2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練23

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練23一．選擇題（共10小題）1．（2024?射洪市校級三模）某調(diào)查機構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖，則下列結(jié)論中錯誤的是A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上 B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的 C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多 D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多2．（2024?四川模擬）甲、乙兩人進行了10輪的投籃練習，每輪各投10個，現(xiàn)將兩人每輪投中的個數(shù)制成如圖所示折線圖．下列說法正確的是A．甲投中個數(shù)的平均數(shù)比乙投中個數(shù)的平均數(shù)小 B．甲投中個數(shù)的中位數(shù)比乙投中個數(shù)的中位數(shù)小 C．甲投中個數(shù)的標準差比乙投中個數(shù)的標準差小 D．甲投中個數(shù)的極差比乙投中個數(shù)的極差大3．（2024?福建一模）已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：1234566788根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此可以預(yù)測當時，A．8.5 B．9 C．9.5 D．104．（2024?臨汾模擬）人生因閱讀而氣象萬千，人生因閱讀而精彩紛呈．腹有詩書氣自華，讀書有益于開拓眼界、提升格局；最是書香能致遠，書海中深蘊著灼熱的理想信仰、熾熱的國家情懷．對某校高中學生的讀書情況進行了調(diào)查，結(jié)果如下：喜歡讀書不喜歡讀書合計男生26060320女生200合計460附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷是否喜歡閱讀與性別有關(guān)，則的值可以為A．10 B．20 C．30 D．405．（2024?成都模擬）如圖，由觀測數(shù)據(jù)，，2，3，4，5，的散點圖可知，與的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，利用最小二乘法求得關(guān)于的回歸方程．已知，，則A． B． C．1 D．6．（2024?錦江區(qū)校級模擬）第一組樣本點為，，，，第二組樣本點為，，，，第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，則A． B． C． D．7．（2024?遂寧模擬）某公司研發(fā)新產(chǎn)品投入（單位：百萬）與該產(chǎn)品的收益（單位：百萬）的5組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：由表中數(shù)據(jù)求得投入金額與收益滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是5689121620252836A．與有正相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線經(jīng)過點 C． D．時，殘差為0.28．（2024?重慶模擬）假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，，，，，，，兩個變量滿足一元線性回歸模型．要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計，即求使取最小值時的的值，則A． B． C． D．9．（2024?赤峰模擬）下列說法中，正確命題的個數(shù)為①已知隨機變量服從二項分布，若，則．②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是．③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則，的值分別是和0.3．④若樣本數(shù)據(jù)，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為16．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．（2024?長沙模擬）設(shè)集合，2，3，，，現(xiàn)對的任意一非空子集，令表示中最大數(shù)與最小數(shù)之和，則所有這樣的的算術(shù)平均數(shù)為A．501 B．500 C．1002 D．1001二．多選題（共5小題）11．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）下列說法中，正確的是A．一組數(shù)據(jù)5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位數(shù)為18 B．若隨機變量，且，則 C．袋中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和2個白球，從袋中不放回地依次抽取2個球，記事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，則 D．設(shè)隨機事件，，已知（A），，，則（B）12．（2024?青秀區(qū)校級二模）某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于，內(nèi)的學生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學成績方差為10．則參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：．記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，A． B．估計該年級學生成績的中位數(shù)為77.14 C．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50 D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.2513．（2024?山西模擬）某市舉辦了“愛國愛黨”知識競賽．把1000名參賽者的成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，，，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為A．的值為0.035 B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90 C．估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為89 D．估計成績低于80分的有350人14．（2024?海州區(qū)校級模擬）在某次學科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，，，，，五組后，得到如圖的頻率分布直方圖，則A．圖中的值為0.005 B．低于70分的考生人數(shù)約為40人 C．考生成績的平均分約為73分 D．估計考生成績第80百分位數(shù)為83分15．（2024?歷城區(qū)校級模擬）某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于，內(nèi)的學生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學成績方差為10．則A． B．估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14 C．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50 D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25三．填空題（共5小題）16．