專題12-2 不等式選講歸類-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（解析版）

專題12-2不等式選講歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】解參數(shù)型絕對值基礎(chǔ)不等式 1【題型二】滿足區(qū)間范圍的不等式求參 2【題型三】借助圖像求參 3【題型四】絕對值三角不等式公式型 5【題型五】絕對值最值與均值最值型 6【題型六】絕對值最值與三元均值型 8【題型七】均值不等式型證明 9【題型八】均值綜合型三元不等式證明 10【題型九】柯西不等式證明 11【題型十】絕對值不等式與柯西不等式型 13真題再現(xiàn) 14模擬檢測 21【題型一】解參數(shù)型絕對值基礎(chǔ)不等式【典例分析】．已知函數(shù)，.（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由，得.根據(jù)2-a的符號進(jìn)行討論解絕對值不等式（2）函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，即對任意實(shí)數(shù)恒成立；即對任意實(shí)數(shù)恒成立；所以只需求得不等式左邊的的最小值即得結(jié)論，借助三角不等式即可得（1）由，得.當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，得或，即或，故原不等式的解集為；綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.（2）函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，即對任意實(shí)數(shù)恒成立；即對任意實(shí)數(shù)恒成立；∵，當(dāng)時取等號；∴.故時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方.【提分秘籍】基本規(guī)律【變式演練】已知函數(shù)（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)且時，解關(guān)于的不等式【答案】（I）（Ⅱ）試題解析：（1）因?yàn)樗?分（2）時等價(jià)于當(dāng)所以舍去當(dāng)成立當(dāng)成立所以，原不等式解集是10分【題型二】滿足區(qū)間范圍的不等式求參【典例分析】已知函數(shù)（）．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．試題解析：（1）因?yàn)?，所以，即，?dāng)時，，，，從而；當(dāng)時，，，，從而不等式無解；當(dāng)時，，，從而；綜上，不等式的解集為．（2）由，得，因?yàn)?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，記不等式的解集為，則，故．所以的取值范圍是．【變式演練】設(shè).（1）解不等式；（2）若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）試題解析：（1）,所以當(dāng)時,,滿足原不等式；當(dāng)時,,原不等式即為,解得滿足原不等式；當(dāng)時,不滿足原不等式綜上原不等式的解集為.（2）當(dāng)時,,由于原不等式在上恒成立,,在上恒成立,,設(shè),易知在上為增函數(shù),.【題型三】借助圖像求參【典例分析】已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.【變式演練】已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三個不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.試題解析：（1）當(dāng)時，所以當(dāng)時，，不合題意；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，符合題意.綜上可得的解集為.（2）設(shè)的圖象和的圖象如圖所示.易知的圖象向下平移個單位以內(nèi)（不包括個單位），與的圖象始終有個交點(diǎn)，從而.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型四】絕對值三角不等式公式型【典例分析】已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求不等式的解集；（Ⅱ）設(shè)函數(shù).當(dāng)時，，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時，.解不等式，得.因此，的解集為.（Ⅱ）當(dāng)時，，當(dāng)時等號成立，所以當(dāng)時，等價(jià)于.①當(dāng)時，①等價(jià)于，無解.當(dāng)時，①等價(jià)于，解得.所以的取值范圍是.【提分秘籍】基本規(guī)律利用公式||a|-|b||≤|a±b||a±b|≤|a|+|b【變式演練】設(shè)函數(shù),其中．（I）當(dāng)時,解不等式；（II）若對于任意實(shí)數(shù),恒有成立,求的取值范圍．【答案】（I）；（II）.試題解析：（Ⅰ）時,就是當(dāng)時,,得,不成立；當(dāng)時,,得,所以；當(dāng)時,,即,恒成立,所以.綜上可知,不等式的解集是.(Ⅱ)因?yàn)?所以的最大值為.對于任意實(shí)數(shù),恒有成立等價(jià)于.當(dāng)時,,得；當(dāng)時,,,不成立.綜上,所求的取值范圍是【題型五】絕對值最值與均值最值型【典例分析】設(shè)．(1)求的解集;(2)若的最小值為，且，求的最小值．四川省南充高級中學(xué)2023屆高考模擬檢測七文科數(shù)學(xué)試題【答案】(1)(2)【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再分段求解，最后取并集即可；（2）由絕對值三角不等式可得，于是有，再利用基本不等式求解即可.【詳解】（1），當(dāng)時，或或,解得或或，所以，故解集為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，∴，∴，∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故的最小值為．【變式演練】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值M；(2)若且，求的最小值．【答案】(1);(2).【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法將寫出分段函數(shù)的形式，畫出圖象，由圖象可以看出函數(shù)的最小值；（2）由（1）知，利用基本不等式可得，再利用基本不等式可得的最小值.【詳解】（1）由于，作出此函數(shù)圖象如圖所示:由圖象可知函數(shù)的最小值為，即．（2）由（1）知，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故的最小值為.【題型六】絕對值最值與三元均值型【典例分析】已知．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為，正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將的解析式寫出分段函數(shù)的形式，解不等式即可.（2）先求的最小值，方法1：運(yùn)用多個絕對值之和最小值求法，方法2：運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性；再運(yùn)用“1”的代換與基本不等式可證得結(jié)果.【詳解】（1）。即：①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，，解得；③當(dāng)時，，無解，綜上：不等式的解集為．（2）方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以,所以，即.∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．【變式演練】已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)的最小值為m，且，求證．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）用分段函數(shù)表示函數(shù)，再分段解不等式作答.（2）利用（1）的結(jié)論，利用均值不等式“1”的妙用推理作答.【詳解】（1）依題意，函數(shù)，因此不等式化為：或或，解得或或，所以不等式的解集為．