《電磁場與電磁波》課件第2章

第2章靜電場2.1庫侖定律與電場強度2.2高斯定理2.3靜電場的旋度與靜電場的電位2.4電偶極子2.5電介質中的場方程2.6靜電場的邊界條件2.7導體系統(tǒng)的電容2.8電場能量與能量密度2.9電場力

2.1庫侖定律與電場強度

2.1.1庫侖定律

庫侖定律是描述真空中兩個靜止點電荷之間相互作用的實驗定律。內(nèi)容是，點電荷q′作用于點電荷q的力為

(2-1)式中，R=r－r′表示從r′到r的矢量，R是r′到r的距離，eR是R的單位矢量，ε0是表征真空電性質的物理量，稱為真空的介電常數(shù)，其值為庫侖定律表明，真空中兩個點電荷之間作用力的大小與兩點電荷電量之積成正比，與距離平方成反比，力的方向沿著它們的連線，同號電荷之間是斥力，異號電荷之間是引力。點電荷q′受到q的作用力為F′，且F′=－F，可見兩點電荷之間的作用力符合牛頓第三定律(如圖2-1所示)。

庫侖定律只能直接用于點電荷。所謂點電荷，是指當帶電體的尺度遠小于它們之間的距離時，將其電荷集中于一點的理想化模型。對于實際的帶電體，一般應該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi)，稱其為分布電荷。分布電荷通常用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況，如圖2-2所示。圖2-1庫侖定律用圖圖2-2電荷分布示意圖電荷體密度的含義是，在電荷分布區(qū)域內(nèi)，取體積元ΔV，若其中的電量為Δq，電荷體密度為(2-2)其單位是庫/米3(C/m3)。這里的ΔV趨于零，是指相對于宏觀尺度而言很小的體積，以便能精確地描述電荷的空間變化情況；但是相對于微觀尺度，該體積元又是足夠大，它包含了大量的帶電粒子，這樣才可以將電荷分布看做空間的連續(xù)函數(shù)。我們知道，宏觀物體的帶電量總是電子電荷的整數(shù)倍。一個電子的帶電量是e=－1.60218×10－19C。其實在微觀領域，組成原子核的大多數(shù)粒子的帶電量也是如此。只有在涉及強相互作用，此時尺度小于原子核時，量子色動力學的夸克模型中，組成基本粒子的夸克才帶分數(shù)量值的基本電荷，六種夸克帶電量全是基本電荷的1/3的整數(shù)倍。但是到目前為止，實驗中一直沒有發(fā)現(xiàn)單個的夸克存在，通?？偸怯蓛蓚€或者三個夸克組成一個粒子，而這個組成的粒子的帶電量是基本電荷的整數(shù)倍。如果電荷分布在宏觀尺度h很小的薄層內(nèi)，則可認為電荷分布在一個幾何曲面上，用面密度描述其分布。此時僅僅考慮電荷沿曲面的分布，而不考慮電荷沿曲面厚度方向的變化。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq，則面密度為

(2-3)對于分布在一條細線上的電荷用線密度描述其分布情況。此時僅僅考慮電荷沿曲線的分布，而不涉及電荷沿帶電線的截面的變化。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq

，則線密度為(2-4)2.1.2電場強度

電荷q′對電荷q的作用力，是由于q′在空間產(chǎn)生電場，電荷q在電場中受力。用電場強度來描述電場，空間一點的電場強度定義為該點的單位正試驗電荷所受到的力。在點r

處，試驗電荷q受到的電場力為

F(r)=qE(r)

(2-5)

這里的試驗電荷是指帶電量很小，引入到電場內(nèi)不影響電場分布的電荷。由兩個點電荷間作用力的公式(2-1)，可以得到位于點r′處的點電荷q′在r處產(chǎn)生的電場強度為

(2-6)以后我們將電荷所在點r′稱為源點，將觀察點r稱為場點。如果真空中一共有n個點電荷，則r點處的電場強度可由疊加原理計算。點電荷系統(tǒng)在空間某點產(chǎn)生的電場強度等于各個點電荷單獨在該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和，這稱為電場強度疊加原理。依據(jù)疊加原理，得到點電荷系產(chǎn)生的電場強度為

(2-7)對于體分布的電荷，可將其視為一系列點電荷的疊加，從而得出r點的電場強度為(2-8)同理，面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場強度分別為(2-9)(2-10)

例2-1

一個半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，求軸線上的電場強度。

解取坐標系如圖2-3所示，圓環(huán)位于xoy平面，圓環(huán)中心與坐標原點重合，設電荷線密度為ρl。

由圖可以定出：所以圖2-3例2-1圖例2-2

若上題的圓環(huán)上電荷以ρl=λcosθ的形式分布，重新計算z軸上某點的電場強度。

解把場點選在z=h處，即r=hez，源點與上題一致，

r′=acosθex+asinθey，由電場強度公式，有

考慮到電荷分布的對稱性，可以判斷出上述積分僅僅x分量不為零。積分后得到

2.2高斯定理

2.2.1立體角

如圖2-4所示，立體角是由過一點的射線，繞過該點的某一軸旋轉一周所掃出的錐面所限定的空間。形成立體角錐體可以是圓錐、橢圓錐、三棱錐等任意錐體。如果以點o′為球心、R為半徑作球面，若立體角的錐面在球面截下的面積為S，則此立體角的大小為Ω=S/R2。立體角的單位是球面度(sr)。整個球面對球心的立體角是4π。對于任一個有向曲面S，面上的面積元dS對某點o′的立體角是

(2-11)圖2-4立體角式中r是面積元所處的位置，r′是點o′的位置，R是從點

r′到點r的矢徑，θ是有向面元dS與R的夾角。立體角可以為正，也可以為負，視夾角θ為銳角或鈍角而定。整個曲面S對點o′所張的立體角是

(2-12)若S是封閉曲面，則(2-13)即任意封閉面對其內(nèi)部任一點所張的立體角為4π，對外部點所張的立體角為零。

例2-3

求圓錐頂點處的立體角大小。設圓錐的底面半徑為a，母線為R。

解選取球面坐標系計算，把圓錐的頂點放在坐標原點，如圖2-5所示。設圓錐底面向上的方向為正，此時立體角應是一個正值。由立體角的公式，有其中θ0是底面直徑對頂點所張的平面角的一半，即。圖2-5例2-3圖例2-4

若立方體的邊長為a，求它的一個面相對于其對面的某個頂點所張的立體角。

解選取如圖2-6所示的坐標系，設立方體的頂面向上的一側為正法向，這樣計算的立體角應是一個正值。頂面的有向面元為dS=ezdxdy。選擇底面上位于坐標原點的頂點,計算頂面對于這個頂點所張的立體角。由立體角的計算公式,得

