2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之函數(shù)應用

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之函數(shù)應用一．選擇題（共10小題）1．（2024?貴州模擬）設方程的兩根為，，則A．， B． C． D．2．（2024?合肥模擬）常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天），鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為，．開始記錄時，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則，滿足的關系式為A． B． C． D．3．（2024?長沙模擬）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下（不含所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：A．72 B．74 C．76 D．784．（2024?包頭三模）冰箱、空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量呈指數(shù)函數(shù)型變化．當氟化物排放量維持在某種水平時，臭氧量滿足關系式，其中是臭氧的初始量，是自然對數(shù)的底數(shù)，是時間，以年為單位．若按照關系式推算，經(jīng)過年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為A．584 B．574年 C．564年 D．554年5．（2024?上海）現(xiàn)定義如下：當時，若，則稱為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當時，與均為延展函數(shù)，則以下結論（1）存在，；，與有無窮個交點（2）存在，；，與有無窮個交點A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立6．（2024?海州區(qū)校級模擬）冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細菌引起的，已知某細菌是以簡單的二分裂法進行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次個變?yōu)?個）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：A．3小時 B．4小時 C．5小時 D．6小時7．（2024?太原模擬）已知函數(shù)，若方程恰有三個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A．，， B． C． D．8．（2024?遼寧二模）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則A． B． C． D．9．（2024?寧夏四模）保護環(huán)境功在當代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，關系社會發(fā)展的潛力和后勁．某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量．該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的參考數(shù)據(jù)：．A． B． C． D．10．（2024?西安模擬）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關于的方程至少有兩解，則的取值范圍為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，則正確的是A．的定義域為 B．是非奇非偶函數(shù) C．函數(shù)的零點為0 D．當時，的最大值為12．（2024?袁州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，則A．若有2個不同的零點，則 B．當時，有5個不同的零點 C．若有4個不同的零點，，，，則的取值范圍是 D．若有4個不同的零點，，，，則的取值范圍是13．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)，則A．的圖象關于點對稱 B．的值域為， C．若方程在上有6個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是 D．若方程在上有6個不同的實根，2，，，則的取值范圍是14．（2024?懷化二模）已知函數(shù)的零點為，的零點為，則A． B． C． D．15．（2024?定西模擬）已知函數(shù)，，則A．當有2個零點時，只有1個零點 B．當有3個零點時，只有1個零點 C．當有2個零點時，有2個零點 D．當有2個零點時，有4個零點三．填空題（共5小題）16．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則．17．（2024?湖北模擬）已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為．18．（2024?湖北模擬）關于的方程有實根，則的最小值為．19．（2024?浦東新區(qū)校級四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸的處，河岸邊處與處相距（其中，兩家工廠要在此岸邊建一個供水站，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費用分別為每千米元和元，供水站建在岸邊距離處才能使水管費用最?。?0．（2024?天津模擬）設，函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為．四．解答題（共5小題）21．（2024?遼寧模擬）某地區(qū)未成年男性的身高（單位：與體重平均值（單位：的關系如下表表1未成年男性的身高與體重平均值身高60708090100110120130140150160170體重平均值6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關系．為使函數(shù)擬合度更好，引入擬合函數(shù)和實際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)（如表．誤差平方和越小、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)越接近1，擬合度越高．表2擬合函數(shù)對比函數(shù)模型函數(shù)解析式誤差平方和指數(shù)函數(shù)6.67640.9976二次函數(shù)8.26050.9971冪函數(shù)74.68460.9736（1）問哪種模型是最優(yōu)模型？并說明理由；（2）若根據(jù)生物學知識，人體細胞是人體結構和生理功能的基本單位，是生長發(fā)育的基礎．假設身高與骨細胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；體重與肌肉細胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為．