專題10-1 排列組合20種模型方法歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專題10-1排列組合20種模型方法歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】基礎(chǔ)：相鄰與不相鄰 2【題型二】球放盒子：先分組后排列 2【題型三】平均分配：醫(yī)生與護(hù)士型 3【題型四】特殊元素（位置）優(yōu)先排 4【題型五】模型1：下電梯型 4【題型六】模型2：公交車模型 5【題型七】模型3：排課表 6【題型八】模型4：節(jié)假日值班 6【題型九】模型5：書架插書型（不改變順序） 7【題型十】模型6：地圖染色 7【題型十一】模型7：幾何體染色 9【題型十二】模型8：相同元素 9【題型十三】模型9：停車位、空座位（相同元素） 10【題型十四】模型10：走路口（相同元素） 10【題型十五】模型11：上臺階（相同元素） 12【題型十六】模型12：“波浪數(shù)”型（高低站位） 13【題型十七】模型13：配對型 13【題型十八】模型14：電路圖型 14【題型十九】模型15：機(jī)器人跳動型 15【題型二十】難點(diǎn)：多重限制與分類討論 16真題再現(xiàn) 17模擬檢測 18【題型一】基礎(chǔ)：相鄰與不相鄰【典例分析】陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉．三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春．在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面．則不同的排法種數(shù)共有(

)A．144種 B．216種 C．288種 D．432種【提分秘籍】基本規(guī)律相鄰和不相鄰排列：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；【變式演練】1.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲與男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種 B．108種 C．36種 D．144種2.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能連著出場，且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為A．30 B．36 C．60 D．723.現(xiàn)將5張連號的電影票分給甲乙等5個人，每人一張，且甲乙分得的電影票連號，則共有不同分法的種數(shù)為A．12 B．24 C．48 D．60【題型二】球放盒子：先分組后排列【典例分析】我市擬向新疆哈密地區(qū)的三所中學(xué)派出5名教師支教，要求每所中學(xué)至少派遣一名教師，則不同的派出方法有A．300種 B．150種 C．120種 D．90種【提分秘籍】基本規(guī)律“球放盒子”類型，要討論“用了幾個盒子”，放了幾個球。同一盒子放多個球時“只選不排”注意分類套路不遺漏【變式演練】1.我們想把9張寫著1~9的卡片放入三個不同盒子中，滿足每個盒子中都有3張卡片，且存在兩個盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有___________種.2.將5個不同的小球全部放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，若每個盒子中所放的球的個數(shù)不大于其編號數(shù)，則共有_________種不同的放法.3.某小區(qū)因疫情需求，物業(yè)把招募的5名志原者中分配到3處核酸采樣點(diǎn)，每處采樣點(diǎn)至少分配一名，則不同的分配方法共有（

）A．150種 B．180種 C．200種 D．280種【題型三】平均分配：醫(yī)生與護(hù)士型【典例分析】某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護(hù)士緊急前往三個小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測.要求每個小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士.問共有多少種分配方案？（

）A．3180 B．3240 C．3600 D．3660【提分秘籍】基本規(guī)律平均分配思維：1.同除相同元素的組數(shù)全排列。2.如果限制條件少，可以以“盒”為單位一個一個“要人”，不在排列了【變式演練】1.袋中有40個小球，其中紅色球16個、藍(lán)色球12個，白色球8個，黃色球4個，從中隨機(jī)抽取10個球作成一個樣本，則這個樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為（）A． B．C． D．2.某高校大一新生中的6名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會”五個社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個社團(tuán)且每個社團(tuán)至多兩人參加，則這6個人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為A．4680 B．4770 C．5040 D．52003.將6名志愿者分配到3個社區(qū)進(jìn)行核酸檢測志愿服務(wù)，若志愿者甲和乙必須在一起，且每個社區(qū)至少有一名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．150種 B．180種 C．360種 D．540種【題型四】特殊元素（位置）優(yōu)先排【典例分析】某學(xué)生將語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6科的作業(yè)安排在周六、周日完成，要求每天至少完成兩科，且數(shù)學(xué)，物理作業(yè)不在同一天完成，則完成作業(yè)的不同順序種數(shù)為A．600 B．812 C．1200 D．1632【提分秘籍】基本規(guī)律元素有特殊要求，位置有特殊限制的類型，一般情況下，可以直接思維，也可以間接思維“正難則反”直接思維，可以從元素出發(fā)，特殊元素優(yōu)先排，也可以從位置出發(fā)，特殊位置優(yōu)先坐?！咀兪窖菥殹?.學(xué)校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔(dān)任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔(dān)任一辯手，1.女生乙不適合擔(dān)任四辯手．現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選．那么不同的組隊(duì)形式有_________種．2.從6名短跑運(yùn)動員中選4人參加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，則共有____________多少種參賽方法（用數(shù)字作答）．【題型五】模型1：下電梯型【典例分析】電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類數(shù)是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律下電梯模型，實(shí)質(zhì)就是“球放盒子”擴(kuò)展應(yīng)用。要分組討論“誰和誰一起”，有沒有“空盒子”?！咀兪窖菥殹?.有3人同時從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（

