山東專用2025版高考數學一輪復習第七章立體幾何第六講空間向量及其運算學案含解析

PAGE14-第六講空間向量及其運算ZHISHISHULISHUANGJIZICE學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一空間向量的有關概念1．空間向量的有關概念(1)空間向量：在空間中，具有__大小__和__方向__的量叫做空間向量，其大小叫做向量的__長度__或__模__．(2)相等向量：方向__相同__且模__相等__的向量．(3)共線向量：假如表示空間向量的有向線段所在的直線__平行__或__重合__，則這些向量叫做__共線向量__或__平行向量__．(4)共面對量：平行于同一__平面__的向量叫做共面對量．2．空間向量中的有關定理(1)共線向量定理：對空間隨意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一確定的λ∈R，使a＝λb．(2)共面對量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空間向量基本定理：假如三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數量積及運算律(1)已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作a，b，其范圍是0≤a，b≤π，若a，b＝eq\f(π,2)，則稱a與b__相互垂直__，記作a⊥b．向量a，b的數量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數量積的運算律結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交換律：a·b＝b·a；安排律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．學問點二空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐標表示數量積a·b__a1b1＋a2b2＋a3b3__共線a＝λb(b≠0)__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__模|a|eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)1．向量三點共線定理在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內隨意一點．2．向量四點共面定理在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中隨意一點．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結論中正確的是(AC)A．空間中隨意兩個非零向量a，b共面B．對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝cC．若A，B，C，D是空間隨意四點，則有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0D．若a·b<0，則a，b是鈍角題組二走進教材2．(必修2P97A組T2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則下列向量中與eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是(A)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[解析]eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．3．(必修2P98T3)正四面體ABCD的棱長為2，E，F分別為BC，AD的中點，則EF的長為eq\r(2)．[解析]|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\o(EF,\s\up6(→))2＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))2＝eq\o(EC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋eq\o(DF,\s\up6(→))2＋2(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→)))＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴EF的長的eq\r(2)．題組三考題再現4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則kA．－1 B．eq\f(4,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(7,5)[解析]由題意，得ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝eq\f(7,5)．5．(2024·晉江模擬)設O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則(x，y，z)為(eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4))．[解析]如圖所示，取BC的中點E，連接AE．則eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,4)．6．(2024·吉林省吉林市調研)在空間直角坐標系O－xyz中，A(eq\r(2)，0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,5)，D(eq\r(2)，3,5)，則四面體ABCD的外接球的體積為36π．[分析]由四點坐標知此四點正好是一個長方體的四個頂點，則長方體的對角線就是四面體ABCD外接球的直徑．[解析]取E(eq\r(2)，0,5)，F(eq\r(2)，3,0)，G(0,3,5)，O(0,0,0)，則OAFB－CEDG是長方體，其對角線長為l＝eq\r(\r(2)2＋32＋52)＝6，∴四面體ABCD外接球半徑為r＝eq\f(l,2)＝3.V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×33＝36π，故答案為：36π．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點突破·互動探究考點一空間向量的線性運算——自主練透例1(1)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．①化簡eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))．②用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))，表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))．(2)在三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(MG,\s\up6(→))，eq\o(OG,\s\up6(→))．[解析](1)①eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(A1O,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))．②因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))．所以eq\o(OC1,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))．(2)eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)[eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))]＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))．eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))．名師點撥?(1)用基向量表示指定向量的方法用已知基向量表示指定向量時，應結合已知和所求視察圖形，將已知向量和未知向量轉化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知基向量表示出來．(2)向量加法的多邊形法則首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量，我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則．提示：空間向量的坐標運算類似于平面對量中的坐標運算． 〔變式訓練1〕如圖所示，在空間幾何體ABCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))．[解析](1)因為P是C1D1的中點，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．(2)因為M是AA1的中點，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，所以eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c．考點二空間向量共線、共面定理的應用——師生共研例2如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿意eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直線MN是否與平面ABB1A1[解析](1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，∴由共面對量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))與向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．(2)當k＝0時，點M、A重合，點N、B重合，MN在平面ABB1A1內，當0<kMN不在平面ABB1A1又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1名師點撥?1．證明空間三點P、A、B共線的方法(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．2．證明空間四點共面的方法對空間四點P，M，A，B可通過證明下列結論成立來證明四點共面．(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．〔變式訓練2〕已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外的任一點O，若點M滿意eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)推斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)推斷點M是否在平面ABC內．[解析](1)由題知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面且基線過同一點M，所以M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內．考點三空間向量的坐標運算——師生共研例3(2024·安慶模擬)已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，設a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))．(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)求a和b的夾角的余弦值；(3)若ka＋b與ka－2b相互垂直，求k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直，求λ，μ應滿意的關系．