2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（2024年7月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）2．若x＝﹣2是函數(shù)f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點(diǎn)，則f（x）的極小值為（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．13．若函數(shù)f（x）＝x-13sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則A．[﹣1，1] B．[﹣1，13] C．[-13，13] D．[﹣4．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[-32e，1） B．[-32e，34） 5．設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x6．已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(xA．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）7．已知a為函數(shù)f（x）＝x3﹣12x的極小值點(diǎn)，則a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．28．已知曲線y=x24-3A．3 B．2 C．1 D．19．函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0，d＜010．設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的極大值點(diǎn)，則（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)b＜a2 D．a(chǎn)b＞a2二．填空題（共5小題）11．若直線y＝kx+b是曲線y＝lnx+2的切線，也是曲線y＝ln（x+1）的切線，則b＝．12．已知函數(shù)f（x）＝2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是．13．曲線y＝3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為．14．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣2x+ex-1ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是15．曲線y＝x2+1x在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為三．解答題（共5小題）16．已知函數(shù)f（x）=1x-x（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(x1)-17．已知函數(shù)f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）當(dāng)a＝4時(shí)，求曲線y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，求a的取值范圍．18．已知函數(shù)f（x）＝aex﹣lnx﹣1．（1）設(shè)x＝2是f（x）的極值點(diǎn)，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥19．設(shè)函數(shù)f（x）＝（1﹣x2）?ex．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（﹣1）＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】A【分析】由已知當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判斷函數(shù)g（x）=f(x)x為減函數(shù)，由已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可證明g（x）為（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性和奇偶性，模擬g（x）的圖象，而不等式f（x）＞0等價(jià)于x?g【解答】解：設(shè)g（x）=f則g（x）的導(dǎo)數(shù)為：g′（x）=xf∵當(dāng)x＞0時(shí)總有xf′（x）＜f（x）成立，即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）恒小于0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=f又∵g（﹣x）=f(-x)∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)又∵g（﹣1）=f(-1)∴函數(shù)g（x）的圖象性質(zhì)類似如圖：數(shù)形結(jié)合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?x＞0g?0＜x＜1或x＜﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于綜合題．2．若x＝﹣2是函數(shù)f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點(diǎn)，則f（x）的極小值為（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)，求出a，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極小值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，x＝﹣2是函數(shù)f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點(diǎn)，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，＝（x2+x﹣2）ex﹣1，函數(shù)的極值點(diǎn)為：x＝﹣2，x＝1，當(dāng)x＜﹣2或x＞1時(shí)，f′（x）＞0函數(shù)是增函數(shù)，x∈（﹣2，1）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查計(jì)算能力．3．若函數(shù)f（x）＝x-13sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增，則A．[﹣1，1] B．[﹣1，13] C．[-13，13] D．[﹣【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】C【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≥0恒成立，設(shè)t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，對(duì)t討論，分t＝0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分離參數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x-13sin2x+asinx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝1-23cos2x+由題意可得f′（x）≥0恒成立，即為1-23cos2x+acosx≥即有53-43cos2x+acos設(shè)t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，當(dāng)t＝0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)0＜t≤1時(shí)，3a≥4t-5由4t-5t在（0，1]遞增，可得t＝1時(shí)，取得最大值﹣可得3a≥﹣1，即a≥-1當(dāng)﹣1≤t＜0時(shí)，3a≤4t-5由4t-5t在[﹣1，0）遞增，可得t＝﹣1時(shí)，取得最小值可得3a≤1，即a≤1綜上可得a的范圍是[-13，1另解：設(shè)t＝cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由題意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范圍是[-13，1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和換元法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．4．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）A．[-32e，1） B．[-32e，34） 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】D【分析】設(shè)g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y＝ax﹣a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關(guān)于a的不等式組可得．