2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列（新高考專用）含答案

備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題（新高考專用）專題08數(shù)列（5

大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）

含答案專題08數(shù)列

題型一：數(shù)列求最值問題a易錯(cuò)點(diǎn)：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別

題型二：等匕凄（列利用中項(xiàng)求其它0、易錯(cuò)點(diǎn)：忽視兩個(gè)"中項(xiàng)"的區(qū)別

題型三：等比數(shù)列求和3、易錯(cuò)點(diǎn)：忽略等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)q的討論

題型四：求通項(xiàng)公式易錯(cuò)點(diǎn)：由公求。”時(shí)忽略對(duì)點(diǎn)=1”的檢驗(yàn)

題型五：數(shù)列求和0、易錯(cuò)點(diǎn)：裂項(xiàng)求和留項(xiàng)出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問題）

1、等差數(shù)列的定義

（1）文字語言：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)；

（2）符號(hào)語言：a“+「a”=d5cN*,"為常數(shù)）.

2、等差中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)a,A,6組成等差數(shù)列，則A叫做a,b的等差中項(xiàng).

3、通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

（1）通項(xiàng)公式：a“=/+（"-l）d.

（2）前〃項(xiàng)和公式：S“=叫+若&="紇""）.

（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差dwO時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式4=4+5-1）4=而+%-4是關(guān)于〃的一次函數(shù),

且一次項(xiàng)系數(shù)為公差”.若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列.

②前〃項(xiàng)和：當(dāng)公差1片0時(shí)，5“=?^+若2d=是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，是其前”項(xiàng)和.

1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：

（1）通項(xiàng)公式的推廣：冊=5+5-1n）d（n,msN*）.

(2)若%+/=m+〃(左，/，加，九cN"),貝!J4+q=。加+?！?

(3)若｛q,｝的公差為d,貝U｛的“｝也是等差數(shù)列，公差為2d.

(4)若也｝是等差數(shù)列，則｛0%+血｝也是等差數(shù)列.

2、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)52?=??(?!+?2?)=...=n(an+an+l)；

(2)邑“-1=(2"T)a”；

(3)兩個(gè)等差數(shù)列｛4｝,｛2｝的前n項(xiàng)和S“，T”之間的關(guān)系為2=?.

(4)數(shù)列S“,S2m-Sm,S3"-S21n，…構(gòu)成等差數(shù)列.

3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的性質(zhì)

⑴若項(xiàng)數(shù)為2〃，則S偶一5奇=〃。，于"二"；

3偶an+l

S吞n

(2)若項(xiàng)數(shù)為2〃-1,則M禺=("-1)。"，5奇=”。,，S奇-S偶=%，~■

s偶n-1

最值問題：解決此類問題有兩種思路：

一是利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，可用配方法求最值，也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)法求最值；

二是依據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?%+(〃-1)d=辦+(4-d),當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)d<0時(shí),

數(shù)列一定為遞減數(shù)列.所以當(dāng)％>0,且d<。時(shí)，無窮等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和有最大值，其最大值是所有非

負(fù)項(xiàng)的和；當(dāng)為<。，且">0時(shí)，無窮等差數(shù)列的前“項(xiàng)和有最小值，其最小值是所有非正項(xiàng)的和，求解

非負(fù)項(xiàng)是哪一項(xiàng)時(shí)，只要令見N0即可

易錯(cuò)提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時(shí)有時(shí)可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性

求解數(shù)列問題，要注意〃的取值不是連續(xù)實(shí)數(shù)，忽略這一點(diǎn)很容易出錯(cuò).

例.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且%=1,1=10,求S,取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的w值.

變式L數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，q=50,d=-0.6.

(1)從第幾項(xiàng)開始有4<。？

(2)求此數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值.

變式2.記S,為等差數(shù)列｛%｝的前見項(xiàng)和，已知％=-7,S3=-15.

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

⑵求S"的最小值.

變式3.等差數(shù)列｛q｝,^,=-11,公差d=—3.

（1）求通項(xiàng)公式和前?項(xiàng)和公式；

（2）當(dāng)"取何值時(shí)，前〃項(xiàng)和最大，最大值是多少.

