2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之雙曲線

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之雙曲線一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽二模）已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線離心率的最小值為A． B． C． D．2．（2024?昆明一模）雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．3．（2024?四川模擬）已知雙曲線的漸近線方程為，則A． B．1 C． D．34．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點為，，直線過點且平行于的一條漸近線，交于點，若，則的離心率為A． B．2 C． D．36．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點為關(guān)于漸近線的對稱點．若，且△的面積為8，則的方程為A． B． C． D．7．（2024?回憶版）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．8．（2024?漢中一模）已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則A． B．4 C． D．9．（2024?天津）雙曲線的左、右焦點分別為、．是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．10．（2024?阜陽模擬）已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點的直線，分別交雙曲線于，和，四點，，，四點逆時針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是A．四邊形一定是平行四邊形 B．四邊形可能為菱形 C．的中點可能為 D．的值可能為12．（2024?長沙模擬）已知雙曲線的右焦點為，動點，在直線上，且，線段，分別交于，兩點，過作的垂線，垂足為．設的面積為，的面積為，則A． B． C．恒為定值 D．的最小值為13．（2024?河北模擬）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，過點且傾斜角為的直線順次交兩條漸近線和的右支于、、，且，則下列結(jié)論正確的是A．離心率為 B． C． D．14．（2024?烏魯木齊模擬）已知雙曲線的右焦點為，過原點作斜率為的直線交雙曲線于，兩點，且，則的可能取值是A． B． C． D．15．（2024?保定三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與的左支相交于，兩點，若，且，則A． B． C．的離心率為 D．直線的斜率為三．填空題（共5小題）16．（2024?回憶版）設雙曲線的左、右焦點分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點，若，，則的離心率為．17．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是．18．（2024?吳忠模擬）若雙曲線的一條漸近線方程是，則的離心率為．19．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點分別為、，過坐標原點的直線與相交于、兩點，若，則．20．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與的右支交于點，且點滿足，且，則的離心率是．四．解答題（共5小題）21．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．22．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）若直線交于，兩點，為坐標原點，且的面積為，求的值．23．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，，、，為雙曲線上的點．（1）求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；（2）若，求直線的方程；（3）若，其中、兩點均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．24．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．（1）求的方程．（2）若過點的直線與的左、右兩支分別交于，兩點（不同于雙曲線的頂點），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．25．（2024?青島模擬）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，的離心率為2．點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于，兩點．當軸時，直線為△的等線．（1）求的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）設，點的軌跡為曲線，證明：在點處的切線為△的等線．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學解密之雙曲線參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?安徽二模）已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線離心率的最小值為A． B． C． D．【考點】：雙曲線的性質(zhì)【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；65：數(shù)學運算【分析】設的坐標，代入雙曲線的方程，求出數(shù)量積，再由橢圓可得，的關(guān)系，進而求出離心率的最小值．【解答】解：設，則，所以，由題意可得，，所以，，，所以，即，所以離心率，故選：．【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)及數(shù)量積的運算，屬于中檔題．2．（2024?昆明一模）雙曲線的漸近線方程是A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】數(shù)學運算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】直接利用雙曲線方程求解漸近線方程即可．【解答】解：雙曲線的漸近線方程是：．故選：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，漸近線方程的求法，是基礎題．3．（2024?四川模擬）已知雙曲線的漸近線方程為，則A． B．1 C． D．