記時刻的未成年時期骨細胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時骨細胞數(shù)量和增長率，記時刻的未成年時期肌肉細胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時肌肉細胞數(shù)量和增長率．求體重關于身高的函數(shù)模型；（3）在（2）的條件下，若，．當剛出生的嬰兒身高為時，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實際情況更符合，試說明理由．注：，；嬰兒體重，符合實際，嬰兒體重，較符合實際，嬰兒體重，不符合實際．22．（2024?長寧區(qū)校級三模）設函數(shù)的定義域為，對于區(qū)間，，若滿足以下兩個性質(zhì)之一，則稱區(qū)間是的一個“好區(qū)間”．性質(zhì)①：對于任意，都有；性質(zhì)②：對于任意，都有．（1）已知函數(shù)，．分別判斷區(qū)間，，區(qū)間，是否為的“好區(qū)間”，并說明理由；（2）已知，若區(qū)間，是函數(shù)，的一個“好區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域為，其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對于任意，都有（a）（b），求證：存在“好區(qū)間”，且存在，為不屬于的任意一個“好區(qū)間”．23．（2024?北京模擬）如圖，某大學將一矩形操場擴建成一個更大的矩形操場，要求在上，在上，且在上．若米，米，設米．（1）要使矩形的面積大于2700平方米，求的取值范圍；（2）當?shù)拈L度是多少時，矩形的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．24．（2024?虹口區(qū)模擬）如圖，某城市小區(qū)有一個矩形休閑廣場，米，廣場的一角是半徑為16米的扇形綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場休閑放松，現(xiàn)決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅（寬度不計），點在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價每米為元，單人弧形椅的造價每米為元，記銳角，總造價為元．（1）試將表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）問當?shù)拈L為多少時，能使總造價最小．25．（2024?寶山區(qū)三模）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎，交融于各族人民的社會生活，是名種民俗活動的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認知、道德觀念、實踐經(jīng)驗、生活理想和審美情趣．現(xiàn)有一張矩形卡片，對角線長為為常數(shù)），從中裁出一個內(nèi)接正方形紙片，使得點，分別，上，設，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為．（1）當時，求正方形紙片的邊長（結果用表示）；（2）當變化時，求的最大值及對應的值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之函數(shù)應用參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?貴州模擬）設方程的兩根為，，則A．， B． C． D．【答案】【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系【專題】構造法；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；函數(shù)的性質(zhì)及應用【分析】問題轉(zhuǎn)化為，為的兩根，構造函數(shù)，，結合零點存在定理及指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷．【解答】解：因為的兩根為，即為的兩根，令，，則（1），（3），，因為，所以，錯誤；因為，得，由可得，故，正確；所以，錯誤；，錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)在函數(shù)零點范圍求解中的應用，還考查了零點存在定理的應用，屬于中檔題．2．（2024?合肥模擬）常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天），鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為，．開始記錄時，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的，則，滿足的關系式為A． B． C． D．【答案】【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】函數(shù)思想；數(shù)學運算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用【分析】設開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出等式即可得答案．【解答】解：設開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1，則512天后，甲的質(zhì)量為：，乙的質(zhì)量為：，由題意可得，所以．故選：．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的生活中的實際運用，考查了指數(shù)的基本運算，屬于基礎題．3．（2024?長沙模擬）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下（不含所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：A．72 B．74 C．76 D．78【答案】【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算【分析】根據(jù)已知條件，先求出，令，再結合對數(shù)公式，即可求解．【解答】解：由題意可得，，解得，由題意可知，，即，解得．故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，掌握對數(shù)公式是解本題的關鍵，屬于基礎題．4．（2024?包頭三模）冰箱、空調(diào)等家用電器使用了氟化物，氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層，使臭氧量呈指數(shù)函數(shù)型變化．當氟化物排放量維持在某種水平時，臭氧量滿足關系式，其中是臭氧的初始量，是自然對數(shù)的底數(shù)，是時間，以年為單位．若按照關系式推算，經(jīng)過年臭氧量還保留初始量的四分之一，則的值約為A．584 B．574年 C．564年 D．