2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之三角函數(shù)

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之三角函數(shù)一．選擇題（共10小題）1．（2024?河南模擬）若，且，則A． B． C． D．2．（2024?雙鴨山四模）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍是A． B． C． D．3．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿(mǎn)足條件的的積屬于區(qū)間A．， B．， C． D．，4．（2024?江西一模）已知集合，，則A． B．， C．，0， D．5．（2024?吉安模擬）若，則A． B．2 C． D．16．（2024?江西一模）已知，則A． B． C． D．7．（2024?遼寧模擬）已知，均為銳角，且，則的最大值是A．4 B．2 C． D．8．（2024?臨沂二模）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，則A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸 C．在上的值域?yàn)?D．將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)9．（2024?南通模擬）已知，，，則A． B． C． D．10．（2024?榆林四模）已知，，則A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是A．的最小正周期為 B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 C．若在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 D．若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為12．（2024?湖南模擬）已知，，下列結(jié)論正確的是A．若的最小正周期為，則 B．若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則 C．若在，上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為 D．存在，使得在上單調(diào)遞減13．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是A． B．為偶函數(shù) C．在上單調(diào)遞增 D．若，則的最小值為14．（2024?安順二模）已知函數(shù)，，則A． B． C．在上單調(diào)遞減 D．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)15．（2024?東陽(yáng)市模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A． B． C．為偶函數(shù) D．在區(qū)間的最小值為三．填空題（共5小題）16．（2024?撫順模擬）已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)最值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．17．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）若，，則．18．（2024?資陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，若存在，，，使得，則的最小值為．19．（2024?東城區(qū)一模）已知角，的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，則，的一組取值可以是，．20．（2024?昆明一模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)，在角終邊上，且，則的值可以是．（寫(xiě)一個(gè)即可）四．解答題（共5小題）21．（2024?天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．22．（2024?青浦區(qū)二模）對(duì)于函數(shù)，其中，．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，若（A），，求的面積．23．（2024?撫州模擬）已知函數(shù)，，，函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知，求的值．24．（2024?東城區(qū)模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．條件①：函數(shù)是奇函數(shù)；條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象；條件③：．25．（2024?南岸區(qū)模擬）已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求在，上的單調(diào)增區(qū)間；（2）在中角，，的對(duì)邊分別是，，滿(mǎn)足，求函數(shù)（A）的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之三角函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?河南模擬）若，且，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【專(zhuān)題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法【分析】由已知結(jié)合兩角差的正弦公式及同角基本關(guān)系可求出，，然后結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，則，，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?雙鴨山四模）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)恰有3條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的圖象【專(zhuān)題】邏輯推理；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】直接利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．【解答】解：由于函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，令，所以，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：余弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?紅谷灘區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿(mǎn)足條件的的積屬于區(qū)間A．， B．， C． D．，【答案】【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；余弦函數(shù)的圖象【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷能否取到最小值進(jìn)行分類(lèi)討論即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)的最小值為，所以，即．若，此時(shí)能取到最小值，即，整理得：，代入可得，滿(mǎn)足要求；若取不到最小值，則需滿(mǎn)足，即，所以或者，所以所有滿(mǎn)足條件的的積屬和，故滿(mǎn)足的區(qū)間為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：余弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．4．（2024?江西一模）已知集合，，則A． B．， C．，0， D．【答案】【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的定義域和值域；交集及其運(yùn)算；一元二次不等式及其應(yīng)用【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；定義法；集合思想【分析】求出，后利用交集的定義可求．【解答】解：，，所以，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的化簡(jiǎn)與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．5．（2024?吉安模擬）若，則A． B．2 C． D．1【答案】【考點(diǎn)】二倍角的三角函數(shù)；兩角和與差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值【專(zhuān)題】邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值【分析】由輔助角公式及兩角和的正弦公式可得，進(jìn)而可得的值．【解答】解：因?yàn)?，，所以，可得，可得，，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2024?江西一模）已知，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；二倍角的三角函數(shù)【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計(jì)算即得．【解答】解：由，得，即，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變形，屬于中檔題．7．（2024?遼寧模擬）已知，均為銳角，且，則的最大值是A．4 B．2 C． D．【答案】【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【專(zhuān)題】三角函數(shù)的求值；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】將變形，配角，利用兩角差的正弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)計(jì)算，可得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)△列不等式求解的取值范圍，即可得最大值．【解答】解：，，，，，，，又因?yàn)闉殇J角，所以該方程有解，△，解得，又為銳角，．所以的最大值是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查兩角和差公式，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?臨沂二模）已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，則A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸 C．在上的值域?yàn)?D．