【解答】解：設(shè)g（x）＝ex（2x﹣1），y＝ax﹣a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝ex（2x﹣1）+2ex＝ex（2x+1），∴當(dāng)x＜-12時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞-12時(shí)，g′（∴當(dāng)x=-12時(shí)，g（x）取最小值﹣當(dāng)x＝0時(shí)，g（0）＝﹣1，當(dāng)x＝1時(shí)，g（1）＝e＞0，直線y＝ax﹣a恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得32e≤故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)和極值，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．5．設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出a，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率然后求解切線方程．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函數(shù)f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線的斜率為：1，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為：y＝x．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的切線方程的求法，考查計(jì)算能力．6．已知f（x）＝alnx+12x2（a＞0），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(xA．（0，1] B．（1，+∞） C．（0，1） D．[1，+∞）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；壓軸題；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】先將條件“對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2＞2恒成立”轉(zhuǎn)換成f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x【解答】解：對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x1，x2，都有f(x1)-f(x2f（x1）﹣f（x2）＞2x1﹣2x2，即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2對(duì)于任意x1＞x2＞0成立，令h（x）＝f（x）﹣2x，h（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，∴h'（x）=ax+x﹣2≥0在（0，+ax+x﹣2≥0，則a≥（2x﹣x2）max故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．7．已知a為函數(shù)f（x）＝x3﹣12x的極小值點(diǎn)，則a＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】D【分析】可求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）＝3x2﹣12，可通過判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f（x）的極小值點(diǎn)，從而得出a的值．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12；∴x＜﹣2時(shí)，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，x＞2時(shí)，f′（x）＞0；∴x＝2是f（x）的極小值點(diǎn)；又a為f（x）的極小值點(diǎn)；∴a＝2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)極小值點(diǎn)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法及過程，要熟悉二次函數(shù)的圖象．8．已知曲線y=x24-3A．3 B．2 C．1 D．1【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其幾何意義．【答案】A【分析】根據(jù)斜率，對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo)，解出橫坐標(biāo)，要注意自變量的取值區(qū)間．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0）∵曲線y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)來說，要考慮它的定義域．比如，該題的定義域?yàn)閧x＞0}．9．函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0，d＜0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】開放型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用排除法進(jìn)行判斷即可．【解答】解：f（0）＝d＞0，排除D，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，∴a＞0，排除C，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝3ax2+2bx+c，則f′（x）＝0有兩個(gè)不同的正實(shí)根，則x1+x2=-2b3a＞0且x1x2=∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）＝3ax2+2bx+c，由圖象知當(dāng)x＜x1時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)函數(shù)遞減，則f′（x）對(duì)應(yīng)的圖象開口向上，則a＞0，且x1+x2=-2b3a＞0且x1x2=∴b＜0，c＞0，方法3：f（0）＝d＞0，排除D，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝3ax2+2bx+c，則f′（0）＝c＞0，排除B，C，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，根據(jù)函數(shù)圖象的信息，結(jié)合函數(shù)的極值及f（0）的符號(hào)是解決本題的關(guān)鍵．10．設(shè)a≠0，若x＝a為函數(shù)f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的極大值點(diǎn)，則（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b C．a(chǎn)b＜a2 D．a(chǎn)b＞a2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】分a＞0及a＜0，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)及題意，通過圖象發(fā)現(xiàn)a，b的大小關(guān)系，進(jìn)而得出答案．【解答】解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a＞0時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x＝a是f（x）的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的大致圖象如下圖所示，則0＜a＜b；當(dāng)a＜0時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使x＝a是f（x）的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f（x）的大致圖象如下圖所示，則b＜a＜0；綜上，ab＞a2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．二．填空題（共5小題）11．若直線y＝kx+b是曲線y＝lnx+2的切線，也是曲線y＝ln（x+1）的切線，則b＝1﹣ln2．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】1﹣ln2．【分析】先設(shè)切點(diǎn)，然后利用切點(diǎn)來尋找切線斜率的聯(lián)系，以及對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，綜合聯(lián)立求解即可【解答】解：設(shè)y＝kx+b與y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切點(diǎn)分別為（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k=1x1=1x2再由切點(diǎn)也在各自的曲線上，可得k聯(lián)立上述式子解得k=2從而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2．