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計學家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是，繳獲的該月生產(chǎn)的輛坦克編號從小到大為，，，，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機獲取的，因為生產(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，，，，相當于從，中隨機抽取的個整數(shù)，這個數(shù)將區(qū)間，分成個小區(qū)間，由于是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他個區(qū)間都是已知的．由于這個數(shù)是隨機抽取的，所以可以用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進而得到的估計值．例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計學家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為．17．（2024?大理州二模）已知某種商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：134571520304045根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則當時，殘差為．（殘差觀測值預(yù)測值）18．（2024?江蘇模擬）寰宇巨星知更鳥的新專輯《空氣蛹》發(fā)布在某平臺后，其一周內(nèi)的累計播放量如表所示，其中，，2，3，4，5，6，為該專輯發(fā)布后截至第天的累計播放量．若將表中數(shù)據(jù)用經(jīng)驗回歸方程進行擬合，則．（結(jié)果保留3位小數(shù)）天1234567萬次12024034051076012001730參考數(shù)據(jù)及公式，在回歸直線中，，，對于表中的數(shù)據(jù)已知，．19．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知，是兩個具有線性相關(guān)的兩個變量，其取值如下表：123454911其回歸方程為，則．20．（2024?呂梁一模）某市2018年至2022年新能源汽車年銷量（單位：百臺）與年份代號的數(shù)據(jù)如下表：年份20182019202020212022年份代號01234年銷量1015203035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的回歸直線方程為，據(jù)此計算相應(yīng)于樣本點的殘差為．四．解答題（共5小題）21．（2024?靜安區(qū)二模）某高中隨機抽取100名學生，測得他們的身高（單位：，按照區(qū)間，，，，，，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如圖所示）．（1）求身高不低于的學生人數(shù)；（2）將身高在，，，，，區(qū)間內(nèi)的學生依次記為，，三個組，用分層抽樣的方法從三個組中抽取6人．①求從這三個組分別抽取的學生人數(shù)；②若要從6名學生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．22．（2024?包頭模擬）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計（2）經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標準差，的平均濃度的標準差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認為與有較強的線性相關(guān)性．23．（2024?長春模擬）入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”．南方游客紛紛北上，體驗東北最美的冬天．某景區(qū)為給顧客更好的體驗，推出了和兩個套餐服務(wù)，并在購票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：，，．（1）由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導致當天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程（精確到，并估計第10天的正常銷量；（2）假設(shè)每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中套餐包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；（3）記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求數(shù)列的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，，是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．24．（2024?陽江模擬）某學校為了解本學期學生參加公益勞動的情況，從學校內(nèi)隨機抽取了500名高中學生進行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，，，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在，，，，，三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人．記參加公益勞動時間在，內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列和期望；（2）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“”表示這20名學生中恰有名學生參加公益勞動時間在，（單位：小時）內(nèi)的概率，其中，1，2，，20．當最大時，寫出的值．25．（2024?高碑店市校級模擬）甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如表：甲86786591047乙6778678795（1）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的方差；（3）根據(jù)計算的結(jié)果，對甲乙兩人的射擊成績作出評價．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學壓軸訓練23參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?射洪市校級三模）某調(diào)查機構(gòu)對某地快遞行業(yè)從業(yè)者進行調(diào)查統(tǒng)計，得到快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖（圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖（圖，則下列結(jié)論中錯誤的是A．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占一半以上 B．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的 C．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)比“80前”的多 D．快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)比“80后”的多【答案】【考點】統(tǒng)計圖表獲取信息【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算【分析】利用快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖，分析數(shù)據(jù)能求出結(jié)果．【解答】解：由快遞行業(yè)從業(yè)人員年齡分布餅狀圖、“90后”從事快遞行業(yè)崗位分布條形圖得：由題圖可知，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，“90后”占總?cè)藬?shù)的，超過一半，故正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，超過，快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90”后的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的，正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事運營崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，超過“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，故正確；快遞行業(yè)從業(yè)人員中，從事技術(shù)崗位的“90后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比為，小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，但“80后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占“80后”人數(shù)的比未知，故錯誤．