2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練6

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練6一．選擇題（共10小題）1．（2024?新泰市校級(jí)模擬）已知集合，若，，且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)，，的個(gè)數(shù)是A．16 B．24 C．32 D．482．（2024?哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）已知，，則下面正確的是A． B． C． D．3．（2024?深圳模擬）已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限4．（2024?浙江模擬）函數(shù)的圖象不可能是A． B． C． D．5．（2024?東莞市校級(jí)模擬）高斯是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作，是指不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域．若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)锳． B． C． D．6．（2024?江蘇模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．17．（2024?廣漢市校級(jí)模擬）某次“最強(qiáng)大腦”節(jié)目中，主持人出題：一個(gè)35位整數(shù)的31次方根仍是一個(gè)整數(shù)，下面我報(bào)出這個(gè)35位數(shù)，請(qǐng)說出它的31次方根未等主持人報(bào)出數(shù)字，臺(tái)下已經(jīng)有人報(bào)出答案：13．淮安市某中學(xué)舉辦“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，其中也有一個(gè)類似問題：下列選項(xiàng)中，最接近的是（其中，，A．4 B．5 C．6 D．78．（2024?東湖區(qū)校級(jí)四模）已知，，，則A． B． C． D．9．（2024?威寧縣校級(jí)模擬）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．10．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，若且，則下列式子一定成立的是A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?山東模擬）已知，，，則A．的最大值為 B．的最小值為8 C．的最小值為 D．的最小值為12．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，且（a）（b），則下列說法正確的是A． B． C．的最小值為 D．13．（2024?金安區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，，且，則下列關(guān)系式可能成立的是A． B． C． D．14．（2024?鹽城一模）已知，，且，，則A． B． C． D．15．（2024?重慶模擬）已知，，且，則A． B． C． D．三．填空題（共5小題）16．（2024?浦東新區(qū)三模）已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，，則．17．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，已知函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，滿足，若將該函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則．18．（2024?回憶版）已知，，則．19．（2024?廣東模擬）若，則．20．（2024?咸陽模擬）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為．四．解答題（共5小題）21．（2023?廣西一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（2023?青島學(xué)業(yè)考試）若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”．（1）求證：對(duì)任意“好數(shù)”，一定為20的倍數(shù)；（2）若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值．23．（2023?南京二模）已知函數(shù)，．（1）若，求證：；（2）若關(guān)于的不等式的解集為集合，且，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．24．（2022?德陽模擬）已知函數(shù)，的最大值為1．（1）求常數(shù)的值；（2）若，，求證：．25．（2021?神木市校級(jí)一模）已知是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，．（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練6參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?新泰市校級(jí)模擬）已知集合，若，，且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)，，的個(gè)數(shù)是A．16 B．24 C．32 D．48【答案】【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念；冪函數(shù)的單調(diào)性與最值；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值【專題】分類討論；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；排列組合；邏輯思維；運(yùn)算求解【分析】滿足各個(gè)函數(shù)在的參數(shù)取值均為，由于，，互不相等，有三種情況：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，而冪函數(shù)不滿足；指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，而對(duì)數(shù)函數(shù)不滿足；對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，而指數(shù)函數(shù)不滿足；三個(gè)函數(shù)都在上單調(diào)遞增，分別求出這四種情況的所有可能種數(shù)相加即可．【解答】解：由題意知，滿足指數(shù)函數(shù)且，對(duì)數(shù)函數(shù)且的，取值，且使得它們?cè)趩握{(diào)遞增的，都只有2個(gè)，分別是2，3．滿足冪函數(shù)的取值，且使得它在上單調(diào)遞增的有4個(gè)，分別為，，2，3．由于，，互不相等，有三種情況：①指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，而冪函數(shù)不滿足，有種；②指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，而對(duì)數(shù)函數(shù)不滿足，有種；③對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)在單調(diào)遞增，而指數(shù)函數(shù)不滿足，有種（與②相同）；④三個(gè)函數(shù)都在單調(diào)遞增，有種；由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種選法，也即滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)，，有24個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列與組合的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)模型應(yīng)用問題，是中檔題．2．（2024?哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）已知，，則下面正確的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)抽象；構(gòu)造法；數(shù)形結(jié)合【分析】由題意可得，，可分別看成，與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱性及函數(shù)的單調(diào)性檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，可分別看成，與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)椋膱D象關(guān)于軸對(duì)稱，與的圖象關(guān)于對(duì)稱，且與，交于一點(diǎn)，即，結(jié)合函數(shù)圖象可知，，錯(cuò)誤；令，則在上單調(diào)遞增，且（a），因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；令，則在上單調(diào)遞增，且（b），因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2024?