山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第八講n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué)案含解析_第1頁(yè)
山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第八講n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué)案含解析_第2頁(yè)
山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第八講n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué)案含解析_第3頁(yè)
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PAGE1-第八講n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)學(xué)問(wèn)梳理學(xué)問(wèn)點(diǎn)一條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A、B為兩個(gè)事務(wù),且P(A)>0,稱P(B|A)=eq\f(PAB,PA)為在事務(wù)A發(fā)生的條件下,事務(wù)B發(fā)生的條件概率(1)0≤P(B|A)≤1(2)若B、C是兩個(gè)互斥事務(wù),則P(B∪C|A)=__P(B|A)+P(C|A)__學(xué)問(wèn)點(diǎn)二事務(wù)的相互獨(dú)立性設(shè)A、B為兩個(gè)事務(wù),假如P(AB)=__P(A)P(B)__,則稱事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立.若事務(wù)A、B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B);事務(wù)A與eq\x\to(B),eq\x\to(A)與B,eq\x\to(A)與eq\x\to(B)都相互獨(dú)立.學(xué)問(wèn)點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),若用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果,則P(A1A2A3…An)=__P(A1)P(A2)P(A3)…P(A(2)二項(xiàng)分布:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事務(wù)A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此時(shí)稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布,記為X~B(n,p).重要結(jié)論1.A,B中至少有一個(gè)發(fā)生的事務(wù)為A∪B.2.A,B都發(fā)生的事務(wù)為AB.3.A,B都不發(fā)生的事務(wù)為eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-)).4.A,B恰有一個(gè)發(fā)生的事務(wù)為(Aeq\o(B,\s\up6(-)))∪(eq\x\to(A)B).5.A,B至多有一個(gè)發(fā)生的事務(wù)為(eq\x\to(A)B)∪(Aeq\o(B,\s\up6(-)))∪(eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-))).雙基自測(cè)題組一走出誤區(qū)1.(多選題)下列結(jié)論中正確的是(ABC)A.若事務(wù)A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B)B.二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布列,是一個(gè)用公式P(X=k)=Ceq\o\al(k,n)pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)的概率分布C.袋中有5個(gè)小球(3白2黑),現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球,不放回地抽取兩次,則在第一次取到白球的條件下,其次次取到白球的概率是0.5D.小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是eq\f(1,3),他連續(xù)測(cè)試3次,那么其中恰好第3次測(cè)試獲得通過(guò)的概率是P=Ceq\o\al(1,3)·(eq\f(1,3))1·(1-eq\f(1,3))3-1=eq\f(4,9)題組二走進(jìn)教材2.(P55T3)天氣預(yù)報(bào),在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響,則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為(C)A.0.2 B.0.3C.0.38 D.0.56[解析]設(shè)甲地降雨為事務(wù)A,乙地降雨為事務(wù)B,則兩地恰有一地降雨為Aeq\o(B,\s\up6(-))+eq\o(A,\s\up6(-))B,∴P(Aeq\o(B,\s\up6(-))+eq\o(A,\s\up6(-))B)=P(Aeq\o(B,\s\up6(-)))+P(eq\o(A,\s\up6(-))B)=P(A)P(eq\o(B,\s\up6(-)))+P(eq\o(A,\s\up6(-)))P(B)=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.題組三考題再現(xiàn)3.(2024·石家莊質(zhì)檢)甲、乙獨(dú)立地解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題,甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.8,乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.6,那么其中至少有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是(D)A.0.48 B.0.52C.0.8 D.0.92[解析]1-0.2×0.4=0.92,選D項(xiàng).4.(2024·福建廈門(mén)模擬)袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(D)A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(18,125) D.eq\f(54,125)[解析]袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黃球的概率P1=eq\f(3,5),∴3次中恰有2次抽到黃球的概率是P=Ceq\o\al(2,3)(eq\f(3,5))2(1-eq\f(3,5))=eq\f(54,125).5.