554年【答案】【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；函數(shù)思想；數(shù)學運算【分析】由題意得，解不等式即可．【解答】解：由題意可得，，，，，．故選：．【點評】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的的應用，屬于中檔題．5．（2024?上海）現(xiàn)定義如下：當時，若，則稱為延展函數(shù)．現(xiàn)有，當時，與均為延展函數(shù)，則以下結論（1）存在，；，與有無窮個交點（2）存在，；，與有無窮個交點A．（1）（2）都成立 B．（1）（2）都不成立 C．（1）成立（2）不成立 D．（1）不成立（2）成立【答案】【考點】函數(shù)與方程的綜合運用；基本初等函數(shù)的導數(shù)【專題】計算題；數(shù)學運算；函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法；方程思想；數(shù)形結合【分析】根據(jù)題意，對于①，由“延展函數(shù)”的定義，分析可得是周期為1的周期函數(shù)，結合一次函數(shù)的性質(zhì)可得①錯誤，對于②，舉出例子，可得②正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，當時，與均為延展函數(shù)，對于①，對于，，則是周期為1的周期函數(shù)，其值域為，因為，與不會有無窮個交點，所以（1）錯；對于②，當時，存在使得直線可以與在區(qū)間的函數(shù)部分重合，因而有無窮個交點，所以（2）正確．故選：．【點評】本題考查函數(shù)與方程的關系，涉及函數(shù)的圖象，關鍵理解“延展函數(shù)”的定義，屬于基礎題．6．（2024?海州區(qū)校級模擬）冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細菌引起的，已知某細菌是以簡單的二分裂法進行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次個變?yōu)?個）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個該細菌增長到1億個該細菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：A．3小時 B．4小時 C．5小時 D．6小時【答案】【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解【分析】設大約需要分鐘，則，兩邊同時取對數(shù)，結合對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【解答】解：設大約需要分鐘，則，兩邊同時取對數(shù)得，，所以，所以，所以大約需要小時．故選：．【點評】本題主要考查了函數(shù)的實際應用，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．7．（2024?太原模擬）已知函數(shù)，若方程恰有三個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A．，， B． C． D．【答案】【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算【分析】作出函數(shù)的圖象，方程恰有三個不同實數(shù)根，等價為與的圖象有3個交點．討論，且時，與的位置關系，結合直線和曲線相切的條件，求得，以及直線經(jīng)過點，，可得的取值范圍；當時，與的圖象只有1個交點，可得結論．【解答】解：作出函數(shù)的圖象，如右圖：方程恰有三個不同實數(shù)根，等價為與的圖象有3個交點．，的圖象恒過定點，當時，與相切，設切點為，，可得，且，可化為，設，，可得，在遞增，且，則，，此時與的圖象有2個交點，又的圖象經(jīng)過，可得，即有，則時，與的圖象有3個交點；當時，經(jīng)過點，即有，解得，由，可得，由與相切，可得△，解得舍去），由圖象可得，時，與的圖象有3個交點；當時，與的圖象只有1個交點．綜上，可得實數(shù)的取值范圍是，，．故選：．【點評】本題考查函數(shù)的零點和方程的關系，以及直線和曲線相切的條件，考查數(shù)形結合思想、方程思想和運算能力，屬于中檔題．8．（2024?遼寧二模）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則A． B． C． D．【答案】【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象；函數(shù)零點的判定定理；函數(shù)的零點【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法；邏輯推理；數(shù)形結合【分析】由三個函數(shù)的零點可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與函數(shù)，，的交點，再通過數(shù)形結合得到，，的大小關系．【解答】解：令，則，令，則，令，可得，如圖所示：可得．故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點問題，考查對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎題．9．（2024?寧夏四模）保護環(huán)境功在當代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，關系社會發(fā)展的潛力和后勁．某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量．該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的參考數(shù)據(jù)：．A． B． C． D．【答案】【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】運算求解；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；函數(shù)思想【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關于殘留數(shù)量與過濾時間的函數(shù)關系式，再將代入即可求得答案．【解答】解：因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即，所以，再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為，所以廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的．故選：．【點評】本題考查了指數(shù)的基本運算，也考查了函數(shù)在生活中的實際運用，屬于中檔題．10．（2024?西安模擬）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關于的方程至少有兩解，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】【考點】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)的零點與方程根的關系【專題】數(shù)學運算；函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結合法；函數(shù)思想【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性與周期性，數(shù)形結合可得函數(shù)交點情況，進而確定方程解的情況．