第三章圓33垂徑定理課件北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

北師版·九年級(jí)下冊(cè)3

垂徑定理問(wèn)題:趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.4m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.37.4m7.2m

探究一

如圖，AB

是⊙O

的一條弦，作直徑

CD，使CD⊥AB，垂足為

M.1垂徑定理及其推論ABOCDM(1)右圖是軸對(duì)稱圖形嗎？

如果是，其對(duì)稱軸是什么？圓的對(duì)稱性：

圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線，圓的對(duì)稱軸有無(wú)窮多條.連接

OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴點(diǎn)

A和點(diǎn)

B關(guān)于

CD對(duì)稱.ABOCDM合作證明圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸.(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由.ABOCDM證明：連接

OA，OB，則OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.∴∠AOD=180°－∠AOC，

∠BOD=180°－∠BOC.∴∠AOD=∠BOD.CDABMO∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱，∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)，

點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，CD為⊙O的直徑CD⊥AB

條件CDABMO結(jié)論AM=BMABOCDM垂徑定理垂直于弦的直徑（半徑）平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的(兩條）弧.∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，(條件)推導(dǎo)格式(幾何語(yǔ)言）：你能用幾何語(yǔ)言表示嗎？定義總結(jié)∴AM=BM，

，.(結(jié)論)判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？CDABOCDEOCDABO定理中的兩個(gè)條件缺一不可——直徑（半徑），垂直于弦例1

如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=

cm.·OABE解析：連接

OA.∴AB=2AE=16(cm).16

∵OE⊥AB，典例精析想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？是不是，因?yàn)闆](méi)有垂直.是不是，因?yàn)?/p>

AB，CD都不是直徑.OABCABOEABDCOEABOCDE一條直線：⑤平分弦所對(duì)的劣?、龠^(guò)圓心

②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧思考探索

上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？垂徑定理ABOCDM探究二

如圖，AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB

的直徑CD，交AB

于點(diǎn)M

．ABOCDM(1)這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由.CDABMOCD為⊙O的直徑條件CD⊥ABAM=BM結(jié)論CD⊥ABABOCDM解：(1)連接

AO、BO，則

AO=BO.又∵AM=BM，OM=OM∴∠AMO=∠BMO=90°.∴

CD⊥AB.∴△AOM≌△BOM(SSS).證明舉例由垂徑定理可得∵⊙O關(guān)于直徑CD對(duì)稱，∴當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合， 歸納總結(jié)垂徑定理的逆定理

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.·OABCD“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？

如果不能，請(qǐng)舉出反例.圓的兩條直徑是互相平分的.特別說(shuō)明：CDABMO幾何語(yǔ)言∵CD為⊙O的直徑，AM=BM，∴CD⊥AB，CDABMO還有如下正確結(jié)論：CD為直徑CD⊥AB于MAM=BM垂徑定理的本質(zhì)是：滿足其中任兩條，必定同時(shí)滿足另三條（1）一條直線過(guò)圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分不是直徑的弦（4）這條直線平分不是直徑的弦所

對(duì)的優(yōu)弧（5）這條直線平分不是直徑的弦所

對(duì)的劣弧知二推三根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果具備（1）過(guò)圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。唬?）平分弦所對(duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論.隨堂練習(xí)1.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.CM=DMB.C.∠ACD=∠ADCD.OM=MDD2.如圖，AB

是⊙O

的弦，OC⊥AB

于C.若AB=，OC=1，則半徑OB

的長(zhǎng)為_(kāi)_____.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.勾股定理121.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圓心到

AB

的距離為

3cm，則此圓的半徑為

cm.52.（分類討論題）已知⊙O的半徑為10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，則弦

MN和

EF之間的距離為

cm.14或23.圓管涵是公路路基排水中常用的涵洞結(jié)構(gòu)類型，它不僅力學(xué)性能好，且構(gòu)造簡(jiǎn)單、施工方便.某水平放置的圓管涵圓柱形排水管道的截面是直徑為

1m

的圓，如圖所示，若水面寬

AB

=

0.8

m，求水的最大深度.AB0.8解：如圖，作

OC⊥AB于點(diǎn)

C，連接

OA，∴∠ACO

=

90°，AC

=

AB.AB0.8∴水深的最大深度為0.8m.∴0.3+0.5=0.8(m).在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理，得∵直徑為1m，∴OA=0.5m.∵AB

=

0.8

m，∴AC

=

0.4

m.1.

如圖

a、b，一弓形弦長(zhǎng)為cm，弓形所在的圓的半徑為

7cm，則弓形的高為＿_(dá)＿＿_(dá)___cm.C圖b

DCBOADOAB圖a2或

12

指弦中點(diǎn)到弦所對(duì)的弧中點(diǎn)的距離CD練一練

例2如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧

CD，點(diǎn)

O

是弧

CD

的圓心)，其中

CD=600m，E

為弧

CD

上的一點(diǎn)，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接

OC.●

OCDEF┗設(shè)這段彎路的半徑為

Rm,則

OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得

R=545.∴這段彎路的半徑約為

545m.ABCDOhrd趙州橋中，弦長(zhǎng)

a，弦心距

d，弓形高

h，半徑

r

之間有以下關(guān)系：指圓心

O

到弦的距離

d+h=r數(shù)量關(guān)系總結(jié)垂徑定理往往轉(zhuǎn)化成應(yīng)用勾股定理解直角三角形回顧導(dǎo)入解得R≈27.3.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.3m.∴R2=(R

-

7.23)2

+18.52，解：如圖，過(guò)橋拱所在圓的圓心

O作

AB的垂線，交

于點(diǎn)

C，交弦

AB于點(diǎn)

D，則

CD=7.23.由垂徑定理，得

AD=AB=18.5，設(shè)⊙O的半徑為

Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得4.如圖所示，OC

交AB

于點(diǎn)D，AD=DB，AB=6cm，CD=1cm，求⊙O

的半徑長(zhǎng).解：設(shè)圓的半徑為R，則OB=OC=R，∵AD=DB，∴OC⊥AB，根據(jù)勾股定理，得32+（R–1）2=R2，解得R=5cm.即⊙O

的半徑長(zhǎng)為5cm.5.如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎？為什么？

圓心在平行弦外圓心在其中一條弦上圓心在平行弦內(nèi)若⊙O中弦AB∥CD.那么嗎？為什么？MN解：

理由是：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則

，

（垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧）.垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過(guò)圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的弧.兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造

Rt△

利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形圓心到弦的距離課堂小結(jié)CDABMO課后作業(yè)習(xí)題3.31、2、3、41.“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題:“今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn):徑幾何”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是:如圖，CD為⊙О的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE=1寸，AB=10寸，求直徑CD的長(zhǎng).【教材P76第1題】知識(shí)技能解：連接OA,設(shè)⊙O的半徑為r寸，則OE=（r-1）寸.∵CD為直徑，且CD⊥AB,∴寸.在Rt△AOE中，∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2，解得r=13.∴CD=26寸.2.如圖，已知⊙O的半徑為30mm，弦AB=36mm，求點(diǎn)O到AB的距離及∠OAB的余弦值.【教材P76第2題】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則.在Rt△ACO中，故點(diǎn)O到AB的距離為24mm，∠OAB的余弦值為0.6.3.如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上，你認(rèn)為AC與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？【教材P77第3題】