(2024·安徽安慶二模)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參與假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng),社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教化詢問(wèn)、交通宣揚(yáng)四個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事務(wù)A為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事務(wù)B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”,則P(A|B)的值為(C)A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,9)[解析]公式法:P(B)=eq\f(33,44),P(AB)=eq\f(A\o\al(3,3),44),P(A|B)=eq\f(PAB,PB)=eq\f(2,9).故選C.干脆法:P(A|B)=eq\f(A\o\al(3,3),33)=eq\f(2,9).KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一條件概率——自主練透例1(1)(2024·大慶模擬)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù),事務(wù)A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”,事務(wù)B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=(B)A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)(2)(2024·重慶市診斷)某班組織由甲、乙、丙等5名同學(xué)參與的演講競(jìng)賽,現(xiàn)采納抽簽法確定演講依次,在“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場(chǎng),學(xué)生乙不是最終一個(gè)出場(chǎng)”的前提下,學(xué)生丙第一個(gè)出場(chǎng)的概率為(A)A.eq\f(3,13) B.eq\f(4,13)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)(3)(2024·遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校模擬)已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)獨(dú)立地解答一道導(dǎo)數(shù)試題,每人均有eq\f(2,3)的概率解答正確,且三個(gè)人解答正確與否相互獨(dú)立,在三人中至少有兩人解答正確的條件下,甲解答不正確的概率(C)A.eq\f(13,20) B.eq\f(9,20)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,20)[解析](1)P(A)=eq\f(C\o\al(2,3)+C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))=eq\f(2,5),P(B)=eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))=eq\f(1,10),又A?B,則P(AB)=P(B)=eq\f(1,10),所以P(B|A)=eq\f(PAB,PA)=eq\f(PB,PA)=eq\f(1,4).另解:“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”有Ceq\o\al(2,3)+1=4種取法,“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”有1種取法,故所求概率P=eq\f(1,4).故選B.(2)公式法:設(shè)事務(wù)A為“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場(chǎng),學(xué)生乙不是最終一個(gè)出場(chǎng)”;事務(wù)B為“學(xué)生丙第一個(gè)出場(chǎng)”則P(A)=eq\f(A\o\al(4,4)+C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))=eq\f(78,A\o\al(5,5)),P(AB)=eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))=eq\f(18,A\o\al(5,5)),則P(B|A)=eq\f(PAB,PA)=eq\f(18,78)=eq\f(3,13),本題選A.干脆法:“學(xué)生甲不是第一個(gè)出場(chǎng),學(xué)生乙不是最終一個(gè)出師”有Aeq\o\al(4,4)+Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)=78種;“學(xué)生丙第一個(gè)出場(chǎng),學(xué)生乙不最終一個(gè)出場(chǎng)”有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)=18種,故所求概率為P=eq\f(18,78)=eq\f(3,13).(3)記“三人中至少有兩人解答正確”為事務(wù)A;“甲解答不正確”為事務(wù)B,則P(A)=Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,3))2(eq\f(1,3))+Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,3))3=eq\f(20,27);P(AB)=eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,27),∴P(B|A)=eq\f(PAB,PA)=eq\f(1,5).故選C.名師點(diǎn)撥?條件概率的求法(1)利用定義,分別求P(A)和P(AB),得P(B|A)=eq\f(PAB,PA).這是通用的求條件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式,先求事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)n(A),再在事務(wù)A發(fā)生的條件下求事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件數(shù),即n(AB),得P(B|A)=eq\f(nAB,nA).