故選：．【點評】本題考查餅狀圖、條形圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（2024?四川模擬）甲、乙兩人進行了10輪的投籃練習，每輪各投10個，現(xiàn)將兩人每輪投中的個數(shù)制成如圖所示折線圖．下列說法正確的是A．甲投中個數(shù)的平均數(shù)比乙投中個數(shù)的平均數(shù)小 B．甲投中個數(shù)的中位數(shù)比乙投中個數(shù)的中位數(shù)小 C．甲投中個數(shù)的標準差比乙投中個數(shù)的標準差小 D．甲投中個數(shù)的極差比乙投中個數(shù)的極差大【答案】【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)；統(tǒng)計圖表獲取信息；頻率分布折線圖、密度曲線【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】．利用平均數(shù)公式求解判斷；．利用中位數(shù)定義求解判斷；．根據(jù)折線圖的波動判斷；．利用極差的定義求解判斷．【解答】解：甲的數(shù)據(jù)：8，10，9，6，7，9，6，9，10，8，乙的數(shù)據(jù)：9，5，10，5，3，6，4，3，6，10，．甲投中個數(shù)的平均數(shù)為，乙投中個數(shù)的平均數(shù)為，故錯誤；．甲的數(shù)據(jù)從小到大排序為：6，6，7，8，8，9，9，9，10，10，則中位數(shù)為，乙的數(shù)據(jù)從小到大排序為：3，3，4，5，5，6，6，9，10，10，則中位數(shù)為，故錯誤；．由折線圖知：甲的波動相對乙的波動較小，所以甲投中個數(shù)的標準差比乙投中個數(shù)的標準差小，故正確；．甲投中個數(shù)的極差為，乙投中個數(shù)的極差為：，故錯誤．故選：．【點評】本題考查折線圖的應(yīng)用，平均數(shù)與中位數(shù)的概念，極差的定義，屬中檔題．3．（2024?福建一模）已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：1234566788根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此可以預(yù)測當時，A．8.5 B．9 C．9.5 D．10【答案】【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【分析】由已知求得樣本點的中心的坐標，代入線性回歸方程求解，再取得答案．【解答】解：，，則樣本點的中心為，代入，得，，，取時，預(yù)測．故選：．【點評】本題考查線性回歸方程及其應(yīng)用，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2024?臨汾模擬）人生因閱讀而氣象萬千，人生因閱讀而精彩紛呈．腹有詩書氣自華，讀書有益于開拓眼界、提升格局；最是書香能致遠，書海中深蘊著灼熱的理想信仰、熾熱的國家情懷．對某校高中學生的讀書情況進行了調(diào)查，結(jié)果如下：喜歡讀書不喜歡讀書合計男生26060320女生200合計460附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷是否喜歡閱讀與性別有關(guān)，則的值可以為A．10 B．20 C．30 D．40【答案】【考點】獨立性檢驗【專題】綜合法；計算題；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計【分析】代入公式計算相關(guān)指數(shù)的觀測值，可得，再代入選項一一判斷即可．【解答】解：根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷是否喜歡閱讀與性別有關(guān)，可得，根據(jù)列聯(lián)表中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系得：，即，將，20，30，40，分別代入驗證，可得只有成立，故的可能性為10．故選：．【點評】本題考查了獨立性檢驗的思想方法，是中檔題．5．（2024?成都模擬）如圖，由觀測數(shù)據(jù)，，2，3，4，5，的散點圖可知，與的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，利用最小二乘法求得關(guān)于的回歸方程．已知，，則A． B． C．1 D．【答案】【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學運算；概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化思想【分析】結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，以及線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，則，則，，則，關(guān)于的回歸方程，則，解得．故選：．【點評】本題專考查線性回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2024?錦江區(qū)校級模擬）第一組樣本點為，，，，第二組樣本點為，，，，第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，第一組變量的線性相關(guān)系數(shù)為，則A． B． C． D．【答案】【考點】樣本相關(guān)系數(shù)【專題】計算題；概率與統(tǒng)計【分析】根據(jù)題意，由所給的樣本點坐標分析可得以及，比較即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，第一組樣本點為，，，，可得：兩個變量之間的正相關(guān)，因此；第二組樣本點為，，，，可得：兩個變量之間的負相關(guān)，因此；則有；故選：．【點評】本題考查變量之間的線性相關(guān)系數(shù)，注意與變量間相關(guān)性的關(guān)系．7．（2024?遂寧模擬）某公司研發(fā)新產(chǎn)品投入（單位：百萬）與該產(chǎn)品的收益（單位：百萬）的5組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：由表中數(shù)據(jù)求得投入金額與收益滿足經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論不正確的是5689121620252836A．與有正相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線經(jīng)過點 C． D．時，殘差為0.2【答案】【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】整體思想；綜合題；綜合法；數(shù)學運算；概率與統(tǒng)計【分析】根據(jù)和的變化規(guī)律，即可判斷；計算，即可判斷；將樣本點中心代入回歸直線方程，即可求，即可判斷；根據(jù)回歸直線方程計算時的，計算，即可判斷．【解答】解：對于，由表格可知，越大，越大，所以與有正相關(guān)關(guān)系，故正確；對于，，，則樣本點中心為，所以經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點，故正確；對于，將樣本點中心代入直線方程，得，所以，故錯誤；對于，，當時，，則殘差為，故正確．故選：．【點評】本題主要考查線性回歸，屬于中檔題．8．（2024?重慶模擬）假設(shè)變量與變量的對觀測數(shù)據(jù)為，，，，，，，兩個變量滿足一元線性回歸模型．要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)的最小二乘估計，即求使取最小值時的的值，則A． B． C． D．