人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修3)《7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步測(cè)試題有答案

第第頁(yè)人教版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)(選擇性必修3)《7.2離散型隨機(jī)變量及其分布列》同步測(cè)試題有答案考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．（2023春·河南焦作·高二開(kāi)學(xué)考試）已知一個(gè)盒子里裝有兩種顏色的小球，其中有紅球6個(gè)，黃球3個(gè)．(1)現(xiàn)從中每次隨機(jī)取出一個(gè)球，且每次取球后都放回盒中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取到黃球”發(fā)生的概率；(2)若從盒中一次隨機(jī)取出3個(gè)小球，記取到黃球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．2．（2023春·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）第二十二屆世界足球賽于2022年11月21日在卡塔爾舉行，是歷史上首次在中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽，在此火熱氛圍中，某商場(chǎng)設(shè)計(jì)了一款足球游戲：場(chǎng)地上共有大、小2個(gè)球門，大門和小門依次射門，射進(jìn)大門后才能進(jìn)行小門射球，兩次均進(jìn)球后可得到一個(gè)世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顧客射進(jìn)大門的概率均為34，射進(jìn)小門的概率依次為23，13(1)求這3人中至少有2人射進(jìn)大門的概率；(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中：(1)恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；(2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)ξ的分布列與期望4．（2023春·山西忻州·高三開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班選出3人組成甲、乙兩支代表隊(duì)，每隊(duì)初始分均為4分，首輪比賽每人回答一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得2分，答錯(cuò)或不答扣1分．已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為23，12，14，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2(1)求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)總分之和為14的條件下，甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同的概率．5．（2023春·江蘇常州·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球(1)記從甲袋中取出的2個(gè)球中恰有X個(gè)白球，求隨機(jī)變量X的概率分布和期望；(2)求從乙袋中取出的2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.6．（2023春·河北石家莊·高三開(kāi)學(xué)考試）北方某市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績(jī)不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績(jī)，如下表成績(jī)[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)55152510(1)從參加接訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率，(2)用分層抽樣的方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B，C三類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在三類問(wèn)題中隨機(jī)選擇一類，并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從剩下的兩類問(wèn)題中隨機(jī)選擇一類并從中抽取一個(gè)問(wèn)題回答，回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從剩下的最后一類問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，C類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得70分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，能正確回答C類問(wèn)題的概率為0.7．且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記ξ為小明的累計(jì)得分，求ξ的期望．(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．8．（2023·福建·統(tǒng)考一模）校園師生安全重于泰山，越來(lái)越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備．某學(xué)校引進(jìn)M，N兩種類型的自動(dòng)體外除顫器（簡(jiǎn)稱AED）若干，并組織全校師生學(xué)習(xí)AED的使用規(guī)則及方法．經(jīng)過(guò)短期的強(qiáng)化培訓(xùn)，在單位時(shí)間內(nèi)，選擇M，N兩種類型AED操作成功的概率分別為23和1(1)現(xiàn)有某受訓(xùn)學(xué)生進(jìn)行急救演練，假定他每次隨機(jī)等可能選擇M或N型AED進(jìn)行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；(2)為激發(fā)師生學(xué)習(xí)并正確操作AED的熱情，學(xué)校選擇一名教師代表進(jìn)行連續(xù)兩次設(shè)備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對(duì)某類型AED操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若第一次對(duì)某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進(jìn)行操作．方案乙：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，無(wú)論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設(shè)備．假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，分析哪種方案更好？9．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人．(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)a，b的值；(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為喜迎馬年新春佳節(jié)，懷化某商場(chǎng)在正月初六進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)滿500元的顧客可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“馬”“上”“有”“錢”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“錢”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“馬”“上”“有”三個(gè)字的球?yàn)槿泉?jiǎng)．(1)求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)摸球次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望11．（2023秋·湖南株洲·高三期末）某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂(lè)會(huì)”，每晚舉行一場(chǎng)，但若遇到風(fēng)雨天氣，則暫停舉行.根據(jù)氣象部門的天氣預(yù)報(bào)得知，在周一到周五這五天的晚上，前三天每天出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率均為p1，后兩天每天出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率均為p2，每天晚上是否出現(xiàn)風(fēng)雨天氣相互獨(dú)立.