2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納講練 23 解直角三角形模型之新定義模型 教師與學(xué)生版

專題23解直角三角形模型之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵?！局R儲備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識證明。若無特殊說明，一般認(rèn)為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB；在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．(1)證明：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，在中，，，；(2)解：如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在中，又，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．例2．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC現(xiàn)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，則BC＝_____．【答案】【分析】從閱讀可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2ABACcosA，將數(shù)值代入求得結(jié)果．【詳解】解：由題意可得，BC2＝AB2＋AC2﹣2AB?AC?cosA＝32＋42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查閱讀理解能力，特殊角銳角三角函數(shù)值等知識，解決問題的關(guān)鍵是公式的具體情景運(yùn)用．例3．（2022·山東青島·?？级＃﹩栴}提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究．探究一：如圖1，在中，，，，，求的面積．在中，，．．探究二：如圖2，中，，，，求的面積（用含、、代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，中，，，，求的面積（用、、表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯畣栴}應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形中，，，，求平行四邊形的面積（用、、表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用、、、、、表示），其中，，，，，．【答案】，見解析；，見解析；一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半；；【分析】探究二：如圖2中，作于．求出高，即可解決問題；探究三：如圖3中，作于．求出高，即可解決問題；問題解決：（）是a、b兩邊的夾角）；問題應(yīng)用：如圖4中，作AH⊥CB于H．求出高，即可解決問題；問題拓廣：如圖5，連接，由探究三的結(jié)論可得出答案．【詳解】解：探究二：如圖2中，作于．，，，，在中，，，，．探究三：如圖3中，作于．在中，，．問題解決：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．故答案為：一個三角形兩邊及其夾角的正弦值的積的一半．問題應(yīng)用：如圖4中，作于．在中，，．問題拓廣：連接，由探究三的結(jié)論可得：．．．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、三角形的面積、平行四邊形的面積，銳角三角函數(shù)知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．例4．（2023春·四川瀘州·八年級?？计谥校┢矫鎺缀螆D形的許多問題，如：長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設(shè)一個三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．

(1)一個三角形邊長依次是5、6、7，利用兩個公式，可以求出這個三角形的面積；(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長．【答案】(1)(2)的面積為84；邊上得高的長為12【分析】（1）利用兩個公式分別代入即可；（2）設(shè)，則，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面積公式求出其面積即可．【詳解】（1）解：，由海倫公式可得；由秦九昭公式可得．（2）解：設(shè)，則，，，，，解得；∴∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理以及三角形面積求法，正確掌握三角形面積公式和勾股定理是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·北京市·九年級校考期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】直接利用已知公式法分別代入計(jì)算得出答案．【詳解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；②tan105°=tan（60°+45°）====-2-，故此選項(xiàng)正確；③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此選項(xiàng)正確；④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此選項(xiàng)正確；故正確的有4個．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值以及公式的應(yīng)用，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵．例6．（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測量風(fēng)葉的長度進(jìn)行了實(shí)地測量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．

(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請利用公式計(jì)算；(2)求風(fēng)葉的長度．【答案】(1)(2)風(fēng)葉的長度為米【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)A作，連接，，先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等腰對等邊證明，結(jié)合第一問的結(jié)論用三角函數(shù)即可求，再證明四邊形是矩形，即可求出．【詳解】（1）解：由題意可得：，∴；（2）解：過點(diǎn)A作，連接，，如圖所示，