深圳模擬）已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；對(duì)應(yīng)思想【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)圖象平移知識(shí)即可．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位，則函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限，②當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位，則函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限，綜上所述，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．4．（2024?浙江模擬）函數(shù)的圖象不可能是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)分析，當(dāng)時(shí)，分析可得與軸一定有交點(diǎn)，由此分析選項(xiàng)可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是反比例函數(shù)，其圖象與符合；當(dāng)時(shí)，設(shè)，其圖象大致如圖：，函數(shù)，是反比例函數(shù)，其圖象與的圖象一定存在交點(diǎn)，即方程一定有解，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸一定有交點(diǎn)，選項(xiàng)中圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有，與軸沒有交點(diǎn)，故不會(huì)是函數(shù)的圖象．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，涉及函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值符號(hào)的分析，屬于中檔題．5．（2024?東莞市校級(jí)模擬）高斯是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名．用他名字命名的高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作，是指不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，，該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域．若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)锳． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由，得，當(dāng)，時(shí)，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得結(jié)果．【解答】解：由題意得，解得，則的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，令，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)?，所以的值域?yàn)椋蔬x：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的值域，屬于中檔題．6．（2024?江蘇模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】方程思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】通過構(gòu)造，把的方程代換成的式子，之后取對(duì)數(shù)整理．【解答】解：，令，，則，，令時(shí)，則，即，，兩邊取對(duì)數(shù)，，，，，，即，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了構(gòu)造，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，難度比較大．7．（2024?廣漢市校級(jí)模擬）某次“最強(qiáng)大腦”節(jié)目中，主持人出題：一個(gè)35位整數(shù)的31次方根仍是一個(gè)整數(shù)，下面我報(bào)出這個(gè)35位數(shù)，請(qǐng)說出它的31次方根未等主持人報(bào)出數(shù)字，臺(tái)下已經(jīng)有人報(bào)出答案：13．淮安市某中學(xué)舉辦“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，其中也有一個(gè)類似問題：下列選項(xiàng)中，最接近的是（其中，，A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)運(yùn)算求值【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；整體思想【分析】令，可得，兩邊取對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得．【解答】解：令，則，顯然，取常用對(duì)數(shù)得：，則，即，而，，因此，解得，所以最接近的整數(shù)是5．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（2024?東湖區(qū)校級(jí)四模）已知，，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想【分析】由條件得到，，從而得到，，即可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷出，從而得出結(jié)果．【解答】解：由，得到，又，所以，所以，，又，所以，又，，得到，令，則，所以，得到，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又（1），當(dāng)時(shí)，，得到在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以，得到．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵在于判斷，的大小，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果，是中檔題．9．（2024?威寧縣校級(jí)模擬）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系；指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合；構(gòu)造法【分析】畫出直線與函數(shù)和的圖象，根據(jù)與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱；直線的圖象也關(guān)于對(duì)稱，得出交點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，由此判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．【解答】解：畫出直線與函數(shù)和的圖象，如圖所示：因?yàn)榕c互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱；直線的圖象也關(guān)于對(duì)稱，所以交點(diǎn)，，，關(guān)于對(duì)稱；所以，，又，在直線上，所以，即，選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)正確；由，得，設(shè)，則單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)在上，即，由得，，，選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，則（1），，所以，又因?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題．10．（2024?東興區(qū)校級(jí)模擬）定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，若且，則下列式子一定成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】變形得，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由且，得，令，則，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性求解．【解答】解：定義在上的函數(shù)，對(duì)，都有，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，令，則，即，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，，令，得，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為（e），．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?山東模擬）已知，，，則A．的最大值為 B．的最小值為8 C．的最小值為 D．的最小值為【答案】【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】利用基本不等式判斷、、，由，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而判斷．【解答】解：因?yàn)?