將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)【答案】【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性；函數(shù)的圖象變換【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】借助整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出、的真假；結(jié)合正弦函數(shù)最值可得出的真假；得到平移后的函數(shù)解析式后借助誘導(dǎo)公式即可得出的真假．【解答】解：由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心可得，解得，又，故，即；對(duì)：當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在，，，故在區(qū)間上不為單調(diào)遞增，故錯(cuò)誤；對(duì)：當(dāng)時(shí)，，由不是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，故不是圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故錯(cuò)誤；對(duì)：當(dāng)時(shí)，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)：將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，可得，該函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．9．（2024?南通模擬）已知，，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；整體思想【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角基本關(guān)系，和差角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2024?榆林四模）已知，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【專(zhuān)題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，，可得．故．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）11．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是A．的最小正周期為 B．點(diǎn)為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 C．若在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 D．若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為【答案】【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；整體思想【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷出所給命題的真假．【解答】解：中，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，所以正確；中，因?yàn)?，，所以不正確；中，，，可得，，當(dāng)，時(shí)，有唯一解，當(dāng)，，且時(shí)，兩解，所以，時(shí)，有兩解，所以正確；中，，所以，，所以當(dāng)，時(shí)，即，，函數(shù)，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?湖南模擬）已知，，下列結(jié)論正確的是A．若的最小正周期為，則 B．若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則 C．若在，上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為 D．存在，使得在上單調(diào)遞減【答案】【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)的圖象變換；三角函數(shù)的周期性【專(zhuān)題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】先結(jié)合二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：，對(duì)于，，又，，故正確；對(duì)于，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，若所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則，得，，所以，故正確；對(duì)于，由，，得，若在，上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，則，解得，故正確；對(duì)于，由，，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在上不可能單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是A． B．為偶函數(shù) C．在上單調(diào)遞增 D．若，則的最小值為【答案】【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性；正弦函數(shù)的單調(diào)性【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；函數(shù)思想；綜合法【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可求得，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】解：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，，，錯(cuò)誤；，，是偶函數(shù)，正確；，，在上不單調(diào)，錯(cuò)誤；的最小正周期，若，則的最小值為，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性及周期性等性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．14．（2024?安順二模）已知函數(shù)，，則A． B． C．在上單調(diào)遞減 D．的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換；正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性【專(zhuān)題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，所以，，因?yàn)?，所以，即，?duì)于，，錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，所以正確：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，正確；對(duì)于，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，顯然是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．．15．（2024?東陽(yáng)市模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A． B． C．為偶函數(shù) D．在區(qū)間的最小值為【答案】【考點(diǎn)】由的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先由正弦展開(kāi)式，五點(diǎn)法結(jié)合圖象求出，可得正確，錯(cuò)誤；由誘導(dǎo)公式可得正確；整體代入由正弦函數(shù)的值域可得正確．【解答】解：由題意得，由圖象可得，又，所以，由五點(diǎn)法可得，所以．：由以上解析可得，故正確；：由以上解析可得，故錯(cuò)誤；，故正確；：當(dāng)時(shí)，，所以最小值為，故正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?撫順模擬）已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)最值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【答案】，．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；整體思想【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)先求出的解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的范圍．【解答】解：由題意，函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，則，，，，所以，即，所以，所以，又因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以為偶函數(shù)，則，，又因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)有且只有兩個(gè)最值點(diǎn)，所以，解得．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)最值取得條件的應(yīng)用，屬于中檔題．17．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）若，，則．【答案】．【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；三角函數(shù)的求值；綜合法；邏輯推理【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得到答案．【解答】解：，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?資陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，若存在，，，使得，則的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；綜合法【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式得出，然后根據(jù)題意即可得出，從而可得出的最小值．【解答】解：，因?yàn)榇嬖冢?，使得，所以，解得，即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角差的正弦公式，是中檔題．19．（2024?東城區(qū)一模）已知角，的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且，則，的一組取值可以是，．【答案】；．【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的三角函數(shù)【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解【分析】角，的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，的關(guān)系，再由，由可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出，的一組值．