〔變式訓(xùn)練1〕(2024·銀川模擬)由0,1組成的三位編號(hào)中,若用A表示“其次位數(shù)字為0的事務(wù)”,用B表示“第一位數(shù)字為0的事務(wù)”,則P(A|B)=(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)[解析]因?yàn)榈谝晃粩?shù)字可為0或1,且可能性相同,所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)=eq\f(1,2),第一位數(shù)字為0且其次位數(shù)字也是0,即事務(wù)A,B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,4),所以P(A|B)=eq\f(PAB,PB)=eq\f(\f(1,4),\f(1,2))=eq\f(1,2).考點(diǎn)二相互獨(dú)立事務(wù)的概率——師生共研例2(1)(2024·全國(guó))甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,實(shí)行七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)成功時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).依據(jù)前期競(jìng)賽成果,甲隊(duì)的主客場(chǎng)支配依次為“主主客客主客主”,設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以41獲勝的概率是__0.18__.(2)(2024·課標(biāo)Ⅱ)11分制乒乓球競(jìng)賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成1010平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局競(jìng)賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打競(jìng)賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方1010平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束.①求P(X=2);②求事務(wù)“X=4且甲獲勝”的概率.[解析](1)前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸,第五場(chǎng)贏時(shí),甲隊(duì)以41獲勝的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸,第五場(chǎng)贏時(shí),甲隊(duì)以41獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072,綜上所述,甲隊(duì)以41獲勝的概率是q=0.108+0.072=0.18.(2)①X=2就是1010平后,兩人又打了2個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束,則這2個(gè)球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.②X=4且甲獲勝,就是1010平后,兩人又打了4個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束,且這4個(gè)球的得分狀況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.[引申]本例(1)中乙以40獲勝的概率為_(kāi)_0.04__,甲以42獲勝的概率為_(kāi)_0.171__.[解析]P1=0.42×0.52=0.04;P2=(Ceq\o\al(2,3)0.42×0.6×0.52+0.63×0.52+Ceq\o\al(1,3)0.4×0.62×Ceq\o\al(1,2)0.52)×0.5=0.171.名師點(diǎn)撥?利用相互獨(dú)立事務(wù)求困難事務(wù)概率的解題思路(1)將待求困難事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡(jiǎn)潔事務(wù)的和.(2)將彼此互斥簡(jiǎn)潔事務(wù)中的簡(jiǎn)潔事務(wù),轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易求)概率的相互獨(dú)立事務(wù)的積事務(wù).(3)代入概率的積、和公式求解.〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2024·四川資陽(yáng)診斷)某項(xiàng)羽毛球單打競(jìng)賽規(guī)則是3局2勝制,運(yùn)動(dòng)員甲和乙進(jìn)入了男子羽毛球單打決賽,假設(shè)甲每局獲勝的概率為eq\f(2,3),則由此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為_(kāi)_eq\f(20,27)__.(2)(2024·貴陽(yáng)模擬)某乒乓球俱樂(lè)部派甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員參與某運(yùn)動(dòng)會(huì)的單打資格選拔賽,本次選拔賽只有出線和未出線兩種狀況.規(guī)定一名運(yùn)動(dòng)員出線記1分,未出線記0分.假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為eq\f(2,3),eq\f(3,4),eq\f(3,5),他們出線與未出線是相互獨(dú)立的.①求在這次選拔賽中,這三名運(yùn)動(dòng)員至少有一名出線的概率;②記在這次選拔賽中,甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員的得分之和為隨機(jī)變量ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).[解析](1)因?yàn)榧撰@勝的方式有20和21兩種,所以甲獲得冠軍的概率P=(eq\f(2,3))2+Ceq\o\al(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(20,27).故答案為:eq\f(20,27).(2)①記“甲出線”為事務(wù)A,“乙出線”為事務(wù)B,“丙出線”為事務(wù)C,“甲、乙、丙至少有一名出線”為事務(wù)D.則P(D)=1-P(eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-))eq\o(C,\s\up6(-)))=1-eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)=eq\f(29,30).