三生

1.已知數(shù)列｛g｝是等差數(shù)列，若生+@<。，al0-atl<0,且數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S“，有最大值，當(dāng)S“>0

時(shí)，”的最大值為（）

A.20B.17C.19D.21

2.已知等差數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S“，7%+5a9=。，且為>。5,則5.取得最小值時(shí)〃的值為（）

A.5B.6C.7D.8

3.已知數(shù)列｛%｝中，卬=25,44用=4%-7,若其前〃項(xiàng)和為命.則92的最大值為（）

A.15B.750C.—D.—

42

4.若｛4“｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)4>0,a202l+a2022>0,a2021.a2022<0,則使前"項(xiàng)和S">。成立的最大自然數(shù)

〃是（）

A.2021B.2022C.4042D.4043

5.設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，S,是其前〃項(xiàng)和，且乂<56，S6=S7>S8,則下列結(jié)論正確的是（）.

A.d>0B.%=。

C.59>S5D."與S’均為S”的最大值

6.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差為d.已知力=12,514>0,幾<0,則下列結(jié)論正確的是（）

24

A.%<0B.-----<d<-3

7

C.$7=84D.設(shè)的前〃項(xiàng)和為（，則（>0時(shí)，”的最大值為27

7.已知數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S"滿足S,=a772+nw+6（a,6wR,"eN*）,則下列說法正確的是（）

A.6=0是｛q｝為等差數(shù)列的充要條件

B.｛4｝可能為等比數(shù)列

C.若a>0,beR,則｛%｝為遞增數(shù)列

D.若。=-1,則S“中,S5,$6最大

8.已知數(shù)"]｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=-/+9〃（"eN*）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.｛〃“｝是等差數(shù)列B.%+4=0

81

C.a9<awD.s“有最大值7r

4

9.數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，已知凡=-/+7〃，則下列說法正確的是（）

A.｛〃“｝是遞增數(shù)列B.a10=-14

C.當(dāng)">4時(shí)，??<0D.當(dāng)〃=3或4時(shí)，S"取得最大值

10.等比數(shù)列｛q｝中生=16,%=2,則數(shù)列｛log?卬｝的前〃項(xiàng)和的最大值為.

11.記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，若%>0,a2+a2023=Q,則當(dāng)S“取得最大值時(shí)，n=

易錯(cuò)點(diǎn)二：忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項(xiàng)求其它）

1、等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)

數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母4表示。

數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：（n>2,4為非零常數(shù)）.

%

2、等比中項(xiàng)性質(zhì)：如果三個(gè)數(shù)。，G,〃成等比數(shù)列，那么G叫做。與h的等比中項(xiàng)，其中G=±J法.

注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)。

3、通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式

（1）通項(xiàng)公式：若等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為生,公比是4,則其通項(xiàng)公式為%

nm

通項(xiàng)公式的推廣：an=amq-.

（2）等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式：當(dāng)4=1時(shí)，Sn=nax-當(dāng)qwl時(shí)，sa=Q4）=J_

1-q1-q

已知｛凡｝是等比數(shù)列，5“是數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.（等比中項(xiàng)）

1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)

（1）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即4,ak+m,%+2加，…仍是等比數(shù)歹！J，公比為/一

也聞，］,仍是等比數(shù)

（2）若｛%｝,｛b?｝（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛X%｝（%/（））,

列.

(3)若k+1=m+n(k,l,m,neN*),則有%y=y,

口訣：角標(biāo)和相等，項(xiàng)的積也相等推廣：a；=a,_?4+人心kwN*,且n-kNV）

（4）若｛4｝是等比數(shù)列，且?！?gt;0,則｛bg，綜｝（。>0且awl）是以log°q為首項(xiàng)，log“q為公差的等

差數(shù)列。

（5）若｛4｝是等比數(shù)列,…伏eN*）構(gòu)成公比為的等比數(shù)歹（J。

Tk=a}a2a3...ak,則"，聲，盧

易錯(cuò)提醒：若a/,c成等比數(shù)列，則6為a和c的等比中項(xiàng)。只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中項(xiàng)，"b2=ac''