法二：函數(shù)y＝lnx+2的導(dǎo)函數(shù)為y′=1x，函數(shù)y＝ln（x+1）的導(dǎo)函數(shù)為y′設(shè)曲線y＝lnx+2和曲線y＝ln（x+1）上的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，則該切線方程可以寫為y=1m（x﹣m）+lnm也可以寫為y=1n+1（x﹣n）+ln（整理后對(duì)比得1m=1所以b＝1﹣ln2．故答案為：1﹣ln2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了方程思想，對(duì)學(xué)生綜合計(jì)算能力有一定要求，中檔題12．已知函數(shù)f（x）＝2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是-33【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；三角函數(shù)的最值．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；三角函數(shù)的求值．【答案】-3【分析】由題意可得T＝2π是f（x）的一個(gè)周期，問題轉(zhuǎn)化為f（x）在[0，2π）上的最小值，求導(dǎo)數(shù)計(jì)算極值和端點(diǎn)值，比較可得．【解答】解：由題意可得T＝2π是f（x）＝2sinx+sin2x的一個(gè)周期，故只需考慮f（x）＝2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先來求該函數(shù)在[0，2π）上的極值點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）＝2cosx+2cos2x＝2cosx+2（2cos2x﹣1）＝2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）＝0可解得cosx=12或cosx＝﹣可得此時(shí)x=π3，π或∴y＝2sinx+sin2x的最小值只能在點(diǎn)x=π3，π或5π3和邊界點(diǎn)計(jì)算可得f（π3）=332，f（π）＝0，f（5π3）=-∴函數(shù)的最小值為-3故答案為：-3【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．13．曲線y＝3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y＝3x．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程．【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】對(duì)y＝3（x2+x）ex求導(dǎo)，可將x＝0代入導(dǎo)函數(shù)，求得斜率，即可得到切線方程．【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y'＝3ex（x2+3x+1），∴當(dāng)x＝0時(shí)，y'＝3，∴y＝3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線斜率k＝3，∴切線方程為：y＝3x．故答案為：y＝3x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)上某點(diǎn)的切線方程，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為斜率是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．14．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣2x+ex-1ex，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可得f（x）在R上遞增；再由奇偶性的定義，可得f（x）為奇函數(shù)，原不等式即為2a2≤1﹣a，運(yùn)用二次不等式的解法即可得到所求范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3﹣2x+ex-1f′（x）＝3x2﹣2+ex+1ex≥-可得f（x）在R上遞增；又f（﹣x）+f（x）＝（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex-1e可得f（x）為奇函數(shù)，則f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））＝﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤1故答案為：[﹣1，12]【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷和應(yīng)用，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和定義法，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用和二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．曲線y＝x2+1x在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為x﹣y+1＝0【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求解切線方程即可．【解答】解：曲線y＝x2+1x，可得y′＝2x切線的斜率為：k＝2﹣1＝1．切線方程為：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案為：x﹣y+1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．三．解答題（共5小題）16．已知函數(shù)f（x）=1x-x（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(x1)-【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-1x設(shè)g（x）＝x2﹣ax+1，當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，判別式Δ＝a2﹣4，①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，②當(dāng)a＞2時(shí)，x，f′（x），f（x）的變化如下表：x（0，a-a（a-a2a（a+a2f′（x）﹣0+0﹣f（x）遞減遞增遞減綜上當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞2時(shí)，在（0，a-a2-4則（a-a2（2）由（1）知a＞2，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，則f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+1x1x2）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx則f(x1則問題轉(zhuǎn)為證明lnx1即證明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，則lnx1﹣ln1x1＞x即lnx1+lnx1＞x1-1即證2lnx1＞x1-1x1在（0，1設(shè)h（x）＝2lnx﹣x+1x，（0＜x＜1），其中h（1）＝求導(dǎo)得h′（x）=2x-1則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+1x故2lnx＞x-1則f(x1)-（2）另解：注意到f（1x）＝x-1x-alnx＝﹣即f（x）+f（1x）＝0不妨設(shè)x1＜x2，由韋達(dá)定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1=1可得f（x2）+f（1x2）＝0，即f（x1）+f（x2）＝要證f(x1)-f(x2)x即證2alnx2﹣ax2+ax2＜0，（x構(gòu)造函數(shù)h（x）＝2alnx﹣ax+ax，（x＞1），h′（x）=∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax+ax＜0成立，即2alnx2﹣ax2+ax2＜即f(x1)-【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)與不等式的綜合，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．17．已知函數(shù)f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）當(dāng)a＝4時(shí)，求曲線y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞0，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）當(dāng)a＝4時(shí)，求出曲線y＝f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率，即可求出切線方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）＝2﹣a，再結(jié)合條件，分類討論，即可求a的取值范圍．