②由題意可得,ξ的全部可能取值為0,1,2,3,則P(ξ=0)=P(eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-))eq\o(C,\s\up6(-)))=eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)=eq\f(1,30);P(ξ=1)=P(Aeq\o(B,\s\up6(-))eq\o(C,\s\up6(-)))+P(eq\o(A,\s\up6(-))Beq\o(C,\s\up6(-)))+P(eq\o(A,\s\up6(-))eq\o(B,\s\up6(-))C)=eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)+eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)+eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)=eq\f(13,60);P(ξ=2)=P(ABeq\o(C,\s\up6(-)))+P(Aeq\o(B,\s\up6(-))C)+P(eq\o(A,\s\up6(-))BC)=eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)+eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)+eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)=eq\f(9,20);P(ξ=3)=P(ABC)=eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)=eq\f(3,10).所以ξ的分布列為:ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(13,60)eq\f(9,20)eq\f(3,10)E(ξ)=0×eq\f(1,30)+1×eq\f(13,60)+2×eq\f(9,20)+3×eq\f(3,10)=eq\f(121,60).考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率與二項(xiàng)分布——師生共研例3(2024·山東新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考)甲、乙兩位同學(xué)參與詩(shī)詞大會(huì),設(shè)甲、乙兩人每道題答對(duì)的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4).假定甲、乙兩位同學(xué)答題狀況互不影響,且每人各次答題狀況相互獨(dú)立.(1)用X表示甲同學(xué)連續(xù)三次答題中答對(duì)的次數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事務(wù)“甲、乙兩人分別連續(xù)答題三次,甲同學(xué)答對(duì)的次數(shù)比乙同學(xué)答對(duì)的次數(shù)恰好多2”,求事務(wù)M發(fā)生的概率.[解析](1)X的全部可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=(eq\f(1,3))3=eq\f(1,27);P(X=1)=Ceq\o\al(1,3)·eq\f(2,3)×(eq\f(1,3))2=eq\f(2,9);P(X=2)=Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)=eq\f(4,9);P(X=3)=(eq\f(2,3))3=eq\f(8,27).∴隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)∴E(X)=0×eq\f(1,27)+1×eq\f(2,9)+2×eq\f(4,9)+3×eq\f(8,27)=2.(2)設(shè)Y為乙連續(xù)3次答題中答對(duì)的次數(shù),由題意知Y~B(3,eq\f(3,4)),P(Y=0)=(eq\f(1,4))3=eq\f(1,64),P(Y=1)=Ceq\o\al(1,3)(eq\f(3,4))1(eq\f(1,4))2=eq\f(9,64),所以P(M)=P(X=3且Y=1)+P(X=2且Y=0)=eq\f(8,27)×eq\f(9,64)+eq\f(4,9)×eq\f(1,64)=eq\f(7,144).即事務(wù)M發(fā)生的概率為eq\f(7,144).名師點(diǎn)撥?獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求解的策略(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn).在這種試驗(yàn)中,每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,即某事務(wù)要么發(fā)生,要么不發(fā)生,并且每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)二項(xiàng)分布滿意的條件:①每次試驗(yàn)中,事務(wù)發(fā)生的概率是相同的;②各次試驗(yàn)中的事務(wù)是相互獨(dú)立的;③每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:事務(wù)要么發(fā)生,要么不發(fā)生;④隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)發(fā)生的次數(shù).(3)解此類題時(shí)常用互斥事務(wù)概率加法公式,相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式及對(duì)立事務(wù)的概率公式.〔變式訓(xùn)練3〕(2024·成都模擬)某人向一目標(biāo)射擊4次,每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,3).該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分,第一、二、三部分面積之比為136,擊中目標(biāo)時(shí),擊中任何一部分的概率與其面積成正比.(1)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù),求X的分布列;(2)若目標(biāo)被擊中2次,A表示事務(wù)“第一部分至少被擊中1次或其次部分被擊中2次”,求P(A).[解析](1)依題意知X~B(4,eq\f(1,3)),P(X=0)=Ceq\o\al(0,4)(eq\f(1,3))0(1-eq\f(1,3))4=eq\f(16,81);P(X=1)=Ceq\o\al(1,4)(eq\f(1,3))1(1-eq\f(1,3))3=eq\f(32,81);P(X=2)=Ceq\o\al(2,4)(eq\f(1,3))2(1-eq\f(1,3))2=eq\f(24,81);P(X=3)=Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,3))3(1-eq\f(1,3))1=eq\f(8,81);P(X=4)=Ceq\o\al(4,4)(eq\f(1,3))4(1-eq\f(1,3))0=eq\f(1,81);∴X的分布列為X01234Peq\f(16,81)eq\f(32,81)eq\f(24,81)eq\f(8,81)eq\f(1,81)(2)設(shè)Ai表示事務(wù)“第一次擊中目標(biāo)時(shí),擊中第i部分”,i=1,2.Bi表示事務(wù)“其次次擊中目標(biāo)時(shí),擊中第i部分”i=1,2.