2024學(xué)年成都市高二數(shù)學(xué)（上）12月期末調(diào)研考試卷附答案解析

學(xué)年成都市高二數(shù)學(xué)（上）12月期末調(diào)研考試卷考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.向量，，則向量在向量上的投影向量是(

)A. B. C. D.2.若直線的方向向量是，則直線的傾斜角的范圍是A. B. C. D.3.已知拋物線和雙曲線的公切線是與拋物線的切點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則拋物線的方程是(

)A. B. C. D.4.若為雙曲線：的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.5.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為，乙的中靶概率為，甲是否擊中對(duì)乙沒有影響，設(shè)“甲中靶”，“乙中靶”，則(

)A.與，與，與，與都相互獨(dú)立B.與是對(duì)立事件

C.D.6.下列命題中正確的是(

)A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則

C.已知為空間任意一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則

D.若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為7.以下四個(gè)命題表述正確的是(

)若點(diǎn)，圓的一般方程為，則點(diǎn)在圓上；圓的圓心到直線的距離為；圓與圓外切；兩圓與的公共弦所在的直線方程為．A. B. C. D.8.等腰直角內(nèi)接于拋物線，其中為拋物線的頂點(diǎn)，，的面積為，為的焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某高中舉行的數(shù)學(xué)史知識(shí)答題比賽，對(duì)參賽的名考生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是(

)A.考生參賽成績(jī)的平均分約為分

B.考生參賽成績(jī)的第百分位數(shù)約為分

C.分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為

D.用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間應(yīng)抽取人10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，為上第一象限的點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，圓，則(

)A.

B.若，則直線傾斜角的正弦值為

C.若的面積為，則直線的斜率為

D.過點(diǎn)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)連線的方程為11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A.平面平面B.直線與所成角的余弦值為

C.平面與平面夾角的余弦值為D.點(diǎn)到直線的距離的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.，兩名乒乓球選手進(jìn)行決賽，根據(jù)賽前兩位選手的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在一局比賽中獲勝的概率是，若采用“五局三勝制”，則選手獲勝的概率為

．13.若點(diǎn)在橢圓上，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”已知直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為，，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_____．14.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，且，為上不同兩點(diǎn)位于軸右側(cè)，，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為為，，直線、相交于點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)，則的最小值為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題分在平行六面體中，設(shè)，，，，分別是，的中點(diǎn)．用向量，，表示，；若，求實(shí)數(shù)，，的值．16.本小題分為了建設(shè)書香校園，營(yíng)造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動(dòng)該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書券，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球個(gè)，白球個(gè)紅球編號(hào)為“，，”，白球編號(hào)為“，”取球規(guī)則取出一個(gè)球有放回地依次取出兩個(gè)球不放回地依次取出兩個(gè)球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個(gè)白球獲勝編號(hào)之和為獲勝分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；當(dāng)時(shí)，求游戲三的獲勝概率；一名同學(xué)先玩了游戲一，試問為何值時(shí)，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大．17.本小題分在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過兩點(diǎn)和，直線的方程為．求圓的方程；當(dāng)時(shí)，為直線上的定點(diǎn)，若圓上存在唯一一點(diǎn)滿足，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)，為圓上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線都沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18.本小題分如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．求平面與平面所成銳二面角的余弦值求出直線到平面的距離．19.本小題分如圖，已知橢圓：的離心率為，與軸正半軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)不與軸垂直的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線、分別交于異于點(diǎn)的點(diǎn)和點(diǎn)，求與面積之比的取值范圍．

答案和解析1.【答案】

【解答】

解：向量，，

則，，，

所以向量在向量上的投影向量為

，

，

故選A．2.【答案】

【解答】解：若直線的方向向量是，

則直線的斜率，

則，則或．

故選D．3.【答案】

解：如圖過作拋物線的準(zhǔn)線于，根據(jù)拋物線的定義可知，，

，在中，，，

即直線的斜率為，故設(shè)的方程為：

，

由，消去得，

則，解得，即：，

由得，，得，

則拋物線的方程是，

故選A．4.【答案】

解：由得，，，則左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，因?yàn)轭}中給出為雙曲線：的左焦點(diǎn)，所以，，又因?yàn)殡p曲線與過原點(diǎn)的直線都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，根據(jù)雙曲線的定義知，所以，設(shè)，則，設(shè)，，則．

令，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以的取值范圍為，所以的取值范圍是．

故選D．

5.【答案】

【解答】解：

對(duì)于由于兩人射擊的結(jié)果沒有相互影響，則與，與，與，與都相互獨(dú)立，故A正確

對(duì)于表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其對(duì)立事件為“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，

即與不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤

對(duì)于，故C錯(cuò)誤

對(duì)于，故D錯(cuò)誤

故選：．6.【答案】

解：對(duì)于，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，選項(xiàng)錯(cuò)誤

對(duì)于，若直線的方向向量為，平面的法向量為，

，有，則或，選項(xiàng)錯(cuò)誤對(duì)于，已知為空間任意一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，選項(xiàng)錯(cuò)誤．