（2）由（1）知，，即有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時等號成立，所以．【題型七】均值不等式型證明【典例分析】已知a，b為正實(shí)數(shù)．(1)證明：；(2)若，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用作差法證明即可；（2）依題意可得，則，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得；(1)證明：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，即；(2)證明：因?yàn)椋?，，即，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，即；【變式演練】已知，，．(1)證明：；(2)若，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）將展開，配方，再將條件代入可得，從而可證.（2）由均值不等式結(jié)合條件可得，再由題意，，從而可證.(1)．(2)因?yàn)?，所以，又，即，由于，，所以．【題型八】均值綜合型三元不等式證明【典例分析】已知，且.證明：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由均值不等式和根式的運(yùn)算即可證明；（2）由均值不等式結(jié)合不等式的性質(zhì)和根式的運(yùn)算即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，有，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.（2）證明：因?yàn)?，有，，，則有，，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【變式演練】．已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：(1)若，則(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）把條件代入之后，運(yùn)用二元形式的基本不等式可得；（2）先對各項(xiàng)的分子用基本不等式之后進(jìn)行變形可證.【詳解】（1）因?yàn)?，則.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號得證.（2）a，b，c都是正數(shù)，故成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.【題型九】柯西不等式證明【典例分析】已知對應(yīng)的三邊分別為，，.(1)若，，是正實(shí)數(shù)，求證：，當(dāng)時，等號成立；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由柯西不等式證明即可；（2）由（1）可得不等式左邊大于等于，再由基本不等式可得證.【詳解】（1）（1）由柯西不等式易知，因?yàn)椋?，都為正?shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.（2）為正數(shù)，所以由（1）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.【提分秘籍】基本規(guī)律柯西不等式，可以通過觀察湊配法來準(zhǔn)確構(gòu)造：位置1和2是等價(jià)齊次。否則就是需要湊配具體可以用下邊推論來待定系數(shù)配湊【變式演練】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且．(1)求的最小值；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，則，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得；（2）利用柯西不等式證明即可；【詳解】（1）解：，，都是正數(shù)，且，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號，即的最小值為；（2）證明：由柯西不等式得即，故不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；【題型十】絕對值不等式與柯西不等式型【典例分析】已知函數(shù)．(1)若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)令的最小值為．若正實(shí)數(shù)，，滿足，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）由絕對值定義分類討論去絕對值符號化為分段函數(shù)，由函數(shù)性質(zhì)得最小值，再解相應(yīng)不等式可得；（2）由柯西不等式證明．【詳解】（1），所以在上遞減，在上遞增，所以，，解得；（2）由（1）得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．【變式演練】．已知，函數(shù)的最大值為3，(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值三角不等式求出函數(shù)的最大值，結(jié)合已知最大值可求出；（2）根據(jù)柯西不等式可求出結(jié)果.(1).∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴.又∵的最大值為3，∴，∴.(2)由（1）知，，所以，根據(jù)柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，∴的最小值為1．已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：(1)；(2)；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用三元均值不等式即可證明；（2）利用基本不等式及不等式的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，，則，，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．（2）證明：因?yàn)椋?，，所以，，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時取等號．2．已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）方法一：根據(jù)，利用柯西不等式即可得證；（2）由（1）結(jié)合已知可得，即可得到，再根據(jù)權(quán)方和不等式即可得證.【詳解】（1）[方法一]：【最優(yōu)解】柯西不等式由柯西不等式有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.[方法二]：基本不等式由，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以.（2）證明：因?yàn)?，，，，由?）得，即，所以，由權(quán)方和不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以.【點(diǎn)睛】（1）方法一：利用柯西不等式證明，簡潔高效，是該題的最優(yōu)解；方法二：對于柯西不等式不作為必須掌握內(nèi)容的地區(qū)同學(xué)，采用基本不等式累加，也是不錯的方法．3．已知函數(shù).（1）求的值；（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計(jì)算即可；（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到的具體不等式寫法，解不等式即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，則，因?yàn)椋?，即，解?4．已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）[方法一]：絕對值的幾何意義法當(dāng)時，，表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點(diǎn)到和的距離之和不小于，當(dāng)或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點(diǎn)距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標(biāo)的范圍是或，所以的解集為.[方法二]【最優(yōu)解】：零點(diǎn)分段求解法