依題意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,A=A1eq\x\to(B1)∪eq\x\to(A1)B1∪A1B1∪A2B2,所求的概率為P(A)=P(A1eq\x\to(B1))+P(eq\x\to(A1)B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(eq\x\to(B1))+P(eq\x\to(A1))P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的綜合應(yīng)用例4(2024·山西長(zhǎng)治聯(lián)考)2024年春節(jié)期間,當(dāng)紅影視明星翟天臨“不知‘知網(wǎng)’”學(xué)術(shù)不端事務(wù)在全國(guó)鬧得沸沸揚(yáng)揚(yáng),引發(fā)了網(wǎng)友對(duì)亞洲最大電影學(xué)府北京電影學(xué)院乃至整個(gè)中國(guó)學(xué)術(shù)界高等教化亂象的反思。為進(jìn)一步端正學(xué)風(fēng),打擊學(xué)術(shù)造假行為,教化部日前公布的《教化部2024年部門(mén)預(yù)算》中透露,2024年教化部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇,預(yù)算為800萬(wàn)元.國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)、教化部2024年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢方法》通知中規(guī)定:每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進(jìn)行評(píng)議,3位專家中有2位以上(含2位)專家評(píng)議看法為“不合格”的學(xué)位論文,將認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”,有且只有1位專家評(píng)議看法為“不合格”的學(xué)位論文,將再送2位同行專家進(jìn)行復(fù)評(píng),2位復(fù)評(píng)專家中有1位以上(含1位)專家評(píng)議看法為“不合格”的學(xué)位論文,將認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”.設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評(píng)議為“不合格”的概率均為p(0<p<1),且各篇學(xué)位論文是否被評(píng)議為“不合格”相互獨(dú)立.(1)記一篇抽檢的學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”的概率為f(p),求f(p);(2)若擬定每篇抽檢論文不須要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為900元,須要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為1500元;除評(píng)審費(fèi)外,其他費(fèi)用總計(jì)為100萬(wàn)元,現(xiàn)以此方案實(shí)施,且抽檢論文為6000篇,問(wèn)是否會(huì)超過(guò)預(yù)算?并說(shuō)明理由.[解析](1)因?yàn)橐黄獙W(xué)位論文初評(píng)被認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”的概率為Ceq\o\al(2,3)p2(1-p)+Ceq\o\al(3,3)p3,一篇學(xué)位論文復(fù)評(píng)被認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”的概率為Ceq\o\al(1,3)p(1-p)2[1-(1-p)2],所以一篇學(xué)位論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題學(xué)位論文”的概率為f(p)=Ceq\o\al(2,3)p2(1-p)+Ceq\o\al(3,3)p3+Ceq\o\al(1,3)p(1-p)2[1-(1-p)2]=3p2(1-p)+p3+3p(1-p)2[1-(1-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2.(2)設(shè)每篇學(xué)位論文的評(píng)審費(fèi)為X元,則X的可能取值為900,1500.P(X=1500)=Ceq\o\al(1,3)p(1-p)2,P(X=900)=1-Ceq\o\al(1,3)p(1-p)2,所以E(X)=900×[1-Ceq\o\al(1,3)p(1-p)2]+1500×Ceq\o\al(1,3)p(1-p)2=900+1800p(1-p)2,令g(p)=p(1-p)2,p∈(0,1),g′(p)=(1-p)2-2p(1-p)=(3p-1)(p-1),當(dāng)p∈(0,eq\f(1,3))時(shí),g′(p)>0,g(p)在(0,eq\f(1,3))上單調(diào)遞增;當(dāng)p∈(eq\f(1,3),1)時(shí),g′(p)<0,g(p)在(eq\f(1,3),1)上單調(diào)遞減.所以g(p)的最大值為g(eq\f(1,3))=eq\f(4,27).所以實(shí)施此方案,最高費(fèi)用為100+6000×(900+1800×eq\f(4,27))×10-4=800(萬(wàn)元).綜上,若以此方案實(shí)施,不會(huì)超過(guò)預(yù)算.〔變式訓(xùn)練4〕(2024·河南階段測(cè)試)高校的生活豐富多彩,許多學(xué)生除了學(xué)習(xí)本專業(yè)的必修課外,還會(huì)選擇一些選修課來(lái)充溢自己.甲同學(xué)調(diào)查了自己班上的50名同學(xué)學(xué)習(xí)選修課的狀況,并作出如下表格:每人選擇選修課科數(shù)0123456頻數(shù)159151352(1)求甲同學(xué)班上人均學(xué)習(xí)選修課科數(shù);(2)現(xiàn)從學(xué)習(xí)選修課科數(shù)為5,6的同學(xué)中抽出三名同學(xué),求這三名同學(xué)中恰有一名是學(xué)習(xí)選修課科數(shù)為6的概率;

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