僅是“6為。和c的等比中項(xiàng)”的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。

三里

例.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛“〃｝中，。2。4+2。3%+。4。6=25,則。3+%等于（）

A.5B.10C.15D.20

變式L已知等差數(shù)列｛4｝的公差dwO,且可,“3,%成等比數(shù)列，則=（）

131011c15

A.DC.D.——

16131316

變式2.已知a,b,c￡R,如果—1,a，b,c,-9成等比數(shù)列，那么（）

A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9

C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9

變式3.已知等比數(shù)列｛“〃｝中，。2+。6=5,%，。5=4,貝Ijtan［學(xué)J=（）

A.73B.-V3C.目或—gD.—等

三9

1.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，公差不為0,若滿足％、的、%成等比數(shù)列，則亡法的值為（）

%一

A.2B.3C.1D.不存在

2.已知公差不為零的等差數(shù)列｛%｝中，/+4=14,且％,a2,%成等比數(shù)列，則數(shù)列｛?！埃那?項(xiàng)的和

為（）

A.1B.2C.81D.80

3.已知a=5+2#,c=5-2娓,則使得凡瓦。成等比數(shù)列的充要條件的。值為（）

A.1B.±1C.5D.+2-\/6

4.已知等差數(shù)列｛4｝的公差不為0,q=l且%，。4M8成等比數(shù)列，則錯(cuò)誤的是（）

A.幺土包=2B.幺>氏C.-^=—D.S"2

。2+〃3%〃4H+12

5.正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，4%是〃5與-2%的等差中項(xiàng)，若。2=g，則。3。5=（）

A.4B.8C.32D.64

尤2

6.已知實(shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線土+產(chǎn)=1的離心率為（）

m

A.叵B.幣C.畫或用D.工或7

666

7.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，。1=1,。5=4,命題P：〃3=2,命題9：。3是〃1、〃5的等比中項(xiàng)，則?是0的（）

條件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

8.在數(shù)列｛4｝中，4=2,%=2〃〃+I（〃￡N*）,則%〃3+。2%+…+%0%2=（）.

A.^x（410-l）B.1x（4n-l）

9.已知｛%｝是等差數(shù)列，公差d<0,前〃項(xiàng)和為S〃，若。3，“4,。8成等比數(shù)列，貝（K）

A.%>0,54>0B.q<0,S4<0C.%>0,S4<0D.<0,S4>0

10.數(shù)1與4的等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)分別是（）

5555

A.±—,±2B.—,±2C.—,2D.,2

2222

ii.己知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，4=2,其中公差dwo,若如是由和a的等比中項(xiàng)，則幾=()

A.398B.388

C.189D.199

易錯(cuò)點(diǎn)三：忽略等比數(shù)列求和時(shí)對(duì)鄉(xiāng)的討論(等比數(shù)列求和)

等比數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)在公比qw—1或4=-1且〃為奇數(shù)時(shí)，s”,s2n-sn,s3n-s2n,……仍成等比數(shù)列，其公比為/；

(2)對(duì)V加,peN*,有鼠+p=S“+q"Sp；

(3)若等比數(shù)列｛q｝共有2〃項(xiàng)，則覿=4,其中S偶，S奇分別是數(shù)列｛%｝的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和；

J奇

(4)等比數(shù)列的前九項(xiàng)和S“=#一一-^-qn,令左=3,則S"=Z—hq"(左為常數(shù)，且qwO,l)

1-q1-q1-q

nax,q=1

易錯(cuò)提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：S“=，所以在利用等比數(shù)列求和公式

---

[i-q

求和時(shí)要先判斷公比是否可能為1,,若公比未知，則要注意分兩種情況4=1和的討論..

三9

例?設(shè)等比數(shù)列｛叫的前W項(xiàng)和為S”.已知S"M=2S“+g,〃eN*,則$6=.

變式L記S,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若邑=-5,久=2電，貝尼=.

變式2.在等比數(shù)列｛%｝中，q=g,%=-4,令2=同，求數(shù)列也｝的前力項(xiàng)和S“.

3

變式3.數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和5.滿足-=25,+3嗎=3,數(shù)列也｝滿足d=log3系.

