2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)概念與性質(zhì)（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)概念與性質(zhì)（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣1，1） B．(-1，-12) C．（﹣12．已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．503．函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f（1）＝﹣1，則滿足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]4．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-15．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（-2），則aA．（﹣∞，12） B．（﹣∞，12）∪（32，C．（12，32） D．（326．函數(shù)f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）7．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x3﹣1；當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（﹣x）＝﹣f（x）；當(dāng)x＞12時(shí)，f（x+12）＝f（x-1A．﹣2 B．1 C．0 D．28．函數(shù)f（x）=4-|x|A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]9．設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（）A．f（log314）＞f（2-32）＞fB．f（log314）＞f（2-23）＞fC．f（2-32）＞f（2-23）＞fD．f（2-23）＞f（2-32）＞10．設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝2x（1﹣x），則f(A．-12 B．-14 C．1二．填空題（共5小題）11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）＝2x3+x2，則f（2）＝．12．已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x2-x）+1，f（a）＝4，則f（﹣a）＝13．已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是．14．設(shè)函數(shù)f（x）=x+1，x≤02x，x＞0，則滿足f（x）+f（x15．已知函數(shù)f（x）＝x3（a?2x﹣2﹣x）是偶函數(shù)，則a＝．三．解答題（共5小題）16．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=-（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．17．已知函數(shù)f(（Ⅰ）證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．18．已知f（x）＝9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）設(shè)t＝3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值與最小值；（2）求f（x）的最大值與最小值．19．已知函數(shù)f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)．20．已知a∈R，函數(shù)f（x）＝log2（1x+（1）當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f（x）＞1；（2）若關(guān)于x的方程f（x）+log2（x2）＝0的解集中恰有一個(gè)元素，求a的值；（3）設(shè)a＞0，若對任意t∈[12，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過1，求a

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)概念與性質(zhì)（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)椋ǎ〢．（﹣1，1） B．(-1，-12) C．（﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】B【分析】原函數(shù)的定義域，即為2x+1的范圍，解不等式組即可得解．【解答】解：∵原函數(shù)的定義域?yàn)椋ī?，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜-1∴則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)?-故選：B．【點(diǎn)評】考查復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，注意變量范圍的轉(zhuǎn)化，屬簡單題．2．已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【考點(diǎn)】抽象函數(shù)的周期性．【專題】整體思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，則f（x+2）＝﹣f（x），則f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．3．函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f（1）＝﹣1，則滿足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】D【分析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可將不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化為﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．若f（1）＝﹣1，則f（﹣1）＝1，又∵函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞減，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，難度中檔．4．已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）A．-13 B．13 C．-1【考點(diǎn)】奇函數(shù)偶函數(shù)的判斷．【專題】常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析．【答案】B【分析】依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）＝f（x），由此求得b的值．且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故a﹣1＝﹣2a，由此求得a的值，從而得到a+b的值．【解答】解：對于函數(shù)知f（x）＝ax2+bx，依題意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．又a﹣1＝﹣2a，∴a=1∴a+b=1故選：B．【點(diǎn)評】本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）＝f（x）；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，定義域區(qū)間2個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（-2），則aA．（﹣∞，12） B．（﹣∞，12）∪（32，C．（12，32） D．（32【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可知f（x）在（0，+∞）遞減，故只需令2|a﹣1|＜2【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．∵2|a﹣1|＞0，f（-2）＝f（2∴2|a﹣1|＜2∴|a﹣1|＜1解得12故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的性質(zhì)，屬于中檔題．6．