【八年級上冊數學滬教版】專題05 一般一元二次方程的解法及韋達定理（知識精講+綜合訓練）（解析版）

第第頁參考答案：1．A【分析】根據一元二次方程的解及根與系數的關系可得出a2+a=3，a+b=?1，將其代入即可求出結論．【詳解】解：∵a，b是方程x2+x?3=0的兩個實數根，∴a2+a=3，a+b=?1，∴b=-a-1，=2026故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解及根與系數的關系，代數式求值問題，熟練掌握和運用一元二次方程的解及根與系數的關系是解決本題的關鍵．2．C【分析】直接開平方法求方程的根，對照選擇即可．【詳解】解：因為，解得，故選C．【點睛】本題考查了直接開平方法求方程的根，解題的關鍵是熟練掌握解方程的方式．3．C【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結果，即可作出判斷．【詳解】解：方程2x2-2x-1=0，整理得：x2-x=，配方得：x2-x+=，即（x-）2=．故選：C．【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．4．C【分析】按新定義規(guī)定的運算法則，將其化為關于x的一元二次方程，從二次項系數和判別式兩個方面入手，即可解決．【詳解】解：∵[x2+1，x]※[5?2k，k]=0，∴．整理得，．∵方程有兩個實數根，∴判別式且．由得，，解得，．∴k的取值范圍是且．故選：C【點睛】本題考查了新定義運算、一元二次方程的根的判別等知識點，正確理解新定義的運算法則是解題的基礎，熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號之間的對應關系是解題的關鍵．此類題目容易忽略之處在于二次項系數不能為零的條件限制，要引起高度重視．5．D【分析】設方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．根據方程解的情況，結合根與系數的關系可得出x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，即可判斷A與C；②由方程有兩個實數根結合根的判別式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性質以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判斷B與D．【詳解】解：設方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．∵關于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個同號非零整數根，關于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個同號非零整數根，∴x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，故選項A與C說法均錯誤，不符合題意；∵關于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個同號非零整數根，關于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個同號非零整數根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同時為2，否則兩個方程均無實數根），故選項B說法錯誤，不符合題意；選項D說法正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，逐一分析四個選項說法的正誤是解題的關鍵．6．A【分析】先給方程兩邊同除2，然后再根據完全平方公式和等式的性質配方即可．【詳解】解：．故選A．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：①把方程整理成一元二次方程的一般形式；②把常數項移到等號的右邊；③把二次項的系數化為1；④等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．7．C【分析】根據平方差公式完全平方公式，提公因式法因式分解因式計算即可求解，對于D選項先解一元二次方程求得方程的根．【詳解】解：A．，故該選項不正確，不符合題意；B．，故該選項不正確，不符合題意；C．，故該選項正確，符合題意；D．令，解得，∴，故該選項不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了因式分解，解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．8．B【分析】把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數，判斷出配方結果正確的是哪個即可．【詳解】解：∵，∴，∴．故選：B．【點睛】此題主要考查了配方法在解一元二次方程中的應用，要熟練掌握．9．A【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得到，，可知，，將化簡為，代入即可得出結論．【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，，∵∴，故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，以及二次根式的化簡，根據根與系數的關系得到，是解答本題的關鍵．10．A【分析】設圍成矩形的長為厘米，則圍成矩形的寬為厘米，利用矩形的面積計算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非負性可求出的最大值，再對比各選項中的數據后即可得出結論．【詳解】解：設圍成矩形的長為厘米，∴圍成矩形的寬為：，∴，∵∴∴，∴當時，取得最大值，最大值為，∴的值不可能為．故選：A．【點睛】本題考查列代數式，完全平方公式，平方的非負性．根據各數量之間的關系，找出關于的關系式是解題的關鍵．11．24或25##25或24【分析】等腰中，可能是方程的腰也可能是方程的底邊，應分兩種情況進行討論．當是底邊時，，則方程有兩個相等的實根，即，即可得到關于的方程，求得的值；當是腰時，則方程一定有一個解是，根據一元二次方程的根與系數的關系即可求得另一邊即底邊，與的值．【詳解】解：在方程中，，當這兩邊是等腰三角形的腰時，有，∴，當有兩個邊的長都為4時，有，∴，，∴或25．故答案為：24或25．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系、等腰三角形的性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．12．【分析】先解方程，求得方程的兩個根，即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了解一元二次方程，因式分解，正確的求得方程的兩根是解題的關鍵．13．##【分析】利用冪的乘方與積的乘方的法則進行計算，即可得出結果．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：a3t．【點睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，掌握冪的乘方與積的乘方的法則是解決問題的關鍵．14．0【分析】先確定，再用表示，后代入求值即可．【詳解】因為、是方程的兩個實數根，所以，，所以=====．故答案為：0．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數關系定理，完全平方公式的應用，熟練掌握根根與系數關系定理，活用完全平方公式是解題的關鍵．15．4【分析】先確定，再用表示，后代入求值即可．【詳解】因為、是方程的兩個實數根，所以；所以=====4．故答案為：4．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數關系定理，完全平方公式的應用，熟練掌握根根與系數關系定理，活用完全平方公式是解題的關鍵．已經向鄧老師匯報，等信息，請老師撤回吧！16．，【分析】利用平方差公式計算后，再利用平方差公式計算，再和二次三項式比較即可．【詳解】解：=，故答案為：，．【點睛】本題考查二次三項式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式能靈活運用是解題關鍵．17．，【分析】令y=x+3，代入a(x?h+3)2+k=0可求得y的值，從而求得x的值．

【詳解】解：令y=x+3，代入a(x?h+3)2+k=0可得：a(y?h)2+k=0，由已知可得：y1=-2或y2=1，∵x=y-3，∴x1=?5，x2=?2，故答案為x1=?5，x2=?2．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，熟練掌握換元法解一元二次方程的方法和步驟是解題關鍵．18．【分析】由根與系數的關系可得，，再由，代入計算即可．【詳解】解：∵，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數關系，熟練掌握，是解題的關鍵．19．4【分析】利用直接開平方法得到，得到方程的兩個根互為相反數，所以，解得，則方程的兩個根分別是與2，則有，然后兩邊平方得到=4．【詳解】由得，解得，可知兩根互為相反數．∵一元二次方程的兩個根分別是和，∴，解得，∴一元二次方程的兩個根分別是與2，∴，∴=4．【點睛】本題考查直接開方法解一元二次方程方程，正數的平方根互為相反數等知識，掌握正數的平方根互為相反數是解題的關鍵．20．【分析】將變形為，可知是方程的一個根，據此即可作答．【詳解】將變形為，可知是方程的一個根，∵的根是3和-1，又∵∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查了運用一元二次方程的根解特定的高次方程的知識，理解方程的根的定義是解答本題的關鍵．21．（1），；（2），【分析】（1）把方程移項變形后，利用因式分解法解方程即可；（2）直接利用配方法解方程即可．【詳解】解：（1）解：移項，得因式分解得，，∴或，解得，；（2），解：方程兩邊同除以，得，移項，得，方程兩邊同加上一次項系數一半的平方，得，即，∴，解得，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．22．(1)(2)(3)【分析】（1）對方程移項，化簡后，直接進行開平方根即可解答；（2）對方程移項，化簡后，直接進行開平方根即可解答；（3）對方程化簡后，直接進行開立方根即可解答；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了求解一元二次方程，準確的計算是解決本題的關鍵．23．（1），（2），（