，，，?duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故正確；對(duì)于，又，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故正確；對(duì)于，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，（b），則（b）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，（b），則（b）單調(diào)遞減，所以（b）（1），所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取等號(hào)，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．12．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)，，且（a）（b），則下列說法正確的是A． B． C．的最小值為 D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】由已知結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象的變化可得，即可判斷，，然后結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，且（a）（b），所以，且，所以，即，正確，錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，但顯然與已知矛盾，錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但顯然等號(hào)無法取得，故，正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．13．（2024?金安區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)，，且，則下列關(guān)系式可能成立的是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；對(duì)數(shù)值大小的比較【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；邏輯推理【分析】先求出，再分別構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性逐一分析能求出結(jié)果．【解答】解：，，，，，解得，對(duì)于，，設(shè)函數(shù)（a），，，（a）在上單調(diào)遞減，則（a）（1），，故對(duì)錯(cuò)；對(duì)于，，，設(shè)（a），，，（a）在上單調(diào)遞減，（a）（1），，若，，對(duì)正確；對(duì)于，，設(shè)（a），，（a），則（a）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（a），（1），，（a），，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查構(gòu)造函數(shù)、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．14．（2024?鹽城一模）已知，，且，，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪及根式；指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；整體思想【分析】由已知結(jié)合指數(shù)及對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可．【解答】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，正確；，所以錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，?dāng)成立，而，故，所以正確；，即，所以正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化公式，還考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2024?重慶模擬）已知，，且，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；基本不等式及其應(yīng)用【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；整體思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法【分析】根據(jù)基本不等式可判定，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判定，根據(jù)基本不等式、對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷．【解答】解：，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確．，，且，，，，，故正確．由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，故錯(cuò)誤．，又，，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論，二次函數(shù)的性質(zhì)在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?浦東新區(qū)三模）已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，，則1．【答案】1．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題【分析】由題意結(jié)合三角換元和三角恒等變換即可求解．【解答】解：實(shí)數(shù)、、、滿足，，可令，，，，則，可得，則．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角換元的運(yùn)用，三角恒等變換，是中檔題．17．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，已知函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，滿足，若將該函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則．【答案】．【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換；函數(shù)的奇偶性；對(duì)數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的圖象【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】由已知結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求出，然后結(jié)合函數(shù)圖象的平移及偶函數(shù)的對(duì)稱性即可求．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，所以的兩根為、，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，若將該函?shù)圖像向右平移個(gè)單位后得到為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)圖象的變換及偶函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?回憶版）已知，，則64．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想【分析】由已知結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【解答】解：因?yàn)椋?，而，故，即．故答案為?4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?廣東模擬）若，則．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡(jiǎn)運(yùn)算求值【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；整體思想【分析】由已知結(jié)合根式的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：若，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根式的化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?咸陽模擬）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為．【答案】．【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用；指數(shù)函數(shù)的圖象【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】判斷給定函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)性質(zhì)求出、的關(guān)系，再借助基本不等式“1”的妙用求解即得．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，即函?shù)是奇函數(shù)，又函數(shù)，都是上的增函數(shù)，則在上遞增，由，得，于是，即，則，而，，即有，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2023?