2016年專項(xiàng)練習(xí)題集-空間向量的加減法

2016專項(xiàng)練習(xí)題集-空間向量的加減法本部分主要是掌握空間向量的加法和減法法則，加法主要應(yīng)用平行四邊形法則和三角形法則，以及多邊形法則，減法主要是三角形法則，再利用加減法法則時(shí)要注意向量的起點(diǎn)終點(diǎn)。一、選擇題1．已知空間向量a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－2，2），b＝x－a，則向量x的方向上的單位向量是()A．1B．C．(-2,1，2)D．3【分值】5【答案】B【易錯(cuò)點(diǎn)】本題容易與單位向量的長(zhǎng)度，向量本身混淆而選擇A.C答案?！究疾榉较颉勘绢}考察了向量加法運(yùn)算和單位向量的概念，屬于常見題型?！窘忸}思路】先計(jì)算出來(lái)向量x，再利用單位向量的概念轉(zhuǎn)換向量即可?！窘馕觥坑捎赽＝x－a，則x＝b＋a＝(－4，－2，2）＋(2,3，－4)＝(-2,1，2)．所以x方向上的單位向量是已知空間向量(1,1,0)，(－1,0,2)，ka＋b,2a－b，若,則k的值是()A．1B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,5)【分值】5【答案】D【易錯(cuò)點(diǎn)】將向量的垂直條件和平行條件混淆?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法和減法的運(yùn)算法則，以及空間向量垂直的條件。屬于高考重點(diǎn)。【解題思路】利用空間向量的加法和減法的運(yùn)算法則，以及空間向量垂直的條件：數(shù)量積是0。即可得到k的值?！窘馕觥坑捎趉a＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，2a－b＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，因?yàn)?，則有(k－1)×3＋k×2＋2×(－2)＝0，解得k＝eq\f(7,5).3、如圖，空間向量,若點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則實(shí)數(shù)x等于（）【分值】5【答案】C【易錯(cuò)點(diǎn)】共面向量基本定理解決共面問(wèn)題時(shí)候列出三個(gè)系數(shù)的關(guān)系,之和為1,容易看成相等.【考查方向】本題考察了空間向量的加法和共面向量基本定理?！窘忸}思路】利用共面向量基本定理既可以找到三者之間的等量關(guān)系，即，所以系數(shù)值和為1.【解析】依據(jù)ABCP四點(diǎn)共面得到,因此x+2x-1-2=1,4、已知平面ABC內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P(1，－1,2)，平面ABC的一個(gè)法向量是n＝(6，－3,6)，F(xiàn)點(diǎn)在直線AB上，則點(diǎn)F的可能坐標(biāo)是()．A．(2,3,3) B．(－2,0,1)C．(－4,4,0) D．(3，－3,4)【分值】5【答案】A【易錯(cuò)點(diǎn)】由于平面法向量和平面內(nèi)的任意向量的數(shù)量積是0，利用這個(gè)性質(zhì)列方程組計(jì)算而得不到結(jié)果?！究疾榉较颉勘绢}考察了平面向量的法向量及其性質(zhì)?！窘忸}思路】由于平面法向量和平面內(nèi)的任意向量的數(shù)量積是0，所以逐一代入既可以得到答案?！窘馕觥俊遪＝(6，－3,6)是平面ABC的法向量，F(xiàn)在直線AB上所以F在平面ABC內(nèi)，∴n⊥eq\o(FP,\s\up6(→))，在個(gè)選項(xiàng)中，只有選項(xiàng)A滿足eq\o(FP,\s\up6(→))＝(1,4,1)，∴n·eq\o(FP,\s\up6(→))＝0.5、直線AB方向向量為a＝(1,0，－1)，點(diǎn)C(1，-2，1),D(3,-2,-1)，且點(diǎn)A不在直線CD上，則AB與CD的位置關(guān)系是()．A．平行B．相交C．垂直D．平行或重合【分值】5【答案】A【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)直線方向向量的概念理解不好而求不出CD方向向量，再就是平行的條件不會(huì)用?！究疾榉较颉勘绢}考察了平面向量的減法和方向向量的概念以及兩個(gè)向量平行和直線平行的條件?！窘忸}思路】利用平面向量的減法求出DC直線的方向向量，再利用方向向量之間的關(guān)系判斷兩個(gè)向量平行進(jìn)而得到直線平行?！窘馕觥吭O(shè)直線CD的方向向量為b,二、填空題6、已知邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形ABCD和CDEF，所成的二面角為60°，則B，E兩點(diǎn)間的距離是()【分值】3【答案】eq\r(2)【易錯(cuò)點(diǎn)】求空間兩點(diǎn)距離可以用向量表示，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))，但是再運(yùn)算時(shí)候容易出現(xiàn)直接利用長(zhǎng)度的和得到3的答案?