⑴求數(shù)列｛4｝和也,｝的通項(xiàng)公式;

(2)對(duì)任意機(jī)eN*,將數(shù)列帆｝中落入?yún)^(qū)間(客,4J內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為q,求數(shù)列｛%｝前加項(xiàng)和7；.

1.已知｛見｝為等比數(shù)列，其公比9=2,前7項(xiàng)的和為1016,則log2g3。5)的值為()

A.8B.10C.12D.16

2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為力^^=l,9S4-10S2=0,則怎=()

,1340121門80

A.—B.—C.—L).—

9278127

3.已知％=1,a2=l,an=an_l+2an_2+l(n>3,neN*),S”為其前〃項(xiàng)和,貝i]臬。=()

A.230-31B.430-31C.230-30D.430-30

4.在等比數(shù)列｛%｝中，a2=l,火=8,貝I]()

A.｛%%+J的公比為4B.｛kgq｝的前20項(xiàng)和為17。

c.｛q｝的前10項(xiàng)積為235D.｛%+%+J的前〃項(xiàng)和為

5.己知正項(xiàng)等比數(shù)列｛0｝的前w和為S.，若S3=13,且%=%+6%，則滿足5“<123的〃的最大值為.

6.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，的%=34,且一3,必，9%成等差數(shù)歹!J,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)?！?.

7.設(shè)S,為等比數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，若%-%=12,%-q=6,則稱=

8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若%=2,且53=24-1,則5“=.

9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為50，出=9,a2s&-1。卬-90=0,貝l]?=.

10.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,an+1-2a,t=n+\,則滿足Sn>2048的最小的自然數(shù)〃的值為

11.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛““｝中，已知6=2,乞=26,則公比4=.

易錯(cuò)點(diǎn)四：由S”求%時(shí)忽略對(duì)“n=1”的檢驗(yàn)(求通項(xiàng)公式)

類型1觀察法：

已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此

數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

類型2公式法：

若已知數(shù)列的前幾項(xiàng)和S”與a”的關(guān)系，求數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)""可用公式

,(n=1)

構(gòu)造兩式作差求解.

S.-S?_1,(n>2)

用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即囚和。"合

為一個(gè)表達(dá)，(要先分”=1和“22兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一).

類型3累加法：

an-\~an-2=75-2)

形如。用=。“+/(〃)型的遞推數(shù)歹:](其中/(〃)是關(guān)于〃的函數(shù))可構(gòu)造：-

q-q=/(I)

將上述小個(gè)式子兩邊分別相加，可得：an=/(n-1)+/(n-2)+.../(2)+f(X)+a｝,｛n>2)

①若/(?)是關(guān)于?的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若/(〃)是關(guān)于"的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;

③若/(〃)是關(guān)于〃的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

④若/(九)是關(guān)于〃的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

類型4累乘法：

-=/(?-1)

an-\

a,

—=/(?-2)

形如4+1=4-/(〃)型的遞推數(shù)列(其中/(〃)是關(guān)于〃的函數(shù))可構(gòu)造:an-2

a

2=/(D

,?1

將上述嗎個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：??=/(?-1)-/(?-2)■■/(2)/(l)ai,(?>2)

有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

類型5構(gòu)造數(shù)列法：

(-)形如%+i=W“+4(其中P，4均為常數(shù)且。力。)型的遞推式：

(1)若0=1時(shí)，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

(2)若4=0時(shí)，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

(3)若。片1且q*0時(shí)，數(shù)列｛%｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方

法有如下兩種:

法一：設(shè)a“+i+%=p?+A）,展開移項(xiàng)整理得%+i=pan+（p-1）4,與題設(shè)an+l=pan+q比較系數(shù)（待

定系數(shù)法）得2=-^7，（。力。）=4+1+-^7=。（4+-^7）=%+-^4=。（?！?1+-^7）,即構(gòu)

p-1p-1p-1p-1p-1[p-lj

成以％為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可

p-11P-1J

得an-

法二：由an+i=pan+〃得q,=pj+q（n>2）兩式相減并整理得“向""=P，即｛a“+j-%｝構(gòu)成以g-4

an-4T

為首項(xiàng)，以。為公比的等比數(shù)列.求出｛〃川-%｝的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型III（累加法）便可求出

（二）形如%=pan+/（〃）（pH）型的遞推式：

（1）當(dāng)/伽）為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時(shí)：

法一：設(shè)%+A〃+2=P[%T+A（〃-1）+3],通過待定系數(shù)法確定A、B的值，轉(zhuǎn)化成以4+A+B為首

項(xiàng)，以父=口二癡為公比的等比數(shù)列｛%+加+研，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛a?+An+B｝的通項(xiàng)

整理可得為.