3【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】計算題；數(shù)學運算；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)雙曲線方程確定漸近線方程為，結(jié)合已知條件得到方程，解出即可．【解答】解：該雙曲線的漸近線方程為且，則，可解得，滿足．故選：．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎題．4．（2024?海淀區(qū)校級三模）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若△為等邊三角形，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)以及三角形全等，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意，因為△為等邊三角形，所以，，因為△△，所以，，即，故點，因為，則，解得．故選：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的運用，雙曲線離心率的求法，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．5．（2024?浙江模擬）雙曲線的左、右焦點為，，直線過點且平行于的一條漸近線，交于點，若，則的離心率為A． B．2 C． D．3【答案】【考點】雙曲線與平面向量【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算【分析】先求出直線的方程，聯(lián)立直線與曲線方程，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由題意得，，，直線的方程為，聯(lián)立與可得，，若，則，所以，所以，化簡得，，所以．故選：．【點評】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及雙曲線性質(zhì)的應用，屬于中檔題．6．（2024?江西一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，點為關(guān)于漸近線的對稱點．若，且△的面積為8，則的方程為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，，由條件得，根據(jù)三角形中位線，可得，再結(jié)合，即可求解．【解答】解：因為關(guān)于的一條漸近線的對稱點為，令漸近線為．即，，則到的距離為，所以，又．所以，因為，所以，又因為△的面積為8，因為，且，所以，所以，即，又，所以，，所以雙曲線方程為．故選：．【點評】本題考查雙曲線方程的應用，屬于中檔題．7．（2024?回憶版）已知雙曲線的兩個焦點分別為，，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．【答案】【考點】求雙曲線的離心率【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算【分析】由已知結(jié)合雙曲線的定義及性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為，，點在該雙曲線上，所以，，，所以．故選：．【點評】本題主要考查了雙曲線的定義及性質(zhì)的應用，屬于基礎題．8．（2024?漢中一模）已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則A． B．4 C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】數(shù)學運算；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】利用雙曲線的方程求解漸近線，求出的值．【解答】解：根據(jù)，得到，則焦點在軸，故漸近線為，則，故．故選：．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎題．9．（2024?天津）雙曲線的左、右焦點分別為、．是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2，△是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解【分析】設，，則，由△是面積為8的直角三角形，可得，，由直線的斜率為2，可得，即，從而求出，的值，進而求出，的值，得到雙曲線的方程．【解答】解：根據(jù)題意，畫出圖形，如下圖：設，，則，因為△是面積為8的直角三角形，所以，，因為直線的斜率為2，所以，所以，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，即，所以，所以雙曲線的方程為．故選：．【點評】本題主要考查了雙曲線的標準方程，考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．10．（2024?阜陽模擬）已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；數(shù)學運算；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】由雙曲線的焦距可得，求得雙曲線的方程和所求漸近線的斜率．【解答】解：因為雙曲線的焦距為4，所以，解得，可得雙曲線的方程為，所以該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．二．多選題（共5小題）11．（2024?安徽模擬）已知雙曲線，過原點的直線，分別交雙曲線于，和，四點，，，四點逆時針排列），且兩直線斜率之積為，則下列結(jié)論正確的是A．四邊形一定是平行四邊形 B．四邊形可能為菱形 C．的中點可能為 D．的值可能為【答案】【考點】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點個數(shù)【專題】數(shù)學運算；綜合法；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】運用雙曲線的方程和性質(zhì)，結(jié)合直線的斜率公式、點差法和對勾函數(shù)的性質(zhì)，對選項分析可得結(jié)論．【解答】解：由雙曲線的中心對稱性可知，，分別關(guān)于原點與，對稱，故，，所以四邊形一定是平行四邊形，而直線，斜率之積為，則與不垂直，所以四邊形不可能為菱形，正確，錯；設，，，，則，，兩式作差得，將，代入，求得，故的方程為，將其與雙曲線聯(lián)立，解得，此時，故錯誤；當點位于第四象限，點位于第一象限，由直線的夾角公式和對勾函數(shù)的單調(diào)性，可得的取值范圍為，當點位于第一象限，點位于第二象限，設直線的斜率為，則直線的斜率為，由可得，又因為，可得的取值范圍為，綜上的取值范圍為，正確．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．12．（2024?