）A． B． C． D．2.甲、乙、丙人從樓乘電梯去商場的到樓，每層樓最多下人，則下電梯的方法有A．種 B．種 C．種 D．種3.某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第17，18，19，20層?？浚粼撾娞菰诘讓佑?個乘客，且每位乘客在這四層的每一層下電梯的概率為，用ξ表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(ξ＝4)＝________.【題型六】模型2：公交車模型【典例分析】北京公交101路是北京最早的無軌電車之一，最早可追溯至1957年.游客甲與乙同時從紅廟路口西站上了開往百萬莊西口站方向的101路公交車，甲將在朝陽門外站之前的任意一站下車，乙將在神路街站之前的任意一站下車，他們都至少坐一站再下車，則甲比乙后下車的概率為（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律和“下電梯”模型比較接近?！咀兪窖菥殹?.車上有6名乘客，沿途有3個車站，每名乘客可任選1個車站下車，則乘客不同的下車方法數(shù)為（

）A． B． C． D．2.有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會在長沙、廣州、深圳停），分別在每個停的站點(diǎn)至少下一個人，則不同的下車方案有（

）A．24種 B．36種 C．81種 D．256種3.某公交線路某區(qū)間內(nèi)共設(shè)置四個站點(diǎn)（如圖），分別記為，現(xiàn)有甲、乙兩人同時從站點(diǎn)上車，且他們中的每個人在站點(diǎn)下車是等可能的.則甲、乙兩人不在同一站點(diǎn)下車的概率為（

）A． B．C． D．【題型七】模型3：排課表【典例分析】某校高二年級一班星期一上午有4節(jié)課，現(xiàn)從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、歷史和體育這6門學(xué)科中任選4門排在上午的課表中，若前2節(jié)只能排語文、數(shù)學(xué)和英語，數(shù)學(xué)課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數(shù)為（

）A．18 B．48 C．50 D．54【提分秘籍】基本規(guī)律排課表，是屬于多重限制條件下的“特殊元素優(yōu)先排”模型，綜合運(yùn)用：元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；元素相間的排列問題——“插空法”；元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.【變式演練】1.某學(xué)校為高一年級排周一上午的課表，共5節(jié)課，需排語文?數(shù)學(xué)?英語?生物?地理各一節(jié)，要求語文?英語之間恰排1門其它學(xué)科，則不同的排法數(shù)是（

）A．18 B．26 C．36 D．482.某教師一天上3個班級的課，每班上1節(jié)，如果一天共8節(jié)課，上午5節(jié)，下午3節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（

）A．312種 B．300種 C．52種 D．50種3.大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)安排某班級某天上午五節(jié)課課表，語文?數(shù)學(xué)?外語?物理?化學(xué)各一節(jié)，現(xiàn)要求數(shù)學(xué)和物理不相鄰，且都不排在第一節(jié)，則課表排法的種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．144【題型八】模型4：節(jié)假日值班【典例分析】甲、乙、丙三人是某商場的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天，乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31日這一天三人均休息，則4月份三人在同一天工作的概率為（）A． B． C． D．【變式演練】1.2021年7月20日鄭州特大暴雨引發(fā)洪災(zāi)，各地志愿者積極赴鄭州救災(zāi).某志愿小組共5人，隨機(jī)分配4人去值班，每人只需值班一天，若前兩天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙兩人不同在第三天值班，則滿足條件的排法共有（