【解答】解：因?yàn)榻牵慕K邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，，又因?yàn)椋傻没?，，所以，或，取，．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?昆明一模）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)，在角終邊上，且，則的值可以是2（答案不唯一）．（寫(xiě)一個(gè)即可）【答案】2（答案不唯一）．【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化法【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，以及三角函數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：點(diǎn)，在角終邊上，且，則，解得，，則的值為，，0，1，2，，故的值可以是0或或．故答案為：2（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?天津）在中，，．（1）求；（2）求；（3）求．【答案】（1）4；（2）；（3）．【考點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；余弦定理【專(zhuān)題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】（1）設(shè)，則，，利用余弦定理能求出；（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系式，先求出．再由正弦定理求出．（3）利用二倍角公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，利用兩角差三角函數(shù)能求出．【解答】解：（1）在中，，，設(shè)，則，，，解得，；（2）由（1）得，，，由正弦定理得，即，解得．（3），，是銳角，且，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．22．（2024?青浦區(qū)二模）對(duì)于函數(shù)，其中，．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，若（A），，求的面積．【答案】（1）．（2）．【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值【分析】（1）先對(duì)恒等變換，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及三角形的面積公式，即可求解．【解答】解：（1），由，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．（2），則，在銳角三角形中，則，故，即，所以，又，所以，，故的面積．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．23．（2024?撫州模擬）已知函數(shù)，，，函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知，求的值．【考點(diǎn)】由的部分圖象確定其解析式【專(zhuān)題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；綜合法【分析】（1）由圖可得，，，的圖象過(guò)點(diǎn)，，可得，，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由（1）及題意得，而，結(jié)合二倍角公式求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)，，由圖可得，，，又，所以，，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，，所以，，即，，因?yàn)椋?，所以．?）由（1）及，得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查二倍角公式，屬于中檔題．24．（2024?東城區(qū)模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．條件①：函數(shù)是奇函數(shù)；條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象；條件③：．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）最大值為1，最小值為．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換；由的部分圖象確定其解析式【專(zhuān)題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】（Ⅰ）結(jié)合函數(shù)圖象可求周期，結(jié)合周期公式即可求解；（Ⅱ）結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性及三角函數(shù)圖象的變換可求，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，即，因?yàn)?，所以，解得．（Ⅱ）選擇條件①：函數(shù)是奇函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，因?yàn)?，所以，于是，，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值為1．當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為；選擇條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，因?yàn)槠鋱D象與的圖象相同，所以，所以，因?yàn)?，所以，于是，，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，取得最大值為1．當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為；選擇條件③：，所以，，此時(shí)不存在．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，還考查了三角函數(shù)圖象變換及正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?南岸區(qū)模擬）已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求在，上的單調(diào)增區(qū)間；（2）在中角，，的對(duì)邊分別是，，滿(mǎn)足，求函數(shù)（A）的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【考點(diǎn)】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【專(zhuān)題】整體思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再利用整體代入法即可得解；（2）利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的和差公式求得角，從而得到的取值范圍，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【解答】解：（1），，，故，由，解得，當(dāng)時(shí)，，又，，所以在，上的單調(diào)增區(qū)間為；（2）由，得，，，，，，，，，，（A）的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換，正弦定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．交集及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒(méi)有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．2．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫(xiě)成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒(méi)有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫(xiě)成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫(xiě)成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問(wèn)題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問(wèn)題：＞0?f（x）?g（x）＞0；＜0?f（x）?g（x）＜0；≥0?；≤0?．3．任意角的三角函數(shù)的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝．2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．【解題方法點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）．【命題方向】已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣4，3），則cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣分析：由條件直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得cosα的值．解：∵角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．三角函數(shù)的周期性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】周期性①一般地，對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．②對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解題方法點(diǎn)撥】1．一點(diǎn)提醒求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω＞0時(shí)，才能把ωx+φ看作一個(gè)整體，代入y＝sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．兩類(lèi)點(diǎn)y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點(diǎn)是：零點(diǎn)和極值點(diǎn)（最值點(diǎn)）．3．求周期的三種方法①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長(zhǎng)度．5．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路1．“負(fù)化正”，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得．6．正弦函數(shù)的定義域和值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的定義域和值域的規(guī)律方法1．