把這個積分變換到圓柱坐標，我們有。由問題的對稱性，僅僅需要在頂面的二分之一區(qū)域積分，即等于直接在三角形上積分，再乘以2即可。注意r從0積到b,且b=a/cosf;而從0積到π/4。這樣，我們有圖2-6例2-4圖

當然，我們也可以根據(jù)對稱性，不必積分，判斷出上述立體角是全空間的1/24，即π/6。2.2.2高斯定理

高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關系。先考慮點電荷的電場穿過任意閉曲面S的通量

(2-14)若q位于S內(nèi)部，上式中的立體角為4π，若位于S外部，上式中的立體角為零。對點電荷系或分布電荷，由疊加原理得出高斯定理為(2-15)上式中，Q是閉合面內(nèi)的總電荷。高斯定理是靜電場的一個基本定理。它說明，在真空中穿出任意閉合面的電場強度通量，等于該閉合面內(nèi)部的總電荷量與ε0之比。應該注意曲面上的電場強度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的，不要錯誤地認為其與曲面S外部的電荷無關。但是外部電荷在閉合面上產(chǎn)生的電場強度的通量為零。一個體積內(nèi)部的電通量為零，只能說明體積內(nèi)的正負電量相等，并不能肯定體積內(nèi)沒有電荷。同樣，一個體積內(nèi)的電通量為正，僅僅是指體積內(nèi)的總電荷為正，并不意味著體積內(nèi)沒有負電荷。反之亦然。以上的高斯定理也稱為高斯定理的積分形式，它說明通過閉合曲面的電場強度通量與閉合面內(nèi)的電荷之間的關系，并沒有說明某一點的情況。要分析一個點的情形，要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為ρ的體分布電荷，則式(2-15)可以寫為

(2-16)式中V是S所限定的體積。用散度定理，可以將上式左面的面積分變換為散度的體積分，即(2-17)由于體積V是任意的，所以有(2-18)這就是高斯定理的微分形式。它說明，真空中任一點的電場強度的散度等于該點的電荷密度與ε0之比。微分形式描述了一點處的電場強度空間變化和該點電荷密度的關系。盡管該點的電場強度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的，可是這一點電場強度的散度僅僅取決于該點的電荷密度，而與其他電荷無關。高斯定理的積分形式，可以用來計算平面對稱、軸對稱及球對稱的靜電場問題。解題的關鍵是能夠將電場強度從積分號中提出來，這就要求找出一個封閉面(高斯面)S，且S由兩部分S1和S2組成，在S1上，電場強度E與有向面元dS平行，E∥dS(或二者之間的夾角固定不變)，并且電場強度的大小保持不變；在S2上，有E·dS=0。這樣就可求出對稱分布電荷產(chǎn)生的場。應該注意，用高斯定理計算電場時，并沒有要求電場的方向和有向面元夾角為零。如圖2-7所示的封閉曲面，也能夠求出平板電容器內(nèi)的電場。圖2-7平板電容器微分形式用來從電場分布計算電荷分布。僅僅對于電荷對稱分布的問題，可以通過高斯定理的微分形式，通過解偏微分方程求解電場。這是因為高斯定理僅僅規(guī)定了電場強度的散度，而通過前面矢量分析的學習，我們知道，一個矢量場是由其散度和旋度確定的。下面我們給出用高斯定理的微分形式計算對稱分布電場的一個例子。例2-5

若總量為Q的電荷以ρ=(Q/2πa2r)的形式分布在半徑為a的球內(nèi)，球外沒有電荷。求電場強度。

解這個題目，可以用高斯定理積分形式求解，也可以通過解電位的泊松方程計算。我們在此用高斯定理的微分形式求解。由于問題是球對稱的，因而球內(nèi)外電場僅僅有徑向分量，且電場只是徑向坐標r的函數(shù)。設球內(nèi)、外電場分別為E1和E2。則有解這兩個方程，得到；。其中A和B是待定常數(shù)。在球內(nèi)，盡管電荷密度當r趨于零時為無窮大，但圍繞球心作一個半徑很小的球面，此球面內(nèi)部的電荷是有限的。并且當剛才的球面半徑趨于零時，其內(nèi)部電荷量也是趨于零的。因而r等于零的點，電場不應該是無窮大。這樣就定出系數(shù)A=0;至于系數(shù)B，我們用r=a的界面兩側，電場連續(xù)(具體的論述，見本章2.6節(jié))，就得到B=Q/(4πε0)。最后得到所求電場是:

在球內(nèi)電場的大小是一個常量，這并不意味著電場的散度為零。因為球面坐標系中，徑向單位矢量不是常矢量，它的散度不為零。實際上，。再次強調(diào)指出，只有電荷分布對稱時，才能用高斯定理的微分形式計算電場。如果不是對稱分布問題，是求解不出電場的。因為電場有三個分量，而微分形式的高斯定理僅是一個散度方程，由一個方程是解不出三個分量的。例2-6

假設在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ0的電荷，求任意點的電場強度。

解本題的電荷分布是球對稱的，電場強度僅有徑向分量Er同時它具有球對稱性質。作一個與帶電體同心、半徑為r的球面，將積分形式的高斯定理運用到此球面上。

當r>a時，

故當r<a時，所以

例2-7

已知半徑為a的球內(nèi)、外的電場強度為求電荷分布。解由高斯定理的微分形式，得電荷密度為用球坐標中的散度公式

可得

2.3靜電場的旋度與靜電場的電位

2.3.1靜電場的旋度

靜電場是一個矢量場，除了要討論它的散度外，還要討論它的旋度。在點電荷及分布電荷的電場強度表示式中，均含有因子(r－r′)/|r－r′|3。以下以體分布電荷產(chǎn)生的電場強度為例，討論它的旋度特性。由于(2-19)可將體電荷的電場強度表示式改寫為(2-20)應注意式中的積分是對源點r′進行，算子是對場點作用，因而可將▽移到積分號外。此式說明，電場強度表示為一個標量位函數(shù)的負梯度，所以有(2-21)即靜電場的旋度恒等于零，這表明靜電場是無旋場。2.3.2電位

如上所述，可用一個標量函數(shù)的負梯度表示電場強度。這個標量函數(shù)就是電場的位函數(shù)，簡稱為電位，電位φ的定義由下式確定

(2-22)電位的單位是伏(V)，因此電場強度的單位是伏/米(V/m)。體分布的電荷在場點r處的電位是(2-23)線電荷和面電荷的電位與上式相似，只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應的改變。對于位于源點r′處的點電荷q，其在r處產(chǎn)生的電位是