廣西一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）設(shè)，則．由此可知．（2）由題意知，的最小值為4，，由此可知的取值范圍．【解答】解：函數(shù)的定義域滿足，即，（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則．（3分），．（5分）（2）由知，的最小值為4，7分，的取值范圍是．（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．22．（2023?青島學(xué)業(yè)考試）若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”．（1）求證：對(duì)任意“好數(shù)”，一定為20的倍數(shù)；（2）若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）．【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)冪及根式【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；整體思想；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）設(shè)，從而有即可證明；（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而分類討論即可求解．【解答】解：（1）證明：設(shè)，且為整數(shù)，，，且為整數(shù)，是正整數(shù)，一定是20的倍數(shù)；（2），且，為正整數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的，，當(dāng)時(shí)，，滿足條件的有或，解得或，或，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的，，當(dāng)時(shí)，，滿足條件的有，解得，，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的，，當(dāng)時(shí)，，滿足條件的有或，解得或，或，小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了新定義問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．23．（2023?南京二模）已知函數(shù)，．（1）若，求證：；（2）若關(guān)于的不等式的解集為集合，且，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2），．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解【分析】（1）先得到在上單調(diào)遞增，（1），再得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明即可；（2）先得到在上遞減，在，上遞增，再分類討論，求解即可．【解答】證明：（1）若，則，函數(shù)定義域?yàn)?，則在上單調(diào)遞增，（1），當(dāng)時(shí)，（1），當(dāng)時(shí)，（1），則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為（1），（1）；解：（2）為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，則存在，使，在上遞減，在，上遞增，又（1），由（1）可知，有，可得，滿足，；①若，有，存在，使，則，有（a），則，設(shè)（a），，則（a）為增函數(shù)，（1），（a）在上遞增，，，②若，有，存在，使，則，有，符合題意，綜上，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．24．（2022?德陽模擬）已知函數(shù)，的最大值為1．（1）求常數(shù)的值；（2）若，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)綜合題【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）由題可得，分類討論可得時(shí)，，即，然后通過構(gòu)造函數(shù)可求；（2）由題可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即得．【解答】解：（1）由題意，．由于，所以若，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，不合題意；若，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，，所以，兩邊取自然對(duì)數(shù)得：，即，令，則，易知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，（1），即的根為1，所以，即；（2）由（1）知，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（1），，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由，不妨設(shè)，則，令，于是，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，且，，從而，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了轉(zhuǎn)化思想求函數(shù)的最值及極限思想，第一問利用導(dǎo)數(shù)通過分類討論得到，通過兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求的值；第二問關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即證，屬于難題．25．（2021?神木市校級(jí)一模）已知是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，．（1）求的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【考點(diǎn)】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法；：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)【專題】15：綜合題；33：函數(shù)思想；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求函數(shù)的解析式；（2）若，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】解：（1）令，則，時(shí)，，則．（2）（Ⅲ）在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（1），或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵

考點(diǎn)卡片1．基本不等式及其應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實(shí)例解析例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x≠0時(shí)，＝，用基本不等式若x＞0時(shí)，0＜y≤，若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點(diǎn)撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）技巧四：換元對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．技巧七：取平方點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．2．函數(shù)解析式的求解及常用方法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】通過求解函數(shù)的解析式中字母的值，得到函數(shù)的解析式的過程就是函數(shù)的解析式的求解．求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有1、換元法；2、待定系數(shù)法；3、湊配法；4、消元法；5、賦值法等等．【解題方法點(diǎn)撥】常常利用函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征，例如二次函數(shù)的對(duì)稱軸，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等；利用函數(shù)的解析式的求解方法求解函數(shù)的解析式，有時(shí)利用待定系數(shù)法．【命題方向】求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，在三角函數(shù)的解析式中?？迹腔A(chǔ)題．3．函數(shù)的圖象與圖象的變換【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個(gè)步驟（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線．解題方法點(diǎn)撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點(diǎn)，然后連線（平滑曲線）．命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時(shí)結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性知識(shí)結(jié)合命題．