【答案】【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】綜合法；對應(yīng)思想；數(shù)學運算；概率與統(tǒng)計【分析】化簡為二次函數(shù)形式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值．【解答】解：因為，上式是關(guān)于的二次函數(shù)，因此要使取得最小值，當且僅當?shù)娜≈禐椋蔬x：．【點評】本題考查最小二乘估計，屬于中檔題．9．（2024?赤峰模擬）下列說法中，正確命題的個數(shù)為①已知隨機變量服從二項分布，若，則．②對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是．③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則，的值分別是和0.3．④若樣本數(shù)據(jù)，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為16．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】【考點】重伯努利試驗與二項分布；經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算；綜合法；整體思想【分析】利用二項分布的期望公式可判斷①，利用線性回歸方程一定過樣本點中心可判斷②，對兩邊取對數(shù)可判斷③，利用方差的性質(zhì)可判斷④．【解答】解：對于①，，，，解得，故①正確；對于②，線性回歸方程一定過樣本點中心，，解得，故②正確；對于③，設(shè)，求得線性回歸方程為，，又，，，，故③正確；對于④，若樣本數(shù)據(jù)，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，的方差為，故④錯誤，綜上所述，正確命題的個數(shù)為3個．故選：．【點評】本題主要考查了二項分布的期望公式，考查了線性回歸方程的性質(zhì)，以及方差的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2024?長沙模擬）設(shè)集合，2，3，，，現(xiàn)對的任意一非空子集，令表示中最大數(shù)與最小數(shù)之和，則所有這樣的的算術(shù)平均數(shù)為A．501 B．500 C．1002 D．1001【答案】【考點】子集與真子集；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【專題】數(shù)學運算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計算題；概率與統(tǒng)計；方程思想【分析】根據(jù)題意，由集合子集的定義分2種情況討論：①滿足，②滿足，求出的算術(shù)平均數(shù)，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，集合，2，3，，，設(shè)的非空子集為，，，，，，，，對集合的子集分為兩類討論：①滿足，這樣的子集；②滿足，此時可把兩個非空集合，，與，，，配對，易知這是兩個不同的集合，且都是的非空子集，它們的最大數(shù)與最小數(shù)之和是，所以此時非空子集的的平均數(shù)為1001．綜上，的所有非空子集的特征數(shù)的平均數(shù)為1001．故選：．【點評】本題考查算術(shù)平均數(shù)的計算，涉及集合的子集，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）下列說法中，正確的是A．一組數(shù)據(jù)5，8，8，9，12，13，15，16，20，22的第80百分位數(shù)為18 B．若隨機變量，且，則 C．袋中裝有除顏色外完全相同的4個紅球和2個白球，從袋中不放回地依次抽取2個球，記事件第一次抽到的是白球，事件第二次抽到的是白球，則 D．設(shè)隨機事件，，已知（A），，，則（B）【答案】【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；求解條件概率；百分位數(shù)【專題】數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計；綜合法【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可判斷選項；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可判斷選項；根據(jù)條件概率的計算方法求解即可判斷選項；根據(jù)條件概率與對立事件的計算公式計算即可判斷選項．【解答】解：對于，共有10個數(shù)，，所以數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為16和20的平均數(shù)，即為18，故正確．對于，因為，且，所以，則，故正確．對于，因為，所以，則，故錯誤．對于，因為（A），，所以（A），又因為（A），所以，則，所以，故正確．故選：．【點評】本題考查百分位數(shù)的求解，正態(tài)分布的性質(zhì)，條件概率問題，屬中檔題．12．（2024?青秀區(qū)校級二模）某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于，內(nèi)的學生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學成績方差為10．則參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：．記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，A． B．估計該年級學生成績的中位數(shù)為77.14 C．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50 D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25【答案】【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算【分析】根據(jù)直方圖中的性質(zhì)逐項計算即可．【解答】解：項，，，項錯誤；項，，內(nèi)頻率為：，，內(nèi)頻率為：，則中位數(shù)在，內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，則，則，正確；成績在80分及以上的同學的成績的平均數(shù)為分，方差為，，正確．故選：．【點評】本題考查頻率分布直方圖，屬于中檔題．13．（2024?山西模擬）某市舉辦了“愛國愛黨”知識競賽．把1000名參賽者的成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）按，，，，，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為A．的值為0.035 B．估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90 C．估計這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為89 D．估計成績低于80分的有350人【答案】【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】綜合法；數(shù)學運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可判斷，根據(jù)眾數(shù)，百分位數(shù)的定義可以判斷，，根據(jù)頻率、頻數(shù)的關(guān)系判斷．【解答】解：對于選項：根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)易知，解得，所以選項錯誤；對于選項：由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在，區(qū)間，用區(qū)間中點表示眾數(shù)即85，所以選項錯誤；對于選項：由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，前三組頻率之和為．故第70百分位數(shù)落在區(qū)間，，設(shè)第70百分位數(shù)為，則，解得，所以選項正確；對于選項：成績低于80分的頻率為，所以估計成績低于80分的有人．故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了頻率分布直方圖，眾數(shù)，百分位數(shù)的定義，頻率、頻數(shù)的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．14．（2024?