(2-24)式(2-23)和式(2-24)中本來還要加上一個常數(shù)。為簡單計，取這個常數(shù)為零。因為靜電場是無旋場,其在任意閉合回路的環(huán)量為零,即(2-25)這表明，靜電場是一個保守場，它沿某一路徑從P0點到P點的線積分與路徑無關，僅僅與起點和終點的位置有關。下面討論電場強度沿某一路徑的線積分(2-26)因為

(2-27)故(2-28)或(2-29)通常，稱j(P)－j(P0)為P與P0兩點間的電位差(或電壓)。一般選取一個固定點，規(guī)定其電位為零，稱這一固定點為參考點。當取P0點為參考點時，P點處的電位為當電荷分布在有限的區(qū)域時，選取無窮遠處為參考點較為方便。此時(2-30)

2.3.3電位微分方程

下面分析電位的微分方程。將

代入高斯定理的微分形式得到(2-31)上面的方程稱為泊松方程，若討論的區(qū)域ρ=0，則電位微分方程變?yōu)?2-32)以上形式的二階偏微分方程稱為拉普拉斯方程。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為三維空間的調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)的最大特點是，在任意的區(qū)域內(nèi)，它既無極大值，也無極小值。它在區(qū)域的邊界上達到極值。上述方程中的▽2在直角坐標系里為

關于拉普拉斯方程的一般求解方法將在靜態(tài)場的解一章中討論。例2-8

位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標原點的帶電圓盤，面電荷密度為ρS，如圖2-8所示，求z軸上的電位。圖2-8均勻帶電圓盤解由面電荷產(chǎn)生的電位公式

以上結果是z>0的結論，對任意軸上的任意點，電位是例2-9

求上題中均勻帶電圓盤邊緣處的電位。解由于問題是旋轉對稱的，邊緣上各個點的電位一致。選場點A，在直角坐標系中，它的坐標為x=－a，y=0，z=0。如圖2-9所示。圖2-9圓盤邊緣電位

這個積分，如果直接積，比較繁瑣。我們把坐標平移，選一個新的平面極坐標系。它的原點就選剛才的場點，徑向坐標用R表示，角度用θ表示。由坐標系變換的雅克比行列式得到dxdy=r′dr′df=RdRdθ。注意到圓周在新坐標系的方程為R=2acosθ，角度θ的取值范圍為－90°~90°；則把這個結果和上一個題目比較，可以知道，均勻帶電圓盤不是一個等位面。如果帶電圓盤是導體，其上面的電荷分布必然是不均勻的。

例2-10

半徑為a的均勻帶電導體球面(如圖2-10所示)，所得電量為Q，求導體球內(nèi)外任一點的電位。

解容易得出導體面上的電荷密度為，根據(jù)面電荷所產(chǎn)生的電位表達式由于電荷分布是球對稱的，其產(chǎn)生的電位也是球對稱的。我們把場點選在坐標的z軸上，即場點的位置為r=rez；源點在球面坐標系的位置為r′=(a，θ′，f′)。因而，我們有

圖2-10均勻帶電球面考慮到問題的對稱性，先對方位角f′積分，得到

這樣，就有由余弦定理得R2=r2+a2－2arcosθ′，對其微分，注意，此時a和r是不變的，僅僅角度θ′變化，我們有RdR=arsinθ′dθ′。當場點位于導體球外部時，r>a，電位為當場點位于導體球內(nèi)部或在球面上時，r≤a，電位為

這個結果表明，均勻帶電球面在球外產(chǎn)生的電位，相當于位于球心等量電荷在球外產(chǎn)生的電位。同樣，這個題目也可采用對稱性，由高斯定理計算，而不必積分。例2-11

求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。

解在前面我們計算了均勻帶電球體的電場，由此可求出電位。當r>a

時

當r<a時我們把上述結果和采用電位積分公式比較，會得出一個很有用的積分公式，即(2-33)這個公式，在分析平方反比場的位函數(shù)時很有用。比如均勻帶電球體的電位或者質量均勻球對稱分布的引力勢，都會碰到這個積分。例2-12

若半徑為a的導體球面的電位為V0

，球外無電荷，求空間的電位。

解可以通過求解電位的微分方程計算電位。對于一般問題，電位方程是二階偏微分方程，但是對于本題，因其是對稱的，就簡化為常微分方程。顯然電位僅僅是變量r的函數(shù)。球外的電位用j表示。

將以上方程寫成球坐標的形式，即對以上方程積分一次，得

即再對其積分一次，得到這里出現(xiàn)的兩個常數(shù)通過導體球面上的電位和無窮遠處的電位來確定，在導體球面上，電位為V0，無窮遠處電位為零。分別將r=a，r=∞代入上式，得這樣解出兩個常數(shù)為C1=－aV0，C2=0，所以

2.4電偶極子

2.4.1電偶極子的電位和電場

電偶極子是指由間距很小的兩個等量異號點電荷組成的系統(tǒng)，如圖2-11所示。真空中電偶極子的電場和電位可用來分析電介質的極化問題。用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向，它定義為電荷q乘以有向距離l

，即

p=ql

(2-36)

電偶極矩是一個矢量，它的方向是由負電荷指向正電荷。電偶極矩的單位是庫侖乘以米(C·m)。在分析分子、原子等微觀問題時常采用德拜(D)作為偶極矩的電位,1C·m=3×1029D。圖2-11電偶極子下面分析電偶極子的電位和電場。取電偶極子的軸和z軸重合，電偶極子的中心在坐標原點。電偶極子在空間任意點r的電位為

其中，r1和r2分別表示場點r與q和－q的距離。當l<<r

時，我們有：對于上述表達式，我們進行近似處理。首先r1r2≈r2；其次，當場點到坐標系原點的距離遠大于偶極子的長度，即l<<r時,分別從正負電荷到場點的連線近似認為是平行的。這樣就有：

r2－r1≈lcosθ

同樣，這個結果也可以由余弦定理計算出上述各個距離，再作級數(shù)展開，忽略高階無窮小量，可得出與上面的公式一致的結果。從而有

(2-37)或(2-38)其電場強度在球坐標中的表示式為(2-39)電偶極子的等位面方程為r2=Acosθ；而其電力線方程為r=Bsin2θ。上面兩個公式中的A和B是常數(shù)，令其取不同的值，就可以做出電偶極子在子午面內(nèi)的等位線和電力線。