【解答】解：（I）當(dāng)a＝4時(shí)，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即點(diǎn)為（1，0），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝lnx+（x+1）?1x-則f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函數(shù)的切線斜率k＝f′（1）＝﹣2，則曲線y＝f（x）在（1，0）處的切線方程為y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1+1x+lnx∴f″（x）=x∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）＞f（1）＝0，滿足題意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函數(shù)f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合題意．綜上所述，a≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查參數(shù)范圍的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．18．已知函數(shù)f（x）＝aex﹣lnx﹣1．（1）設(shè)x＝2是f（x）的極值點(diǎn)，求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）推導(dǎo)出x＞0，f′（x）＝aex-1x，由x＝2是f（x）的極值點(diǎn)，解得a=12e2，從而f（x）=12e2ex﹣lnx﹣1，進(jìn)而（2）法一：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥exe-lnx﹣1，設(shè)g（x）=exe-lnx﹣1，x＞0，則g法二：f（x）≥0，即a≥lnx+1ex，x＞0，令g（x）=lnx+1ex，x＞0，則g'(x)=1x-lnx-1ex，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+法三：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥e【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝aex﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝aex-1∵x＝2是f（x）的極值點(diǎn)，∴f′（2）＝ae2-12=0，解得∴f（x）=12e2ex﹣lnx﹣1，∴f′（當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞）．（2）證法一：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥ex設(shè)g（x）=exe-lnx﹣1，x＞由g'(x)=ex當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值點(diǎn)，故當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥g（1）＝0，∴當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）＝aex﹣lnx﹣1≥證法二：∵函數(shù)f（x）＝aex﹣lnx﹣1，∴f（x）≥0，即a≥lnx+1ex，令g（x）=lnx+1ex，x＞0，則g'(x)=1x-當(dāng)0＜x＜1時(shí)，1x-1＞0，﹣lnx＞0，g當(dāng)x＞1時(shí)，1x-1＜0，﹣lnx＜0，g∴g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，g（x）≤g（1）=1∵a≥1e，∴a≥g（∴當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥證法三：當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x）≥e由于ex則ex≥elnex?xex≥exlnex?xex≥elnexlnex，令g（x）＝xex，則g'（x）＝ex（x+1）＞0，即g（x）為增函數(shù)，又易證x≥lnex＝lnx+1，故g（x）≥g（lnex），即xex≥elnexlnex成立，故當(dāng)a≥1e時(shí)，f（x【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題．19．設(shè)函數(shù)f（x）＝（1﹣x2）?ex．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】（1）f（x）在（﹣∞，﹣1-2），（﹣1+2，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣1-2，﹣（2）a的取值范圍是[1，+∞）．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．（2）化簡(jiǎn)f（x）＝（1﹣x）（1+x）ex．f（x）≤ax+1，下面對(duì)a的范圍進(jìn)行討論：①當(dāng)a≥1時(shí)，②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）＝ex﹣x﹣1，則g′（x）＝ex﹣1＞0（x＞0），推出結(jié)論；③當(dāng)a≤0時(shí)，推出結(jié)果，然后得到a的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝（1﹣x2）ex，x∈R，所以f′（x）＝（1﹣2x﹣x2）ex，令f′（x）＝0可知x＝﹣1±2，當(dāng)x＜﹣1-2或x＞﹣1+2時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)﹣1-2＜x＜﹣1+2時(shí)f所以f（x）在（﹣∞，﹣1-2），（﹣1+2，+∞）上單調(diào)遞減，在（﹣1-2，﹣（2）由題可知f（x）＝（1﹣x）（1+x）ex．下面對(duì)a的范圍進(jìn)行討論：①當(dāng)a≥1時(shí)，設(shè)函數(shù)h（x）＝（1﹣x）ex，則h′（x）＝﹣xex＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，又因?yàn)閔（0）＝1，所以h（x）≤1，所以f（x）＝（1+x）h（x）≤x+1≤ax+1；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）＝ex﹣x﹣1，則g′（x）＝ex﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又g（0）＝1﹣0﹣1＝0，所以ex≥x+1．因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1時(shí)f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1＝x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0=5-4a-12∈（0，1），則（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③當(dāng)a≤0時(shí)，取x0=5-12∈（0，1），則f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2＝1≥綜上所述，a的取值范圍是[1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20．已知函數(shù)f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，a＜-e2時(shí)，a=-e2時(shí)，-e2＜（Ⅱ）由（Ⅰ）的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點(diǎn)，即可得到所求范圍．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，可得f′（x）＝（x﹣1）ex+2a（x﹣1）＝（x﹣1）（ex+2a），①當(dāng)a≥0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增（如右上圖）；②當(dāng)a＜0時(shí)，（如右下圖），由ex+2a＝0，可得x＝ln（﹣2a），由ln（﹣2a）＝1，解得a=-若a=-e2，則f′（x）≥0恒成立，即有f（x若a＜-e2時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增；在（1，ln（﹣2a））遞減；若-e2＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）遞增；在（ln（﹣2a），1）遞減；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，1）遞減；在（1，+∞）遞增，且f（1）＝﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；當(dāng)x→﹣∞時(shí)f（x）＞0或找到一個(gè)x＜1使得f（x）＞0對(duì)于a＞0恒成立，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝（x﹣2）ex，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x＝2；③當(dāng)a＜0時(shí)，若a＜-e2時(shí)，f（x）在（1，ln（﹣2在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）遞增，又當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥-e2時(shí)，在（﹣∞，ln（﹣2a））單調(diào)增，在（1，在（ln（﹣2a），1）單調(diào)減，只有f（ln（﹣2a））等于0才有兩個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）＜0，所以只有一個(gè)零點(diǎn)不符題意．綜上可得，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為（0，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．