由題意得：米，，∴米，，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，∴，∴，又∵，∴，∴，∴米，∵，，∴，由（1）得：，∴米，∴米，∵，，，∴四邊形是矩形，∴米，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，且三片風(fēng)葉長度相等，∴，∴米，∴風(fēng)葉的長度為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵．例7．（2023·四川宜賓·?？既＃┩ㄟ^學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為，那么的值為．【答案】【分析】過點(diǎn)作于，利用的正弦函數(shù)值，設(shè)出的長，根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)的規(guī)定求值即可．【詳解】解：過點(diǎn)作于，如圖所示，，設(shè)，，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題是新定義運(yùn)算題，主要考查了等腰三角形的定義、勾股定理和三角函數(shù)等知識，熟練掌握勾股定理、三角函數(shù)的定義以及新定義運(yùn)算的規(guī)定是解答此題的關(guān)鍵．例8．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在中，，求（用含的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，在中表示出，則可以求出．閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，．（1）如圖3，若，則__，_____；（2）請你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含的式子表示）．【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求得和，再根據(jù)求解即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：（1）由勾股定理可得：由三角函數(shù)的定義可得，由材料可得：故答案為；（2）取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：則，，，在中，，在中，，在中，，則則故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是是熟練掌握三角函數(shù)的定義，作輔助線作所求角的直角三角形．例9．（2022·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數(shù)，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.應(yīng)用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由．【答案】(1)(2)能，過程見解析【分析】(1)過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得；(2)過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)解直角三角形即可求得．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，（2）解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．例10．（2023春·湖北·九年級專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】（1）由題意可得，，，然后依據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)，則，然后分為和兩種情況求解即可；（3）由題意可得，然后依據(jù)定理列出關(guān)于x的方程，從而求出x的值，然后依據(jù)正切的定義求解即可；（4）依據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，然后再得到，再求得的取值范圍，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，，，，，故答案為：．（2）解：∵若角α的終邊與直線重合，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的值為或．（3）解：，點(diǎn)，且，，（正值舍去），．（4）解：，，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及完全平方公式，理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東東莞·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；；現(xiàn)已知在中，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用公式直接解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，整理得，，解得或（負(fù)值舍去），故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用、解一元二次方程，正確理解公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川廣元市·中考真題）規(guī)定：給出以下四個結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)題目所規(guī)定的公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．【詳解】解：（1），故此結(jié)論正確；（2），故此結(jié)論正確；（3）故此結(jié)論正確；（4）==，故此結(jié)論錯誤.故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義問題，主要考查了三角函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，理解題中公式.3．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉是解題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽滁州·?？级＃┮阎切蔚娜呴L分別為a、b、c，求其面積問題．中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目中的秦九韶公式，可以求得一個三角形的三邊長分別為5，6，7的面積，從而可以解答本題．【詳解】∵S=∴若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則面積是：S=，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意列相應(yīng)的二次根式并將其化簡.5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）一般地，當(dāng)α、β為任意角時，tan（α+β）與tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．請根據(jù)以上材料，求得tan75°的值為．【答案】2+．【分析】根據(jù)給定的公式，將，代入中計(jì)算化簡即可．【詳解】解：tan75°=tan（45°+30°）=====2+．故答案為：2+．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算以及用平方差公式進(jìn)行分母有理化，讀懂新定義的含義是關(guān)鍵.6．（2023·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝．【答案】1111【詳解】sin230°＋cos230°＝=1，sin245°＋cos245°＝=1，sin260°＋cos260°＝=1，即可猜想出：對任意銳角，都有故答案為：1；1；1；17．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）定義一種運(yùn)算：，．例如：當(dāng)，時，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)和新定義，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值，能準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式的計(jì)算．8．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．【答案】【分析】先根據(jù)求出，把變?yōu)?，然后根?jù)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，在中，

∵，∴．∵，∴．∵為銳角，∴．∵∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算，正確理解所給計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運(yùn)算；，．例如：當(dāng)，時，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：====．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計(jì)算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．10．（2023·四川成都·成都外國語學(xué)校?？家荒＃┯^察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=；AC=；（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船在C處測得釣魚島A在我漁政船的北偏西30°的方向上，隨后以40海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達(dá)B處，此時又測得釣魚島A在的北偏西75°的方向上，求此時漁政船距釣魚島A的距離AB．【答案】（1）60°,20;(2)10【詳解】（1）先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠A，再利用題目總結(jié)的正弦定理，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入求解即可；（2）在△ABC中，分別求得BC的長和三個內(nèi)角的度數(shù)，利用題目中總結(jié)的正弦定理AB的長即可．解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°，根據(jù)材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案為60°，20；（2）如圖，依題意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°，∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，，即，解之得：AB=10海里，