【解答】解：由已知，則，所以函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期4，又當時，，單調(diào)遞減，過定點，可知函數(shù)的圖象如圖所示，且的值域為，，關于的方程至少有兩解，可得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有兩個交點，如圖所示：可知當時，，解得，即，，當時，，解得，即，，綜上所述，，．故選：．【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結合思想，考查了對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，則正確的是A．的定義域為 B．是非奇非偶函數(shù) C．函數(shù)的零點為0 D．當時，的最大值為【答案】【考點】函數(shù)的零點；函數(shù)的奇偶性；基本不等式及其應用；函數(shù)的定義域及其求法【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算；不等式；計算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義，列式求出的定義域，從而判斷出項的正誤；由函數(shù)奇偶性的定義，判斷出的奇偶性，從而判斷出項的正誤；求出方程的根，從而判斷出項的正誤；當時，利用基本不等式求出的最大值，從而判斷出項的正誤．【解答】解：對于，函數(shù)的自變量滿足，解得，故的定義域為，可知項正確；對于，因為，，所以為奇函數(shù)，故項不正確；對于，，可知的根為，即函數(shù)的零點為，故項不正確；對于，當時，，當且僅當時，即時，取等號，所以當時，最大值為（3），故項正確．故選：．【點評】本題主要考查函數(shù)的定義域與奇偶性、函數(shù)零點的求法、利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．12．（2024?袁州區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，則A．若有2個不同的零點，則 B．當時，有5個不同的零點 C．若有4個不同的零點，，，，則的取值范圍是 D．若有4個不同的零點，，，，則的取值范圍是【答案】【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系【專題】直觀想象；函數(shù)思想；數(shù)形結合法；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算【分析】作出的圖象，由有2個不同的零點，結合圖象，可判斷；由，令，得到，求得，結合圖象，可判斷；由對數(shù)的運算性質(zhì)，求得，結合二次函數(shù)的對稱性得到，進而判斷正確；由，結合對勾函數(shù)的性質(zhì)，可判定正確．【解答】解：由函數(shù)，可得，作出的圖象，如圖所示：對于中，由，可得，若有2個不同的零點，結合圖象知或，所以錯誤；對于中，當時，由，可得，令，則有，可得，結合圖象知，有3個不等實根，有2個不等實根，沒有實根，所以有5個不同的零點，所以正確；對于中，若有4個不同的零點，，，，則，且，則，由二次函數(shù)的對稱性得，則，結合知，所以，，所以的取值范圍為，所以正確；對于中，由，其中，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以的取值范圍為，所以正確．故選：．【點評】本題考查了二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題．13．（2024?吉安模擬）已知函數(shù)，則A．的圖象關于點對稱 B．的值域為， C．若方程在上有6個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是 D．若方程在上有6個不同的實根，2，，，則的取值范圍是【答案】【考點】函數(shù)與方程的綜合運用【專題】對應思想；分類討論；數(shù)學運算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；直觀想象；綜合法【分析】對于，判斷是否成立，即可判斷；對于，分、去絕對值，即可判斷；對于，分、求解即可；對于，由題意可得或，有4個不同的實根，有2個不同的實根，列出不等式組，可得的范圍，再結合三角函數(shù)的對稱性求解即可．【解答】解：因為，所以，所以的圖象不關于點對稱，錯誤；當時，所以，當時，，所以，綜上得，正確；當時，由，得；當時，由，得，所以方程在上的前7個實根分別為，所以，正確；由，即，或，得或，所以有4個不同的實根，有2個不同的實根，所以，所以，設，則，，所以，所以的取值范圍是，錯誤．故選：．【點評】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．14．（2024?懷化二模）已知函數(shù)的零點為，的零點為，則A． B． C． D．【答案】【考點】函數(shù)零點的判定定理【專題】數(shù)形結合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算【分析】函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的橫坐標，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征依次判斷即可．【解答】解：函數(shù)的零點為，的零點為，函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標為，函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標為，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如下，故點的橫坐標為，點的橫坐標為，函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，點、關于直線對稱，又點、在直線上，點、關于原點對稱，，故選項錯誤；易知，故選項正確；，，，，即選項正確；易知，，，即，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖象交點的關系應用，應用了數(shù)形結合的思想，屬于中檔題．15．（2024?定西模擬）已知函數(shù)，，則A．當有2個零點時，只有1個零點 B．當有3個零點時，只有1個零點 C．當有2個零點時，有2個零點 D．當有2個零點時，有4個零點【答案】【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系；函數(shù)零點的判定定理【專題】綜合題；數(shù)形結合；邏輯推理；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用【分析】做出函數(shù)的大致圖象，問題轉(zhuǎn)化為與這兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題．