海州區(qū)校級模擬）在某次學科期末檢測后，從全部考生中選取100名考生的成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，，，，，五組后，得到如圖的頻率分布直方圖，則A．圖中的值為0.005 B．低于70分的考生人數(shù)約為40人 C．考生成績的平均分約為73分 D．估計考生成績第80百分位數(shù)為83分【答案】【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】數(shù)形結(jié)合法；數(shù)形結(jié)合；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算【分析】利用頻率分布直方圖逐項求解．【解答】解：由頻率分布直方圖得：，解得，故正確；低于70分的考生人數(shù)約為，故錯誤；考生成績的平均分約為：，故正確；成績落在，內(nèi)的頻率為，落在，內(nèi)頻率為，考生成績第80百分位數(shù)落在，，設(shè)為，由，解得，考生成績第80百分位數(shù)為82.5分，故錯誤．故選：．【點評】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、頻率、平均分、百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（2024?歷城區(qū)校級模擬）某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于，內(nèi)的學生成績方差為12，成績位于，內(nèi)的同學成績方差為10．則A． B．估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14 C．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50 D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.25【答案】【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)形結(jié)合；方程思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】對于，由各組頻率之和為1求參數(shù)；對于，可由頻率分布直方圖面積與0.5比較，估計中位數(shù)所在區(qū)間，利用面積關(guān)系建立方程求解可得；對于，兩組求加權(quán)平均數(shù)可得；對于，由兩組成績的方差與兩組總方差的關(guān)系求解即可．【解答】解：對于，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為1，則，解得，故錯誤；對于，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，設(shè)該年級學生成績的中位數(shù)為，則，，根據(jù)中位數(shù)的定義得，解得分，所以估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14分，故正確；對于，估計成績在80分以上的同學的成績的平均數(shù)為：分，故正確；對于，估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為：，故正確．故選：．【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?岳麓區(qū)校級模擬）二戰(zhàn)期間盟軍的統(tǒng)計學家主要是將繳獲的德軍坦克序列號作為樣本，用樣本估計總體的方法得出德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)．假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)是，繳獲的該月生產(chǎn)的輛坦克編號從小到大為，，，，即最大編號為，且繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機獲取的，因為生產(chǎn)坦克是連續(xù)編號的，所以繳獲坦克的編號，，，，相當于從，中隨機抽取的個整數(shù)，這個數(shù)將區(qū)間，分成個小區(qū)間，由于是未知的，除了最右邊的區(qū)間外，其他個區(qū)間都是已知的．由于這個數(shù)是隨機抽取的，所以可以用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，進而得到的估計值．例如，繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，則統(tǒng)計學家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為24．【答案】24．【考點】系統(tǒng)抽樣方法【專題】數(shù)學運算；分析法；對應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計【分析】根據(jù)統(tǒng)計學家利用的方法列比例式計算，即可求得答案．【解答】解：由于用前個區(qū)間的平均長度估計所有個區(qū)間的平均長度，而繳獲坦克的編號是3，5，12，18，20，即，，故，，即則統(tǒng)計學家利用上述方法估計德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為24．故答案為：24．【點評】本題考查系統(tǒng)抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?大理州二模）已知某種商品的廣告費支出（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間有如下表對應(yīng)數(shù)據(jù)：134571520304045根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則當時，殘差為．（殘差觀測值預(yù)測值）【答案】．【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)學運算；概率與統(tǒng)計【分析】根據(jù)線性回歸方程相關(guān)知識結(jié)合殘差定義可解．【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，則回歸直線方程過點，將其代入，可得，當時，，根據(jù)殘差計算公式可得，殘差為．故答案為：．【點評】本題考查線性回歸方程相關(guān)知識，屬于中檔題．18．（2024?江蘇模擬）寰宇巨星知更鳥的新專輯《空氣蛹》發(fā)布在某平臺后，其一周內(nèi)的累計播放量如表所示，其中，，2，3，4，5，6，為該專輯發(fā)布后截至第天的累計播放量．若將表中數(shù)據(jù)用經(jīng)驗回歸方程進行擬合，則4.927．（結(jié)果保留3位小數(shù)）天1234567萬次12024034051076012001730參考數(shù)據(jù)及公式，在回歸直線中，，，對于表中的數(shù)據(jù)已知，．【答案】4.927．【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】利用線性回歸方程即可求解．【解答】解：，則，設(shè)，，，，，，．故答案為：4.927．【點評】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題．19．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知，是兩個具有線性相關(guān)的兩個變量，其取值如下表：123454911其回歸方程為，則11．【答案】11．【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】綜合法；數(shù)據(jù)分析；整體思想；概率與統(tǒng)計【分析】利用線性回歸方程經(jīng)過樣本中心即可求解．【解答】解：由題設(shè)，，又在回歸直線上，所以，必有，故．【點評】本題考查線性回歸方程，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?呂梁一模）某市2018年至2022年新能源汽車年銷量（單位：百臺）與年份代號的數(shù)據(jù)如下表：年份20182019202020212022年份代號01234年銷量1015203035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關(guān)于的回歸直線方程為，據(jù)此計算相應(yīng)于樣本點的殘差為．【答案】．