當(dāng)時，．當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得．綜上，的解集為．（2）[方法一]：絕對值不等式的性質(zhì)法求最小值依題意，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：絕對值的幾何意義法求最小值由是數(shù)軸上數(shù)x表示的點(diǎn)到數(shù)a表示的點(diǎn)的距離，得，故，下同解法一.[方法三]：分類討論+分段函數(shù)法當(dāng)時，則，此時，無解．當(dāng)時，則，此時，由得，．綜上，a的取值范圍為．[方法四]：函數(shù)圖象法解不等式

由方法一求得后，構(gòu)造兩個函數(shù)和，即和，如圖，兩個函數(shù)的圖像有且僅有一個交點(diǎn)，由圖易知，則．【整體點(diǎn)評】（1）解絕對值不等式的方法有幾何意義法，零點(diǎn)分段法．方法一采用幾何意義方法，適用于絕對值部分的系數(shù)為1的情況，方法二使用零點(diǎn)分段求解法，適用于更廣泛的情況，為最優(yōu)解；（2）方法一，利用絕對值不等式的性質(zhì)求得，利用不等式恒成立的意義得到關(guān)于的不等式，然后利用絕對值的意義轉(zhuǎn)化求解；方法二與方法一不同的是利用絕對值的幾何意義求得的最小值，最有簡潔快速，為最優(yōu)解法方法三利用零點(diǎn)分區(qū)間轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最小值，要注意函數(shù)中的各絕對值的零點(diǎn)的大小關(guān)系，采用分類討論方法，使用與更廣泛的情況；方法四與方法一的不同在于得到函數(shù)的最小值后，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解關(guān)于的不等式.6．已知函數(shù)．（1）畫出的圖像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）詳解解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)分段討論法，即可寫出函數(shù)的解析式，作出圖象；（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，作出圖象，如圖所示：（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：由，解得．所以不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，屬于基礎(chǔ)題．7．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）分別在、和三種情況下解不等式求得結(jié)果；（2）利用絕對值三角不等式可得到，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，.當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，，無解；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：的解集為或.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：或，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于?？碱}型.8．已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用將所證不等式可變?yōu)樽C明：，利用基本不等式可證得，從而得到結(jié)論；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可將式轉(zhuǎn)化為，在取等條件一致的情況下，可得結(jié)論.【詳解】（1）

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即：（2），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號又，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號同時成立）又

【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式進(jìn)行不等式的證明問題，考查學(xué)生對于基本不等式的變形和應(yīng)用能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立.1．設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)求直線與的圖象圍成的三角形的面積的最大值.【答案】(1)(2)6【分析】（1）將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再分類討論得到不等式組，解得即可；（2）畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖形可得當(dāng)時所圍成的三角形面積取得最大值，再求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出三角形的面積.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以不等式等價(jià)于或或，解得或或，綜上可得不等式的解集為.（2）解：作出的大致圖象如圖所示，由已知可得當(dāng)時，直線與的圖象圍成的的面積最大，由，令，即或，解得或，所以，，，所以的面積為.2．已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)設(shè)函數(shù)的最小值為，若正數(shù)，，滿足，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）分，，三種情況討論解不等式，最后再取并集即可；（2）先由絕對值三角不等式求出，再由結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，由可得，則；當(dāng)時，，由可得顯然成立，則；當(dāng)時，，由可得，則；綜上：不等式的解集為；（2），當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，，則，又，，均為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則.3．已知均為正實(shí)數(shù)，且.(1)求的最小值;(2)證明:.【答案】(1)6(2)證明見解析【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式證明即可得到答案.【詳解】（1）由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為6.（2）因?yàn)?，所?.同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，即4．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）討論，兩種情況，分別求解，即可得出結(jié)果；（2）由絕對值三角不等式得到的最小值，再解不等式，即可得出結(jié)果.（1）當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，所以，綜上，原不等式的解集為；（2）（2）由恒成立，可得恒成立，因?yàn)?，所以，解得或．即的取值范圍是?．已知函數(shù)．(1)若，求的解集；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分，和三種情況求解即可，（2）問題轉(zhuǎn)化為，令，然后利用絕對值三角不等式求出的最小值，使，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.（1）由題知，即．當(dāng)時，．當(dāng)時，，解得，；當(dāng)時，，恒成立，；當(dāng)時，，解得，，的解集為．（2）由，即．令，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，，∴，解得或，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．6．已知函數(shù)，且的解集為（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，都是正實(shí)數(shù)，且，求證：.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析【詳解】試題分析：（I）考查絕對值不等式的解法（II）采用配“1”法應(yīng)用基本不等式證明或者采用柯西不等式證明.試題解析：（I）依題意,即,∴

（II）方法1:∵∴當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號

方法2:∵∴由柯西不等式得整理得當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.7．已知，，為正數(shù)，且，