所以漁政船距釣魚島A的距離為10海里．【點(diǎn)睛】本題考查的閱讀理解題，涉及到三角函數(shù)等知識，弄清材料中知識，并能應(yīng)用解決相關(guān)的問題是關(guān)鍵.11．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，則存在余弦定理：，，，即三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和減去這兩邊與這兩邊夾角的余弦的積的2倍．例如：在圖1中，，∴AC＝請你利用余弦定理解答下列問題：(1)應(yīng)用新知：在圖2中，①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，則c＝______；②若，，，求∠A；(2)遷移發(fā)散：如圖3，某客輪在A處看港口D在客輪的北偏東50°方向上，在A處看燈塔B在客輪的北偏西30°方向距離海里處，客輪由A處向正北方向航行到C處時，再看港口D在客輪的南偏東80°距離6海里處，求此時C處到燈塔B的距離．【答案】(1)①；②∠A=60°(2)C處到燈塔B的距離為海里【分析】（1）根據(jù)給出的公式和已知條件計(jì)算即可；（2）求出的度數(shù)，得到，代入公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：①由余弦定理得：，；②根據(jù)題意，由余弦定理得：，∴，∴；（2）解：，，，，答：處到燈塔的距離為海里．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，掌握方向角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．（2023·廣東云浮·統(tǒng)考一模）如圖①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=，根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識．在圖②的銳角△ABC中，探究、、之間的關(guān)系，并寫出探究過程．【答案】==，理由見解析.【分析】過A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD，兩者相等即可得證．【詳解】解:==，理由如下：如圖，過A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sin∠ABC=，即AD=csin∠ABC，在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC，∴csin∠ABC=bsinC,∴=，即=，同理可得=，則==．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．13．（2023·山東·一模）小明學(xué)完了“銳角三角函數(shù)”的相關(guān)知識后，通過研究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么．通過上網(wǎng)查閱資料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在著的關(guān)系”．這個關(guān)系對于一般三角形還適用嗎？為此他做了如下的探究：（1）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，請判斷此時“”的關(guān)系是否成立？答：______________．（2）完成上述探究后，他又想“對于任意的銳角△ABC，上述關(guān)系還成立嗎？”因此他又繼續(xù)進(jìn)行了如下的探究：如圖3，在銳角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)CD=h，∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴sinA=______________，sinB=______________．∴=_____________，=____________．∴同理，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，可證∴請將上面的過程補(bǔ)充完整．（3）運(yùn)用上面結(jié)論解答下列問題：①如圖4，在△ABC中，如果∠A=75°，∠B=60°，AB=6，求AC的長．②在△ABC中，如果∠B=30°，AB=，AC=2，那么△ABC內(nèi)切圓的半徑為______．【答案】（1）成立；（2）；；；；（3）①；②【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到于是得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，，推出，．同理，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，可證，即可得到結(jié)論；（3）①把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入，解方程得到b=，即可得到結(jié)論；②過△ABC內(nèi)切圓的圓心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，則OG=OE=OF=r，證明和，根據(jù)勾股定理求出BC的長即可得出結(jié)論．【詳解】解；（1）成立，理由如下：∵∴∴（2）在銳角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．設(shè)CD=h，∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°，∴，．∴，．∴．同理，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，可證．∴．故答案為：；；；；（3）①∵∠A=75°，∠B=60°，∴∠C=45°∴把∠C=45°，∠B=60°，AB=c=6，代入得：，∴，解得：b=，即AC=；②∵AB=，AC=2，∴∴過△ABC內(nèi)切圓的圓心O作OE⊥AB，OG⊥AC，OF⊥BC，則OG=OE=OF=r，∵∴AG=AE=OE=OG=r∴四邊形AEOC是正方形∵AC=2，∴CG=2-r∵AB=∴BE=-r連接OC，OB，∵OC為的平分線，∴又，OC=OC∴同理可得∴CF=CG=2-r，BF=BE=-r而∴BC=4∴BC=CF+BF=2-r+-r=4解得，r=故答案為：【點(diǎn)睛】本題銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及三角形的內(nèi)切圓，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．14．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級階段練習(xí)）閱讀材料：關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式：；利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值例：根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當(dāng)?shù)墓酱鸢赶旅娴膯栴}(1)計(jì)算；(2)棲靈塔是揚(yáng)州市標(biāo)志性建筑之一（如圖），小明想利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來測量該塔的高度，小華站在離塔底A距離7米的C處，測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，小華的眼睛離地面的距離為1.62米，請幫助小華求出該信號塔的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)27.7米【分析】（1）把15°化為以后，再利用公式計(jì)算，即可求出的值；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再根據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：；（2）解：在中，，，，∴，∵∴米，∴∴信號塔的高度約為27.7米．【點(diǎn)睛】本題考查了：（1）特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來求解．（2）解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出BE的長是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：；；，利用這些公式可將某些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值如：根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問題：