法二：當(dāng)了（〃）的公差為d時(shí)，由遞推式得：an+l=pan+f（n）,%=pa“_i+/（〃T）兩式相減得：

a”+「a“=P（a“-a”T）+d，令6,=an+l-an^-b“=pb,-+d轉(zhuǎn)化為類型丫㈠求出bn,再用類型111（累加法）

便可求出

（2）當(dāng)/（"）為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時(shí)：

法一：設(shè)4+4/5）=。[?！?+/1/5-1）],通過待定系數(shù)法確定4的值，轉(zhuǎn)化成以4+■⑴為首項(xiàng)，以

"I

q=所標(biāo)為公比的等比數(shù)列｛%+2/5）｝,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛4+AA”）｝的通項(xiàng)整理可

得an-

法二：當(dāng)/（"）的公比為q時(shí)，由遞推式得：*=5+/（〃）----①，an=pan_1+,兩邊同時(shí)乘

a^,-qa?

以4得4M=2陷“_1+”（"-1）----②，由①②兩式相減得q.-q⑼=p（"“-卯篙），即--------=P,在轉(zhuǎn)

aa

n-Q?-i

化為類型V㈠便可求出a”.

法三：遞推公式為%+i=pa,+必（其中p,q均為常數(shù)）或%+i=pa“+應(yīng)"（其中p,q,廠均為常數(shù)）

時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以產(chǎn),得：色=5,號(hào)引入輔助數(shù)列也｝（其中么=孑），得:

r）1

bn+x=~bn+—再應(yīng)用類型V㈠的方法解決.

qq

（3）當(dāng)/■（〃）為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：

在%+1=。氏+/（〃）兩邊同時(shí)除以P"M可得到之去=3+4?，令3=包，則2+1=2+4告，在

ppppp

轉(zhuǎn)化為類型III（累加法），求出打之后得（=p*".

類型6對(duì)數(shù)變換法：

q

形如%+i=pa（p>Q,an>0）型的遞推式：

在原遞推式4+1=pd兩邊取對(duì)數(shù)得lg%+i="lga"+lgp,令=lga“得:b”\=qbn+lgp,化歸為

型，求出或之后得4=10%.（注意：底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選擇）.

類型7倒數(shù)變換法：

11

形如%（2為常數(shù)且。片。）的遞推式：兩邊同除于轉(zhuǎn)化為一=---+P形式,

anan-\

1

化歸為a“+i+4型求出一的表達(dá)式，再求知;

an

ma1mlm

還有形如4+1=-丁n的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成一=——+—形式，化歸為

Pan+q??+iqa.P

1

型求出一的表達(dá)式，再求

an

類型8形如4+2=pa“+i+qa,型的遞推式：

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)歹!1伍“一q一｝的形式求解.方法為：設(shè)。也一切鵬=〃（。用一如“），比較系數(shù)

^h+k=p,-hk=q,可解得人k,于是｛an+1-kan]是公比為h的等比數(shù)列,這樣就化歸為=。%+q型.

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，

可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式a,

fS,（〃=1）

易錯(cuò)提醒：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)4與其前n項(xiàng)和S“之間關(guān)系如下%°,*廣、，在

〔用一S“T（〃N2,"eN）

使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛4｝的4與S”關(guān)系時(shí)，先令〃=1求出

首項(xiàng)對(duì),然后令〃22求出通項(xiàng)?！?S“-S—i，最后代入驗(yàn)證。解答此類題常見錯(cuò)誤為直接令2求出通

項(xiàng)4=Sn-S,”],也不對(duì)n=1進(jìn)行檢驗(yàn).