[解析](1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．所以|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3．即m＝±1.所以c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)因為a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1．又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，所以cosa，b＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)．所以a和b夾角的余弦值為－eq\f(\r(10),10)．(3)解法一：因為ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，所以(k－1，k,2)(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0．所以k＝2或k＝－eq\f(5,2)．即當ka＋b與ka－2b相互垂直時，k＝2或k＝－eq\f(5,2)．解法二：由(2)知|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝－1，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－eq\f(5,2)．(4)因為a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，所以λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)．因為[λ(a＋b)＋μ(a－b)]·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，即當λ，μ滿意關系λ－μ＝0時，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)與z軸垂直．名師點撥?空間向量的坐標運算與平面對量坐標運算類似，可對比應用．〔變式訓練3〕(1)與向量(－3，－4,5)共線的單位向量是(A)A．(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))和(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))B．(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))C．(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))D．(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))或(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))(2)已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，則向量a與b的夾角為(D)A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,6)[解析](1)與向量a＝(－3，－4,5)共線的向量為±eq\f(a,|a|)＝±eq\f(1,5\r(2))(－3，－4,5)＝(－eq\f(3\r(2),10)，－eq\f(2\r(2),5)，eq\f(\r(2),2))或(eq\f(3\r(2),10)，eq\f(2\r(2),5)，－eq\f(\r(2),2))．(2)∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)，∴cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2)，又∵a，b∈[0，π]，∴a與b的夾角為eq\f(π,6)，故選D．例4(1)(多選題)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝eq\r(3)AD＝eq\r(3)AA1＝eq\r(3)，點P為線段A1C上的動點，則下列結論正確的是(ACD)A．當eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))時，B1，P，D三點共線B．當eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))時，eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))C．當eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))時，D1P∥平面BDC1D．當eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))時，A1C⊥平面D1AP(2)(多選題)(2024·廣東珠海期末改編)已知球O的半徑為2，A，B是球面上的兩點，且AB＝2eq\r(3)，若點P是球面上隨意一點，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值可能是(ABCD)A．－2 B．0C．2 D．4[解析](1)如圖建立空間直角坐標系，A1(1,0,1)，C(0，eq\r(3)，0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，B1(1，eq\r(3)，1)，D(0,0,0)，當eq\o(A1C,\s\up6(→))＝2eq\o(A1P,\s\up6(→))時，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))，eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(DA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，而eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，1)，∴eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB1,\s\up6(→))，∴B1、P、D三點共線，A正確；eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1P,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋λeq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－λ，eq\r(3)λ，1－λ)．當eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(A1C,\s\up6(→))時，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5λ－1＝0，∴λ＝eq\f(1,5)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，eq\f(4,5))·(eq\f(4,5)，eq\f(\r(3),5)，－eq\f(1,5))＝－eq\f(1,5)≠0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(D1P,\s\up6(→))錯；當eq\o(A1C,\s\up6(→))＝3eq\o(A1P,\s\up6(→))時，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(1,3))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(A1P,\s\up6(→))－eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝(eq\f(2,3)，eq\f(\r(3),3)，－eq\f(1,3))，又eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，1)，∴eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DC1,\s\up6(→))，∴D1P∥平面BDC1，C正確；當eq\o(A1C,\s\up6(→))＝5eq\o(A1P,\s\up6(→))時，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，－eq\f(1,5))，從而eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，eq\f(4,5))，又eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0,1)·(－1，eq\r(3)，－1)＝0，∴A1C⊥AD1eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,5)，eq\f(\r(3),5)，eq\f(4,5))·(－1，eq\r(3)，－1)＝0，∴A1C⊥AP∴A1C⊥平面D1AP(2)由球O的半徑為2，A，B是球面上的兩點，且AB＝2eq\r(3)，可得∠AOB＝eq\f(2π,3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2×2×(－eq\f(1,2))＝－2，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))2＝－2－|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|·|eq\o(OP,\s\up6(→))|cosθ＋4＝2－4cosθ∈[－2,6]，故選A、B、C、D．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升向量在立體幾何中的簡潔應用例5如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為棱AB，BB′的中點．(1)求證：CE⊥A′D；(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．[解析]解法一：由題意可知CA、CB、CC′兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，且設AC＝BC＝AA′＝2a則eq\o(CE,\s\up6(→))＝(0,2a，a)，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝(－a，a，－2a)，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝(－2a,0,2a)(1)∵eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝0＋2a2－2a2＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D．(2)記異面直線CE與AC′所成角為θ，則cosθ＝|coseq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(CE,\s\up6(→))·\o(AC′,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|·|\o(AC′,\s\up6(→))|)＝eq\f(0＋0＋2a2,\r(5)a·2\r(2)a)＝eq\f(\r(10),10)．解法二：(1)證明：設eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，依據題意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D．(2)∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－a＋c)·(b＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴coseq\o(AC′,\s\up6(→))，Ceq\o(E,\s