對(duì)于，若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，

則直線與平面所成的角為，選項(xiàng)正確

故選D．7.【答案】

【解答】

解：點(diǎn)代入圓可得，所以點(diǎn)在圓上，故正確

由可得，則圓心為，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離為，故錯(cuò)誤

圓化為，圓心為，半徑，圓化為，

圓心為，半徑，則圓心距，故兩圓外切，故正確

兩圓方程相減可得，故公共弦所在方程為，故錯(cuò)誤，

綜上，正確的為．

故選B．8.【答案】

【解答】

解：設(shè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)，，則，．

由得：，

，即，

，，，

，即，關(guān)于軸對(duì)稱．

直線的方程為：，

與拋物線聯(lián)立，解得或，

故AB，

．

的面積為，

；

焦點(diǎn)，設(shè)，

則，，設(shè)

到準(zhǔn)線的距離等于，

則．

令，，

則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

故的最大值為，

故選：．9.【答案】

解：對(duì)選項(xiàng)A：由圖可知考生的平均成績(jī)?yōu)?/p>

，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由頻率分布直方圖知第百分位數(shù)位于內(nèi)，

則第百分位數(shù)為，故B正確對(duì)選項(xiàng)C：分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D：區(qū)間應(yīng)抽取人，故D錯(cuò)誤．

故選BC．10.【答案】

解：設(shè)，則，則，，故，故A正確；

設(shè)直線，聯(lián)立則，

設(shè)，，則，，

故，解得，

則直線傾斜角的正弦值為，故B錯(cuò)誤

，解得，

則直線的斜率為，故C正確

易知，圓可化為，圓心，半徑，易知為其中一條切線，切點(diǎn)為，且兩切點(diǎn)連線與垂直，，

故兩切點(diǎn)連線為，即，故D正確．

故選ACD．11.【答案】

解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

則，，，，，

所以，，，

所以，，所以，，

又，，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面，故A正確

因?yàn)?，所以，所以，?/p>

所以直線與所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，則

令，解得，，所以，

又易得平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面與平面的夾角為，

所以，，

即平面與平面夾角的余弦值為，故C正確

設(shè)，

所以，

所以，，

所以點(diǎn)到直線的距離，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，D錯(cuò)誤．

故選AC．12.【答案】

解：若比賽進(jìn)行了局，則獲勝的概率是；若比賽進(jìn)行了局，獲勝的概率是；

若比賽進(jìn)行了局，獲勝的概率是．

故所求為．

故答案為．13.【答案】

解：設(shè)，，則，，

由以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，得，

即，

由，消除整理得：，

，，

，

，

，

即

，

故答案為．14.【答案】

解：設(shè)點(diǎn)

，則：，，

則

，

，

，

點(diǎn)的軌跡方程為，

即點(diǎn)的軌跡方程為，

同理可得，點(diǎn)也在雙曲線上，

點(diǎn)恰為雙曲線的左焦點(diǎn)，

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，

根據(jù)雙曲線定義可得：

，

的最小值為．

故答案為．15.【答案】解：，

，

，，．

16.【答案】解：設(shè)事生“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，

游戲一中取出一個(gè)球的樣本空間為，則，

因?yàn)?，所以，所以游戲一獲勝的概率為．

游戲二中有放回地依次取出兩個(gè)球的樣本空間，，

則，因?yàn)?，，，?/p>

所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為．

游戲三中不放回地依次取出兩個(gè)球的樣本的個(gè)數(shù)為，

時(shí)，樣本的個(gè)數(shù)為，所以所求概率為；

設(shè)“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，

則，且，，互斥，，，相互獨(dú)立，

所以

又，且，，互斥，

所以

若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，所以，即．

進(jìn)行游戲三時(shí)，不放回地依次取出兩個(gè)球的所有結(jié)果如下表：第二次

第一次當(dāng)，，，時(shí)，，舍去，

當(dāng)，，時(shí)，，滿足題意，

因此的所有可能取值為，，．

17.【答案】解：設(shè)圓的方程為，

將，坐標(biāo)代入，得：

，解得

所以圓的方程為．設(shè)，，，

則，

化簡(jiǎn)得，此圓與圓相切，

所以有，解得，

所以的坐標(biāo)為或．

記以為直徑的圓為圓，為中點(diǎn)，設(shè)圓上有一動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)，則圓的半徑，

于是

其中為，的夾角，，

因?yàn)椋?/p>

所以．

故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部含邊界，

所以點(diǎn)到直線的距離，即，

解得．

18.【答案】解：因?yàn)樵谔菪沃校?，，，如圖：過作交于，可得，

則，所以，得，

又平面平面，平面平面，平面，所以平面

因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面平面，又平面平面，平面，所以平面?/p>

則，，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

所以，，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，取，可得，

設(shè)平面的法向量為，

則，取，可得，

所以，

．

所以平面與平