函數(shù)f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（4，+∞）【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，則y＝lnt，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，可得答案．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，則y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）時(shí)，t＝x2﹣2x﹣8為減函數(shù)；x∈（4，+∞）時(shí)，t＝x2﹣2x﹣8為增函數(shù)；y＝lnt為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的單調(diào)遞增區(qū)間是（4，+∞），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．7．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x3﹣1；當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（﹣x）＝﹣f（x）；當(dāng)x＞12時(shí)，f（x+12）＝f（x-1A．﹣2 B．1 C．0 D．2【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；函數(shù)的值．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】D【分析】求得函數(shù)的周期為1，再利用當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（﹣x）＝﹣f（x），得到f（1）＝﹣f（﹣1），當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x3﹣1，得到f（﹣1）＝﹣2，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵當(dāng)x＞12時(shí)，f（x+12）＝f∴當(dāng)x＞12時(shí)，f（x+1）＝f（x），即周期為∴f（6）＝f（1），∵當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（1）＝﹣f（﹣1），∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝x3﹣1，∴f（﹣1）＝﹣2，∴f（1）＝﹣f（﹣1）＝2，∴f（6）＝2．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)值的計(jì)算，考查函數(shù)的周期性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．8．函數(shù)f（x）=4-|x|A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件進(jìn)行求解即可．【解答】解：要使函數(shù)有意義，則4-即-4(x-2)(x-3)x-3＞0②x＜3(x-2)(x-3)即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，3）∪（3，4]，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件．9．設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減，則（）A．f（log314）＞f（2-32）＞fB．f（log314）＞f（2-23）＞fC．f（2-32）＞f（2-23）＞fD．f（2-23）＞f（2-32）＞【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】C【分析】根據(jù)log34＞log33＝1，0＜2-32【解答】解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴f(∵log34＞log33＝1，0＜∴0＜f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴f(故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，關(guān)鍵是指對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．10．設(shè)f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝2x（1﹣x），則f(A．-12 B．-14 C．1【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】由題意得f(-52)=f（-1【解答】解：∵f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）＝2x（1﹣x），∴f(-52)=f（-12）＝﹣f（12）＝﹣2×故選：A．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用，以及求函數(shù)的值．二．填空題（共5小題）11．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）＝2x3+x2，則f（2）＝12．【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由已知中當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）＝2x3+x2，先求出f（﹣2），進(jìn)而根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f（x）＝2x3+x2，∴f（﹣2）＝﹣12，又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（2）＝12，故答案為：12【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．12．已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x2-x）+1，f（a）＝4，則f（﹣a）＝﹣【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)值，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：函數(shù)g（x）＝ln（1+x2滿足g（﹣x）＝ln（1+x2+x）=ln11+x2-所以g（x）是奇函數(shù)．函數(shù)f（x）＝ln（1+x2-x）+1，f（a可得f（a）＝4＝ln（1+a2-a）+1，可得ln（1+a則f（﹣a）＝﹣ln（1+a2-a）+1＝﹣3+1故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題考查奇函數(shù)的簡單性質(zhì)以及函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．13．已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，則x的取值范圍是（﹣1，3）．【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到結(jié)論．【解答】解：∵偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）＝0，∴不等式f（x﹣1）＞0等價(jià)為f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案為：（﹣1，3）【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（|x﹣1|）＞f（2）是解決本題的關(guān)鍵．14．設(shè)函數(shù)f（x）=x+1，x≤02x，x＞0，則滿足f（x）+f（x-1【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，分別討論x的取值范圍，進(jìn)行求解即可．【解答】解：若x≤0，則x-1則f（x）+f（x-12）＞1等價(jià)為x+1+x-12+1＞1，即2x此時(shí)-14＜x當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2x＞1，x-1當(dāng)x-12＞0即x＞12時(shí)，滿足f（x）+f（當(dāng)0≥x-12＞-12，即12≥x＞0時(shí)，f（x-此時(shí)f（x）+f（x-12）＞綜上x＞-1故答案為：（-14，【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的求解，結(jié)合分段函數(shù)的不等式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．