例2-13

如圖2-12所示的帶電系統(tǒng)，表示一個電四極子。位于原點的電荷是－2Q，位于z=s的電荷是Q，位于z=－s的電荷是Q。求其產(chǎn)生的電位。

解

由于s遠小于r，我們把R1和R2展開，保留s2/r2項，忽略其他高階項。我們有圖2-12電四極子

最后得到其等位面方程為r3=C(3cos2θ－1)，其中C是正實數(shù)。當cos2θ>1/3時，電位為正；當cos2θ<1/3時，電位為負；當cos2θ=1/3時，電位為零。其在子午面內(nèi)等位線如圖2-12(b)所示。圖中的帶陰影的區(qū)域電位為負，不帶陰影區(qū)域電位為正。

例2-14

平面偶極子由兩個彼此平行，且?guī)в械攘慨愄柧€電荷的無窮長直導線構成(如圖2-13所示)。設帶正電荷的導線位于xoy平面x=s的地方，帶負電的導線位于x=－s

處。求其電位。

解設導線的電荷線密度為±ρl，則其電位為

圖2-13平面偶極子

其中ρ和f是圓柱坐標中的半徑和方位角。當s<<ρ時，其中2sρl是平面偶極子的電偶極矩。無窮長帶電直導線產(chǎn)生的電場與距離(即二維半徑)成反比，平面偶極子產(chǎn)生的電位與距離成反比，它的電場與距離平方成反比。在三維情形下，電偶極子的電位和電場分別與r2和r3成反比，單個點電荷的電位和電場分別與r和r2成反比。這是因為在遠區(qū)，正負電荷產(chǎn)生的電場有一部分相互抵消的緣故。電偶極子的場分布具有軸對稱性。同理，由兩個大小相等，反平行放置且二者之間的間距很小的電偶極子組成的帶電系統(tǒng)，叫做電四極子。電四極子的電位和電場分別與r3和r4成反比。依此類推，可以求出電多極子等的電位和電場。例2-15

若四個帶電直導線均與xoy平面垂直。位于原點的導線的電荷密度為－3λ，其余三個導線帶電相同，均為λ，且這些帶正電的導線均勻分布在半徑為a的圓周上，如圖2-14所示，求電位。

解把從三個正電荷出發(fā)的平面向量分布記為Ra、Rb、Rc，從圓心出發(fā)的向量記為R。由直導線的電位公式，該帶電系統(tǒng)的電位為

由余弦定理，把上述公式中分母的各個距離用場點表示，就有圖2-14平面電八極子

由于a遠小于ρ，s=a/ρ，把上述三項各項近似展開，保留s的三次及其三次以下各項，忽略掉次要項。由于R2a/ρ2=1－2scosf+s2，因而ln(R2a/ρ2)=ln[1－(2scosf－s2)]，使用公式對于Rb和Rc作同樣的處理。我們令并且有如下關系式：

把其化簡，忽略次要項，最后得到這樣的帶電系統(tǒng)，是一個平面電八極子，式中ρ為圓柱坐標的徑向，而λa3是平面八極子的電八極矩。其等位線為ρ3=Acos3f，其中A是常數(shù)。在半徑固定的圓周上，當f=0、2π/3、4π/3時電位達到正的最大值；當f=π/3、π、5π/6時，電位取負的極大值。其等位線如圖2-14(b)所示。其中實線表示正電位，點畫線表示負電位。2.4.2外電場中的偶極子

我們不加推導的直接給出電偶極子在外電場中受到的力及其力矩。電偶極子在外電場中所具有的電場能量為We=

－E·p=－Epcosθ。其中θ是外電場與電偶極子取向之間的夾角。其在外電場中受到的力矩為T=－Epsinθ。在均勻外電場中受力為零，在非均勻外電場中受力為

。

2.5電介質中的場方程

2.5.1介質的極化

電介質中有靜電場時，必須考慮電場與電介質的相互作用所引起的影響。電介質在電結構方面的特性是電子與原子核的結合力相當大，彼此之間相互束縛著。在外加電場的作用下，組成電介質的分子內(nèi)電荷，只能在微觀范圍內(nèi)移動，即在一個分子的尺度內(nèi)移動。電荷不能從電介質中的某點移動到另外一點。與電介質相反，導體中的電荷能夠在導體內(nèi)部和表面上移動。外加電場使電介質中的電荷發(fā)生移動，正電荷向電場方向位移，而負電荷向相反方向位移，從而使正負電荷相互分離，使電介質內(nèi)產(chǎn)生一個附加的電場，這種現(xiàn)象稱為電介質的極化。任何物質的分子或原子都是由帶負電的電子和帶正電的原子核組成。依其特性可分為極性分子和非極性分子。非極性分子是指分子的正負電荷中心重合，無外加電場時，分子偶極矩為零的分子，如H2，N2，CCl4等分子。極性分子是指分子的正負電荷中心不重合，無外加電場時，分子偶極矩不為零，本身具有一個固有極矩的分子，如H2O分子。

介質的極化一般分為三種情況。分別叫做電子極化，離子極化，取向極化。

1.電子極化

電子極化是指組成原子的電子云在電場的作用下，電子云相對于原子核發(fā)生位移，形成附加的電偶極矩。單原子分子，比如He和Ne，它們的簡單模型是在其中心有一個帶正電荷的原子核，原子核的周圍是帶負電的對稱分布的電子云。無外加電場時，分子的電偶極矩為零。加上外電場時，電子云相對于原子核作彈性位移，從而產(chǎn)生一個附加電場。這種極化稱為電子極化。

2.離子極化

有些物質，比如H2和N2，是由兩個或者多個原子，依靠離子鍵結合的。外電場使正負離子相互分離，從而使分子的電偶極矩不為零。這種極化稱為離子極化。許多物質的離子極化，當外加電場消失以后，能夠永久存在。這種現(xiàn)象叫做永久極化。鐵電物質和駐極體都能夠永久極化，類似于永久磁鐵。

3.取向極化

許多物質，比如有機酸等，它們的分子至少包含兩種不同的原子，其中一種原子的外圍電子全部或部分轉移到另外原子上，結果正負電荷中心不重合，每個分子具有永久電矩。這種分子，稱為極性分子。極性分子本身具有固有電偶極矩，由于分子的熱運動，使各個分子的電偶極矩雜亂無章地排列，從而使其合成電矩為零。但是在電場作用下，雖然外電場對極性分子的合力為零，但極性分子受到的力矩并不為零。這個力矩使分子偶極矩發(fā)生轉動，平衡時，分子電矩和外加電場方向一致。這種極化叫做取向極化。單原子的電介質只有電子極化；所有化合物都存在離子極化和電子極化；一些化合物同時存在三種極化。

在極化介質中，每一個分子都是一個電偶極子，整個介質可以看成是真空中電偶極子有序排列的集合體。用極化強度表征電介質的極化性質，極化強度是一個矢量，它代表單位體積中電矩的矢量和。假設體積元ΔV里分子電矩的總和為∑p，則極化強度P為

