2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓與方程

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓與方程一．選擇題（共10小題）1．（2024?廣西模擬）已知圓的方程為，為圓上任意一點，則的取值范圍是A．， B．， C．，， D．，，2．（2024?香坊區(qū)校級模擬）已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是A． B． C． D．3．（2024?昌平區(qū)模擬）若圓與軸，軸均有公共點，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，4．（2024?河池模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓．已知點，，動點滿足，若點的軌跡與圓有且僅有三條公切線，則A． B．1 C．2 D．35．（2024?山東模擬）已知直線和曲線有公共點，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，6．（2024?江西模擬）若點在圓的外部，則的取值范圍為A．， B．， C． D．7．（2024?全國）圓與圓交于，兩點，則直線的方程為A． B． C． D．8．（2024?北京）圓的圓心到的距離為A． B．2 C．3 D．9．（2024?和平區(qū)二模）過直線上的點作圓的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對稱時，點的坐標為A． B． C． D．10．（2024?樂山三模）已知圓，點，點是上的動點，過作圓的切線，切點分別為，，直線與交于點，則的最小值為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?青島模擬）已知動點，分別在圓和上，動點在軸上，則A．圓的半徑為3 B．圓和圓相離 C．的最小值為 D．過點作圓的切線，則切線長最短為12．（2024?金安區(qū)校級模擬）已知圓，點是圓上的一點，則下列說法正確的是A．圓關(guān)于直線對稱 B．已知，，則的最小值為 C．的最小值為 D．的最大值為13．（2024?洪山區(qū)校級模擬）已知，，，是圓上兩點，則下列結(jié)論正確的是A．若點到直線的距離為，則 B．若的面積為，則 C．若，則點到直線的距離為 D．的最大值為，最小值為14．（2024?江西模擬）設(shè)圓，直線，為上的動點，過點作圓的兩條切線、，切點為、，、為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有A．的取值范圍為， B．四邊形面積的最大值為 C．滿足的點有兩個 D．的面積最大值為15．（2024?日照模擬）已知，，，是曲線上不同的兩點，為坐標原點，則A．的最小值為3 B． C．若直線與曲線有公共點，則 D．對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在，兩點處的切線垂直三．填空題（共5小題）16．（2024?蓮湖區(qū)校級三模）已知點與圓，是圓上任意一點，則的最小值是．17．（2024?撫州模擬）若直線與圓交于，兩點，則．18．（2024?浦東新區(qū)二模）已知圓，圓，若兩圓相交，則實數(shù)的取值范圍為．19．（2024?武清區(qū)校級模擬）已知直線與圓相交于，兩點，且，則實數(shù)．20．（2024?和平區(qū)模擬）已知圓以點為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半徑最大時，圓的標準方程為．四．解答題（共5小題）21．（2024?黑龍江模擬）已知圓，．（1）證明：圓過定點；（2）當(dāng)時，點為直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線的方程．22．（2024?自貢二模）已知圓與直線相交于點，．（1）求點，的坐標；（2）設(shè)是直線上，圓外的任意一點，過點作圓的切線，，切點為，，求證：經(jīng)過，兩點的直線必過定點，并求出該定點的坐標．23．（2024?蘇州三模）已知圓，直線，直線和圓交于，兩點，過，分別作直線的垂線，垂足為，．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求四邊形的面積取最大值時，對應(yīng)實數(shù)的值；（3）若直線和直線交于點，問是否存在實數(shù)，使得點在一條平行于軸的直線上？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．24．（2024?徐州模擬）將圓上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），所得曲線為．記，，過點的直線與交于不同的兩點，，直線，與分別交于點，．（1）求的方程；（2）設(shè)直線，的傾斜角分別為，．當(dāng)時：求的值；若有最大值，求的取值范圍．25．（2024?重慶模擬）設(shè)為實數(shù)，直線和圓相交于，兩點．（1）若，求的值；（2）點在以為直徑的圓外（其中為坐標原點），求的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之圓與方程參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?廣西模擬）已知圓的方程為，為圓上任意一點，則的取值范圍是A．， B．， C．，， D．，，【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的一般方程【專題】數(shù)學(xué)運算；計算題；直線與圓；整體思想；演繹法；邏輯推理【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為斜率的問題，然后考查臨界條件和直線與圓的位置關(guān)系即可求得取值范圍．