15．已知函數(shù)f（x）＝x3（a?2x﹣2﹣x）是偶函數(shù)，則a＝1．【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】1．【分析】利用奇函數(shù)的定義即可求解a的值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3（a?2x﹣2﹣x）是偶函數(shù)，y＝x3為R上的奇函數(shù)，故y＝a?2x﹣2﹣x也為R上的奇函數(shù)，所以y|x＝0＝a?20﹣20＝a﹣1＝0，所以a＝1．法二：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x3（a?2x﹣2﹣x）是偶函數(shù)，所以f（﹣x）＝f（x），即﹣x3（a?2﹣x﹣2x）＝x3（a?2x﹣2﹣x），即x3（a?2x﹣2﹣x）+x3（a?2﹣x﹣2x）＝0，即（a﹣1）（2x+2﹣x）x3＝0，所以a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查利用函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題）16．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=-（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）利用奇函數(shù)定義，在f（﹣x）＝﹣f（x）中的運(yùn)用特殊值求a，b的值；（Ⅱ）首先確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）＝0，即b又由f（1）＝﹣f（﹣1）知1-2a所以a＝2，b＝1．經(jīng)檢驗(yàn)a＝2，b＝1時(shí)，f(（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)．又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等價(jià)于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2），因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，從而判別式Δ=4+12所以k的取值范圍是k＜-1【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時(shí)考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．17．已知函數(shù)f(（Ⅰ）證明f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個(gè)變量且界定大小，再作差變形看符號．（II）由（I）知f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可知在[1，4]也是增函數(shù)，則當(dāng)x＝1時(shí)，取得最小值，當(dāng)x＝4時(shí)，取得最大值．【解答】（I）證明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2（2分）f(x1=(x1-∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）故f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)（2分）（II）解：由（I）知：f（x）在[1，4]上是增函數(shù)∴當(dāng)x＝1時(shí)，有最小值2；當(dāng)x＝4時(shí)，有最大值174（2【點(diǎn)評】本題主要考查單調(diào)性證明和應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)最值問題．18．已知f（x）＝9x﹣2×3x+4，x∈[﹣1，2]．（1）設(shè)t＝3x，x∈[﹣1，2]，求t的最大值與最小值；（2）求f（x）的最大值與最小值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）設(shè)t＝3x，由x∈[﹣1，2]，且函數(shù)t＝3x在[﹣1，2]上是增函數(shù)，故有13≤t≤9，由此求得（2）由f（x）＝t2﹣2t+4＝（t﹣1）2+3，可得此二次函數(shù)的對稱軸為t＝1，且13≤t≤9，由此求得f（【解答】解：（1）設(shè)t＝3x，∵x∈[﹣1，2]，函數(shù)t＝3x在[﹣1，2]上是增函數(shù)，故有13≤t≤9，故t的最大值為9，t的最小值為（2）由f（x）＝9x﹣2×3x+4＝t2﹣2t+4＝（t﹣1）2+3，可得此二次函數(shù)的對稱軸為t＝1，且13≤t≤故當(dāng)t＝1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值為3，當(dāng)t＝9時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值為67．【點(diǎn)評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的綜合題，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．19．已知函數(shù)f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】常規(guī)題型；計(jì)算題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先求出二次函數(shù)的對稱軸，結(jié)合開口方向可知再對稱軸處取最小值，在離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取最大值；（2）要使y＝f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)，只需當(dāng)區(qū)間[﹣5，5]在對稱軸的一側(cè)時(shí)，即滿足條件．【解答】解：（1）f（x）＝x2+2ax+2＝（x+a）2+2﹣a2，其對稱軸為x＝﹣a，當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝x2+2x+2，所以當(dāng)x＝﹣1時(shí)，f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣2+2＝1；當(dāng)x＝5時(shí)，即當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）的最大值是37，最小值是1．（6分）（2）當(dāng)區(qū)間[﹣5，5]在對稱軸的一側(cè)時(shí)，函數(shù)y＝f（x）是單調(diào)函數(shù)．所以﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≥5或a≤﹣5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[﹣5，5]上為單調(diào)函數(shù)．（12分）【點(diǎn)評】本題主要考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，以及單調(diào)性的運(yùn)用等有關(guān)基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查分析問題的能力．20．已知a∈R，函數(shù)f（x）＝log2（1x+（1）當(dāng)a＝1時(shí)，解不等式f（x）＞1；（2）若關(guān)于x的方程f（x）+log2（x2）＝0的解集中恰有一個(gè)元素，求a的值；（3）設(shè)a＞0，若對任意t∈[12，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過1，求a【考點(diǎn)】函數(shù)的最值；指、對數(shù)不等式的解法；一元二次不等式及其應(yīng)用．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f（x）＞1化為：log2(1x（2）方程f（x）+log2（x2）＝0即log2（1x+a）+log2（x2）＝0，（1x+a）x2＝1，化為：ax2+x﹣1＝（3）a＞0，對任意t∈[12，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，由題意可得log2(1t+a)-log2(1t+1+a【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，不等式f（x）＞1化為：log2∴1x+1＞2，化為：1x＞1，解得經(jīng)過驗(yàn)證滿足條件，因此不等式的解集為：（0，1）．