(2-40)極化強度的單位是C/m2。2.5.2極化介質產(chǎn)生的電位

當一塊電介質受外加電場的作用而極化后，就等效為真空中一系列電偶極子。極化介質產(chǎn)生的附加電場實質上就

是這些電偶極子產(chǎn)生的電場。如圖2-15所示，設極化介質的體積為V，表面積是S，極化強度是P。現(xiàn)在計算介質外部任一點的電位。在介質中r′處取一個體積元ΔV′，因|r－r′|遠大于ΔV′的線度，故可將ΔV′中介質當成一偶極子，其偶極矩為p=PΔV′，它在r處產(chǎn)生的電位是(2-41)圖2-15極化介質的電位整個極化介質產(chǎn)生的電位是上式的積分(2-42)對上式進行變換，利用關系式變換為(2-43)再利用矢量恒等式令，A=P，則(2-44)式中，n是S上某點的外法向單位矢量，上式的第一項與面分布電荷產(chǎn)生的電位表示式形式相同，第二項與體分布電荷產(chǎn)生的電位表達式形式相同，P(r′)·n和分別有面電荷密度和體電荷密度的量綱，因此極化介質產(chǎn)生的電位可以看做是等效體分布電荷和面分布電荷在真空中共同產(chǎn)生的。等效體電荷密度和面電荷密度分別為

這個等效電荷也稱為極化電荷，或者稱為束縛電荷。在實際計算時，我們一般把公式(2-45)寫為下述形式：(2-45)(2-46)(2-47)在以上的分析中，場點是選取在介質外部，可以證明，上面的結果也適用于極化介質內(nèi)部任一點的電位的計算。有了電位表達式，就能求出極化介質產(chǎn)生的電場。實際上，以上的電位電場，僅僅考慮的是束縛電荷產(chǎn)生的那一部分，空間的總電場應該再加上自由電荷(也就是外加電荷)產(chǎn)生的電場。例2-16

一個半徑為a的均勻極化介質球(如圖2-16所示)，極化強度是P0ex求極化電荷分布及介質球的電偶極矩。

解取球坐標系，讓球心位于坐標原點。極化電荷體密度為極化電荷面密度為分布電荷對于原點的偶極矩由下式計算(附帶說明一下，一個帶電系統(tǒng)的電偶極矩，與選取的參考點無關，也就是說，可以選取任意點作為參考點來計算電偶極矩。我們在此是選坐標的原點為電偶極矩的參考點):圖2-16極化介質球

積分區(qū)域D是電荷分布的區(qū)域。如果是體分布，作體積分；同樣對于線電荷或者面電荷，作相應的積分。對于此問題，我們有

，代入球面上的各量最后得出其實，由于本問題是均勻極化，等效偶極矩肯定等于極化強度與體積之積。例2-17

計算上述均勻極化球所產(chǎn)生的電位。

解依照公式(2-43)，則有在上述推導中，采用了關系式；又考慮到積分時，是以帶撇的量為變量計算的，而求偏導數(shù)是對于不帶撇的量進行的。所以可以把求偏導數(shù)提到積分外面。在采用我們前面計算均勻分布球對稱電荷的電位時得到的積分公式(2-33)，即

這樣，在介質球外部，我們有考慮到z=rcosθ，容易得出，因而，有如下關系式:

至于球內(nèi)電位，同樣容易得出求電位的負梯度就可以得到電場。介質球外部的電位和電場，等于在球心處放置一個電偶極矩為ez4πa3P0/3的偶極子產(chǎn)生的。至于球內(nèi)電場，則是一個均勻場，且E=－ezP0/3ε0。當空間存在兩種不同的電介質時，界面上的束縛電荷密度為ρSP=－n·(P2－P1)，式中n是界面上從區(qū)域1到區(qū)域2的法向單位矢量。2.5.3介質中的場方程

在真空中高斯定理的微分形式為，其中的電荷是指自由電荷。如前述，極化介質產(chǎn)生的電場等效于束縛電荷的影響，因此，在電介質中，高斯定理的微分形式可寫為

(2-48)將代入，得這表明，矢量ε0E+P的散度為自由電荷密度，稱此矢量為電位移矢量(或電感應強度矢量)，并記為D，即(2-49)于是，介質中高斯定理的微分形式為

(2-50)在介質中，電場強度的旋度仍然為零。將介質中靜電場的方程歸納如下(2-51)(2-52)與其相應的積分形式是(2-53)(2-54)

2.5.4介電常數(shù)

在分析電介質中的靜電問題時，必須知道極化強度P與電場強度E之間的關系。P與E之間的關系由介質的固有特性決定，這種關系稱為組成關系。如果P和E同方向，就稱為各向同性介質，若二者成正比，就稱為線性介質。實際應用中的大多數(shù)介質都是線性各向同性介質，其組成關系為(2-55)式中χe為極化率，是一個無量綱常數(shù)。從而有(2-56)稱εr為介質的相對介電常數(shù)，稱ε為介質的介電常數(shù)。在線性介質中，電場強度越大，極化強度越大。但在電介質中，電場不能任意增大。如果超過某一數(shù)值，就會發(fā)生火花放電。這種現(xiàn)象叫做電介質的擊穿。在不發(fā)生火花放電的條件下，介質能夠承受的最大電場，叫做介質的擊穿強度。不同的材料，擊穿強度不同。比如，空氣為3×106V/m；而云母為2×108V/m。

對于均勻介質(ε為常數(shù))，電位滿足如下的泊松方程(2-57)在自由電荷為零的區(qū)域，電位滿足拉普拉斯方程。例2-18

一個半徑a的導體球，帶電量為Q，在導體球外套有外半徑為b的同心介質球殼，殼外是空氣，如圖2-17所示。求空間任一點的D、E、P以及束縛電荷密度。

解因導體及介質的結構是球對稱的，要保持導體球內(nèi)的電場強度為零，顯然自由電荷及其束縛電荷的分布也必須是球對稱的。從而，D、E、P的分布也是球對稱的。即自由電荷均勻分布在導體球面上，D在徑向方向，且在與導體球同心的任一球面上D的數(shù)值相等。用介質中的高斯定理的積分形式，取半徑為r并且與導體球同心的球面為高斯面，得圖2-17例2-18圖介質內(nèi)(a<r<b)

介質外(b<r)P=0介質內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度介質外表面(r=b)的束縛電荷面密度