）A．72種 B．60種 C．54種 D．48種2.某校安排甲、乙、丙三位老師擔(dān)任五月一日至五月五日的值班工作，每天1人值班，每人不能連續(xù)兩天值班，且每人都參與值班，則不同的安排方法共有（

）種A．14 B．16 C．42 D．483.某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個夜晚值班，每名員工值一個夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則（

）A．甲乙都不選的方案共有432種B．選甲不選乙的方案共有216種C．甲乙都選的方案共有96種D．這個單位安排夜晚值班的方案共有1440種【題型九】模型5：書架插書型（不改變順序）【典例分析】書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（

）.A．60 B．120 C．336 D．504【提分秘籍】基本規(guī)律“書架插書法”模型，實(shí)質(zhì)就是“定序”，可以模擬為書架插書：1.書要一本一本插入。2.所插入的書，還要注意是否相同，如果相同，則只選插入的縫隙，而不排列【變式演練】1.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有（

）.A．210種 B．252種 C．504種 D．505種2.10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（

）A． B． C． D．3.某同學(xué)計(jì)劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個符號設(shè)置一個六位的密碼．若必選，且符號不能超過兩個，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（

）A．864 B．1009 C．1225 D．1441【題型十】模型6：地圖染色【典例分析】在如圖所示的5個區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．960【提分秘籍】基本規(guī)律染色問題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒有公用區(qū)域”方向考慮：1.用了幾種顏色。如果顏色沒有全部用完，就要有選色的步驟2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。所以要觀察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化比如，以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)【變式演練】1.如圖，用五種不同的顏色給圖中的O，A，B，C，D，E六個點(diǎn)涂色（五種顏色不一定用完），要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同的顏色，則不同的涂法種數(shù)是（

）A．480 B．720 C．1080 D．12002.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個點(diǎn)涂色，要求每個點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（

）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對3.用五種不同的顏色給圖中六個小長方形區(qū)域涂色，要求顏色齊全且有公共邊的區(qū)域顏色不同，則共有涂色方法A．種 B．種 C．種 D．種【題型十一】模型7：幾何體染色【典例分析】用五種不同顏色給三棱柱的六個頂點(diǎn)涂色，要求每個頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【提分秘籍】基本規(guī)律立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧@是幾何體染色的一個小技巧所以注意這類圖形之間的互相轉(zhuǎn)化【變式演練】1.正方體六個面上分別標(biāo)有A、B、C、D、E、F六個字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（

）種.A．420 B．600 C．720 D．7802.過三棱柱中任意兩個頂點(diǎn)連線作直線，在所有這些直線連線中構(gòu)成異面直線的對數(shù)為（

）A．18 B．30 C．36 D．543.給正方體的八個頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．【題型十二】模型8：相同元素【典例分析】將1個參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3個學(xué)校，要求每校至少有一個名額且各校分配的名額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為()A．96 B．114 C．128 D．136【提分秘籍】基本規(guī)律相同元素?zé)o排列，可以用擋板法解決，可以以先排不相同元素，再放上相同元素（反過來也行，區(qū)別是先放相同元素，此時是只選不排）【變式演練】1.有張卡片分別寫有數(shù)字，從中任取張，可排出不同的四位數(shù)個數(shù)為A． B． C． D．2.由可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為__________．3.把a(bǔ)，a，a，b，b，，排成一排，要求三個“a”兩兩不相鄰，且兩個“b”也不相鄰，則這樣的排法共有______種．【題型十三】模型9：停車位、空座位（相同元素）【典例分析】某停車場只有并排的8個停車位，恰好全部空閑，現(xiàn)有3輛汽車依次駛?cè)?，并且隨機(jī)停放在不同車位，則至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律空車位，就是相同元素，如果多個空車位連在一起，就不是“相同元素了”。所以有多個空車位連你在一起，要先選后排。【變式演練】1.現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲車在乙、丙兩車之間的停放方式共有_________種.2.．某校共有7個車位，現(xiàn)要停放3輛不同的汽車，若要求4個空位必須都相鄰，則不同的停放方法共有(