【解答】解：分別令函數(shù)，，即，，它們的根為分別與和交點的橫坐標，作出和的大致圖象，如圖所示：由圖可知，當有2個零點時，無零點或只有1個零點，錯誤；當有3個零點時，只有1個零點，正確；當有2個零點時，有4個零點，錯誤，正確．故選：．【點評】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)的最小值為，則2．【考點】函數(shù)的最值；分段函數(shù)的應用【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；直觀想象；運算求解【分析】由題意可知當時，，從而得當時，有最小值，結合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：因為當時，，易知此時，，且在，上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)的最小值為，所以當時，有最小值，令，則有，，當，即時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不能取到最小值；當，即時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，解得，又因為，所以．故答案為：2．【點評】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題．17．（2024?湖北模擬）已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為，．【答案】，．【考點】其他不等式的解法；分段函數(shù)的應用【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；運算求解【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結果．【解答】解：當時，，；當時，，，，綜上：的解集為，．故答案為：，．【點評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，不等式的求解，分類討論思想，屬基礎題．18．（2024?湖北模擬）關于的方程有實根，則的最小值為．【答案】．【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系；基本不等式及其應用【專題】直線與圓；導數(shù)的綜合應用；方程思想；直觀想象；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】將方程轉(zhuǎn)化為求直線上的點與坐標原點之間的距離的最小值，利用點到線的距離，結合函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．【解答】解：設方程的實根為，則，點是直線上任意一點，，設，，則，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而（1），的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導數(shù)的綜合運用及點到線的距離公式，屬于中檔題．19．（2024?浦東新區(qū)校級四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，且位于離河岸的處，河岸邊處與處相距（其中，兩家工廠要在此岸邊建一個供水站，從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費用分別為每千米元和元，供水站建在岸邊距離處20才能使水管費用最?。敬鸢浮?0．【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】數(shù)形結合法；導數(shù)的綜合應用；函數(shù)思想；直觀想象；函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法；數(shù)學運算【分析】根據(jù)題意建立數(shù)學模型，通過適當設定變元，構造相應的函數(shù)關系，通過求導，求出最值，可確定供水站的位置．【解答】解：根據(jù)題意可知點在線段上某一適當位置時，才能使總運費最省，設點距點，則，，，又設總的水管費用為元，由題意得，令，解得，在上，只有一個極值點，根據(jù)實際意義，函數(shù)在處取得最小值，此時，故供水站建在岸邊、之間距甲廠處，能使鋪設水管的費用最?。蚀鸢笧椋?0．【點評】本題考查了函數(shù)在生活中的實際運用，導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題．20．（2024?天津模擬）設，函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則實數(shù)的取值范圍為，，．【答案】，，．【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合題；函數(shù)思想；數(shù)學運算【分析】對實數(shù)的取值進行分類討論，分別畫出不同取值情況的的函數(shù)圖象，函數(shù)恰有4個零點，說明的圖象與的圖象有四個交點，通過斜率的變化即可確定實數(shù)的取值范圍．【解答】解：因為函數(shù)恰有4個零點，所以的圖象與的圖象有四個交點，當時，如圖所示，的圖象與的圖象僅有兩個交點，與題意不符；當時，如圖所示，在，上，當與相切時，聯(lián)立，得，則△，得（舍去，由圖可知，當時，與在有一個交點，在有兩個交點，與題意不符，所以當時，與在無交點，在有兩個交點，與題意不符，當時，與在無交點，在有三個交點，與題意不符，當時，與在無交點，在有四個交點，符合題意；當時，如圖所示，在，上，當與相切時，聯(lián)立，得，則△，得（舍去，由圖可知，當時，與在有兩個交點，在有四個交點，與題意不符，當時，與在有兩個交點，在有三個交點，與題意不符，當時，與在有兩個交點，在有兩個交點，符合題意，當時，與在有一個交點，在有兩個交點，與題意不符．綜上所述，，，．故答案為：，，．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關系，屬于難題．四．解答題（共5小題）21．（2024?遼寧模擬）某地區(qū)未成年男性的身高（單位：與體重平均值（單位：的關系如下表表1未成年男性的身高與體重平均值身高60708090100110120130140150160170體重平均值6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型近似地描述未成年男性的身高與體重平均值之間的關系．為使函數(shù)擬合度更好，引入擬合函數(shù)和實際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)（如表．誤差平方和越小、擬合優(yōu)度判斷系數(shù)越接近1，擬合度越高．表2擬合函數(shù)對比函數(shù)模型函數(shù)解析式誤差平方和指數(shù)函數(shù)6.67640.9976二次函數(shù)8.26050.9971冪函數(shù)74.68460.9736（1）問哪種模型是最優(yōu)模型？