(1)求的值；(2)激光測速是目前道路測速方法中最為精準(zhǔn)的一種，它是對被測車輛進(jìn)行兩次有特定時間間隔的激光測距，取得該一時段內(nèi)被測車輛的移動距離，從而得到該車輛的移動速度．如圖，在一條限速為80千米/小時的國道邊上有一個激光測速儀P，該測速儀與車道中心的垂直距離米，在某一時刻測得某輛汽車從點(diǎn)A到點(diǎn)B的時間間隔為0.5秒，而第一次的點(diǎn)A在點(diǎn)P的北偏東75°，第二次的B點(diǎn)在點(diǎn)P的北偏東45°，請問該汽車是否超速？為什么？（1.732）【答案】(1)(2)該汽車沒有超速，理由見解析【分析】（1）利用所給公式運(yùn)算即可；（2）構(gòu)建直角三角形，解直角三角形求出長，然后計(jì)算出汽車的速度比較解題即可.【詳解】（1）（2）該汽車沒有超速.理由如下：由題意，得,，在中,∴在中,∴.∴∴該汽車的速度為∵,所以該汽車沒有超速.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.16．（2022·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）在中，，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，利用銳角三角函數(shù)定義很容易推導(dǎo)出一些關(guān)系式，如，等，這些公式在三角函數(shù)式子的變形中運(yùn)用比較廣泛．設(shè)，是銳角，定義：當(dāng)時，兩角和的余弦公式：．例：計(jì)算的值．，兩角差的余弦公式：．利用類比的方法運(yùn)用公式求解．(1)計(jì)算_______．(2)計(jì)算的值；(3)一副斜邊長均為16的三角板拼成如圖所示的圖形，求過A、B、C、D四點(diǎn)的矩形ABEF的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將變形為，利用兩角差的余弦公式直接求解；（2）利用兩角差的余弦公式，可知，即可求解；（3）利用三角函數(shù)先求出AD，AB的長，再利用（1）的結(jié)論求出AF的長，即可求出．【詳解】（1）解：當(dāng)時，兩角差的余弦，，故答案為：；（2）解：利用兩角差的余弦公式可知，；（3）解：由題意可知，，，，，，由（1）知，，．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)和矩形的性質(zhì)，理解新定義、新公式，根據(jù)新定義求解是解題的關(guān)鍵．