【解答】解：圓的方程即：，表示圓上的點與點連線的斜率，考查臨界情況，即直線與圓相切的情況：設(shè)直線方程為：，即，圓心到直線的距離等于半徑，即：，解得：，則的取值范圍是．故選：．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題．2．（2024?香坊區(qū)校級模擬）已知圓，圓，兩圓的公共弦所在直線方程是A． B． C． D．【答案】【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定；兩圓的公切線條數(shù)及方程的確定【專題】方程思想；作差法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算【分析】利用兩圓的方程，作差即可求得公共弦所在直線方程．【解答】解：由圓，圓，兩式作差得，，即，所以兩圓的公共弦所在直線方程是．故選：．【點評】本題考查了由兩圓方程求公共弦所在直線方程問題，是基礎(chǔ)題．3．（2024?昌平區(qū)模擬）若圓與軸，軸均有公共點，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的一般方程【專題】直線與圓；計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；邏輯推理；綜合法【分析】首先把圓的一般式轉(zhuǎn)換為頂點式，進一步求出實數(shù)的取值范圍．【解答】解：圓，整理得，由于圓與軸和軸均有公共點，所以且且；解得．故實數(shù)的取值范圍為，．故選：．【點評】本題考查的知識點：圓的一般式和頂點式的轉(zhuǎn)換，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?河池模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓．已知點，，動點滿足，若點的軌跡與圓有且僅有三條公切線，則A． B．1 C．2 D．3【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系；軌跡方程【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算【分析】設(shè)，應(yīng)用兩點距離公式和已知條件求得動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，再由公切線的條數(shù)判斷位置關(guān)系，結(jié)合圓心距與半徑的關(guān)系即可．【解答】解：設(shè)，則，整理得，所以動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，而圓可化為的圓心為，半徑為，點的軌跡與圓有且僅有三條公切線，點的軌跡與圓外切，由于和的距離，則，．故選：．【點評】本題考查軌跡問題，考查圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024?山東模擬）已知直線和曲線有公共點，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系【分析】將曲線化為，若直線與曲線有交點，則由圖可求出直線與曲線相切時切線的斜率，其中用到圓心到直線的距離等于半徑求解即可．【解答】解：因為，所以直線恒過定點，曲線化簡即為，如圖所示：由圖可知，若直線與曲線有交點，則直線介于與之間即可，由圓心到直線的距離等于半徑得，整理得：，解得或（舍，同理，由圓心到直線的距離等于半徑得，整理得，解得（舍或，所以．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查方程思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．6．（2024?江西模擬）若點在圓的外部，則的取值范圍為A．， B．， C． D．【答案】【考點】點與圓的位置關(guān)系【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運算求解【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，列式算出，然后根據(jù)點在圓的外部，列式算出，再求交集即可得到本題的答案．【解答】解：方程表示圓，所以，解得，因為點在圓的外部，所以將點代入圓方程的左邊，得，解得．綜上所述，，實數(shù)的取值范圍為，．故選：．【點評】本題主要考查二元二次方程表示圓的條件、點與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用、不等式的解法等知識，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?全國）圓與圓交于，兩點，則直線的方程為A． B． C． D．【答案】【考點】相交弦所在直線的方程【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓【分析】將兩圓的方程相減，即可求解．【解答】解：圓，即①，圓，即②，②①可得，化簡整理可得，，故直線的方程為．故選：．【點評】本題主要考查公共弦直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?北京）圓的圓心到的距離為A． B．2 C．3 D．【答案】【考點】圓的一般方程【專題】轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；數(shù)學(xué)運算；計算題；綜合法【分析】求解圓的圓心坐標，利用點到直線的距離公式求解即可．【解答】解：圓的圓心，圓的圓心到的距離：．故選：．【點評】本題考查圓的方程的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．9．（2024?