并說明理由；（2）若根據(jù)生物學知識，人體細胞是人體結構和生理功能的基本單位，是生長發(fā)育的基礎．假設身高與骨細胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；體重與肌肉細胞數(shù)量成正比，比例系數(shù)為．記時刻的未成年時期骨細胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時骨細胞數(shù)量和增長率，記時刻的未成年時期肌肉細胞數(shù)量，其中和分別表示人體出生時肌肉細胞數(shù)量和增長率．求體重關于身高的函數(shù)模型；（3）在（2）的條件下，若，．當剛出生的嬰兒身高為時，與（1）的模型相比較，哪種模型跟實際情況更符合，試說明理由．注：，；嬰兒體重，符合實際，嬰兒體重，較符合實際，嬰兒體重，不符合實際．【答案】（1）指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；理由見解析；（2）；（3）（2）中冪函數(shù)模型更適合，理由見解析．【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】計算題；數(shù)學運算；函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法；函數(shù)思想【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)比較指數(shù)函數(shù)模型誤差平方和以及的大小，即得結論；（2）根據(jù)身高與骨細胞數(shù)量以及體重與肌肉細胞數(shù)量的關系，結合已知數(shù)據(jù)，即可求得答案；（3）分別計算出兩種模型函數(shù)下的嬰兒體重，比較大小，即得結論．【解答】解：（1）因為，所以指數(shù)函數(shù)模型誤差平方和最小，因為，所以指數(shù)函數(shù)模型最大，所以指數(shù)函數(shù)模型是最優(yōu)模型；（2）因為，所以，因為，所以，所以，所以體重關于身高的函數(shù)模型為；（3）把代入，得，不符合實際，把，代入得，把代入，得，符合實際，所以（2）中冪函數(shù)模型更適合．【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，考查運算求解能力，屬于中檔題．22．（2024?長寧區(qū)校級三模）設函數(shù)的定義域為，對于區(qū)間，，若滿足以下兩個性質(zhì)之一，則稱區(qū)間是的一個“好區(qū)間”．性質(zhì)①：對于任意，都有；性質(zhì)②：對于任意，都有．（1）已知函數(shù)，．分別判斷區(qū)間，，區(qū)間，是否為的“好區(qū)間”，并說明理由；（2）已知，若區(qū)間，是函數(shù)，的一個“好區(qū)間”，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)的定義域為，其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對于任意，都有（a）（b），求證：存在“好區(qū)間”，且存在，為不屬于的任意一個“好區(qū)間”．【答案】（1），是，，不是；（2）；（3）證明見解析．【考點】函數(shù)與方程的綜合運用【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法；函數(shù)思想；導數(shù)的綜合應用；分類討論；邏輯推理；直觀想象；數(shù)學運算【分析】（1）由“好區(qū)間”的定義判斷即可；（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，根據(jù)“好區(qū)間”的定義可判斷出上滿足性質(zhì)②，再由，，，求解即可；（3）由題意可得在任意區(qū)間，上對應的函數(shù)值區(qū)間長度必大于，從而可得在任意區(qū)間，上都不滿足性質(zhì)①，且在上單調(diào)遞減，即有即存在，分，，證明即可．【解答】解：（1），當，時，，，滿足性質(zhì)①，所以，是的“好區(qū)間”；當，時，，，既不滿足性質(zhì)①，也不滿足性質(zhì)②，所以，不是的“好區(qū)間”；（2），03012單調(diào)遞減極小值3單調(diào)遞增若在區(qū)間，上滿足性質(zhì)①，則，，，而，，，所以在區(qū)間，上不滿足性質(zhì)①若在區(qū)間上滿足性質(zhì)②，當時，（3），所以，，，當時，因為（3），所以不符合；綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；（3）證明：因為任意，都有（a）（b）．所以在任意區(qū)間，上對應的函數(shù)值區(qū)間長度必大于，即在任意區(qū)間，上都不滿足性質(zhì)①，因為對于任意，都有（a）（b），所以在上單調(diào)遞減，所以不恒成立，即存在，若，取，則（a）（b），在區(qū)間，上對應函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），（b），（a），，所以，是一個“好區(qū)間”；若，取，則（b）（a），在區(qū)間，上對應函數(shù)值的區(qū)間（b），（a），（b），（a），，，是一個“好區(qū)間”；所以存在“好區(qū)間”；記，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減；又圖像是一條連續(xù)的曲線，所以圖像也是一條連續(xù)的曲線，先證明有零點，設，若，則有零點為，若，則，，，在區(qū)間上有零點；若，則，，，在區(qū)間上有零點；所以必有零點，記為，即的“好區(qū)間”都滿足性質(zhì)②，所以不屬于任意一個“好區(qū)間”．【點評】本題屬于新概念題，考查了導數(shù)的綜合應用、分類討論思想，理解定義是關鍵，屬于中檔題．23．（2024?北京模擬）如圖，某大學將一矩形操場擴建成一個更大的矩形操場，要求在上，在上，且在上．若米，米，設米．（1）要使矩形的面積大于2700平方米，求的取值范圍；（2）當?shù)拈L度是多少時，矩形的面積最??？并求出最小面積．【答案】（1）或；（2）當?shù)拈L度為40米時，矩形的面積最小為2400平方米．【考點】基本不等式及其應用；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用；綜合法；整體思想；數(shù)學運算；不等式【分析】（1）因為，，所以，然后求解即可；（2）由（1）知，得解．【解答】解：（1）因為，，所以，又，所以，即，所以，所以，即，又，則或，即的取值范圍是或；（2）由（1）知，當且僅當，即時等號成立，故當?shù)拈L度為40米時，矩形的面積最小為2400平方米．【點評】本題考查了基本不等式的應用，重點考查了閱讀理解能力，屬中檔題．24．（2024?虹口區(qū)模擬）如圖，某城市小區(qū)有一個矩形休閑廣場，米，廣場的一角是半徑為16米的扇形綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場休閑放松，現(xiàn)決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅（寬度不計），點在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價每米為元，單人弧形椅的造價每米為元，記銳角，總造價為元．