圖象的變換1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn)，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象（1）平移變換：y＝f（x）a＞0，右移a個(gè)單位（a＜0，左移|a|個(gè)單位）?y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b個(gè)單位（b＜0，下移|b|個(gè)單位）?y＝f（x）+b．（2）伸縮變換：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．（3）對(duì)稱變換：y＝f（x）關(guān)于x軸對(duì)稱?y＝﹣f（x）；y＝f（x）關(guān)于y軸對(duì)稱?y＝f（﹣x）；y＝f（x）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折變換：y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．【解題方法點(diǎn)撥】1、畫函數(shù)圖象的一般方法（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時(shí)，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．（3）描點(diǎn)法：當(dāng)上面兩種方法都失效時(shí)，則可采用描點(diǎn)法．為了通過描少量點(diǎn)，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法（1）知圖選式：①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；②從圖象的變化趨勢(shì)，觀察函數(shù)的單調(diào)性；③從圖象的對(duì)稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性．利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確的選項(xiàng)．（2）知式選圖：①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確選項(xiàng)．注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項(xiàng)無法排除時(shí)，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；利用此法也可由解的個(gè)數(shù)求參數(shù)值．【命題方向】（1）1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)﹣﹣圖象變換中的易錯(cuò)點(diǎn)在解決函數(shù)圖象的變換問題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò)．（2）3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點(diǎn)：①正確求出函數(shù)的定義域；②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；③掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡(jiǎn)化作圖過程．（3）3種方法﹣﹣?zhàn)R圖的方法對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢(shì)，利用這一特征來分析解決問題；②定量計(jì)算法，也就是通過定量的計(jì)算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．4．函數(shù)的奇偶性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對(duì)稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對(duì)于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識(shí)點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．5．冪函數(shù)的概念【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】?jī)绾瘮?shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．解析式：y＝xa＝定義域：當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1．如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；2．如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)．當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1．在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)．2．在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)．而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域．由于x大于0是對(duì)a的任意取值都有意義的．6．冪函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一、冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y＝xa（a∈R）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常數(shù)．二、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)比式子名稱axy指數(shù)函數(shù)：y＝ax底數(shù)指數(shù)冪值冪函數(shù)：y＝xa指數(shù)底數(shù)冪值三、五個(gè)常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x﹣1定義域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，+∞）時(shí)，增x∈（﹣∞，0]時(shí)，減增增x∈（0，+∞）時(shí)，減x∈（﹣∞，0）時(shí)，減公共點(diǎn)（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）四、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點(diǎn)（1，1）．（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上為增函數(shù)．（3）如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)．（4）當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．7．有理數(shù)指數(shù)冪及根式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點(diǎn)撥】例1：下列計(jì)算正確的是（）A、（﹣1）0＝﹣1B、＝aC、＝3D、＝\;a4{{x}^{2﹣2}}$（a＞0）分析：直接由有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正確；∵$\sqrt{a\sqrt{a}}＝\sqrt{a?{a}^{\frac{1}{2}}}＝\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}＝{a}^{\frac{3}{4}}＝\root{4}{{a}^{3}}$，∴B不正確；∵$\root{4}{（﹣3）^{4}}＝\root{4}{{3}^{4}}＝3$，∴C正確；∵$\frac{（{a}^{x}）^{2}}{{a}^{2}}＝\frac{{a}^{2x}}{{a}^{2}}＝{a}^{2x﹣2}$∴D不正確．故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，考查了有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．例1：若a＞0，且m，n為整數(shù)，則下列各式中正確的是（）A、${a^m}÷{a^n}＝{a^{\frac{m}{n}}}$B、am?an＝am?nC、（am）n＝am+nD、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，先分別判斷四個(gè)備選取答案，從中選取出正確答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am?an＝am+n≠am?n，故不成立；C中，（am）n＝am?n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題時(shí)要熟練掌握基本的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．8．有理數(shù)指數(shù)冪及根式化簡(jiǎn)運(yùn)算求值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義．