2.6靜電場的邊界條件

不同的電介質的極化性質一般不同，因而在不同介質的分界面上靜電場的場分量一般不連續(xù)，場分量在界面上的變化規(guī)律叫做邊界條件。以下我們由介質中場方程的積分形式導出邊界條件。

如圖2-18所示，分界面兩側的介電常數(shù)分別為ε1、ε2，用n表示界面的法向，并規(guī)定其方向由介質1指向介質2?？梢詫和E在界面上分解為法向分量和切向分量，法向分量沿n方向，切向分量與n垂直。先推導法向分量的邊界條件。在分界面兩側作一個圓柱形閉合曲面，頂面和底面分別位于分界面兩側且都與分界面平行，其面積為ΔS，將介質中積分形式的高斯定理應用于這個閉合面，然后令圓柱的高度趨于零，此時在側面的積分為零，于是有

即

n·(D2－D1)=ρS

(2-58)或

D2n－D1n=ρS

(2-59)其中ρS表示分界面上的自由面電荷密度。上式說明，電位移矢量的法向分量在通過界面時一般不連續(xù)。如果界面上無自由電荷分布，即在ρS=0時，邊界條件變?yōu)?2-60)(2-61)這說明在無自由電荷分布的界面上，電位移矢量的法向分量是連續(xù)的。圖2-18法向邊界條件現(xiàn)在推導電場強度切向分量的邊界條件。設分界面兩側的電場強度為E1、E2，如圖2-19所示，在界面上作一個狹長矩形回路，兩條長邊分別在分界面兩側，且都與分界面平行，作電場強度沿該矩形回路的積分，并令矩形的短邊趨于零，有因為Δl2=l°Δl

，Δl1=－l°Δl，l°是單位矢量，上式變?yōu)?E2－E1)·l°=0，注意到n⊥l°，故有

n×(E2－E1)=0

(2-62)或

E2t=E1t

圖2-19切向邊界條件

這表明，電場強度的切向分量在邊界面兩側是連續(xù)的。邊界條件可以用電位來表示。電場強度的切向分量連續(xù)，意味著電位是連續(xù)的，即(2-63)由于(2-64)(2-65)法向分量的邊界條件用電位表示為在ρS=0時，電位在界面兩側一般是連續(xù)的，如圖2-20所示。但是當界面上有電偶層時，電位不連續(xù)。電偶層是指兩個帶有等量異號電荷的薄板，間距s很小，電荷面密度很大，且電荷密度乘以間距s是一個常數(shù)。最后，分析電場強度矢量經(jīng)過兩種電介質界面時，其方向的改變情況。設區(qū)域1和區(qū)域2內(nèi)電力線與法向的夾角分別為θ1、θ2

，由式(2-61)和式(2-62)得出

另外，在導體表面，邊界條件可以簡化。導體內(nèi)的靜電場在靜電平衡時為零，設導體外部的場為E、D

，導體的外法向為n，則導體表面的邊界條件簡化為Et=0

(2-66)Dn=ρS

(2-67)圖2-20界面處的場分布例2-19

同心球電容器的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，其間填充兩種介質，上半部分的介電常數(shù)為ε1，下半部分的介電常數(shù)為ε2，如圖2-21所示，設內(nèi)外導體帶電分別為q

和－q

，求各部分的電位移矢量和電場強度。

解兩個極板間的場分布要同時滿足介質分界面和導體表面的邊界條件。因為內(nèi)外導體均是一個等位面，可以假設電場沿徑向方向，然后再驗證這樣的假設滿足所有的邊界條件。

要滿足介質分界面上電場強度切向分量連續(xù)，上下兩部分的電場強度應滿足

E1=E2=Ear圖2-21例2-19圖在半徑為r的球面上作電位移矢量的面積分，有2πε1r2E1+2πε2r2E2=2π(ε1+ε2)r2E=q可以驗證，這樣的場分布也滿足介質分界面上的法向分量和導體表面的邊界條件。

2.7導體系統(tǒng)的電容

2.7.1靜電場中的導體

導體是指內(nèi)部含有大量自由電荷的物質。常見的導體有兩類：一類是依靠電子導電的，如金屬等；另一類是依靠離子導電的，如酸、堿、鹽的溶液等。在靜電場這一章中，我們主要討論金屬導體，至于離子型導體，我們放在恒定電流場的章節(jié)中討論。一般的金屬中，自由電子濃度很大，數(shù)量級大約為1029個/m3，因而金屬的電導率很大，大約為106～108S/m。并且其電導率隨溫度的降低而增大，在極低的溫度下，有些金屬的電阻幾乎降低到零，從而變?yōu)槌瑢w。當導體不帶電，并且也不受外電場影響時，電子會在導體內(nèi)不斷地無規(guī)則熱運動，但是從整體上看，導體內(nèi)部自由電子所帶的負電荷與導體的原子核所帶正電荷數(shù)量相等，從而使得導體呈現(xiàn)電中性。

在施加外電場時，導體內(nèi)部的自由電子要重新分布。在靜電平衡時，導體內(nèi)部電場為零，導體本身是一個等位體，其表面是一個等位面，從而使得導體內(nèi)部無電荷，電荷只分布在導體的表面。表面電荷密度一般不是常數(shù)，與導體的形狀有關，與導體外的其他帶電體也有關。在各自帶電量一定的多導體系統(tǒng)中，每個導體的電位及其電荷面密度完全由各導體的幾何形狀、相對位置和導體間介質的特性等系統(tǒng)結構參數(shù)決定，為了描述這種關系，需要引入電位系數(shù)、電容系數(shù)及部分電容的概念。2.7.2電位系數(shù)

在n個導體組成的系統(tǒng)中，空間任一點的電位由導體表面的電荷產(chǎn)生。同樣，任一導體的電位也由各個導體的表面電荷產(chǎn)生。由疊加原理可知，每一點的電位由n部分組成。導體j對電位的貢獻正比于它的電荷面密度ρSj，而ρSj又正比于導體j

的帶電總量，因而，導體j對導體i的電位貢獻可寫為

jij=pijqj

導體i的總電位應該是整個系統(tǒng)內(nèi)所有導體對它的貢獻的疊加，即導體i的電位為

(2-68)將其寫成線性方程組，有(2-69)或寫成矩陣形式(2-70)其中[j]=[j1，j2，…，jn]T和[q]=[q1，q2，…，qn]T是n×1列矩陣，[p]是n×n方矩陣，這一方陣的元素pij稱為電位系數(shù)。電位系數(shù)pij的物理意義是:導體j帶1庫侖的正電荷，而其余導體均不帶電時導體i上的電位便是電位系數(shù)。由電位系數(shù)的定義可知，導體j帶正電，電力線自導體j出發(fā)，終止于導體i或終止于地面，又由于導體i不帶電，有多少電力線終止于它，就有多少電力線自它發(fā)出，所發(fā)出的電力線不是終止于其他導體上，就是終止于地面。電位沿電力線下降，其他導體的電位一定介于導體j的電位和地面的電位之間，所以(2-71)電位系數(shù)具有互易性質，即(2-72)pij=pji2.7.3電容系數(shù)和部分電容