已知前兩天的晚上均出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率為14(1)求該社區(qū)能舉行4場(chǎng)音樂(lè)會(huì)的概率；(2)求該社區(qū)舉行音樂(lè)會(huì)場(chǎng)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).12．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）成都作為常住人口超2000萬(wàn)的超大城市，注冊(cè)青年志愿者人數(shù)超114萬(wàn)，志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超268萬(wàn)小時(shí).2022年6月，成都22個(gè)市級(jí)部門聯(lián)合啟動(dòng)了2022年成都市青年志愿服務(wù)項(xiàng)目大賽，項(xiàng)目大賽申報(bào)期間，共收到331個(gè)主體的416個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，覆蓋文明實(shí)踐?社區(qū)治理與鄰里守望?環(huán)境保護(hù)等13大領(lǐng)域.已知某領(lǐng)域共有50支志愿隊(duì)伍申報(bào)，主管部門組織專家對(duì)志愿者申報(bào)隊(duì)伍進(jìn)行評(píng)審打分，并將專家評(píng)分（單位：分）分成6組：40,50,(1)求圖中m的值；(2)從評(píng)分不低于80分的隊(duì)伍中隨機(jī)選取3支隊(duì)伍，該3支隊(duì)伍中評(píng)分不低于90分的隊(duì)伍數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.13．（2023秋·河北石家莊·高三期末）黨的二十大已勝利閉幕，某市教育系統(tǒng)為深入貫徹黨的二十大精神，組織黨員開(kāi)展了“學(xué)習(xí)二十大”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).隨機(jī)抽取了1000名黨員，并根據(jù)得分（滿分100分）按組別60,70，70,80，80,90，90,100繪制了頻率分布直方圖（如圖），視頻率為概率.(1)若此次活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的黨員占參賽總?cè)藬?shù)20%，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；(2)采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從得分不低于80的黨員中隨機(jī)抽取7名黨員，再?gòu)倪@7名黨員中隨機(jī)抽取3人，記得分在90,100的人數(shù)為ξ，試求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.14．卡塔爾世界杯在今年11月21日至12月18日期間舉行，賽程如下：第一輪中先將32個(gè)國(guó)家隨機(jī)分為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，8個(gè)小組，每個(gè)小組中4個(gè)國(guó)家進(jìn)行循環(huán)積分賽，在積分賽中，每局比賽中勝者積3分，負(fù)者積0分，平局各積1分，積分前兩名者晉級(jí)下一輪淘汰賽；每組的循環(huán)積分賽分3輪，其中C組國(guó)家是阿根廷，墨西哥，波蘭，沙特，第一輪是阿根廷VS沙特，墨西哥VS波蘭；第二輪是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波蘭；第三輪是阿根廷VS波蘭，墨西哥VS沙特.小組賽前曾有機(jī)構(gòu)評(píng)估C組四個(gè)國(guó)家的實(shí)力是阿根廷>墨西哥>波蘭>沙特，并預(yù)測(cè)各自勝負(fù)概率如下：（1）阿根廷勝墨西哥概率為12，阿根廷勝波蘭、阿根廷勝沙特的概率均為23，阿根廷平墨西哥、波蘭、沙特的概率均為16；（2）墨西哥勝波蘭、墨西哥勝沙特、波蘭勝沙特的概率均為1(1)已知在C組小組賽第一輪中，阿根廷1:2沙特，墨西哥0:0波蘭，第二輪中，阿根廷2:0墨西哥，沙特0:2波蘭，求阿根廷最后小組賽晉級(jí)的概率（積分相同時(shí)實(shí)力強(qiáng)的優(yōu)先晉級(jí)）；(2)設(shè)阿根廷在小組賽中的不敗的場(chǎng)次為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.15．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三期末）某校為了合理配置校本課程資源，教務(wù)部門對(duì)學(xué)生們進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中14的學(xué)生計(jì)劃只選擇校本課程一，另外3(1)從學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從學(xué)生中隨機(jī)抽取n人n∈N?，記這n人的合計(jì)得分恰為n+1分的概率為Pn16．（2023秋·廣東·高三期末）疫情期間某大型快餐店嚴(yán)格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防護(hù)的同時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)收益，也為了滿足人們餐飲需求，增加打包和外賣配送服務(wù)，不僅如此，還提供了一款新套餐，豐富產(chǎn)品種類，該款新套餐每份成本20元，售價(jià)30元，保質(zhì)期為兩天，如果兩天內(nèi)無(wú)法售出，則過(guò)期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)并整理連續(xù)30天的日銷量（單位：百份），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：日銷量（單位：百份）12131415天數(shù)39126(1)記兩天中銷售該款新套餐的總份數(shù)為X（單位：百份），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以該款新套餐兩天內(nèi)獲得利潤(rùn)較大為決策依據(jù)，在每?jī)商靷洳?7百份?28百份兩種方案中應(yīng)選擇哪種？17．（2023秋·江蘇南通·高三期末）某公司開(kāi)發(fā)了一款可以供n（n=3或n=4）個(gè)人同時(shí)玩的跳棋游戲.每局游戲開(kāi)始，采用擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6），兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和除以n所得的余數(shù)對(duì)應(yīng)的人先走第一步.兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)0，1，2，?，n?1分別對(duì)應(yīng)游戲者A1，A2，A3，?(1)當(dāng)n=3時(shí)，在已知兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，求A3(2)當(dāng)n=4時(shí)，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望，并說(shuō)明該方法對(duì)每個(gè)游戲者是否公平.18．（2023春·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）某大型國(guó)有企業(yè)計(jì)劃在某雙一流大學(xué)進(jìn)行招聘面試，面試共分兩輪，且第一輪通過(guò)后才能進(jìn)入第二輪面試，兩輪均通過(guò)方可錄用．甲、乙、丙、丁4名同學(xué)參加面試，已知這4人面試第一輪通過(guò)的概率分別為23，45，34，34，面試笫二輪通過(guò)的概率分別為12，5(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率；(2)記甲、乙、丙、丁4人中最終被錄用的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）單板滑雪U型場(chǎng)地技巧是冬奧會(huì)比賽中的一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入決賽階段的12名運(yùn)動(dòng)員按照預(yù)賽成績(jī)由低到高的出場(chǎng)順序輪流進(jìn)行三次滑行，裁判員根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度、完成的動(dòng)作難度和效果進(jìn)行評(píng)分，最終取單次最高分作為比賽成績(jī)．