和平區(qū)二模）過直線上的點作圓的兩條切線，，當(dāng)直線，關(guān)于直線對稱時，點的坐標為A． B． C． D．【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的切線方程【專題】整體思想；直線與圓；計算題；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點等知識求得正確答案．【解答】解：圓的圓心為，直線，關(guān)于直線對稱時，則直線與直線垂直，所以直線的方程為，，由，解得，所以．故選：．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．10．（2024?樂山三模）已知圓，點，點是上的動點，過作圓的切線，切點分別為，，直線與交于點，則的最小值為A． B． C． D．【答案】【考點】圓上的點到定點的距離及其最值【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法；直線與圓【分析】設(shè)動點，利用三角形相似求出點的坐標，然后代入直線的方程，得到點的軌跡方程為圓，轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值進行求解即可．【解答】解：設(shè)，解：設(shè)，由，可得，故，所以點，，將點的坐標代入直線，化簡可得，不同時為，故點的軌跡是以為圓心，為直徑的圓，所以的最小值即為點到圓心的距離減去半徑，故的最大值為．故選：．【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，要掌握常見的求解軌跡的方法：直接法、定義法、代入法、消參法、交軌法等等，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?青島模擬）已知動點，分別在圓和上，動點在軸上，則A．圓的半徑為3 B．圓和圓相離 C．的最小值為 D．過點作圓的切線，則切線長最短為【答案】【考點】由圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程或參數(shù)【專題】轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】項，根據(jù)圓的方程即可得；項，計算圓心距與半徑之間的關(guān)系；項，根據(jù)對稱性可得；項，利用勾股定理可得．【解答】解：的半徑為，錯誤；圓和圓圓心距為，則圓和圓相離；項，作關(guān)于軸的對稱點，則，所以，錯誤；項，點到圓的切線長最小時，軸，圓心到軸的距離為2，切線長的最小值為：，正確．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．12．（2024?金安區(qū)校級模擬）已知圓，點是圓上的一點，則下列說法正確的是A．圓關(guān)于直線對稱 B．已知，，則的最小值為 C．的最小值為 D．的最大值為【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】計算題；數(shù)學(xué)運算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓【分析】利用圓心在直線上，即可判斷選項，利用三角代換即可判斷選項，，利用圓上點與定點連線的斜率的幾何意義，即可判斷選項．【解答】解：圓，可化為，圓心，半徑3，．顯然直線過點，其為圓的圓心，因此圓關(guān)于直線對稱，因此選項正確．．點是圓上的一點，有，設(shè)，．，，則，因此選項正確．，因此選項錯誤．．，理解成點與點連線的斜率，取最大時，即為過點的直線與圓相切時，直線的斜率，故設(shè)過點的直線為，即，圓心到的距離，解得或（舍去），即的最大值為，因此選項正確．故選：．【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，與圓有關(guān)的最值問題，點到直線距離公式的理解與應(yīng)用，圓的方程的理解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．13．（2024?洪山區(qū)校級模擬）已知，，，是圓上兩點，則下列結(jié)論正確的是A．若點到直線的距離為，則 B．若的面積為，則 C．若，則點到直線的距離為 D．的最大值為，最小值為【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】數(shù)學(xué)運算；對應(yīng)思想；定義法；直線與圓【分析】利用弦長公式判定選項正確；先利用三角形的面積公式求出，再結(jié)合角的范圍判定選項錯誤；利用數(shù)量積的計算公式求出，進而判定三角形的形狀判定選項正確；設(shè)，，且，利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)判定選項錯誤．【解答】解：對于：易知圓的半徑，因為點到直線的距離，所以，即選項正確；對于：因為的面積為，所以，即，解得，因為，所以或，即選項錯誤；對于：因為，所以，即，即，因為，所以，是邊長為1的等邊三角形，所以點到直線的距離為，即選項正確；對于：由題意設(shè)，，且，則，因為，所以，則，，，所以，即，即選項錯誤．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．14．（2024?江西模擬）設(shè)圓，直線，為上的動點，過點作圓的兩條切線、，切點為、，、為圓上任意兩點，則下列說法中正確的有A．的取值范圍為， B．四邊形面積的最大值為 C．滿足的點有兩個 D．的面積最大值為【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合題【分析】根據(jù)切線長公式即可求解，，，根據(jù)三角形的面積公式可求解．