（1）試將表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）問當?shù)拈L為多少時，能使總造價最?。敬鸢浮浚?）；（2）米．【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】整體思想；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算；綜合法；計算題【分析】（1）總造價由兩部分組成，根據(jù)弧長公式可求得，而切線長需構造直角三角形或借助坐標求解，最后由線段長為正，可得的取值范圍；（2）利用導數(shù)求函數(shù)最值，先求導數(shù)，確定導函數(shù)零點，分析函數(shù)單調(diào)性，確定極值點，即最值點即可得答案．【解答】（1）解：過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，在中，，則，在中，，則，由題意易得，所以，；（2），令，得，又，所以，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，總造價最小，最小值為，此時，所以當米時，能使總造價最小．【點評】本題考查了三角函數(shù)在實際生活中的應用，屬于中檔題．25．（2024?寶山區(qū)三模）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎，交融于各族人民的社會生活，是名種民俗活動的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認知、道德觀念、實踐經(jīng)驗、生活理想和審美情趣．現(xiàn)有一張矩形卡片，對角線長為為常數(shù)），從中裁出一個內(nèi)接正方形紙片，使得點，分別，上，設，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為．（1）當時，求正方形紙片的邊長（結果用表示）；（2）當變化時，求的最大值及對應的值．【答案】（1）；（2），．【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【專題】轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）設正方形的邊長為，則，，計算得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案．（2）確定，，計算，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值得到答案．【解答】解：（1）設正方形的邊長為，則，，則，，，即，整理得到，當時，．（2），，，則，，，則，令，在，上單調(diào)遞減，故，故的最大值為，此時，，故．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

考點卡片1．基本不等式及其應用【知識點的認識】基本不等式主要應用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實例解析例1：下列結論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當0＜x＜1時，如何求的最大值．解：當x＝0時，y＝0，當x≠0時，＝，用基本不等式若x＞0時，0＜y≤，若x＜0時，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結果．【解題方法點撥】基本不等式的應用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當且僅當x＝1時取“＝”號）技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．2．其他不等式的解法【知識點的認識】指、對數(shù)不等式的解法其實最主要的就是兩點，第一點是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點就是學會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運算，下面以例題為講解．【解題方法點撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．證明：對任意的實數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當x＞1時，h'（x）＞0，h（x）為增，當x＜1時，h'（x）＜0，h（x）為減，當x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點其實是大家的計算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當a＞1時，有，解得2＜x＜3．當1＞a＞0時，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當然也可以右邊移到左邊，然后變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點其實主要是學會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點考察學生的運算能力，也是一個比較重要的考點，希望大家好好學習．3．函數(shù)的定義域及其求法【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零．⑤實際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點撥】求函數(shù)定義域，一般歸結為解不等式組或混合組．（1）當函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．4．函數(shù)的最值【知識點的認識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得．【解題方法點撥】①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結合端點的值最后進行比較．【命題方向】本知識點是常考點，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務必引起重視．本知識點未來將仍然以復合函數(shù)為基礎，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導法等．5．函數(shù)的奇偶性【知識點的認識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關解：由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確率．6．對數(shù)的運算性質(zhì)【知識點的認識】對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．7．對數(shù)函數(shù)的圖象【知識點的認識】8．函數(shù)的零點【知識點的認識】一般地，對于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點．