長沙模擬）已知雙曲線的右焦點為，動點，在直線上，且，線段，分別交于，兩點，過作的垂線，垂足為．設的面積為，的面積為，則A． B． C．恒為定值 D．的最小值為【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】綜合法；數(shù)學運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】對，取的中點，則，以為底，高為，當最小時最小，對，設，，求出，代入運算可得；對，由相似三角形結(jié)合的結(jié)論可得；對，設，結(jié)合選項的結(jié)論分別將，，，用表示代入運算可得．【解答】解：如圖，取的中點，過點作直線的垂線，垂足為，對于，易得點到的距離為，，因為，是的中點，所以，即，又，．故錯誤；對于，設，，則，，又，，．故正確；對于，由題易得，則，．故正確；對于，設，，則，由選項，同理可得，設，，可得，，又，則，，解得，同理可得，，令，，則，，，令，則，則，易知在上單調(diào)遞增，所以．故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查直線與雙曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，考查運算求解能力，屬于難題．13．（2024?河北模擬）已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，過點且傾斜角為的直線順次交兩條漸近線和的右支于、、，且，則下列結(jié)論正確的是A．離心率為 B． C． D．【答案】【考點】雙曲線的其他性質(zhì)【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想；綜合法；數(shù)學運算【分析】對于項，聯(lián)立直線方程與直線方程、直線方程可求得點、點坐標，由，可知為中點，結(jié)合中點坐標公式可得的值，進而可求得離心率，對于項，計算的值即可，對于項，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程可求得點坐標，由點、點、點縱坐標可知、為線段的三等分點，結(jié)合三角形面積公式判斷即可，對于項，由求解即可．【解答】解：如圖所示，由題意知，，直線方程為，直線方程為，設直線方程為，，即，，即，對于項，因為，所以為中點，所以，整理得，所以離心率，故項錯誤；對于項，由項知，直線方程為，即，又因為，所以，所以，故項正確；對于項，過作垂足為，過作垂足為，過作垂足為，如圖所示，由項知，，所以雙曲線方程為，，，聯(lián)立雙曲線的方程與直線方程，可得，，所以，，，所以，所以、為線段的三等分點，即，設到直線距離為，則，，所以，故項正確；對于項，如圖所示，由項知，，所以，故項錯誤．故選：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．14．（2024?烏魯木齊模擬）已知雙曲線的右焦點為，過原點作斜率為的直線交雙曲線于，兩點，且，則的可能取值是A． B． C． D．【答案】【考點】雙曲線與平面向量【專題】對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解【分析】由題意，設出直線的方程和，兩點的坐標，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理以及向量的坐標運算求出直線斜率的取值范圍，再對選項進行逐一分析即可求解．【解答】解：不妨設直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時△恒成立，由韋達定理得，，因為，兩點關(guān)于原點對稱，所以，解得，又，則雙曲線的右焦點，所以，，則，又，，解得，因為，所以的取值范圍為，，，因為該雙曲線的漸近線方程為，故選項錯誤；易知，，，，．所以，，故選項錯誤．故選：．【點評】本題考查了拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15．（2024?保定三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的直線與的左支相交于，兩點，若，且，則A． B． C．的離心率為 D．直線的斜率為【答案】【考點】雙曲線的幾何特征【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學運算【分析】設，，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得，的值，即可判斷出，選項；再結(jié)合勾股定理可以求得，的關(guān)系，再求出離心率即可判斷選項；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正切值可以求得直線的斜率，即可判斷選項．【解答】解：如圖，由，可設，，因為，所以，設，，則，，，解得，則，所以，故選項正確；，故選項錯誤；在△中，由，得，則，從而的離心率為，故選項正確；又，所以直線的斜率為，故選項正確．故選：．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?回憶版）設雙曲線的左、右焦點分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點，若，，則的離心率為．【答案】．【考點】雙曲線的幾何特征【專題】對應思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解【分析】由題意求出，，利用雙曲線的定義求出和、，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：由題意知，，，所以，解得；又時，，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的離心率為．故答案為：．【點評】本題考查了雙曲線的定義與應用問題，也考查了數(shù)學運算核心素養(yǎng)，是基礎題．17．（2024?浙江模擬）已知雙曲線為雙曲線的左右焦點，過作斜率為正的直線交雙曲線左支于，，，兩點，若，，則雙曲線的離心率是．【答案】．【考點】雙曲線的幾何特征【專題】方程思想；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)及勾股定理即可求解．【解答】解：設，，，，又，，又，，，，，，，又，，，，，，又，．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．18．（2024?吳忠模擬）若雙曲線的一條漸近線方程是，則的離心率為．【考點】雙曲線的幾何特征【專題】計算題【分析】先根據(jù)雙曲線的標準方程求得漸近線方程，根據(jù)其中一條的方程求得和的關(guān)系，進而求得和的關(guān)系，則離心率可得．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，一條漸近線的方程為，，設，則離心率故答案為：【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線方程中的，和基本關(guān)系．