現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在某賽季單板滑雪U型場(chǎng)地技巧比賽中的成績(jī)(單位：分)，如表：分站運(yùn)動(dòng)員甲的三次滑行成績(jī)運(yùn)動(dòng)員乙的三次滑行成績(jī)第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設(shè)甲、乙二人每次比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)從上表5站中隨機(jī)選取1站，求在該站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的概率；(2)從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的站數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假如從甲、乙二人中推薦一人參加2022年北京冬奧會(huì)單板滑雪U型場(chǎng)地技巧比賽，根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，你推薦誰(shuí)參加？說(shuō)明理由．20．（2023春·江蘇南京·高三期末）2023年的春節(jié)期間，某市舉辦了趣味射擊過(guò)關(guān)比賽.比賽時(shí)，有甲、乙兩個(gè)靶，比賽規(guī)則如下：射手先向甲靶射擊兩次，再向乙靶射擊一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，沒(méi)有命中均得0分.現(xiàn)已知A射手向甲靶射擊一次，命中的概率為p0<p<1，再向乙靶射擊一次，命中的概率為23，假設(shè)(1)當(dāng)p=12時(shí)，求(2)現(xiàn)規(guī)定射手總得分的數(shù)學(xué)期望超過(guò)4，比賽過(guò)關(guān)，若A射手過(guò)關(guān)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.21．（2023秋·河北邯鄲·高三期末）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.11月22日，卡塔爾世界杯小組賽C組第1輪比賽中，梅西領(lǐng)銜的阿根廷隊(duì)1:2不敵沙特阿拉伯隊(duì).梅西在開(kāi)場(chǎng)階段打入一粒點(diǎn)球，但沙特在下半場(chǎng)開(kāi)局后連入兩球反超比分，這也是亞洲球隊(duì)在本屆世界杯上獲得的首場(chǎng)勝利！為提升球隊(duì)的射門技術(shù)，某足球隊(duì)進(jìn)行一次足球定點(diǎn)射門測(cè)試，規(guī)定每人最多踢3次，每次射門的結(jié)果相互獨(dú)立.在A處射進(jìn)一球得3分，在B處射進(jìn)一球得2分，否則得0分.將隊(duì)員得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定為通過(guò)測(cè)試，立即停止射門，否則應(yīng)繼續(xù)射門，直到踢完三次為止.現(xiàn)有兩種射門方案，方案1：先在A處踢一球，以后都在B處踢；方案2：都在B處踢球.已知甲隊(duì)員在A處射門的命中率為13，在B處射門的命中率為4(1)若甲隊(duì)員選擇方案1，求他測(cè)試結(jié)束后所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX(2)你認(rèn)為甲隊(duì)員選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大？說(shuō)明理由.22．（2023秋·海南·高三期末）王先生準(zhǔn)備利用家中閑置的10萬(wàn)元進(jìn)行投資，投資公司向其推薦了A，B兩種理財(cái)產(chǎn)品，其中產(chǎn)品A一年后固定獲利8%，產(chǎn)品B的一年后盈虧情況的分布列如下（表中p>0盈虧情況獲利16不賠不賺虧損4概率2p1p(1)如果王先生只投資產(chǎn)品B，求他一年后投資收益的期望值．(2)該投資公司為提高客戶積極性，對(duì)投資產(chǎn)品B的客戶贈(zèng)送鼓勵(lì)金，每年的鼓勵(lì)金為產(chǎn)品B的投資額的2%23．（2023秋·山西·高三期末）通過(guò)核酸檢測(cè)可以初步判定被檢測(cè)者是否感染新冠病毒，檢測(cè)方式分為單檢和混檢，單檢是將一個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中單獨(dú)檢測(cè)：混檢是將多個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中合為一個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，再對(duì)這多個(gè)人重新采集單管拭子，逐一進(jìn)行檢測(cè)，以確定當(dāng)中的陽(yáng)性樣本．混檢按一個(gè)采樣管中放入的采集拭子個(gè)數(shù)可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等．調(diào)查研究顯示，在群體總陽(yáng)性率較低（低于0.1%）時(shí)，混檢能較大幅度地提高檢測(cè)效力、降低檢測(cè)成本．根據(jù)流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果顯示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率為p(0<p<1)．若對(duì)該城市全體居民進(jìn)行一輪核酸檢測(cè)，記每一組n位居民采用“n合1”（n∈N?）混檢方式共需檢測(cè)(1)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知當(dāng)0<p<0.0005時(shí)，(1?p)n≈1?npn∈N?．若p=0.000124．（2022春·山東聊城·高二期中）為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，山東電視臺(tái)舉行國(guó)寶知識(shí)大賽，先進(jìn)行預(yù)賽，規(guī)則如下：①有易、中、難三類題，共進(jìn)行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機(jī)抽出該類題中的一個(gè)回答；②答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分；③四輪答題中，每類題最多選擇兩次．四輪答題得分總和不低于10分進(jìn)入決賽．選手甲答對(duì)各題是相互獨(dú)立的，答對(duì)每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對(duì)概率0.70.50.3答對(duì)得分345(1)若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對(duì)了一個(gè)，你認(rèn)為他后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，并說(shuō)明理由；(2)甲四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題、兩個(gè)中等題、一個(gè)難題，若容易題答對(duì)，記甲預(yù)賽四輪得分總和為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品α分為兩類不同劑型α1和α2．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑α1和α2合格的概率分別為34和35，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑α1和α(1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類試劑α1和α2合格的種類數(shù)為X，求(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品α進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為p(0<p<1)且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，若當(dāng)p=p0時(shí)，f(p)最大，求26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有“夾球跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目，某班代表隊(duì)共派出1男（甲同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個(gè)項(xiàng)目，其中男生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為a（0<a<0.4）．假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為ξ．