求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來(lái)求解．2．求解三角函數(shù)的值域（最值）的常見(jiàn)類(lèi)型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解．7．正弦函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法1．求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx+φ”為一個(gè)整體，通過(guò)解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．8．正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性正弦函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝kπ+，k∈z．【解題方法點(diǎn)撥】例：函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對(duì)稱(chēng)軸方程為x＝．解：由于函數(shù)y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝，而函數(shù)y＝sint的對(duì)稱(chēng)軸為則，解得（k∈Z）則函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對(duì)稱(chēng)軸方程為故答案為．這個(gè)題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡(jiǎn)，化成一個(gè)單獨(dú)的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x﹣看成一個(gè)整體，最后根據(jù)公式把單調(diào)性求出來(lái)即可．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)非常重要，也很簡(jiǎn)單，大家熟記這個(gè)公式，并能夠理解運(yùn)用就可以了．9．余弦函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（k∈Z）；遞減區(qū)間：（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱(chēng)軸：x＝kπ+，k∈Z對(duì)稱(chēng)中心：（k∈Z）對(duì)稱(chēng)軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱(chēng)中心：（k∈Z）無(wú)對(duì)稱(chēng)軸周期2π2ππ10．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟兩種變換的差異先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的．【解題方法點(diǎn)撥】1．一個(gè)技巧列表技巧：表中“五點(diǎn)”中相鄰兩點(diǎn)的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫(xiě)出“五點(diǎn)”的坐標(biāo)．2．兩個(gè)區(qū)別（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個(gè)單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴(lài)于ωx加減多少值．3．三點(diǎn)提醒（1）要弄清楚是平移哪個(gè)函數(shù)的圖象，得到哪個(gè)函數(shù)的圖象；（2）要注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（3）由y＝Asinωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．11．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點(diǎn)確定．12．三角函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2?＝+（cos2x﹣sin2x）＝+cos（2x+）．故答案為：+cos（2x+）．這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái)．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是t＝∴當(dāng)t＝時(shí)函數(shù)有最小值，而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)?？键c(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫(xiě)了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．13．兩角和與差的三角函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．14．二倍角的三角函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對(duì)于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡(jiǎn)即可．【解題方法點(diǎn)撥】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx＝+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）∴其周期T＝＝π．故答案為：π．這個(gè)簡(jiǎn)單的例題的第二個(gè)式子就是一個(gè)二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過(guò)后又使用了和差化積的相關(guān)定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個(gè)公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．【命題方向】本考點(diǎn)也是一個(gè)很重要的考點(diǎn)，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學(xué)多加練習(xí)，熟記各種公式．15．三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時(shí)，如何轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù)，主要的方法就是運(yùn)用它們的周期性．公式①正弦函數(shù)有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數(shù)有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數(shù)有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函數(shù)有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．【解題方法點(diǎn)撥】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式＝．先利用誘導(dǎo)公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）轉(zhuǎn)化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函數(shù)值求得問(wèn)題的答案．這其實(shí)也就是一個(gè)化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題，解題時(shí)的基本要求一定要是恒等變換．【命題方向】本考點(diǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，三角函數(shù)在高考中占的比重是相當(dāng)大的，所有有必要認(rèn)真掌握三角函數(shù)的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而且三角函數(shù)的難度相對(duì)于其他模塊來(lái)說(shuō)應(yīng)該是比較簡(jiǎn)單的．16．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．17．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時(shí)，＝||||；當(dāng)，方向相反時(shí)，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）（4）cosθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類(lèi)比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類(lèi)比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類(lèi)比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類(lèi)比得到“（）?＝”；⑥“”類(lèi)比得到．以上的式子中，類(lèi)比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律，∴“mn＝nm”類(lèi)比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿(mǎn)足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類(lèi)比得到“?”，即③錯(cuò)誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類(lèi)比得到“||＝||?||”；即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類(lèi)比得到“（）?＝”，即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消元律，∴”不能類(lèi)比得到，即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律，由“mn＝nm”類(lèi)比得到“”；向量的數(shù)量積滿(mǎn)足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類(lèi)比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類(lèi)比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類(lèi)比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消元律，故”不能類(lèi)比得到．【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．18．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△AB