（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）進(jìn)行互化．﹣利用指數(shù)運(yùn)算法則，如、（am）n＝amn進(jìn)行化簡(jiǎn)．﹣利用根式運(yùn)算法則，如、進(jìn)行化簡(jiǎn)．﹣驗(yàn)證化簡(jiǎn)和運(yùn)算結(jié)果的正確性．【命題方向】題目通常涉及有理數(shù)指數(shù)冪及根式的化簡(jiǎn)和求值，結(jié)合具體問題進(jìn)行運(yùn)算和應(yīng)用．計(jì)算：＝_____．解：＝．故答案為：．9．指數(shù)函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)：y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域（0，+∞）性質(zhì)過定點(diǎn)（0，1）當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；x＜0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；x＜0時(shí)，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2、底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)的影響：①在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當(dāng)a＞l時(shí)，底數(shù)越大，函數(shù)圖象在第一象限越靠近y軸；同樣地，當(dāng)0＜a＜l時(shí)，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸．②底數(shù)對(duì)函數(shù)值的影響如圖．③當(dāng)a＞0，且a≠l時(shí)，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小：若底數(shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較：若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時(shí)要注意結(jié)合圖象及特殊值．10．指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)：y＝axa＞10＜a＜1圖象指數(shù)函數(shù)的圖象特征與其底數(shù)a有關(guān)，不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象形態(tài)不同．【解題方法點(diǎn)撥】﹣當(dāng)0＜a＜1時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，圖象從左上到右下．﹣當(dāng)a＞1時(shí)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，圖象從左下到右上．﹣分析底數(shù)a的取值，確定圖象特征．【命題方向】題目通常涉及指數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系，結(jié)合具體問題分析函數(shù)圖象及其應(yīng)用．如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c＞0，且c≠1），④y＝dx（d＞0，且d≠1）的圖像，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a(chǎn)＜b＜1＜d＜c解：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，c＞d＞1＞a＞b＞0．故選：B．11．指數(shù)函數(shù)綜合題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象和性質(zhì)：0＜a＜1a＞1y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域（0，+∞）性質(zhì)過定點(diǎn)（0，1）當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；x＜0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；x＜0時(shí)，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)2、底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)的影響：①在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作函數(shù)的圖象，易看出：當(dāng)a＞l時(shí)，底數(shù)越大，函數(shù)圖象在第一象限越靠近y軸；同樣地，當(dāng)0＜a＜l時(shí)，底數(shù)越小，函數(shù)圖象在第一象限越靠近x軸．②底數(shù)對(duì)函數(shù)值的影響如圖．③當(dāng)a＞0，且a≠l時(shí)，函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．【解題方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小：若底數(shù)相同而指數(shù)不同，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較：若底數(shù)不同而指數(shù)相同，用作商法比較；若底數(shù)、指數(shù)均不同，借助中間量，同時(shí)要注意結(jié)合圖象及特殊值．12．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】ab＝N?logaN＝b；alogaN＝N；logaaN＝N指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程主要有以下幾種類型：（1）af（x）＝b?f（x）＝logab；logaf（x）＝b?f（x）＝ab（定義法）（2）af（x）＝ag（x）?f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）?f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）af（x）＝bg（x）?f（x）logma＝g（x）logmb；（兩邊取對(duì)數(shù)法）（4）logaf（x）＝logbg（x）?logaf（x）＝；（換底法）（5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（設(shè)t＝logax或t＝ax）（換元法）13．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．14．對(duì)數(shù)運(yùn)算求值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．loga（MN）＝logaM+logaN；loga＝logaM﹣logaN；logaMn＝nlogaM；loga＝logaM．【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用對(duì)數(shù)定義直接求值．﹣利用換底公式進(jìn)行換底運(yùn)算．﹣結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，如loga（mn）＝logam+logan、、進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．【命題方向】常見題型包括計(jì)算對(duì)數(shù)值、簡(jiǎn)化復(fù)雜對(duì)數(shù)表達(dá)式、利用對(duì)數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題．計(jì)算：＝_____．解：原式＝lg2﹣1++lg50＝lg（2×50）﹣1+32＝lg100﹣1+9＝2﹣1+9＝10．故答案為：10．15．求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，我們把函數(shù)y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞），值域是R．對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域是指復(fù)合函數(shù)輸出值的范圍．【解題方法點(diǎn)撥】﹣確定內(nèi)層函數(shù)的值域．﹣將內(nèi)層函數(shù)的值域代入外層對(duì)數(shù)函數(shù)，分析外層函數(shù)的值域．﹣結(jié)合內(nèi)外層函數(shù)的值域，確定復(fù)合函數(shù)的值域．【命題方向】常見題型包括求解對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外層分析其值域．函數(shù)y＝log3（x2﹣2x+4）的值域?yàn)開____．解：因?yàn)閤2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，所以y＝log3（x2﹣2x+4）≥1．故答案為：{y|y≥1}．16．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】17．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象特征與底數(shù)的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征與其底數(shù)