(1)證明：在的概率分布中，Pξ=1(2)對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目，比賽規(guī)則如下：該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃，如果投中，則比賽終止，如果沒(méi)有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，比賽也終止．該班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為ti=Pξ=i（i=127．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為p0<p<1(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求EX，并求當(dāng)EX取最大值時(shí)(2)當(dāng)p=12時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求28．（2023秋·浙江杭州·高三期末）核電站某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的工作需要工作人員去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)15分鐘，若某人15分鐘內(nèi)不能完成該工作，則撤出，再派下一人，現(xiàn)有小胡、小邱、小鄧三人可派，且他們各自完成工作的概率分別為p1，p2，p3.假設(shè)p1，(1)任務(wù)能被完成的概率是否與三個(gè)人被派出的先后順序有關(guān)？試說(shuō)明理由；(2)若按某指定順序派出，這三人各自能完成任務(wù)的概率依次為q1，q2，q3，其中q1，q2①求所需派出人員數(shù)目X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX②假定1>p29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場(chǎng)，則先贏4場(chǎng)者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②若無(wú)人先贏4場(chǎng)且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．已知每場(chǎng)比賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立．（1）當(dāng)p=12時(shí)，假設(shè)比賽不會(huì)意外終止，記比賽場(chǎng)次為隨機(jī)變量Y，求（2）當(dāng)p=1（3）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽p≥430．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書(shū)法比賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評(píng)委為所有參賽作品評(píng)分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會(huì)按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)X都在[75,100)內(nèi)，再以5為組距畫(huà)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“頻率組距=Y”）時(shí)，發(fā)現(xiàn)Y滿足：Y=7（1）試確定n的所有取值，并求k；（2）組委會(huì)確定：在第一階段比賽中低于85分的同學(xué)無(wú)緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在[95,100)內(nèi)的同學(xué)評(píng)為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在[90,95)內(nèi)的同學(xué)評(píng)為二等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽有111的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在[85,90)內(nèi)的同學(xué)評(píng)為三等獎(jiǎng)，但通過(guò)附加賽有17的概率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)等級(jí)，且附加賽獲獎(jiǎng)等級(jí)在第一階段獲獎(jiǎng)等級(jí)基礎(chǔ)上，最多升高一級(jí)）.已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生①求學(xué)生B最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生A最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率；②已知學(xué)生A和B都獲獎(jiǎng)，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案1．（2023春·河南焦作·高二開(kāi)學(xué)考試）已知一個(gè)盒子里裝有兩種顏色的小球，其中有紅球6個(gè)，黃球3個(gè)．(1)現(xiàn)從中每次隨機(jī)取出一個(gè)球，且每次取球后都放回盒中，求事件“連續(xù)取球三次，至少兩次取到黃球”發(fā)生的概率；(2)若從盒中一次隨機(jī)取出3個(gè)小球，記取到黃球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．【解題思路】(1)先計(jì)算取到黃球的概率為13(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再對(duì)應(yīng)寫(xiě)出分布列及數(shù)學(xué)期望．【解答過(guò)程】（1）由題可知，從盒子中隨機(jī)取出1個(gè)球，取到黃球的概率為36+3設(shè)連續(xù)從盒中取球三次，取到黃球的次數(shù)為ξ，則ξ～B3,∴P(ξ≥2)=C（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X=0)=CP(X=2)=C∴X的分布列為：X0123P51531∴E(X)=0×52．（2023春·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）第二十二屆世界足球賽于2022年11月21日在卡塔爾舉行，是歷史上首次在中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽，在此火熱氛圍中，某商場(chǎng)設(shè)計(jì)了一款足球游戲：場(chǎng)地上共有大、小2個(gè)球門，大門和小門依次射門，射進(jìn)大門后才能進(jìn)行小門射球，兩次均進(jìn)球后可得到一個(gè)世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顧客射進(jìn)大門的概率均為34，射進(jìn)小門的概率依次為23，13(1)求這3人中至少有2人射進(jìn)大門的概率；(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．【解題思路】(1)根據(jù)二項(xiàng)分布求概率公式計(jì)算即可求解；(2)分別求出甲和乙、丙獲得“拉伊卜”的概率，再求出P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3)，列出分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望的求法即可求解.【解答過(guò)程】（1）設(shè)三人中射進(jìn)大門的人數(shù)為Y，則Y~B3,∴P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C（2）甲獲得“拉伊卜”的概率p1乙、丙獲得“拉伊卜”的概率p2P(X=0)=1?12P(X=2)=CP(X=3)=1∴X的分布列如下：X0123P91571∴E(X)=0?93．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市公租房的房源位于A，B，C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房源，且申請(qǐng)其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請(qǐng)人中：(1)恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率；(2)申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)ξ的分布列與期望【解題思路】（1）解法一：由排列組合求出所有可能的申請(qǐng)方式和恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式，由古典概率公式代入即可得出答案.解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則P(A)=13.