【解答】解：圓心到直線的距離，所以，因為圓的半徑為，根據(jù)切線長公式可得，當(dāng)時取得等號，所以的取值范圍為，，故正確；因為，所以四邊形的面積等于，四邊形的最小值為，故錯誤；因為，所以，在直角三角形中，，所以，設(shè)，因為，整理得，則有△，所以滿足條件的點有兩個，故正確；因為，所以當(dāng)，即，面積有最大值為，此時四邊形為正方形，則，滿足要求，故錯誤，故選：．【點評】本題考查切線長定理，考查三角形的面積，考查兩點間的距離公式，屬中檔題．15．（2024?日照模擬）已知，，，是曲線上不同的兩點，為坐標原點，則A．的最小值為3 B． C．若直線與曲線有公共點，則 D．對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在，兩點處的切線垂直【答案】【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】解題思想；能力層次；綜合題；解題方法；高考數(shù)學(xué)專題；數(shù)學(xué)運算；方程思想【分析】根據(jù)題中曲線表達式去絕對值化簡，根據(jù)表達式求值判定，根據(jù)幾何意義判斷，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系判斷，根據(jù)圖形特征以及切線概念判斷．【解答】解：因為，所以①當(dāng)時，曲線的方程為：，即，此時，所以，解得，則此時，所以曲線是上半橢圓；②當(dāng)時，曲線的方程為：，即，將代入，解得或，則此時，曲線是以為圓心，2為半徑的圓在軸下側(cè)的部分，作出曲線的圖形如下：選項：當(dāng)時，，當(dāng)時取最小值3，當(dāng)時，，當(dāng)時取最小值1，則的最小值為1，故錯誤；選項：因為表示點，與點和點的距離之和，當(dāng)時，點和點為橢圓的焦點，由橢圓定義可知，當(dāng)時，點為圓的圓心，點在圓上，所以，當(dāng)點在或時最大，且為2，所以，故正確；選項：直線過定點，當(dāng)直線經(jīng)過或時，直線斜率，聯(lián)立，化簡得，因直線與曲線有公共點，即△，解得或，所以直線與曲線有公共點時，故正確；選項：當(dāng)點在橢圓上時，對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，則曲線在點處的切線斜率可以取任何非零正實數(shù)，曲線在軸右側(cè)橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零負實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，同理，當(dāng)點在圓上時，對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，則曲線在點處的切線斜率可以取任何非零負實數(shù)，曲線在軸右側(cè)圓部分切線斜率也可以取到任何非零正實數(shù)，使得兩切線斜率為負倒數(shù)，所以對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在，兩點處的切線垂直，故正確．故選：．【點評】本題考查解析幾何的綜合問題，屬中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?蓮湖區(qū)校級三模）已知點與圓，是圓上任意一點，則的最小值是5．【考點】：點與圓的位置關(guān)系【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；：直線與圓【分析】求出點與圓的圓心的距離，用此距離減去半徑即為所求．【解答】解：點與圓的圓心的距離等于，故的最小值是10減去半徑5，等于5，故答案為：5．【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，圓外一點與圓上的點間的最小距離等于點與圓心的距離減去半徑．17．（2024?撫州模擬）若直線與圓交于，兩點，則．【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】直線與圓；數(shù)學(xué)運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點到直線距離公式求圓心到直線的距離，再由幾何法求弦長即可．【解答】解：由圓，故圓心，半徑為，直線，故圓心到直線的距離為，．答案為：．【點評】本題考查直線與圓的綜合運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?浦東新區(qū)二模）已知圓，圓，若兩圓相交，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】．【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；計算題；直線與圓；綜合法【分析】由已知結(jié)合兩圓位置關(guān)系的條件建立關(guān)于的不等式，即可分別求解．【解答】解：因為圓可化為，圓心，半徑為1，圓可化為，圓心，半徑為3，，若兩圓相交，則，即．故答案為：．【點評】本題主要考查了兩圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?武清區(qū)校級模擬）已知直線與圓相交于，兩點，且，則實數(shù)．【答案】．【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】綜合法；方程思想；數(shù)學(xué)運算；直線與圓【分析】利用垂徑定理列方程求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑，若，則圓心到直線即的距離，又由圓心到直線的距離，則有，解可得：．故答案為：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?和平區(qū)模擬）已知圓以點為圓心，且與直線相切，則滿足以上條件的圓的半徑最大時，圓的標準方程為．【答案】．