫0），|PR|=|五一百

（2*（0,心2（0,為），出以及到一匆

6.線段AB的中點C,右A(x1,y{),B(X2,y2),C(x0,y0)則

、，_乂+力

二、函數(shù)的概念

1.概念：在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的

每一個值,y都有唯一的值與它對應(yīng),那么就說x是自變量,

y是x的函數(shù).

2.自變量的取值范圍：（1）使解析式有意義（2）實際問

題具有實際意義

3.函數(shù)的表示方法；（1）解析法（2）列表法（3）圖

象法

【思想方法】

數(shù)形結(jié)合

【例題精講】

例1,函數(shù)y=展中自變量x的取值范圍是；

函數(shù)》=后與中自變量x的取值范圍是.

例2.已知點A（m-L3）與點8（2,〃+1）關(guān)于x軸對稱，則

m=,n=?

例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是(10,0),

點B的坐標(biāo)為

(8,0),點C、。在以O(shè)A為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB

是平行四邊形.

求點。的坐標(biāo).’

°MBAx

例3圖

例4.閱讀以下材料：對于三個數(shù)a,b,c用M{a,b,c}表示這三個

數(shù)的平均數(shù)，用min{a,b,c}表示這三個數(shù)中最小的數(shù),例如：

M{T,2,3}=T+；+3=g；

min{-l,2,3}=-l；min{-1,2,a]=[aSWT)；解決下列問題：

1J(-1(a>-l).

(1)填空：min{sin30°,sin45°,tan30°}=；

(2)①如果M{2,x+l,2x}=mix{2,x+l,2x},求x；②根據(jù)①,

你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么(填

a,b,c的大小關(guān)系)思考與收獲

③運用②的結(jié)論，填空：

M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x?y}若,

貝I」x+y=.

(3)在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x+l,y=(x-l)2,y=2-x

的圖象(不需

【當(dāng)堂檢測】

1.點尸在第二象限內(nèi)，P到X軸的距離是4,到)，軸的距離是3,

那么點尸的坐標(biāo)為()

A.(-4,3)B.(-3,-4)C.(-3,4)D.(3,-4)

2.已知點P(x,y)位于第二象限，并且ygx+4,x,y為整數(shù)，寫出

二個符合上述條件的點P的坐標(biāo)：.

3.點P(2m.l,3)在第二象限，則〃，的取值范圍是()

A.m>0.5B.m>0.5C.m<0.5D.m<0.5

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/是第一、三象限的角平

分線.

⑴由圖觀察易知A(0,2)關(guān)于直線I的對稱點A的坐標(biāo)為(2,

0),請在圖中分別標(biāo)明B(5,3)、C(-2,5)關(guān)于直線/的對稱

點、B,、C的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B,、

⑵結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)

任一點P3力)關(guān)于第一、三象限的角平分線I的對稱點p的坐

標(biāo)為(不必證明)；

⑶己知兩點。(1,-3)、￡(-1,-4),試在直線/上確定一點。，使

思考與收獲

第12課時一次函數(shù)圖象和性質(zhì)

【知識梳理】

1.正比例函數(shù)的一般形式是y=kx(k^O),一次函數(shù)的一般形

式是y=kx+b(krO).

2.一次函數(shù)二質(zhì)的圖象是經(jīng)過0)和(0,b)兩點

k

的一條直線.

3.一次函數(shù)y=Ax+h的圖象與性質(zhì)

k、b的符k>0,b>00,b<0k列p,b>0k刊彳b<0

號/

/0/x、0x”

CX□y

圖像的

大致位

置

經(jīng)過象第_____象第_____象第_____象第____象

限限限限限

y隨x的增y隨x的增y隨x的增y隨x的增

性質(zhì)大大而而___大大

而________而_