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A（2）求出ξ的所有可能值，再分別求出其對(duì)應(yīng)的概率即可求出分布列，再由期望公式代入即可求出申請(qǐng)的房源所在片區(qū)的個(gè)數(shù)ξ的期望.【解答過(guò)程】（1）解法一：所有可能的申請(qǐng)方式有34種，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的申請(qǐng)方式C42?2解法二：設(shè)對(duì)每位申請(qǐng)人的觀察為一次試驗(yàn)，這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).記“申請(qǐng)A片區(qū)房源”為事件A，則P(A)=從而，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰發(fā)生k次的概率計(jì)算公式知，恰有2人申請(qǐng)A片區(qū)房源的概率為P（2）ξ的所有可能值為1，2，3.P(ξ=1)=3P(ξ=2)=C32(P(ξ=3)=C31綜上知，ξ有分布列為：ξ123P1144Eξ=1×14．（2023春·山西忻州·高三開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班選出3人組成甲、乙兩支代表隊(duì)，每隊(duì)初始分均為4分，首輪比賽每人回答一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得2分，答錯(cuò)或不答扣1分．已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為23，12，14，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是2(1)求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX(2)求在甲隊(duì)和乙隊(duì)總分之和為14的條件下，甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同的概率．【解題思路】（1）求出X的所有可能取值及其概率可得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為14”為事件A，“甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同”為事件B，求出P(A)和P(AB)后，根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）X的可能取值為1，4，7，10，PX=1=1PX=7=2所以X的分布列為X14710P1531EX（2）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為14”為事件A，“甲隊(duì)與乙隊(duì)得分相同”為事件B，則PAPAB=35．（2023春·江蘇常州·高三開(kāi)學(xué)考試）設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和4個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球(1)記從甲袋中取出的2個(gè)球中恰有X個(gè)白球，求隨機(jī)變量X的概率分布和期望；(2)求從乙袋中取出的2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率.【解題思路】（1）根據(jù)題意知X的取值，求出對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；（2）根據(jù)題意，根據(jù)甲袋取球情況分類討論，利用概率公式計(jì)算可得.【解答過(guò)程】（1）X的所有可能取值為0,1,2，PX=0∴X的分布列如下：X012P241X的數(shù)學(xué)期望EX（2）若從甲袋中取出2紅，則乙袋中取出2球恰有1個(gè)紅球概率P1若從甲袋中取出2白，則乙袋中取出2球恰有1個(gè)紅球概率P2若從甲袋中取出1紅1白，則乙袋中取出2球恰有1個(gè)紅球概率P3∴乙袋中取出2球恰有1紅的概率P=196．（2023春·河北石家莊·高三開(kāi)學(xué)考試）北方某市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績(jī)不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績(jī)，如下表成績(jī)[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數(shù)55152510(1)從參加接訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率，(2)用分層抽樣的方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，【解題思路】（1）根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解，（2）根據(jù)分層抽樣的抽樣比可得[70，80）和[80，90）抽取的學(xué)生人數(shù)，由超幾何分布即可求解概率，進(jìn)而得分布列.【解答過(guò)程】（1）設(shè)該名學(xué)生考核成績(jī)優(yōu)秀為事件A，由已知50名同學(xué)的成績(jī)中，優(yōu)秀的有35名同學(xué)，所以PA可以可估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率為712（2）由已知，用分層抽樣方法，在考核成績(jī)?yōu)閇70，90）的學(xué)生中任取8人，則考核成績(jī)?cè)赱70，80）的學(xué)生應(yīng)抽取3人，考核成績(jī)?cè)赱80，90）的學(xué)生應(yīng)抽取5人．由題意可得X的所有可能取值為1，2，3，4，所以P(X=1)=P(X=3)=所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P530305所以E即所求數(shù)學(xué)期望為527．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B，C三類問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在三類問(wèn)題中隨機(jī)選擇一類，并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從剩下的兩類問(wèn)題中隨機(jī)選擇一類并從中抽取一個(gè)問(wèn)題回答，回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從剩下的最后一類問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分，C類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得70分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，能正確回答C類問(wèn)題的概率為0.7．且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記ξ為小明的累計(jì)得分，求ξ的期望．(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）由題意得出由隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，20，90，100，170，計(jì)算對(duì)應(yīng)的不同隨機(jī)變量的概率，即可求ξ的數(shù)學(xué)期望；（2）計(jì)算小明先回答B(yǎng)，C，問(wèn)題時(shí)隨機(jī)變量的取值及對(duì)應(yīng)概率，求出均值與（1）比較即可．【解答過(guò)程】（1）解：ξ可能的取值為0，20，90，100，170，依題意得：Pξ=0=1?0.8=0.2，Pξ=90=0.8×1Pξ=170所以Eξ（2）解：設(shè)小明先回答B(yǎng)類問(wèn)題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的可能取值為0，80，100，150，170．依題意PY=0=0.4，PY=100=0.6×1PY=170所以E同理設(shè)小明先回答C類問(wèn)題，記η為小明的累計(jì)得分，則η的可能取值為0，70，90，150，170，依題意得Pη=0=1?0.7=0.3，Pη=90=0.7×1Pη=170所以Eη因?yàn)镋η故小明應(yīng)選擇先回答C類問(wèn)題．8．（2023·福建·統(tǒng)考一模）校園師生安全重于泰山，越來(lái)越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備．某學(xué)校引進(jìn)M，N兩種類型的自動(dòng)體外除顫器（簡(jiǎn)稱AED）若干，并組織全校師生學(xué)習(xí)AED的使用規(guī)則及方法．