【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】邏輯推理；概率與統(tǒng)計；整體思想；綜合題；綜合法【分析】首先計算和，并代入回歸直線方程求，并求的估計值，根據(jù)殘差的定義，即可求解．【解答】解：依題意，，，代入回歸直線，解得，所以回歸直線為，當時，，因此殘差為．故答案為：．【點評】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?靜安區(qū)二模）某高中隨機抽取100名學生，測得他們的身高（單位：，按照區(qū)間，，，，，，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖（如圖所示）．（1）求身高不低于的學生人數(shù)；（2）將身高在，，，，，區(qū)間內(nèi)的學生依次記為，，三個組，用分層抽樣的方法從三個組中抽取6人．①求從這三個組分別抽取的學生人數(shù)；②若要從6名學生中抽取2人，求組中至少有1人被抽中的概率．【答案】（1）60．（2）①3，2，1．②．【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】計算題；數(shù)學運算；綜合法；整體思想；概率與統(tǒng)計【分析】（1）先求出，的頻率可得結(jié)果．（2）由分層抽樣可得各組的人數(shù)，分別列舉各種情況可得概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，所以．身高在以上的學生人數(shù)為（人．（2），，三組的人數(shù)分別為30人，20人，10人．因此應(yīng)該從，，三組中每組各抽?。ㄈ?，（人，（人．設(shè)組的3位同學為，，，組的2位同學為，，組的1位同學為，則從6名學生中抽取2人有15種可能：，，，，，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中組的2位學生至少有1人被抽中有9種可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，．所以組中至少有1人被抽中的概率為．【點評】本題主要考查頻率分布直方圖和分層抽樣，屬于中檔題．22．（2024?包頭模擬）環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于，，2，3，，的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度的平均濃度合計（2）經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標準差，的平均濃度的標準差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認為與有較強的線性相關(guān)性．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，至少有的把握；（2）①0.84，有價值；②．【考點】獨立性檢驗；經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果．（2）代入公式計算可判斷與的相關(guān)性強弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得的值．【解答】解：（1）列聯(lián)表如下：汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度16824的平均濃度62026合計222850零假設(shè)：“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，因為，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．（2）①因為回歸方程為，所以，又因為，，所以．，與有較強的相關(guān)性，該回歸方程有價值．②，解得而樣本中心點位于回歸直線上，因此可推算．【點評】本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，以及獨立性檢驗公式，屬于中檔題．23．（2024?長春模擬）入冬以來，東北成為全國旅游話題的“頂流”．南方游客紛紛北上，體驗東北最美的冬天．某景區(qū)為給顧客更好的體驗，推出了和兩個套餐服務(wù)，并在購票平臺上推出了優(yōu)惠券活動，顧客可自由選擇和兩個套餐之一，下表是該景區(qū)在購票平臺10天銷售優(yōu)惠券情況．日期12345678910銷售量（千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4經(jīng)計算可得：，，．（1）由于同時在線人數(shù)過多，購票平臺在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導致當天顧客購買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程（精確到，并估計第10天的正常銷量；（2）假設(shè)每位顧客選擇套餐的概率為，選擇套餐的概率為，其中套餐包含一張優(yōu)惠券，套餐包含兩張優(yōu)惠券，截止某一時刻，該平臺恰好銷售了張優(yōu)惠券，設(shè)其概率為，求；（3）記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列．①求數(shù)列的最值；②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列，若對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當時，，是一個確定的實數(shù)），則稱數(shù)列收斂于．根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列收斂．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】（1），據(jù)此可估計第10天的正常銷量約為2.94千張；（2）；（3）①數(shù)列的最大值為，最小值為；②證明過程見解析．【考點】經(jīng)驗回歸方程與經(jīng)驗回歸直線【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算；整體思想【分析】（1）計算出新數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)值，代入公式求出，的值，進而得到關(guān)于的回歸方程，再令求出的值即可；（2）由題意可知，其中，，構(gòu)造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求解；（3）①分為偶數(shù)和為奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；②利用數(shù)列收斂的定義證明．【解答】解：（1）剔除第10天數(shù)據(jù)后的，，，，所以，故，所以，當時，，即估計第10天的正常銷量約為2.94千張；（2）由題意可知，其中，，則，所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故成立，則有，故，又因為，所以；（3）①當為偶數(shù)時，單調(diào)遞減，最大值為，當為奇數(shù)時，單調(diào)遞增，最小值為，綜上：數(shù)列的最大值為，最小值為；②證明：對任意總存在正整數(shù)，（其中表示取整函數(shù)），當時，．【點評】本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了數(shù)列的遞推式，屬于中檔題．24．（2024?陽江模擬）某學校為了解本學期學生參加公益勞動的情況，從學校內(nèi)隨機抽取了500名高中學生進行在線調(diào)查，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）分配情況等數(shù)據(jù)，并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，，，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）為進一步了解這500名學生參加公益勞動時間的分配情況，從參加公益勞動時間在，，，，，三組內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人．記參加公益勞動時間在，內(nèi)的學生人數(shù)為，求的分布列和期望；（2）以調(diào)查結(jié)果的頻率估計概率，從該學校所有高中學生中隨機抽取20名學生，用“”表示這20名學生中恰有名學生參加公益勞動時間在，（單位：小時）內(nèi)的概率，其中，1，2，，20．