)A．16種 B．18種 C．24種 D．32種3.某電影院第一排共有9個座位，現(xiàn)有3名觀眾前來就座，若他們每兩人都不能相鄰，且要求每人左右至多兩個空位，則不同的坐法共有A．36種 B．42種 C．48種 D．96種【題型十四】模型10：走路口（相同元素）【典例分析】如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達(dá)N?M處為止，則下列說法錯誤的是（

）A．甲從M必須經(jīng)過到達(dá)N處的方法有9種B．甲?乙兩人相遇的概率為C．甲乙兩人在處相遇的概率為D．甲從M到達(dá)N處的方法有20種【提分秘籍】基本規(guī)律“走路空”模型，一般情況下，可以借助“數(shù)字化法”，把路口轉(zhuǎn)化為相同數(shù)字來進(jìn)行排列。比如，向右，定為數(shù)字1，向上，定為數(shù)字2，如下圖，從A到B，只向右和向上，那么向右2步，向上3步，可以理解為數(shù)字1,1,2,2,2五個數(shù)字全排列，那么只選不排，相當(dāng)于五個位置，先放三個2，共有種放法，【變式演練】1.夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．262.如圖，小明從街道的處出發(fā)，選擇最短路徑到達(dá)處參加志愿者活動，在小明從處到達(dá)處的過程中，途徑處的概率為（

）A． B． C． D．3.如圖，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動路線，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個數(shù)字的移動路線條數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【題型十五】模型11：上臺階（相同元素）【典例分析】有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.【提分秘籍】基本規(guī)律“上臺階”模型，也可以如“走路口”模型一樣，轉(zhuǎn)化為“數(shù)字化法”，一步n級臺階，可以記為數(shù)字n，然后總臺階可以借助“不定方程”計(jì)算。【變式演練】1.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種2.共有10級臺階，某人一步可跨一級臺階，也可跨兩級臺階或三級臺階，則他恰好6步上完臺階的方法種數(shù)是（

）A．30 B．90 C．75 D．603.某人從上一層到二層需跨10級臺階.他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則他從一層到二層可能的不同過程共有（

）種.A．6 B．8 C．10 D．12【題型十六】模型12：“波浪數(shù)”型（高低站位）【典例分析】在給某小區(qū)的花園綠化時，綠化工人需要將6棵高矮不同的小樹在花園中栽成前后兩排，每排3棵，則后排的每棵小樹都對應(yīng)比它前排每棵小樹高的概率是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律“波浪數(shù)”主要方法是分類討論。不重復(fù)不遺漏【變式演練】1.因演出需要，身高互不相等的8名演員要排成一排成一個“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個到第三個依次遞增，第三個到第六個依次遞減，第六、七、八個依次遞增，則不同的排列方式有（

）種．A．181 B．109 C．84 D．962.由1，2，3，4，5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞減，后3個數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個數(shù)字“431”保持遞減，后3個數(shù)字“125”保持遞增）的概率是（

）A． B． C． D．3.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E,則這九棵樹枝從高到低不同的順序共有（

）A．23 B．24 C．32 D．33【題型十七】模型13：配對型【典例分析】新冠疫情期間，網(wǎng)上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律“配對型”模型，一般從這幾方面入手：1.樹圖法，詳細(xì)的分類討論2.先選后排。把“配對”的弦選出開，配錯的，可以樹圖法寫出來【變式演練】1.．由雙不同的鞋中任取只，其中至少有兩只配成一雙的取法共有(

)A．種 B．種 C．種 D．種2.柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但它們不成對的概率是（

）A． B． C． D．3.—對夫婦帶著他們的兩個小孩一起去坐纜車，他們隨機(jī)地坐在了一排且連在一起的個座位上（一人一座）．為安全起見，管理方要求每個小孩旁邊要有家長相鄰陪坐，則他們?nèi)说淖ǚ习踩?guī)定的概率是（

）A． B． C． D．【題型十八】模型14：電路圖型【典例分析】如圖，電路中共有個電阻與一個電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.如圖，電路中共有個電阻與一個電燈A，若燈A不亮，則因電阻斷路的可能性的種數(shù)為（