【考點】直線與圓的位置關(guān)系；圓的標準方程【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；綜合法；數(shù)學(xué)運算【分析】確定直線過定點，可得最大半徑，求出所求圓的標準方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：直線，可化為，且，，，直線過定點，當(dāng)圓半徑最大時，半徑，所求圓的標準方程為．故答案為：．【點評】本題考查圓的方程，考查直線過定點，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?黑龍江模擬）已知圓，．（1）證明：圓過定點；（2）當(dāng)時，點為直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線的方程．【答案】（1）證明見解析．（2）面積最小值為，．【考點】切點弦及所在直線的方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；計算題；直線與圓；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）依題意改寫圓的方程，令參數(shù)的系數(shù)為0即可；（2）依題意表示出所求面積，再用點到直線的距離公式即可求解．【解答】解：（1）依題意，將圓的方程化為，令，即，則恒成立，解得，，即圓過定點．（2）當(dāng)時，圓，直線，設(shè)，依題意四邊形的面積，當(dāng)取得最小值時，四邊形的面積最小，又，即當(dāng)最小時，四邊形的面積最小，圓心到直線的距離即為的最小值，即，，即四邊形面積最小值為，此時直線與直線垂直，所以直線的方程為，與直線聯(lián)立，解得，設(shè)以為直徑的圓上任意一點，，故圓的方程為，即，又圓，兩式作差可得直線方程．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．22．（2024?自貢二模）已知圓與直線相交于點，．（1）求點，的坐標；（2）設(shè)是直線上，圓外的任意一點，過點作圓的切線，，切點為，，求證：經(jīng)過，兩點的直線必過定點，并求出該定點的坐標．【答案】（1），；（2）證明見解析，．【考點】直線與圓的位置關(guān)系；過圓外一點的圓的切線方程【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；整體思想；直線與圓【分析】（1）聯(lián)立求解即可；（2）先設(shè)，，，，，然后求出經(jīng)過，兩點的直線方程為，再令即可求解．【解答】解：（1）已知圓與直線相交于點，，聯(lián)立，解得：或，即，；（2）證明：設(shè)，設(shè)，，，，則所在直線方程為，所在直線方程為，又在切線，上，則，即經(jīng)過，兩點的直線方程為，令，則，即經(jīng)過，兩點的直線必過定點，且該定點的坐標為．【點評】本題考查了圓的性質(zhì)，重點考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．23．（2024?蘇州三模）已知圓，直線，直線和圓交于，兩點，過，分別作直線的垂線，垂足為，．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求四邊形的面積取最大值時，對應(yīng)實數(shù)的值；（3）若直線和直線交于點，問是否存在實數(shù)，使得點在一條平行于軸的直線上？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，四邊形的面積取最大值．（3），理由見解答．【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；方程思想；直線與圓【分析】（1）由直線與圓相交，可建立關(guān)于的不等式，解出即可；（2）聯(lián)立直線與圓方程，進而用表示出四邊形的面積，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（3）表示出直線和直線的方程，聯(lián)立方程組，得到的值，再結(jié)合題意可得的值．【解答】解：（1）由已知，圓心到直線的距離，所以，即實數(shù)的取值范圍為；（2）設(shè)，，，，則，，由，得，則，，四邊形的面積，令（b），，則（b），令（b）得，當(dāng)時，（b），（b）單調(diào)遞增，當(dāng)時，（b），（b）單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，四邊形的面積取最大值．（3），，直線和直線，聯(lián)立得，所以時，點在一條平行于軸的直線上．【點評】本題考查直線與圓的綜合運用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查函數(shù)思想以及運算求解能力，屬于中檔題．24．（2024?徐州模擬）將圓上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），所得曲線為．記，，過點的直線與交于不同的兩點，，直線，與分別交于點，．（1）求的方程；（2）設(shè)直線，的傾斜角分別為，．當(dāng)時：求的值；若有最大值，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；．【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；計算題；整體思想；直線與圓【分析】（1）設(shè)所求軌跡上的任意點為，且對應(yīng)的點為，，列出關(guān)系式，代入即可求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理求得和，再結(jié)合，，三點共線，求得，利用斜率公式，即可求解；設(shè)直線為，得到直線的斜率為，求得，利用基本不等式，得到取得最大值，再聯(lián)立方程組，結(jié)合△，得到，進而求得的取值范圍．