專題23解直角三角形模型之新定義模型解直角三角形的新定義模型，是體現(xiàn)選拔功能的試題中對初高中知識銜接的考查。高中數(shù)學(xué)為這類試題的命制提供了廣闊的空間背景，命題者將高中數(shù)學(xué)的一些概念、定理、法則、公式等初中化（用初中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容包裝、初中試題命制技術(shù)設(shè)置）處理，命制出具有高中數(shù)學(xué)背景味道的試題。這類試題往往對學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力要求較高，能有效檢驗(yàn)學(xué)生是否具備進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的潛能，所以平時教學(xué)挖掘這方面解題技能及功效尤為重要。恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建模型可以拓寬解題思路，優(yōu)化解題過程，豐富解題內(nèi)涵?！局R儲備】模型1、新定義模型此類模型主要包含高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)和解三角形的相關(guān)定理（公式），而這些定理（公式）也可利用初中數(shù)學(xué)知識證明。若無特殊說明，一般認(rèn)為△ABC的3個角∠A、∠B、∠C，分別對應(yīng)邊a、b、c；1）正弦定理：如圖1，（其中R是三角形外接圓的半徑）。圖1圖22）余弦定理：如圖2，．3）正弦面積公式：如圖2，.4）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:，。5）和（差）、二倍角角公式：;.;..例1．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB；在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，例2．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：a2＝b2＋c2﹣2bccosA；b2＝a2＋c2﹣2accosB；c2＝a2＋b2﹣2abcosC現(xiàn)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，則BC＝_____．例3．（2022·山東青島·?？级＃﹩栴}提出：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積．問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進(jìn)行探究．探究一：如圖1，在中，，，，，求的面積．在中，，．．探究二：如圖2，中，，，，求的面積（用含、、代數(shù)式表示），寫出探究過程．探究三：如圖3，中，，，，求的面積（用、、表示）寫出探究過程．問題解決：已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：___________（用文字?jǐn)⑹觯畣栴}應(yīng)用：如圖4，已知平行四邊形中，，，，求平行四邊形的面積（用、、表示）寫出解題過程．問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結(jié)論直接寫出任意四邊形的面積（用、、、、、表示），其中，，，，，．例4．（2023春·四川瀘州·八年級校考期中）平面幾何圖形的許多問題，如：長度、周長、面積、角度等問題，最后都轉(zhuǎn)化到三角形中解決．古人對任意形狀的三角形，探究出若已知三邊，便可以求出其面積．具體如下：設(shè)一個三角形的三邊長分別為a、b、c，，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．(1)一個三角形邊長依次是5、6、7，利用兩個公式，可以求出這個三角形的面積；(2)學(xué)完勾股定理以后，已知任意形狀的三角形的三邊長也可以求出其面積．如圖，在中，，，，求的面積和邊上得高的長．

例5．（2023·北京市·九年級?？计谀╆P(guān)于三角函數(shù)有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用這些公式可以將一些角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式計(jì)算下列三角函數(shù)①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例6．（2023年四川省廣元市中考真題數(shù)學(xué)試題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測量風(fēng)葉的長度進(jìn)行了實(shí)地測量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請利用公式計(jì)算；(2)求風(fēng)葉的長度．