多導體系統(tǒng)的電荷可以用各個導體的電位來表示，即將式(2-70)改寫為

(2-73)其中，[β]是[p]的逆矩陣，其矩陣元素(2-74)式中，Δ是矩陣[p]的行列式，Mij是行列式中pij的代數(shù)余子式。將式(2-73)寫成方程組，有(2-75)

稱βij為電容系數(shù)。它的物理意義是，導體j的電位為1V，其余導體均接地，這時導體i上的感應電荷量為βij。由電容系數(shù)的定義，導體j的電位比其余導體的電位都高，所以電力線從導體j發(fā)出終止于其他導體或地，就是說j帶正電，其余導體帶負電。根據(jù)電荷守恒定律，n個導體上的電荷再加上地面的電荷為零，這樣其余n－1個導體所帶電荷總和的絕對值必定不大于導體j的電荷量，由此可推出(2-76)(2-77)(2-78)將式(2-75)改寫成

(2-79)令(2-80)(2-81)則上式變?yōu)?2-82)這表明，每個導體上的電荷均由n部分組成。而其中的每一部分，都可以在其他導體上找到與之對應的等值異號電荷。如導體1上的C12(j1－j2)這部分電荷，在導體2上有一部分電荷C21(j2－j1)與之對應。仿照電容器電容的定義，比例系數(shù)C12是導體1和導體2之間的部分電容。一般而言，Cij是導體i和j之間的互部分電容，Cii是導體i的自部分電容，也就是導體i和地之間的部分電容。部分電容也具有互易性，且為非負值，即

(2-83)(2-83)Cij=CjiCij≥0三個導體的部分電容如圖2-22所示。圖2-22部分電容兩個導體所組成的系統(tǒng)是實際中廣泛應用的導體系統(tǒng)。若兩個導體分別帶電Q、－Q，且它們之間的電位差不受外界影響，則此系統(tǒng)構成一個電容器。電路理論中的電容器實際上就是這種模型。電容器的電容C與電位系數(shù)的關系為

(2-85)例2-20

導體球及與其同心的導體球殼構成一個雙導體系統(tǒng)，若導體球的半徑為a，球殼的內(nèi)半徑為b，殼的外半徑是d，如圖2-23所示，求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。解先求電位系數(shù)。設導體球帶電量為q1，球殼帶總電荷為零，無限遠處的電位為零，由對稱性可得圖2-23例2-20圖

因此有再設導體球的總電荷為零，球殼帶電荷為q2，可得因此

電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣，故有部分電容為由于內(nèi)部的導體球被導體球殼包圍，因而有p12=p22，以及C11=0。這說明導體球殼以外的電場并不影響球殼內(nèi)部的電場，如果外部分布著電荷，僅僅會使內(nèi)部的各個點電位同時升高一個常數(shù)。若再把外殼接地，此時，外部和內(nèi)部彼此互不影響。靜電屏蔽就是這種情形。例2-21

假設真空中兩個導體球的半徑都為a，兩球心之間的距離為d，且d>>a，求兩個導體球之間的電容。

解因為兩個導體球心間的距離遠大于導體球的半徑，球面的電荷可以看做是均勻分布。再由電位系數(shù)的定義，可得

代入電容器的電容表示式(2-85)，得例2-22

空氣中有兩個導體球，如圖2-24所示，半徑分別為a和b，兩個球心的距離為c，且c>>a，c>>b。把兩個導體球用一根極細的導線連接在一起。設這個系統(tǒng)的帶電量為Q，求兩個導體球各自所帶電荷及表面上的電荷密度。

解設兩個導體球帶電分別為Q1和Q2，根據(jù)電位系數(shù)的定義，我們有

求解上述方程，得出圖2-24例2-22圖仿照上題，容易求出當c>>a，c>>b時，Q1=(a/b)Q2，即Q1/Q2=a/b。這說明，導體球越大，所帶電荷越多。但是，導體上的電荷面密度，卻是導體球半徑越小，電荷密度越大。把上述電荷除以導體球各自的面積(導體球的面積分別為4πa2和4πb2)，這樣就有ρS1/ρS2=b/a?？梢姡瑢τ诖藛栴}，導體球面上的電荷密度與其半徑成反比。對于復雜形狀的導體，表面曲率大的地方密度大，曲率小的地方電荷密度小。如圖2-25所示，導體面尖銳部分的電力線越密集。至于電荷分布和表面曲率的關系，一般沒有解析表達式，這是因為，導體上的電荷分布，不僅與導體自己的形狀有關，而且還與周圍其他帶電體有關。圖2-25尖端放電例2-23

一條同軸線，內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導體之間填充兩種絕緣材料(a<r<r0的介電常數(shù)為ε1，r0<r<b的介電常數(shù)為ε2)，如圖2-26所示，求單位長度的電容。

解設內(nèi)、外導體單位長度帶電分別為ρl、－ρl，內(nèi)、外導體間的場分布具有軸對稱性。由高斯定理可求出內(nèi)、外導體間的電位移為

各區(qū)域的電場強度為圖2-26例2-23圖

內(nèi)、外導體間的電壓為因此，單位長度的電容為如果僅僅有兩個導體，則由它們組成的電容器的電容為C=C12+C11C22/(C11+C22)。這是因為類似于圖2-22，每個導體和零電位的參考面之間存在C11和C22。只有靜電屏蔽狀態(tài)下，電容器的電容才等于兩個導體之間的互部分電容C12。

2.8電場能量與能量密度

2.8.1點電荷系統(tǒng)的靜電能

首先分析兩個點電荷系統(tǒng)的靜電能。假設兩個點電荷系統(tǒng)是建立在空間無任何電荷的情況下，把點電荷q1從無窮遠處搬運到位置r1，這一過程無需外力做功；接著把電荷q1從無窮遠處搬運到r2，在這個過程中，外力做的功就是q2的電位能，即兩個點電荷系統(tǒng)的能量，其值為We1=q2j21=(q2q1)/4πε0|r2－r1|。其中j21是電荷q1在電荷q2的位置處的電位。當然，我們也可以把上述過程反過來，先搬運電荷q2，后搬運電荷q1。這樣系統(tǒng)的靜電能為