經(jīng)過(guò)短期的強(qiáng)化培訓(xùn)，在單位時(shí)間內(nèi)，選擇M，N兩種類型AED操作成功的概率分別為23和1(1)現(xiàn)有某受訓(xùn)學(xué)生進(jìn)行急救演練，假定他每次隨機(jī)等可能選擇M或N型AED進(jìn)行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；(2)為激發(fā)師生學(xué)習(xí)并正確操作AED的熱情，學(xué)校選擇一名教師代表進(jìn)行連續(xù)兩次設(shè)備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對(duì)某類型AED操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若第一次對(duì)某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進(jìn)行操作．方案乙：在第一次操作時(shí)，隨機(jī)等可能的選擇M或N型AED中的一種，無(wú)論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設(shè)備．假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，分析哪種方案更好？【解題思路】（1）設(shè)“操作成功”為事件S，“選擇設(shè)備M”為事件A，“選擇設(shè)備N”為事件B，結(jié)合題意和獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求解；（2）設(shè)方案甲和方案乙成功操作累計(jì)次數(shù)分別為X，Y，分別求出每一個(gè)次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率，然后求出每種方案對(duì)應(yīng)的均值，進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）設(shè)“操作成功”為事件S，“選擇設(shè)備M”為事件A，“選擇設(shè)備N”為事件B由題意，P(A)=P(B)=恰在第二次操作才成功的概率P=P(SP(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)=1P(所以恰在第二次操作才成功的概率為512（2）設(shè)方案甲和方案乙成功操作累計(jì)次數(shù)分別為X，Y，則X，Y可能取值均為0，1，2，P(X=0)=P(A)P(=1P(X=1)=P(A)P(+P(B)P(=1P(X=2)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)=1所以E(X)=0×方法一：P(Y=0)=P(A)P(=1P(Y=1)=P(A)P(+P(B)P(=P(Y=2)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)=1所以E(Y)=0×方法二：方案乙選擇其中一種操作設(shè)備后，進(jìn)行2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以E(Y)=1決策一：因?yàn)镋(X)>E(Y)，故方案甲更好．決策二：因?yàn)镋(X)與E(Y)差距非常小，所以兩種方案均可9．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人．(1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)a，b的值；(2)每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電話訪談，已知抽取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再?gòu)倪@8人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解題思路】（1）根據(jù)圖表得(b+0.22)×0.5×100=30，解出b值，根據(jù)小矩形面積和為1可求得a值；（2）首先求得總數(shù)為21種，求出其中有男生的概率為67，求出有女生的概率為4（3）求出在各自區(qū)間的人數(shù)，設(shè)從8人中抽取的3人每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)的人數(shù)為X,分X=0,1,2計(jì)算，最后求出期望值.【解答過(guò)程】（1）由(b+0.22)×0.5×100=30,解得b=0.38∵0.5×(0.14+a+0.42+0.58+0.38+0.22)=1,解得a=0.26.（2）從7名學(xué)生中任選2人進(jìn)行電話訪談種數(shù):C7記任選2人有男生為事件A,則P(A)=C記任選2人有女生為事件B,則P(AB)=C則P(B|A)=P(AB)（3）用按比例分層抽樣的方式從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的學(xué)生中抽取8人,抽中的8人每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)的人數(shù)為14抽中的8人每天學(xué)習(xí)時(shí)問(wèn)在[7.0,7.5)的人數(shù)為34設(shè)從8人中抽取的3人每天學(xué)習(xí)時(shí)間在[6.0,6.5)的人數(shù)為X,則X=0,1,2∴P(X=0)=C∴X的分布列為:X012P5153∴X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×510．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為喜迎馬年新春佳節(jié)，懷化某商場(chǎng)在正月初六進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)滿500元的顧客可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“馬”“上”“有”“錢”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再?gòu)闹腥稳?個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“錢”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“馬”“上”“有”“錢”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“馬”“上”“有”三個(gè)字的球?yàn)槿泉?jiǎng)．(1)求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)摸球次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望【解題思路】（1）設(shè)“摸到一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)”分別為事件A，B，C，每次摸球相互獨(dú)立，每個(gè)球被摸到的概率為14，由事件的相互獨(dú)立性性質(zhì)求PA，先由排列方式計(jì)算事件B的基本事件個(gè)數(shù)，再由古典概型求概率方式求（2）由相互獨(dú)立性計(jì)算ξ的取值為1、2、3、4時(shí)的概率，并列出對(duì)應(yīng)的分布列，進(jìn)而由均值計(jì)算公式求得均值.【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)“摸到一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)”分別為事件A，B，C．

則P(A)=14×三等獎(jiǎng)的情況有：“馬，馬，上，有”；“馬，上，上，有”；“馬，上，有，有”三種情況，所以PC（2）解：設(shè)摸球的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1、2、3、4，

所以P(ξ=1)=14，P(ξ=2)=3P(ξ=4)=1?P(ξ=1)?P(ξ=2)?P(ξ=3)=27故取球次數(shù)ξ的分布列為ξ1234P13927所以取球次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ11．（2023秋·湖南株洲·高三期末）某社區(qū)為豐富居民的業(yè)余文化生活，打算在周一到周五連續(xù)為該社區(qū)居民舉行“社區(qū)音樂(lè)會(huì)”，每晚舉行一場(chǎng)，但若遇到風(fēng)雨天氣，則暫停舉行.根據(jù)氣象部門的天氣預(yù)報(bào)得知，在周一到周五這五天的晚上，前三天每天出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率均為p1，后兩天每天出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率均為p2，每天晚上是否出現(xiàn)風(fēng)雨天氣相互獨(dú)立.已知前兩天的晚上均出現(xiàn)風(fēng)雨天氣的概率為14(1)求該社區(qū)能舉行4場(chǎng)音樂(lè)會(huì)的概率；(2)求該社區(qū)舉行音樂(lè)會(huì)場(chǎng)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).【解題思路】（1）由題意先求出p1（2）求出X的可能取值和每個(gè)X對(duì)應(yīng)的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出E(X).