例.已知數(shù)列｛q｝和也｝,其中｛q｝的前項(xiàng)和為S“，且2a”一凡=2,2=log?⑸+2).

⑴分別求出數(shù)列｛q｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

ebib、b

(2)記(=一+—+…+—,求證：7；<3.

axa2an

變式1.數(shù)列冊的前〃項(xiàng)和S",已知出=4+4,2s“=〃%+〃+M〃eN*),左為常數(shù).

(1)求常數(shù)k和數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(11413

⑵數(shù)列■的前〃項(xiàng)和為(，證明：---~-<7；,<--

[S"32n+l2

變式2.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，滿足4s“=(%+3)(%-1).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記么=券，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為卻證明：對(duì)一切正整數(shù)〃，Tn<6.

變式3.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為%且S“=2a“-1(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bn=anlog2an,求數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和T”.

1.已知數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和為3,%=9,且S“M+3q,=S,+/la“+3"(XeR).

(1)當(dāng)％=2時(shí)，求邑；

(2)若｛%｝為等比數(shù)列，求4的值.

2.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為5"嗎=1,且2〃+2與45”的等差中項(xiàng)為5.小/N*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

⑵設(shè)么=(-1)”?如?乜，求數(shù)歹!]也｝的前幾項(xiàng)和Tn.

anan+l

3.已知數(shù)列｛外｝的前〃項(xiàng)和為S“，岳=1且4”|+25￡+|=0,”€m.

⑴求4;

1

⑵記6=="鳥,求數(shù)列也,｝的前“項(xiàng)和.

an

4.已知數(shù)列｛見｝的前幾項(xiàng)和為S“，且滿足%=2,%=4,當(dāng)時(shí)，1S7一S，,是彳的常數(shù)列.

(1)求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)”22時(shí)，設(shè)數(shù)列下—的前〃項(xiàng)和為證明：T.<g.

[n｛n+l)an+lJ2

5.在數(shù)列｛〃“｝中，4=-1,S.是｛%｝的前〃項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為g的等差數(shù)列.

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)么="學(xué)卡，求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和Tn.

6.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和是S“，且6a“=5S”+2.

(1)證明：｛%｝是等比數(shù)列.

⑵求數(shù)列]等1的前〃項(xiàng)和Tn.

7.已知首項(xiàng)為4的數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且S”+1+a“=S“+6x5”.

⑴求證：數(shù)列5"｝為等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛%｝的前力項(xiàng)和S..

8.設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且2S“=〃(%+6),a6=16.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列1上的前〃項(xiàng)和為l，求證：

[nanj68

9.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且滿足

(1)求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=的,，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為I,求(2780時(shí)，w的最小值.

2

10.已知s“為數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和，4=1,Sn+i+Sn=2n+2n+l.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若4=1,%+=4，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T”.

H.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛。“｝的前”項(xiàng)和為s"，且4=3,。,,=￡+6;(及N*且心2).

(1)求｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a=守，求數(shù)列也｝的前w項(xiàng)和4.

易錯(cuò)點(diǎn)五：裂項(xiàng)求和留項(xiàng)出錯(cuò)(數(shù)列求和)

常見的裂項(xiàng)技巧

積累裂項(xiàng)模型1:等差型

11__1_

(1)

n(n+1)nn+1

(2)

n(n+k)knn+k

------=一(------------)

4rr-l22?-l2M+1

]__i_rj]

(4)

n(n+1)(〃+2)2n(n+1)(n+l)(n+2)

11l11

(5)------------------------------——(z-----------------------)

n(n?—1)n(n—l)(n+1)2(n-l)nn(n+1)

(6)—2=—1--------------------

4n2-14(2n+l)(2n-l)

3n+l4(n+l)-(n+3)11..11

------------------------=-------------------------=4(-----------------)—(----------------

(〃+l)(n+2)(〃+3)(n+l)(n+2)(〃+3)n+2n+3n+1n+2

n(n+1)=g[n(n+l)(n+2)—(〃—l)n(n+1)].