當最大時，寫出的值．【答案】（1）分布列見解析，；（2）當最大時，．【考點】頻率分布直方圖的應(yīng)用【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學運算；對應(yīng)思想【分析】（1）利用統(tǒng)計知識可得抽取的10人中有4人參加公益勞動時間在，內(nèi)，則的可能取值為0，1，2，3，然后利用超幾何分布的知識求出對應(yīng)的概率即可得解；（2）由題可得，要使最大，則應(yīng)滿足，然后解此不等式組即可得解．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得：，解得：，這500名學生中參加公益勞動時間在，，，，，三組內(nèi)的學生人數(shù)分別為：人，人，人，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則應(yīng)從參加公益勞動時間在，內(nèi)的學生中抽?。喝?，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則的可能取值為0，1，2，3，，，故的分布列為：0123則其期望為；（2）由（1）可知參加公益勞動時間在，的概率，所以，依題意，即，即，解得，因為為非負整數(shù)，所以，即當最大時，．【點評】本題考查了概率統(tǒng)計的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．25．（2024?高碑店市校級模擬）甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如表：甲86786591047乙6778678795（1）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）分別計算以上兩組數(shù)據(jù)的方差；（3）根據(jù)計算的結(jié)果，對甲乙兩人的射擊成績作出評價．【考點】用樣本估計總體的離散程度參數(shù)；用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【專題】概率與統(tǒng)計；轉(zhuǎn)化法；對應(yīng)思想【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出平均數(shù)即可；（2）根據(jù)方差的計算公式求出方差即可；（3）根據(jù)（1），（2）判斷即可．【解答】解：（1）甲的平均分為：；乙的平均分為：（4分）（2）甲的方差為：；乙的方差為：（8分）（3）甲、乙的平均分相同，說明甲、乙兩人射擊的平均水平相當，又，說明乙的射擊水平要比甲的射擊水平更穩(wěn)定．（12分）【點評】本題考查了求數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差問題，是一道基礎(chǔ)題．

考點卡片1．子集與真子集【知識點的認識】1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．2．求解條件概率【知識點的認識】﹣條件概率：在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，記作P（A|B）．﹣計算：其中P（B）＞0．【解題方法點撥】﹣計算條件概率時，確定事件B的發(fā)生對事件A的影響，通過交事件的概率和條件事件的概率進行計算．【命題方向】﹣主要考察條件概率的計算及其應(yīng)用問題．3．n重伯努利試驗與二項分布【知識點的認識】1、二項分布：一般地，在n次獨立重復的試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p），并記pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．2、獨立重復試驗：（1）獨立重復試驗的意義：做n次試驗，如果它們是完全同樣的一個試驗的重復，且它們相互獨立，那么這類試驗叫做獨立重復試驗．（2）一般地，在n次獨立重復試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每件試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B（n，p），并稱p為成功概率．（3）獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的．（4）獨立重復試驗概率公式的特點：Pn（k）＝pk（1﹣p）n﹣k，是n次獨立重復試驗中某事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是重復試驗的次數(shù)，p是一次試驗中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n，p，k的意義，才能正確運用公式．【解題方法點撥】獨立重復試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．【命題方向】典例1：如果ζ～B（100，），當P（ζ＝k）取得最大值時，k＝50．解：∵ζ～B（100，），當，由組合數(shù)知，當k＝50時取到最大值．故答案為：50．典例2：一個盒子里有2個黑球和m個白球（m≥2，且m∈N*）．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．（Ⅰ）求每次中獎的概率p（用m表示）；（Ⅱ）若m＝3，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p），當m為何值時，f（p）取得最大值？解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎，∴每次中獎的概率p＝＝；（Ⅱ）若m＝3，每次中獎的概率p＝，∴三次摸獎恰有一次中獎的概率為＝；（Ⅲ）三次摸獎恰有一次中獎的概率為f（p）＝＝3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），∴f（p）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，∴p＝時，f（p）取得最大值，即p＝＝∴m＝2，即m＝2時，f（p）取得最大值．4．正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中實數(shù)μ和σ（σ＞0）為參數(shù)，我們稱φμ，σ（x）的圖象（如圖）為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．（2）正態(tài)曲線的解析式①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數(shù)：π和e，這是兩個無理數(shù)．③解析式中含有兩個參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù)．④解析式前面有一個系數(shù)為，后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為﹣．2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，σ2）．（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性質(zhì)：（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值；（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測的理論依據(jù)．【解題方法點撥】正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數(shù)值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個參數(shù)對應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）＝，則這個正態(tài)總體的平均數(shù)與標準差分別是（）A．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.6826＝0.1587．故選B．題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)典例1：若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為．（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．解（1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對曲線的影響．