。因為一個系統(tǒng)的靜電能與建立過程無關，在這里忽略掉了由放電產(chǎn)生的焦耳熱損耗，也忽略了摩擦力的影響。從而，使得系統(tǒng)的能量可以改寫為

(2-86)同理，可以把n個點電荷系統(tǒng)的電位能寫為(2-87)式中，jj是第j個電荷處由其他電荷所產(chǎn)生的電位，但不包含該電荷自己產(chǎn)生的電位。這是因為點電荷模型意味著它自己在其位置產(chǎn)生的電場和電位均是無窮大。

電位能可以為正，也可以為負。以兩個電荷為例，當電荷同號時，電位能為正。這是因為，同號電荷之間的作用力是排斥力，要把兩個同號電荷同時從無窮遠處搬運到給定位置，外力必須做功。當兩者異號時，它們之間的力是吸引力，外力不僅不做功，電場力反而對外界做功。例2-24

甲烷(CH4)分子的簡單模型如圖2-27所示，在正四面體的頂點各有一個基本正電荷e，在正四面體的中心有四個基本負電荷，設四面體的外接球半徑為a，求單個甲烷分子的靜電能。

解容易求出四面體的棱長b=2a/。位于中心的碳原子帶電為－4e，且與四個氫原子距離相同，容易求出碳原子的靜電能為－16e2/8πε0a；至于氫原子，由于對稱，單個氫原子的靜電能再乘以4即可。

任何一個氫原子與其他三個氫原子的距離相等，都等于b，氫原子與碳原子的距離為a，這樣單個氫原子的靜電能為

圖2-27甲烷分子模型最后，把單個氫原子的靜電能乘以4，再和碳原子的靜電能相加，最終得出一個甲烷分子的靜電能為。2.8.2分布電荷系統(tǒng)的靜電能

靜電能的表達式可以推廣到分布電荷的情形。對于體分布電荷，可將其分割為一系列體積元ΔV，每一體積元的電量為ρΔV，當ΔV趨于零時，得到體分布電荷的能量為

(2-88)式中，j為電荷所在點的電位。同理，面電荷和線電荷的電場能量分別為(2-89)(2-90)式(2-89)也適用于計算帶電導體系統(tǒng)的能量。帶電導體系統(tǒng)的能量也可以用電位系數(shù)或電容系數(shù)來表示(2-91)(2-92)如果電容器極板上的電量為±q，電壓為U，則電容器內(nèi)儲存的靜電能量為(2-93)2.8.3能量密度

電場能量的計算公式(2-90)計算的是靜電場的總能量，這個公式容易造成電場能量儲存在電荷分布空間的印象。事實上，只要有電場的地方，移動帶電體都要做功。這說明電場能量儲存于電場所在的空間。以下分析電場能量的分布并引入能量密度的概念。

設在空間某區(qū)域有體電荷分布和面電荷分布，體電荷分布在導體以外和無窮遠參考面以內(nèi)的區(qū)域V內(nèi)，而面電荷分布在導體表面S上，如圖2-28所示，該系統(tǒng)的能量為

(2-94)圖2-28能量密度將和D·n=ρS代入上式，有

(2-95)考慮到區(qū)域V以外沒有電荷，故可以將體積分擴展到整個空間,而面積分仍在導體表面進行。利用矢量恒等式則

將上式代入式(2-97)，并且注意在導體表面S上，n=－n′，得(2-96)式中，V已經(jīng)擴展到無窮大，故S′在無窮遠處。對于分布在有限區(qū)域的電荷，j∝1/R，D∝1/R2，S′∝R2，因此當R→∞時，上式中的面積分為零，于是(2-97)式中的積分在電場分布的空間進行，被積函數(shù)(1/2)E·D從物理概念上可以理解為電場中某一點單位體積儲存的靜電能量，稱為靜電場的能量密度，以We表示，即(2-98)對于各向同性介質

(2-99)例2-25

若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計算電場能量。

解用高斯定理可以得到電場為所以如果用式(2-90)在電荷分布空間積分，其結果與此一致。例2-26

極性分子的簡單模型為一個均勻極化的球體，計算電場能量。

解在前面學習介質極化時，我們得到均勻極化球體的束縛電荷、電位和電場。

至于球內(nèi)電位，同樣容易得出球面上的束縛電荷密度ρSP=P0cosθ；球面上的電位是j=(P0/3ε0)acosθ。采用電位能公式，有：我們再采用電場能量密度計算。球內(nèi)場是均勻的，容易得出球內(nèi)能量為；同樣對于球外電位，求它的負梯度，得到電場，然后在整個球外從球面積分到無窮大，得到；可以驗證，用兩個公式計算結果是一致的。盡管采用靜電場的電位能公式與電場能量密度公式計算結論一致，但要強調(diào)指出，能量密度公式更具有普遍的本質上的物理意義。能量密度公式可以推廣到任意時變場，而電位能的公式，只有頻率較低時，才正確。當頻率很高時不能用電位能的公式計算能量。比如可見光、X射線及γ射線等，都具有能量但是卻沒有電荷分布，當然也沒有電位的概念。因為電位的概念，本質上講，僅在頻率較低時可以使用。頻率很高時找不出與電路對應的回路和節(jié)點。沒有回路和節(jié)點，自然回路電壓定律和節(jié)點電流定律都是不成立的。由能量密度公式可以看出，整個系統(tǒng)的電場能量恒為正值。但是，兩個帶電系統(tǒng)的相互作用能是可正可負的。比如兩個系統(tǒng)的電場分別為E1和E2，設其介電常數(shù)一樣，則總的能量密度為

這個公式中的最后一項，就是兩個帶電系統(tǒng)的相互作用能的密度。即兩個帶電系統(tǒng)的相互作用能量密度為(2-100)將這個能量密度對場分布的區(qū)域積分，就得出相互作用能。上述相互作用能也可以用電位能來計算，公式為(2-101)例2-27

若一個同軸線內(nèi)導體的半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，之間填充介電常數(shù)為ε的介質，當內(nèi)外導體間的電壓為U(外導體的電位為零)時，求單位長度的電場能量。

解當內(nèi)外導體間電壓為U時，內(nèi)導體單位長度帶電量為ρl，則導體間的電場強度為

兩導體間的電壓為單位長度的電場能量為

2.9電場力

帶電體之間的相互作用力從原則上講可以用庫侖定律計算，但是實際上，除了少數(shù)簡單情形以外，這種計算往往較難。在此介紹一種通過電場能量求力的方法，稱為虛位移法。有時，這種方法顯得方便而簡潔。現(xiàn)以導體所受的電場力為例進行討論。

虛位移法求帶電導體所受電場力的思路是，假設在電場力F的作用下，受力導體有一個位移dr，從而