【解答過(guò)程】（1）由已知可得，p12=14設(shè)Ai(i=1,2,3,4,5)表示第i天可以舉行音樂(lè)會(huì)，則P(B)=P(=C（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，5P(X=0)=(P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=(所以X的分布列為X012345P16567343111從而數(shù)學(xué)期望為：EX12．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）成都作為常住人口超2000萬(wàn)的超大城市，注冊(cè)青年志愿者人數(shù)超114萬(wàn)，志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超268萬(wàn)小時(shí).2022年6月，成都22個(gè)市級(jí)部門聯(lián)合啟動(dòng)了2022年成都市青年志愿服務(wù)項(xiàng)目大賽，項(xiàng)目大賽申報(bào)期間，共收到331個(gè)主體的416個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，覆蓋文明實(shí)踐?社區(qū)治理與鄰里守望?環(huán)境保護(hù)等13大領(lǐng)域.已知某領(lǐng)域共有50支志愿隊(duì)伍申報(bào)，主管部門組織專家對(duì)志愿者申報(bào)隊(duì)伍進(jìn)行評(píng)審打分，并將專家評(píng)分（單位：分）分成6組：40,50,(1)求圖中m的值；(2)從評(píng)分不低于80分的隊(duì)伍中隨機(jī)選取3支隊(duì)伍，該3支隊(duì)伍中評(píng)分不低于90分的隊(duì)伍數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.【解題思路】（1）利用直方圖中各矩形面積和為1列方程求解即可.（2）先求出評(píng)分不低于80分的隊(duì)伍數(shù)，以及評(píng)分不低于90分的隊(duì)伍數(shù)，確定隨機(jī)變量X的取值，求出概率，寫(xiě)出分布列，求得期望.【解答過(guò)程】（1）由0.004×2+0.022+0.030+0.028+m×10=1解得m=0.012．（2）由題意知不低于80分的隊(duì)伍有50×0.12+0.04不低于90分的隊(duì)伍有50×0.04=2支.隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2.∵P∴X的分布列為X012P5153∴EX13．（2023秋·河北石家莊·高三期末）黨的二十大已勝利閉幕，某市教育系統(tǒng)為深入貫徹黨的二十大精神，組織黨員開(kāi)展了“學(xué)習(xí)二十大”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).隨機(jī)抽取了1000名黨員，并根據(jù)得分（滿分100分）按組別60,70，70,80，80,90，90,100繪制了頻率分布直方圖（如圖），視頻率為概率.(1)若此次活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的黨員占參賽總?cè)藬?shù)20%，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；(2)采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從得分不低于80的黨員中隨機(jī)抽取7名黨員，再?gòu)倪@7名黨員中隨機(jī)抽取3人，記得分在90,100的人數(shù)為ξ，試求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）設(shè)分?jǐn)?shù)線為x∈[80,90)，使得成績(jī)?cè)赱x,100]的概率為0.2，解方程(90?x)×0.025+0.010×10=0.2可得答案；（2）應(yīng)從[80,90)和[90,100]兩組內(nèi)分別抽取5人和2人，求出ξ的可能取值以及對(duì)應(yīng)的概率可得分布列和期望.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)直方圖可知，成績(jī)?cè)?0,100的頻率為0.025+0.010×10=0.35成績(jī)[90,100]的頻率為0.1，小于0.2，因此獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于[80,90)之間，設(shè)分?jǐn)?shù)線為x∈[80,90)，使得成績(jī)?cè)赱x,100]的概率為0.2，即(90?x)×0.025+0.010×10=0.2，可得x=86，所以獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線劃定為86；（2）應(yīng)從[80,90)和[90,100]兩組內(nèi)分別抽取5人和2人，則ξ的可能取值為0，1，2，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=Cξ的分布列為ξ012P241數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×214．卡塔爾世界杯在今年11月21日至12月18日期間舉行，賽程如下：第一輪中先將32個(gè)國(guó)家隨機(jī)分為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，8個(gè)小組，每個(gè)小組中4個(gè)國(guó)家進(jìn)行循環(huán)積分賽，在積分賽中，每局比賽中勝者積3分，負(fù)者積0分，平局各積1分，積分前兩名者晉級(jí)下一輪淘汰賽；每組的循環(huán)積分賽分3輪，其中C組國(guó)家是阿根廷，墨西哥，波蘭，沙特，第一輪是阿根廷VS沙特，墨西哥VS波蘭；第二輪是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波蘭；第三輪是阿根廷VS波蘭，墨西哥VS沙特.小組賽前曾有機(jī)構(gòu)評(píng)估C組四個(gè)國(guó)家的實(shí)力是阿根廷>墨西哥>波蘭>沙特，并預(yù)測(cè)各自勝負(fù)概率如下：（1）阿根廷勝墨西哥概率為12，阿根廷勝波蘭、阿根廷勝沙特的概率均為23，阿根廷平墨西哥、波蘭、沙特的概率均為16；（2）墨西哥勝波蘭、墨西哥勝沙特、波蘭勝沙特的概率均為1(1)已知在C組小組賽第一輪中，阿根廷1:2沙特，墨西哥0:0波蘭，第二輪中，阿根廷2:0墨西哥，沙特0:2波蘭，求阿根廷最后小組賽晉級(jí)的概率（積分相同時(shí)實(shí)力強(qiáng)的優(yōu)先晉級(jí)）；(2)設(shè)阿根廷在小組賽中的不敗的場(chǎng)次為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題思路】（1）首先分析兩輪過(guò)后各隊(duì)的積分情況，可得有①阿根廷勝波蘭；②阿根廷平波蘭且墨西哥不負(fù)于沙特，利用互斥事件及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得.（2）依題意可得X的可能取值為0、1、2、3，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【解答過(guò)程】（1）解：前兩輪過(guò)后，阿根廷、墨西哥、波蘭、沙特的積分分別是3分、1分、4分、3分；第三輪中，阿根廷VS波蘭，阿根廷勝波蘭概率為23，阿根廷平波蘭概率為16，阿根廷負(fù)于波蘭概率為墨西哥VS沙特，墨西哥勝沙特概率為12，墨西哥平沙特概率為16，墨西哥負(fù)于沙特概率為設(shè)所求事件為M，列舉可知事件M包含以下兩種情況：①阿根廷勝波蘭；②阿根廷平波蘭且墨西哥不負(fù)于沙特，則P(M)=2（2）解：依題意可得X的可能取值為0、1、2、3，又知P(X=0)=13×P(X=2)=2×23×所以X分布列如下：X0123P(X)11525所以X的數(shù)學(xué)期望EX15．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三期末）某校為了合理配置校本課程資源，教務(wù)部門對(duì)學(xué)生們進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中14的學(xué)生計(jì)劃只選擇校本課程一，另外3(1)從學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從學(xué)生中隨機(jī)抽取n人n∈N?，記這n人的合計(jì)得分恰為n+1分的概率為Pn【解題思路】(1)根據(jù)題意得出不選擇校本課程二的概率為14，選擇校本課程二的概率為34，X的可能取值為3，4，5，6，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出(2)這n人的合計(jì)得分為n+1分，則其中只有1人計(jì)劃選擇校本課程二，則Pn=C【解答過(guò)程】（1）由題意知，每位學(xué)生計(jì)劃不選擇校本課程二的概率為14選擇校本課程二的概率為34則X的可能取值為3，4，5，6，PX=3=1PX=5=C所以X的分布列如下表所示：X3456P192727所以EX（2）因?yàn)檫@n人的合計(jì)得分為n+1分，則其中只有1人計(jì)劃選擇校本課程二，所以Pn設(shè)Sn則14由兩式相減得34即34所以P116．