(8)

n(n+l)(n+2)=；[n(n+l)(n+2)(〃+3)—(n—I)n(n+l)(n+2)]

i_u]i

(10)

n(n+1)(〃+2)(〃+3)3n(n+l)(n+2)(〃+l)(n+2)(〃+3)

2〃+111

(11)

/(〃+1)25+1)2

n+1_1[11

2

/5+2)24n5+2)2

積累裂項(xiàng)模型2：根式型

(1)f----——-==y/n+l-y/n

(2)/----；==—(>Jn+k--/n)

yjn+k+ylnk

(3)-/1/一二J(j2〃+1-J2〃-1)

)2〃一1+，2幾+12

I11n(n+l)+lII

(4)Jl+f+-----7=———--=11+------------

Vn2(n+1)2n(n+1)nn+1

________1________(n+l)vn-n'n+1(n+1)而-ny/n+111

(6)(n+l)y/n+ny/n+ln(n+1)4nJH+1

積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型

2〃_(2__1)_(2“_1)_]____1

(1)--------------------

(2"+i-l)(2“-l)一(2"+i-l)(2"-l)'2"-12,,+1-l

3〃111、

(2)-------------：——=(z——)

(3,,-1)(3,,+1-1)23n-l3n+l-l

n+22(n+l)-n(211111

°)n(n+l)-2"'?(?+!)-2"~[nn+\)2"n-T-1(n+l)-2"

9r

).3，T=U——2]

(4〃(〃+2)2(n+2)n2(〃+2nJ

,<、(2〃+1)?(-!)'(-1)"(-1)),+1

(5)=-

幾(n+1)nn+1

n

(6)Q〃二九,3"i,設(shè)c1n=+b)3—\Q,(YI—1)+A]?3"i,易得ci=—,b=—

于是[(2〃—1)3"——(2〃-3)?3"1

⑺(~l)w(n2+4n+2)2n_(~l)w(n2+4n+2)_(-1)"[n2+n+2(n+1)+n]

n-2n-(n+l)2n+1~~H-(H+1)2M+1-H.(n+l)2n+1

(-1)〃(-1嚴(yán)

-^+(—1)〃------+--------------

2n+1〃?2〃(〃+l)?2"+irn-2n-(n+l)-2n+1

積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型

+1

loga—=log："-logfla?

a.

積累裂項(xiàng)模型5：三角型

(1)--------------=--------------(tana—tan/?)

cosacosPsin(a-/3)

]1

(2)-[tan(n+1)°-tan叫

cosn°cos(n+l)0sinl

(3)tanatan)3=-------------(tana

tan(cr-13)

an

(4)a=tan-tan(n-l);tanl=tan[n-(n-l)]=-，"一回3?一上

n1+tann-tan(n-1)

Etann-tan(n-1),tann-tan(?-1).

貝ljtann-tanz(n-1)=---------------------l,a=--------------——--1

tanltanl

積累裂項(xiàng)模型6：階乘

nil

(1)---------=---------------

(n+1)!n\(n+1)!

n+2n+21〃+l11

(2)-------------------------=-------------=------------=----------=---------------------

n\+(n+1)!+(H+2)!n!(n+2)2n!(n+2)(〃+2)!(n+1)!(〃+2)!

常見放縮公式：

1111/C、1111

(1)-r<7------=---------------(n>2).(2)------7=-----------.

n2(n-l)nn—1〃''n1+nn+1*

、144(111

(3)—=-----<---------=2-------------------?

n24九?4幾?—1\2n—l2n+lJ'

⑷.^=c小?v1=^(加^V1<H1<7(^1I)=^1-71/(r-小2);

(iY111

(5)1H<1+1H-------1--------F???+----------<3；

In)1x22x3(n-l)n

(6)〈后+g=29叩+呵叱2)

1_22

(7)=2bM+｛幾+1)

品y[n+y/ny/n+y/n+1

2夜

12<=后+，2幾+1)

(8)y/nyfn+y/n—1+\/2n+1

TTT2，T_11

⑼(2n-l)2-(2n-l)(2n-l)<(2n-l)(2n-2)-(2n-l)(2n-1-1)-2^-12n-1(n-2)

(10)

J〃+l+y/n-1

2-Jn