例7．（2023·四川宜賓·?？既＃┩ㄟ^學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如果中，，那么頂角A的正對記作，這時=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，填空：如果的正弦函數(shù)值為，那么的值為．例8．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）閱讀下列材料：在學(xué)習(xí)完銳角三角函數(shù)后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在中，，求（用含的式子表示）．聰明的小雯同學(xué)是這樣考慮的：如圖2，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，然后利用銳角三角函數(shù)在中表示出，在中表示出，則可以求出．閱讀以上內(nèi)容，回答下列問題：在中，．（1）如圖3，若，則__，_____；（2）請你參考閱讀材料中的推導(dǎo)思路，求出的表達(dá)式（用含的式子表示）．例9．（2022·重慶·?？家荒＃┎牧弦唬鹤C明：．證明：如圖，作∠BAC=∠a，在射線AC上任意取一點(diǎn)D(異于點(diǎn)A)，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∵在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2∵∠BAC=∠a∴．材料二：學(xué)習(xí)了三角函數(shù)之后，我們知道，在直角三角形中，知道了一個直角三角形的兩條邊的長或知道直角三角形的一條邊的長及其一個銳角的度數(shù)，我們可以求出這個直角三角形其它邊的長度和其它角的度數(shù)；由“SAS”定理可知，如果一個三角形的兩條邊的長度及其這兩條邊的夾角的度數(shù)知道了，那么這個三角形的第三條邊一定可以求出來.應(yīng)用以上材料，完成下列問題：(1)如圖，在△ABC中，AC=4，BC=6，∠C=60°，求AB的長．(2)在（1）題圖中，如果AC=b，BC=a，∠C=a，你能用a，b和cosa表示AB的長度嗎？如果可以，寫出推導(dǎo)過程；如果不可以，說明理由．例10．（2023春·湖北·九年級專題練習(xí)）在初中，我們學(xué)習(xí)過銳角的正弦、余弦、正切和余切四種三角函數(shù)，即在圖1所示的直角三角形，是銳角，那么的對邊÷斜邊，的鄰邊÷斜邊，的對邊÷的鄰邊．為了研究需要，我們再從另一個角度來規(guī)定一個角的三角函數(shù)的意義：設(shè)有一個角α，我們以它的頂點(diǎn)作為原點(diǎn)，以它的始邊作為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系（圖2），在角α的終邊上任取一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)是x，縱坐標(biāo)是y，點(diǎn)P和原點(diǎn)的距離為（r總是正的），然后把角α的三角函數(shù)規(guī)定為：，，．我們知道，圖1的四個比值的大小與角A的大小有關(guān)，而與直角三角形的大小無關(guān)，同樣圖2中四個比值的大小也僅與角α的大小有關(guān)，而與點(diǎn)P在角α的終邊位置無關(guān)．比較圖1與圖2，可以看出一個角的三角函數(shù)的意義的兩種規(guī)定實(shí)際上是一樣的，根據(jù)第二種定義回答下列問題：(1)若，則角α的三角函數(shù)值、、，其中取正值的是；(2)若角α的終邊與直線重合，則的值；(3)若角α是鈍角，其終邊上一點(diǎn)，且，求的值；(4)若，則的取值范圍是．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·廣東東莞·九年級校考階段練習(xí)）閱讀材料：余弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角余弦值關(guān)系的數(shù)學(xué)定理，運(yùn)用它可以解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者已知三邊求角的問題．余弦定理是這樣描述的：在中，、、所對的邊分別為a、b、c，則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的余弦值的乘積的2倍．用公式可描述為：；；；現(xiàn)已知在中，，，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2020·四川廣元市·中考真題）規(guī)定：給出以下四個結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．4．（2023·安徽滁州·校考二模）已知三角形的三邊長分別為a、b、c，求其面積問題．中外數(shù)學(xué)家曾經(jīng)進(jìn)行過深入研究，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出求其面積的海倫公式S=，其中p=；我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式S=，若一個三角形的三邊長分別為5，6，7，則其面積是（

）A． B． C． D．5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考二模）一般地，當(dāng)α、β為任意角時，tan（α+β）與tan（α-β）的值可以用下面的公式求得：tan（α±β）=．例如：tan15°=tan（45°-30°）=====2-．請根據(jù)以上材料，求得tan75°的值為．6．（2023·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題．sin230°＋cos230°＝；sin245°＋cos245°＝；sin260°＋cos260°＝；……觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A＋cos2A＝．7．（2023秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）定義一種運(yùn)算：，．例如：當(dāng)，時，，則的值為．8．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：，，，．例：．若已知銳角滿足條件，則．9．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）定義一種運(yùn)算；，．例如：當(dāng)，時，，則的值為．10．（2023·四川成都·成都外國語學(xué)校校考一模）觀察與思考：閱讀下列材料，并解決后面的問題在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作AD⊥BC于D（如圖（1）），則，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即，同理有：，所以．即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個未知元素．根據(jù)上述材料，完成下列各題．（1）如圖（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，則∠A=；AC=；（2）某次巡邏中，如圖（3），我漁政船