考點(diǎn)卡片1．三角函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案為：32+22cos（這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開口向上，對(duì)稱軸是t=∴當(dāng)t=1而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)?？键c(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．2．函數(shù)的零點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x）（x∈R），我們把方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根x叫作函數(shù)y＝f（x）（x∈D）的零點(diǎn)．即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的自變量的值．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】解法﹣﹣二分法①確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f（a）*f（b）＜0，給定精確度；②求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)x1；③計(jì)算f（x1）；④若f（x1）＝0，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；⑤若f（a）f（x1）＜0，則令b＝x1（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，則令a＝x1．（此時(shí)零點(diǎn)x0∈（x1，b）⑦判斷是否滿足條件，否則重復(fù)（2）～（4）【命題方向】零點(diǎn)其實(shí)并沒有多高深，簡(jiǎn)單的說，就是某個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)就是這個(gè)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，另外如果在（a，b）連續(xù)的函數(shù)滿足f（a）?f（b）＜0，則（a，b）至少有一個(gè)零點(diǎn)．這個(gè)考點(diǎn)屬于了解性的，知道它的概念就行了．3．函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個(gè)c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一．（2）并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個(gè)零點(diǎn)．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個(gè)等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個(gè)零點(diǎn)；②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn)．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根．4．導(dǎo)數(shù)及其幾何意義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)f（x）在（a，b）中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，則可建立f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)，記為f′（x）；如果f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，f′（x）為區(qū)間[a，b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)．2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率k．例如：函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k切線＝f′（x0）=x【解題方法點(diǎn)撥】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．求出y＝f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x）；利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程為y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函數(shù)在x＝x0處可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處一定有切線，但若函數(shù)在x＝x0處不可導(dǎo)，則圖象在（x0，f（x0））處也可能有切線，即若曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與x軸垂直．（3）注意區(qū)分曲線在P點(diǎn)處的切線和曲線過P點(diǎn)的切線，前者P點(diǎn)為切點(diǎn)；后者P點(diǎn)不一定為切點(diǎn)，P點(diǎn)可以是切點(diǎn)也可以不是，一般曲線的切線與曲線可以有兩個(gè)以上的公共點(diǎn)，（4）顯然f′（x0）＞0，切線與x軸正向的夾角為銳角；f′（x0）＜0，切線與x軸正向的夾角為鈍角；f（x0）＝0，切線與x軸平行；f′（x0）不存在，切線與y軸平行．【命題方向】題型一：根據(jù)切線方程求斜率典例1：已知曲線y=x2A．3B．2C．1D．1解：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（x0，y0）∵曲線y=x2∴y′=x02-3x0=12，解得x故選A．題型二：求切線方程典例2：已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，x≥-1f(-x-2)，x＜A．y＝﹣2x﹣3B．y＝﹣2x+3C．y＝2x﹣3D．y＝2x+3解：∵圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即為（﹣3，3）∴在點(diǎn)（﹣3，f（﹣3））處的切線過（﹣3，3）將（﹣3，3）代入選項(xiàng)通過排除法得到點(diǎn)（﹣3，3）只滿足A故選A．5．簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′2、和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解題方法點(diǎn)撥】1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運(yùn)算得到的簡(jiǎn)單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2．對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用．在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．【命題方向】題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）為偶函數(shù)；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故選D．題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)典例2：下列式子不正確的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于選項(xiàng)A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，(lnx-2對(duì)于選項(xiàng)C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，(sinxx)'=故選C．6．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對(duì)任意x∈R，f′（x）＞2，∴對(duì)任意x∈R，g′（x）