【解答】（1）解：設(shè)所求軌跡上的任意點為，與對應(yīng)的點為，，代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為；（2）解：設(shè)直線的方程為，，，，，，，，，聯(lián)立方程組，整理得，則△，且，可得，所以，可得，所以，同理可得，又因為，，三點共線，可得，即，所以，所以；設(shè)直線的方程為，其中，由知，直線的斜率為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，聯(lián)立方程組，整理得，則△，解得，若有最大值，則，又因為，所以實數(shù)的取值范圍為．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于難題．25．（2024?重慶模擬）設(shè)為實數(shù)，直線和圓相交于，兩點．（1）若，求的值；（2）點在以為直徑的圓外（其中為坐標原點），求的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【考點】直線與圓的位置關(guān)系【專題】直線與圓；綜合法；數(shù)學(xué)運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）根據(jù)的長度，計算出圓心到直線的距離，然后根據(jù)點到直線的距離公式，列式算出的值；（2）若點在以為直徑的圓外，則，因此利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)與韋達定理，算出實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）圓，即，圓心為，半徑．若，則點到直線的距離，所以，解得或；（2）由消去，得，由△，得，解得．設(shè)，，，，則，，所以，若點在以為直徑的圓外，則，可得，即，所以，即，結(jié)合可得，綜上所述，，即的取值范圍是．【點評】本題主要考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、向量數(shù)量積的性質(zhì)等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．

考點卡片1．圓的標準方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標準方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當(dāng)圓心為坐標原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題方法點撥】已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設(shè)方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程．【命題方向】可以是以單獨考點進行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標準方程作為基礎(chǔ)考點往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進行轉(zhuǎn)化．例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點（1，﹣3）的圓的標準方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：設(shè)出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程．解答：設(shè)圓的標準方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圓M經(jīng)過點（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5點評：本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑．例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圓的標準方程，半徑已知，只需找出圓心坐標，設(shè)出圓心坐標為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標的絕對值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關(guān)系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標，根據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程即可．解答：設(shè)圓心坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d＝＝r＝1，化簡得：|4a﹣3b|＝5①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），∴圓心坐標為（2，1），則圓的標準方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故選：A點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標準方程，若直線與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學(xué)生靈活運用點到直線的距離公式，以及會根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程．例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（）A．1B．C．2D．