19．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點分別為、，過坐標原點的直線與相交于、兩點，若，則4．【答案】4．【考點】雙曲線與平面向量【專題】綜合法；數(shù)學運算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想【分析】推得四邊形是平行四邊形，再由雙曲線的定義和平行四邊形的性質(zhì)，推得平行四邊形的鄰邊的長，由余弦定理和向量數(shù)量積的定義，可得所求值．【解答】解：雙曲線的，，，設在第一象限，在第四象限，設，，由題意可得，由，，可得四邊形是平行四邊形，則，由雙曲線的定義，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，則．故答案為：4．【點評】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)、余弦定理的運用和向量數(shù)量積的定義，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．20．（2024?遼寧模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作斜率為的直線與的右支交于點，且點滿足，且，則的離心率是．【答案】．【考點】雙曲線的定義；雙曲線的離心率【專題】數(shù)學運算；對應思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】根據(jù)題意得到是線段的垂直平分線，從而得到，再利用推得，結(jié)合雙曲線的定義得到關(guān)于，，的齊次方程，進而得解．【解答】解：如圖，直線的斜率為．由，得點為的中點，又，所以是線段的垂直平分線，所以，過點作于點，由已知得，所以，所以，所以，即，所以，又，為的中點，所以，所以，由雙曲線的定義可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），又題中直線與的右支有交點，所以，即，所以，即，所以，即，所以的離心率為．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線離心率相關(guān)計算知識，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知、是雙曲線的左、右焦點，直線經(jīng)過雙曲線的左焦點，與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點．（1）求直線斜率的取值范圍；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【考點】雙曲線與平面向量【專題】數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學運算；方程思想；綜合法【分析】（1）設直線的方程為，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，即可解得的取值范圍；（2）設直線的方程為，設點，、，，由平面向量的坐標運算可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，可得出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積．【解答】解：（1）在雙曲線中，，，則，該雙曲線的左焦點為，若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線交于左支上的兩點，不合乎題意，設直線的方程為，設點，、，，聯(lián)立可得，因為直線與雙曲線左、右兩支分別相交于、兩點，所以，，解得，因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）因為，，由可得，則，當直線與軸重合時，則點、，，，此時，，不合乎題意，設直線的方程為，聯(lián)立可得，由（1）可得，則或，由韋達定理可得，則，，即，解得，則，所以，．【點評】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，考查了直線與雙曲線的綜合，考查了方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．22．（2024?江西模擬）已知雙曲線的離心率為2，頂點到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）若直線交于，兩點，為坐標原點，且的面積為，求的值．【答案】（1）；（2）或．【考點】由雙曲線的離心率求解方程或參數(shù)【專題】邏輯推理；綜合法；數(shù)學運算；對應思想；綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息列出等式求出和的值，進而可得的方程；（2）設出，兩點的坐標，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，推出且，再根據(jù)韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式進行求解即可．【解答】解：（1）記雙曲線的半焦距為，因為雙曲線的離心率為2，所以，①不妨設的頂點為，漸近線方程為，因為雙曲線的頂點到漸近線的距離為，所以，②又，③聯(lián)立①②③，解得，，，則的方程為；（2）設，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時且△，解得解得且，由韋達定理得，，所以，又點到直線的距離，所以的面積，解得或，此時滿足且．故或．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．23．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，，、，為雙曲線上的點．（1）求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；（2）若，求直線的方程；（3）若，其中、兩點均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3），．【考點】雙曲線與平面向量【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解【分析】（1）由已知結(jié)合點到直線的距離公式即可直接求解；（2）先設直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求；（3）由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，先設，，直線程為，直線方程，結(jié)合弦長公式求出，及平行線與之間的距離，進而表示出四邊形的面積，再由函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：（1）由題，右焦點，漸近線方程為，因此焦點到漸近線的距離為；（2）顯然，直線不與軸重合，設直線方程為，由，得，聯(lián)立方程，得，其中，△恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為；（3）延長交雙曲線于點，延長交雙曲線于點．