典例2：設(shè)兩個正態(tài)分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態(tài)分布的概率計算典例1：設(shè)X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.9544﹣0.6826）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]＝×（1﹣0.9544）＝0.0228．求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上．典例2：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用典例1：2011年中國汽車銷售量達到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因為P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝180輛．點評：服從正態(tài)分布的隨機變量在一個區(qū)間上的概率就是這個區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性，當P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時必然有＝μ，這是解決正態(tài)分布類試題的一個重要結(jié)論．典例2：工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，），問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有多少個？解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個），即不屬于區(qū)間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．5．系統(tǒng)抽樣方法【知識點的認識】1．定義：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣．2．系統(tǒng)抽樣的特征：（1）當總體容量N較大時，適宜采用系統(tǒng)抽樣；（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這里的間隔一般為k＝（3）在第一部分的抽樣采用簡單隨機抽樣；（4）每個個體被抽到的可能性相等3．系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的關(guān)系：（1）系統(tǒng)抽樣是建立在簡單隨機抽樣的基礎(chǔ)之上的，當將總體均分后對每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；（2）系統(tǒng)抽樣和簡單隨機抽樣都是等概率抽樣，它是公平的．4．系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的優(yōu)缺點：（1）當總體的個體數(shù)較大時，用系統(tǒng)抽樣比用簡單隨機抽樣更易實施，更節(jié)約成本；（2）系統(tǒng)抽樣比簡單隨機抽樣應(yīng)用范圍更廣；（3）系統(tǒng)抽樣所得到的樣本的代表性和個體的編號有關(guān)，而簡單隨機抽樣所得到的樣本的代表性與編號無關(guān)，如果編號的特征隨編號的變化呈一定的周期性，可能造成系統(tǒng)抽樣的代表性很差．【解題方法點撥】系統(tǒng)抽樣的一般步驟：（1）編號：采用隨機的方式將總體中的個體編號；（2）分段：確定分段間隔k，對編號進行分段（N為總體個數(shù)，n為樣本容量）：①當時，k＝，②當時，通過從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中的個體數(shù)N′能被n整除，這時k＝（注意這時要重新編號1﹣N′后，才能再分段）（3）確定起始編號：在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號l（l∈N，l≤k）；（4）抽樣：按事先確定的規(guī)則抽取樣本，即l，l+k，l+2k，…，l+（n﹣1）k．【命題方向】1．考查系統(tǒng)抽樣的定義例：某小禮堂有25排座位，每排有20個座位．一次心理講座時禮堂中坐滿了學生，講座后為了了解有關(guān)情況，留下了座位號是15的25名學生進行測試，這里運用的抽樣方法是（）A．抽簽法B．隨機數(shù)表法C．系統(tǒng)抽樣法D．分層抽樣法分析：由題意可得，從第一排起，每隔20人抽取一個，所抽取的樣本的間隔距相等，符合系統(tǒng)抽樣的定義．解答：由題意可得，從第一排起，每隔20人抽取一個，所抽取的樣本的間隔距相等，故屬于系統(tǒng)抽樣，故選C．點評：本題考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于容易題．2．考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用例：將參加夏令營的100名學生編號為001，002，…，100．先采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為20的樣本，若隨機抽得的號碼為003，那么從048號到081號被抽中的人數(shù)是分析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義，即可得到結(jié)論．解答：∵樣本容量為20，首個號碼為003，∴樣本組距為100÷20＝5∴對應(yīng)的號碼數(shù)為3+5（x﹣1）＝5x﹣2，由48≤5x﹣2≤81，得10≤x≤16.6，即x＝10，11，12，13，14，15，16，共7個，故答案為：7．點評：本題主要考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，利用系統(tǒng)抽樣的定義建立號碼關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．6．頻率分布直方圖的應(yīng)用【知識點的認識】﹣應(yīng)用：用于數(shù)據(jù)的分布可視化，幫助分析數(shù)據(jù)集中趨勢、離散程度等．【解題方法點撥】﹣分析：通過直方圖觀察數(shù)據(jù)的分布特征，識別數(shù)據(jù)的集中區(qū)域和離散程度．【命題方向】﹣重點考察如何解讀頻率分布直方圖及其對數(shù)據(jù)分析的貢獻．7．頻率分布折線圖、密度曲線【知識點的認識】1．頻率分布折線圖：如果將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結(jié)起來，就得到頻率分布折線圖，簡稱頻率折線圖．2．總體分布的密度曲線：如果將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，則相應(yīng)的頻率分布折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．8．統(tǒng)計圖表獲取信息【知識點的認識】統(tǒng)計圖表反映了被描述對象的重要內(nèi)容和數(shù)據(jù)情況，它簡單明了，有利于我們把握數(shù)據(jù)的特點，統(tǒng)計圖還能直觀、生動地傳遞信息．【解題方法點撥】由統(tǒng)計圖表獲取信息的步驟：一、看統(tǒng)計圖表特征；二、讀統(tǒng)計圖表數(shù)據(jù)信息并進行分析；三、尋找出統(tǒng)計圖表中數(shù)據(jù)的變化趨勢或規(guī)律；四、對統(tǒng)計圖表的數(shù)據(jù)與信息作分析、推測，為對解決問題作出合理的判斷提供依據(jù)．注意：①要避免統(tǒng)計圖的誤導，首先要仔細觀察統(tǒng)計圖，其次要關(guān)注數(shù)據(jù)的來源、收集方式及描述形式，這樣才能獲得準確的信息；②對數(shù)據(jù)的收集、整理等一定要重視它的普遍性、代表性、公正性，不能以點帶面，以偏概全，夸大局部的作用．【命題方向】能正確解讀統(tǒng)計圖表，從中獲取必要、準確的信息，并進站簡單的決策；處理生活中常見的不規(guī)范統(tǒng)計圖帶來的錯誤信息，提高對統(tǒng)計圖表的認識能力．9．用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)【知識點的認識】1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛．（1）眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）平均