4分析：把圓的方程化為標準形式，即可求出圓的半徑．解答：圓x2+y2+2y＝1化為標準方程為x2+（y+1）2＝2，故半徑等于，故選B．點評：本題考查圓的標準方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標準形式，是解題的關(guān)鍵．2．圓的一般方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圓心坐標為（﹣，﹣），半徑r＝．3．圓的一般方程的特點：（1）x2和y2系數(shù)相同，且不等于0；（2）沒有xy這樣的二次項．以上兩點是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圓的必要非充分條件．3．點與圓的位置關(guān)系【知識點的認識】點與圓的位置關(guān)系分為在園內(nèi)，在圓上和在圓外，判斷的方法就是該點到圓心的距離和圓半徑的大小之間的比較．①當(dāng)點到圓心的距離小于半徑時，點在圓內(nèi)；②當(dāng)點到圓心的距離等于半徑時，點在圓上；③當(dāng)點到圓心的距離大于半徑時，點在圓外．4．圓的切線方程【知識點的認識】圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點是與圓只有一個交點，且過圓心與切點的直線垂直切線．圓的切線方程的類型：（1）過圓上一點的切線方程：對于這種情況我們可以通過圓心與切點的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過圓外一點的切線方程．這種情況可以先設(shè)直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個解（交點）時斜率的值，進而求出直線方程．【解題方法點撥】例1：已知圓：（x﹣1）2+y2＝2，則過點（2，1）作該圓的切線方程為．解：圓：（x﹣1）2+y2＝2，的圓心為C（1，0），半徑r＝．①當(dāng)直線l經(jīng)過點P（2，1）與x軸垂直時，方程為x＝2，∵圓心到直線x＝2的距離等于1，∴直線l與圓不相切，即x＝2不符合題意；②當(dāng)直線l經(jīng)過點P（2，1）與x軸不垂直時，設(shè)方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直線l與圓：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑，即d＝＝，解之得k＝﹣1，因此直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），化簡得x+y﹣3＝0．綜上所述，可得所求切線方程為x+y﹣3＝0．這里討論第一種情況是因為k不一定存在，所以單獨討論，用的解題思想就是我上面所說，大家可以對照著看就是．例2：從點P（4，5）向圓（x﹣2）2+y2＝4引切線，則圓的切線方程為．解：由圓（x﹣2）2+y2＝4，得到圓心坐標為（2，0），半徑r＝2，當(dāng)過P的切線斜率不存在時，直線x＝4滿足題意；當(dāng)過P的切線斜率存在時，設(shè)為k，由P坐標為（4，5），可得切線方程為y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圓心到切線的距離d＝r，即＝2，解得：k＝，此時切線的方程為y﹣5＝（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，綜上，圓的切線方程為x＝4或21x﹣20y+16＝0．這個例題用的方法也是前面所說，但告訴我們一個基本性質(zhì)，即圓外的點是可以做兩條切線的，所以以后解題只求出一條的時候就要想是不是少寫了一種．【命題方向】本考點也是比較重要的一個知識點，但解題方法很死板，希望大家都能準確的掌握，確保不丟分．5．過圓外一點的圓的切線方程【知識點的認識】﹣外切線方程：給定圓的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外點（x0，y0），可以使用切線公式：其中R是與圓外切的圓的半徑．【解題方法點撥】﹣求切線方程：1．計算切點：找到外點到圓的距離，即切線半徑．2．應(yīng)用公式：使用切線方程公式計算得到切線方程．【命題方向】﹣外切線問題：考查如何找到通過圓外一點的切線方程，涉及到切線長度和幾何計算．6．切點弦及所在直線的方程【知識點的認識】﹣切點弦的方程：給定圓和切線的方程，可以找到切點弦的方程．【解題方法點撥】﹣求弦方程：1．計算切點：通過切線方程和圓的交點得到切點坐標．2．求弦方程：根據(jù)切點和圓的幾何性質(zhì)計算弦的方程．【命題方向】﹣弦方程問題：考查如何從切點和圓的方程求解弦的方程，涉及幾何和代數(shù)運算．7．直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認識】直線與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．圓心到直線的距離d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相離：d＞r（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．由消元，得到一元二次方程的判別式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相離：△＜0．8．圓上的點到定點的距離及其最值【知識點的認識】﹣最值問題：圓上的點到定點的距離范圍是最小和最大值，分別是圓心到定點距離減去半徑和加上半徑．【解題方法點撥】﹣最值計算：1．計算距離：使用點到圓心的距離和半徑計算最小值和最大值．2．應(yīng)用幾何性質(zhì)：利用圓的幾何性質(zhì)計算距離的范圍．【命題方向】﹣距離最值：考查如何計算圓上的點到定點的距離的最值，涉及幾何和代數(shù)方法．9．圓與圓的位置關(guān)系及其判定【知識點的認識】圓與圓