則由對稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，由題，設，，直線程為，直線方程，由第（2）問，易得，因為，得，即，因而，平行線與之間的距離為，因此，，令，則，故，得在上是嚴格增函數(shù)，故（等號當且僅當時成立）所以，四邊形面積的取值范圍為，．【點評】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)及直線與雙曲線位置關(guān)系的應用，屬于中檔題．24．（2024?濮陽模擬）已知雙曲線分別是的左、右焦點．若的離心率，且點在上．（1）求的方程．（2）若過點的直線與的左、右兩支分別交于，兩點（不同于雙曲線的頂點），問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【考點】雙曲線的定點及定值問題【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】（1）由題意，根據(jù)題目所給信息、離心率公式以及，，之間的關(guān)系，列出等式求出和的值，進而可得的方程；（2）設出直線的方程，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，將和用坐標表示出來，利用韋達定理將表述出來，再進行化簡求解即可．【解答】解：（1）不妨設雙曲線的半焦距為，因為雙曲線的離心率，且點在上，所以，解得，則的方程為；（2）為定值，理由如下：由（1）知，不妨設直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，此時，因為，所以，同理得，因為直線過點且與的左、右兩支分別交于，兩點，所以，兩點在軸同側(cè)，此時，即，解得，則．故，為定值．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．25．（2024?青島模擬）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為，，的離心率為2．點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于，兩點．當軸時，直線為△的等線．（1）求的方程；（2）若是四邊形的等線，求四邊形的面積；（3）設，點的軌跡為曲線，證明：在點處的切線為△的等線．【答案】（1）；（2）12；（3）證明見解答．【考點】雙曲線相關(guān)動點軌跡【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；數(shù)學運算【分析】（1）求出點，，的坐標，由直線為△的等線及雙曲線的性質(zhì)可求出，的值，從而可得的方程；（2）切線，代入的方程，可得關(guān)于的方程，由△，可得關(guān)于的方程，表示出，進一步可得的方程為，求出點，的橫縱坐標，結(jié)合面積公式求解即可；（3）表示出切線的方程，易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記，，到的距離為，，，利用點到直線的距離公式推出，即可得證．【解答】解：（1）由題意知，，，顯然點在直線的上方，因為直線為△的等線，所以，，，解得，所以的方程為；（2）設，，切線，代入，得，所以△，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即方程為，當斜率不存在時，也成立，漸近線方程為，不妨設在上方，聯(lián)立得，，故，所以是線段的中點，因為，到過的直線距離相等，則過點的等線必滿足：，到該等線距離相等且分居兩側(cè)，所以該等線必過點，即的方程為，由，解得：，所以，所以，所以，所以；（3）證明：設，由，所以，，故曲線的方程為，由知切線為，即，即，易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記，，到的距離為，，，由（2）知，，所以，由得，，因為，所以直線為△的等線．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)及標準方程，直線與雙曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于難題．

考點卡片1．雙曲線的定義【知識點的認識】雙曲線（Hyperbola）是指與平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡．雙曲線是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平面的交截線．雙曲線在一定的仿射變換下，也可以看成反比例函數(shù)．兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點（focus），定直線是雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．標準方程①（a，b＞0），表示焦點在x軸上的雙曲線；②（a，b＞0），表示焦點在y軸上的雙曲線．性質(zhì)這里的性質(zhì)以（a，b＞0）為例講解：①焦點為（±c，0），其中c2＝a2+b2；②準線方程為：x＝±；③離心率e＝＞1；④漸近線：y＝±x；⑤焦半徑公式：左焦半徑：r＝|ex+a|，右焦半徑：r＝|ex﹣a|．【解題方法點撥】例1：雙曲線﹣＝1的漸近線方程為解：由﹣＝0可得y＝±2x，即雙曲線﹣＝1的漸近線方程是y＝±2x．故答案為：y＝±2x．這個小題主要考察了對漸近線的理解，如果實在記不住，可以把那個等號后面的1看成是0，然后因式分解得到的兩個式子就是它的漸近線．例2：已知雙曲線的一條漸近線方程是x﹣2y＝0，且過點P（4，3），求雙曲線的標準方程解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y＝0，設雙曲線方程為﹣y2＝λ（λ≠0），∵雙曲線過點P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求雙曲線方程為﹣y2＝﹣5，即：﹣＝1．一般來說，這是解答題的第一問，常常是根據(jù)一些性質(zhì)求出函數(shù)的表達式來，關(guān)鍵是找到a、b、c三者中的兩者，最后還要判斷它的焦點在x軸還是y軸，知道這些參數(shù)后用待定系數(shù)法就可以直接寫出函數(shù)的表達式了．【命題方向】這里面的兩個例題是最基本的，必須要掌握，由于雙曲線一般是在倒數(shù)第二個解答題出現(xiàn)，難度一般也是相當大的，在這里可以有所取舍，對于基礎一般的同學來說，盡量的把這些基礎的分拿到才是最重要的，對于還剩下的部分，盡量多寫．2．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝03．雙曲線的離心率【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0