（2）方程f（x）+log2（x2）＝0即log2（1x+a）+log2（x2）＝0，∴（1x+a）x2＝1，化為：ax2+x﹣若a＝0，化為x﹣1＝0，解得x＝1，經(jīng)過驗(yàn)證滿足：關(guān)于x的方程f（x）+log2（x2）＝0的解集中恰有一個(gè)元素1．若a≠0，令Δ＝1+4a＝0，解得a=-14，解得x＝2．經(jīng)過驗(yàn)證滿足：關(guān)于x的方程f（x）+log2（x2）＝0綜上可得：a＝0或-1（3）a＞0，對任意t∈[12，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]∴l(xiāng)og2∴(1+ta)(化為：a≥1-tt2+t=g（t），g′（t）=-(∴g（t）在t∈[12，1]上單調(diào)遞減，∴t=12時(shí)，g（t∴a≥∴a的取值范圍是[2【點(diǎn)評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則單調(diào)性、不等式的解法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．指、對數(shù)不等式的解法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根軸法）．步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的討論；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則．（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（5）對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（6）含絕對值不等式①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想；③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化．注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：2．一元二次不等式及其應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．特征當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．一元二次方程ax2+bx+c＝0沒有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒有交點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案為：（﹣2，3）．這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．【命題方向】①一元二次不等式恒成立問題：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．②分式不等式問題：f(x)g(x)＞0?f（f(x)g(x)＜0?f（f(x)gf(x)g3．函數(shù)的定義域及其求法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零．⑤實(shí)際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點(diǎn)撥】求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域?yàn)榭占?，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一對應(yīng)法則f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．4．函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的單調(diào)性，有四種方法：定義法；導(dǎo)數(shù)法；函數(shù)圖象法；基本函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)遵循“同增異減”；證明方法有定義法；導(dǎo)數(shù)法．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“和”或“，”連結(jié)．設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①f(x1)-f(x2)x1f(x1)-f(x2)x1②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0?f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0?f（x）在[a，b]上是減函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，定義求解求解一般包括端點(diǎn)值，導(dǎo)數(shù)一般是開區(qū)間．【命題方向】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，一般是壓軸題，常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，課改地區(qū)單調(diào)性定義證明考查大題的可能性比較小．從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．5．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．6．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】所謂復(fù)合函數(shù)就是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本函數(shù)構(gòu)成，這種函數(shù)先要考慮基本函數(shù)的單調(diào)性，然后再考慮整體的單調(diào)性．平常常見的一般以兩個(gè)函數(shù)的為主．【解題方法點(diǎn)撥】求復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【命題方向】理解復(fù)合函數(shù)的概念，會求復(fù)合函數(shù)的區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性．7．函數(shù)的最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點(diǎn)的值，然后進(jìn)行比較可得．【解題方法點(diǎn)撥】①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時(shí)，求2x+8x的最小值，有2x+8x②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行比較．【命題方向】本知識點(diǎn)是?？键c(diǎn)，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識點(diǎn)未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個(gè)參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．8．函數(shù)的奇偶性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個(gè)去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．因?yàn)閒（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．9．奇函數(shù)偶函數(shù)的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】奇函數(shù)如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于（0，0）對稱．偶函數(shù)如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點(diǎn)撥】①如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③已知奇函數(shù)大于0的部分的函數(shù)表達(dá)式，求它的小于0的函數(shù)表達(dá)式，如奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