即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)．【解題方法點撥】解法﹣﹣二分法①確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）*f（b）＜0，給定精確度；②求區(qū)間（a，b）的中點x1；③計算f（x1）；④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點；⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時零點x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時零點x0∈（x1，b）⑦判斷是否滿足條件，否則重復（2）～（4）【命題方向】零點其實并沒有多高深，簡單的說，就是某個函數(shù)的零點其實就是這個函數(shù)與x軸的交點的橫坐標，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個零點．這個考點屬于了解性的，知道它的概念就行了．9．函數(shù)零點的判定定理【知識點的認識】1、函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點，但零點不一定唯一．（2）并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點．【解題方法點撥】函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點；②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實數(shù)根．10．函數(shù)的零點與方程根的關系【知識點的認識】函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．【解題方法點撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關的概念和基本的求法即可．11．函數(shù)與方程的綜合運用【知識點的認識】函數(shù)與方程的綜合運用是指結合函數(shù)的性質(zhì)和方程的解法解決復雜問題．【解題方法點撥】﹣函數(shù)性質(zhì)：分析函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)．﹣方程求解：利用函數(shù)性質(zhì)建立方程，求解方程根．﹣綜合應用：將函數(shù)性質(zhì)和方程求解結合，解決實際問題．【命題方向】常見題型包括函數(shù)性質(zhì)和方程解法的綜合運用，解決復雜的數(shù)學問題．12．分段函數(shù)的應用【知識點的認識】分段函數(shù)顧名思義指的是一個函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達式不一樣，有些甚至不是連續(xù)的．這個在現(xiàn)實當中是很常見的，比如說水的階梯價，購物的時候買的商品的量不同，商品的單價也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù)．【解題方法點撥】正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時常會以應用題的形式出現(xiàn)．下面我們通過例題來分析一下分段函數(shù)的解法．例：市政府為招商引資，決定對外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅．某外資廠該年A型產(chǎn)品出廠價為每件60元，年銷售量為11.8萬件．第二年，當?shù)卣_始對該商品征收稅率為p%（0＜p＜100，即銷售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠價上升為每件元，預計年銷售量將減少p萬件．（Ⅰ）將第二年政府對該商品征收的稅收y（萬元）表示成p的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（Ⅱ）要使第二年該廠的稅收不少于16萬元，則稅率p%的范圍是多少？（Ⅲ）在第二年該廠的稅收不少于16萬元的前提下，要讓廠家獲得最大銷售金額，則p應為多少？解：（Ⅰ）依題意，第二年該商品年銷售量為（11.8﹣p）萬件，年銷售收入為（11.8﹣p）萬元，政府對該商品征收的稅收y＝（11.8﹣p）p%（萬元）故所求函數(shù)為y＝（11.8﹣p）p由11.8﹣p＞0及p＞0得定義域為0＜p＜11.8…（4分）（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16化簡得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．故當稅率在[0.02，0.1]內(nèi)時，稅收不少于16萬元．…（9分）（III）第二年，當稅收不少于16萬元時，廠家的銷售收入為g（p）＝（11.8﹣p）（2≤p≤10）∵在[2，10]是減函數(shù)∴g（p）max＝g（2）＝800（萬元）故當稅率為2%時，廠家銷售金額最大．這個典型的例題當中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，這個與分不分段其實無關．我們重點看看分段函數(shù)要注意的地方．第一，要明確函數(shù)的定義域和其相對的函數(shù)表達式；第二注意求的是整個一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論．【命題方向】修煉自己的內(nèi)功，其實分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫個圖來解答．13．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點的認識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學習函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關系已知的應用題①確定函數(shù)關系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應關系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關系未知的應用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結論根據(jù)函數(shù)模型的解，結合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%＝x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故滿足公司要求；D中，函數(shù)y＝x2，易知滿足①，當x＝400時，y＞5不滿足公司要求；故選C點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建，考查方案的優(yōu)化設計，解題的關鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤y（萬元）關于促銷費t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？（