）A． B． C． D．2.如圖所示，在，間有四個焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不通情況有（

）種.A．9 B．11 C．13 D．153.如圖，在由開關(guān)組與組成的電路中，閉合開關(guān)使燈發(fā)光的方法有（

）種A． B． C． D．【題型十九】模型15：機(jī)器人跳動型【典例分析】一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次跳動至少一個單位.若小青蛙經(jīng)過5次跳動后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動方式共有種.A．105 B．95 C．85 D．75【變式演練】1.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？A．5 B．25 C．55 D．752.如圖，由個邊長為1個單位的小正方形組成一個大正方形．某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā)，沿若小正方形的邊走到D點(diǎn)，每次可以向右走一個單位或者向上走一個單位．如果要求機(jī)器人不能接觸到線段，那么不同的走法共有______種．3.動點(diǎn)M位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，M每一次可以沿?cái)?shù)軸向左或者向右跳動，每次可跳動1個單位或者2個單位的距離，且每次至少跳動1個單位的距離.經(jīng)過3次跳動后，M在數(shù)軸上可能位置的個數(shù)為（）A．7 B．9 C．11 D．13【題型二十】難點(diǎn)：多重限制與分類討論【典例分析】小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃?腰果?杏仁?榛子，他有5種顏色的“每日堅(jiān)果”袋.每個袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果.小林同學(xué)希望五個袋子中所裝堅(jiān)果種類各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（

）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【提分秘籍】基本規(guī)律多重限制條件，是排列組合各種方法的綜合運(yùn)用1.直接法:把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算;2.優(yōu)先法:優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置;3.捆綁法:把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列;4.插空法:對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;5.定序問題除法處理:對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;6.間接法:正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法.【變式演練】1.“迎冬奧，跨新年，向未來”，水球中學(xué)將開展自由式滑雪接力賽．自由式滑雪接力賽設(shè)有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三個項(xiàng)目，參賽選手每人展示其中一個項(xiàng)目．現(xiàn)安排兩名男生和兩名女生組隊(duì)參賽，若要求相鄰出場選手展示不同項(xiàng)目，女生中至少一人展示雪上芭蕾項(xiàng)目，且三個項(xiàng)目均有所展示，則共有___種出場順序與項(xiàng)目展示方案．（用數(shù)字作答）2.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步.羅馬數(shù)字的表示法如下：數(shù)字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”與“X”需要2根火柴，若為0，則用空位表示.（如123表示為，405表示為）如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的不同的三位?shù)的個數(shù)為（

）A．87 B．95 C．100 D．1033.某學(xué)校要安排位數(shù)學(xué)老師、位英語老師和位化學(xué)老師分別擔(dān)任高三年級中個不同班級的班主任，每個班級安排個班主任．由于某種原因，數(shù)學(xué)老師不擔(dān)任班的班主任，英語老師不擔(dān)任班的班主任，化學(xué)老師不擔(dān)班和班的班主任，則共有__________種不同的安排方法．（用數(shù)字作答）．1．（遼寧·高考真題）設(shè)袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為（

）A． B． C． D．2．（全國·高考真題（文））將1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有（

）123312231A．6種 B．12種 C．24種 D．48種3．（北京·高考真題（文））某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（

）A．6 B．12 C．15 D．304．（·全國·高考真題（文））2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，不同的分配方法共有（

）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種5．（全國·高考真題（文））元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種6．（2022·全國·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種7．（·全國·高考真題（文））5位同學(xué)報(bào)名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個小組，則不同報(bào)名方法有（

）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種8．（·全國·高考真題）某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，則至少有1名女生當(dāng)選的不同的選法有（

）A．27種 B．48種 C．21種 D．24種9．（山東·高考真題）現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．1728010．（2021·全國·高考真題（理））將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種11．（2021·全國·高考真題（文））將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.812．（2020·海南·高考真題）要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種13．（2019·全國·高考真題（理））我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．1．在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，社區(qū)有5名醫(yī)務(wù)人員到某學(xué)校的高一、高二、高三3個年級協(xié)助防控和宣傳工作.