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法以及空間向量的數(shù)量積?！窘忸}思路】空間兩點(diǎn)距離可以用向量表示，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))，再利用向量的模的運(yùn)算，即可得到答案?！窘馕觥縠q\a\vs4\al(∵\(yùn)o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))，∴|eq\o(BE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up6(→))|2＋eq\o(CF,\s\up6(→))2＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝1＋1＋1－1＝2，故|BE|＝eq\r(2)7．空間直角坐標(biāo)系中，已知直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0，2），B（2，5，0），C（5,6,z）若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BC是平面ABC的法向量，則實(shí)數(shù)x+y+z的值為________．.【分值】3【答案】eq\f(53,7)【易錯(cuò)點(diǎn)】利用法向量運(yùn)算時(shí)找不到數(shù)量關(guān)系?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法法則和數(shù)量積的概念以及垂直的條件?！窘忸}思路】利用向量的加法和減法法則求出AB,BC的方向向量，再利用垂直的條件和法向量的性質(zhì)列出方程組即可?！窘馕觥坑深}知：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,\o(BP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×3＋5×1＋－2×z＝0，,x－1＋5y＋－2×－3＝0，,3x－1＋y－3z＝0.))解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7)，z＝4.所以x+y+z=eq\f(40,7)－eq\f(15,7)+4=eq\f(53,7)8、如圖，空間不共面的三個(gè)向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，點(diǎn)E在BC上，且BE=2EC，F(xiàn)在AD上，且AF=3FD,向量（）【分值】3【答案】【易錯(cuò)點(diǎn)】用不共線的三個(gè)向量表示基底時(shí)候，一定要注意方向，容易出現(xiàn)符合錯(cuò)誤?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法和減法，以及利用基底表示向量?！窘忸}思路】利用空間向量的加法和減法，表示向量找到基底向量即可?！窘馕觥恳李}意得：三、解答題9、把邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起成直二面角，已知BD=1，點(diǎn)E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BD的中點(diǎn)，求：(1)折起后∠ADC角的余弦值．（2）EF的長(zhǎng)；【分值】6【答案】∠ADC角的余弦值,EF的長(zhǎng)【易錯(cuò)點(diǎn)】容易出現(xiàn)計(jì)算上的錯(cuò)誤，以及在進(jìn)行加法減法運(yùn)算時(shí)丟掉?！究疾榉较颉勘绢}考察了空間向量的加法和向量的模長(zhǎng)，及其射影角定理?！窘忸}思路】利用射影角定理直接求得∠ADC角的余弦值，再利用基底向量表示出EF的向量，從而可求得長(zhǎng)度?！窘馕觥恳李}意，取BD中點(diǎn)G，連接AG,CG則是二面角的平面角，即，所以根據(jù)射影角定理可得：由于已知空間直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,-1,2)，點(diǎn)Q在直線OC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【分值】6【答案】Q點(diǎn)坐標(biāo)為【易錯(cuò)點(diǎn)】利用向量數(shù)量積求最值時(shí)候出現(xiàn)問(wèn)題.【考查方向】本題考察了向量的減法和向量的數(shù)量積,以及共線向量基本定理.【解題思路】利用共線向量設(shè)出eq\o(OQ,\s\up6(→)),即可以得到Q點(diǎn)坐標(biāo),【解析】設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y,z),且eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OC,\s\up6(→))＝(λ，-λ，2λ)，所以，則eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2