（2023秋·廣東·高三期末）疫情期間某大型快餐店嚴(yán)格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防護(hù)的同時(shí)，為了實(shí)現(xiàn)收益，也為了滿足人們餐飲需求，增加打包和外賣配送服務(wù)，不僅如此，還提供了一款新套餐，豐富產(chǎn)品種類，該款新套餐每份成本20元，售價(jià)30元，保質(zhì)期為兩天，如果兩天內(nèi)無(wú)法售出，則過(guò)期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)并整理連續(xù)30天的日銷量（單位：百份），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：日銷量（單位：百份）12131415天數(shù)39126(1)記兩天中銷售該款新套餐的總份數(shù)為X（單位：百份），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以該款新套餐兩天內(nèi)獲得利潤(rùn)較大為決策依據(jù)，在每?jī)商靷洳?7百份?28百份兩種方案中應(yīng)選擇哪種？【解題思路】（1）列出X可能取值，分別計(jì)算出相應(yīng)的概率，列出分布列表，即可求解.（2）根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算方式，分別計(jì)算出當(dāng)每?jī)商焐a(chǎn)配送27百份時(shí)的利潤(rùn)和當(dāng)每?jī)商焐a(chǎn)配送28百份時(shí)利潤(rùn)，比較后可得答案.【解答過(guò)程】（1）根據(jù)題意可得：X的所有可能取值為24,25,26,27,28,29,30，PX=24PX=25PX=26PX=27PX=28PX=29PX=30∴X的分布列為：X24252627282930P13177741EX（2）當(dāng)每?jī)商焐a(chǎn)配送27百份時(shí)，利潤(rùn)為：24×10?3×20+27×10×1?當(dāng)每?jī)商焐a(chǎn)配送28百份時(shí)，利潤(rùn)為：24×10?4×20×1100+∵260.4>254.8，∴選擇每天生產(chǎn)配送27百份.17．（2023秋·江蘇南通·高三期末）某公司開(kāi)發(fā)了一款可以供n（n=3或n=4）個(gè)人同時(shí)玩的跳棋游戲.每局游戲開(kāi)始，采用擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子（骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，5，6），兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和除以n所得的余數(shù)對(duì)應(yīng)的人先走第一步.兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)0，1，2，?，n?1分別對(duì)應(yīng)游戲者A1，A2，A3，?(1)當(dāng)n=3時(shí)，在已知兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，求A3(2)當(dāng)n=4時(shí)，求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)X的概率分布和數(shù)學(xué)期望，并說(shuō)明該方法對(duì)每個(gè)游戲者是否公平.【解題思路】（1）列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解；（2）根據(jù)試驗(yàn)，分析出當(dāng)n=4時(shí)，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)X可能為0，1，2，3，分別求概率，得到分布列，即可判斷.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閿S兩顆質(zhì)地均勻的骰子所得點(diǎn)數(shù)之和有如下36種基本樣本點(diǎn)（表）：123456123456723456783456789456789105678910116789101112在已知兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的條件下，共有基本事件18個(gè)，設(shè)事件“A3先走第一步”為D，表示和被n=3除后的余數(shù)為2的基本事件有和為2，8對(duì)應(yīng)的情形有6個(gè)，依據(jù)古典概型可知：P即A3先走第一步的概率為1（2）當(dāng)n=4時(shí)，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和除以n的余數(shù)X可能為0，1，2，3，且PX=0=PX=2=所以隨即變量X的概率分布為X0123P1215故EX由于和被4除所得余數(shù)（即隨即變量X取值）的概率大小不完全相同，說(shuō)明該方法對(duì)每個(gè)游戲者不公平.18．（2023春·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）某大型國(guó)有企業(yè)計(jì)劃在某雙一流大學(xué)進(jìn)行招聘面試，面試共分兩輪，且第一輪通過(guò)后才能進(jìn)入第二輪面試，兩輪均通過(guò)方可錄用．甲、乙、丙、丁4名同學(xué)參加面試，已知這4人面試第一輪通過(guò)的概率分別為23，45，34，34，面試笫二輪通過(guò)的概率分別為12，5(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率；(2)記甲、乙、丙、丁4人中最終被錄用的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解題思路】（1）根據(jù)題意分別計(jì)算出甲、乙、丙、丁4名同學(xué)參加面試通過(guò)的概率，利用對(duì)立事件的概率公式可知“至少有1人被錄用的概率”與“沒(méi)有人被錄用的概率”之和為1，即可計(jì)算出結(jié)果；（2）寫(xiě)出X的所有可能取值，再根據(jù)積事件與和事件的概率公式分別求的其概率即可列出分布列，進(jìn)而求得期望值.【解答過(guò)程】（1）由題意得，甲被錄用的概率為23乙被錄用的概率為45丙被錄用的概率為34丁被錄用的概率為34事件“至少有1人被錄用”與事件“沒(méi)有人被錄用”互為對(duì)立事件，沒(méi)有人被錄用的概率為1?設(shè)甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用為事件M，則PM即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率為23（2）由題意得，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，∴PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4∴X的分布列為X01234P410171∴期望值EX19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）單板滑雪U型場(chǎng)地技巧是冬奧會(huì)比賽中的一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入決賽階段的12名運(yùn)動(dòng)員按照預(yù)賽成績(jī)由低到高的出場(chǎng)順序輪流進(jìn)行三次滑行，裁判員根據(jù)運(yùn)動(dòng)員的騰空高度、完成的動(dòng)作難度和效果進(jìn)行評(píng)分，最終取單次最高分作為比賽成績(jī)．現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)員甲、乙二人在某賽季單板滑雪U型場(chǎng)地技巧比賽中的成績(jī)(單位：分)，如表：分站運(yùn)動(dòng)員甲的三次滑行成績(jī)運(yùn)動(dòng)員乙的三次滑行成績(jī)第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設(shè)甲、乙二人每次比賽成績(jī)相互獨(dú)立．(1)從上表5站中隨機(jī)選取1站，求在該站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的概率；(2)從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的站數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)假如從甲、乙二人中推薦一人參加2022年北京冬奧會(huì)單板滑雪U型場(chǎng)地技巧比賽，根據(jù)以上數(shù)據(jù)信息，你推薦誰(shuí)參加？說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)古典概型的概率公式求解即可；（2）求得X的可能取值及對(duì)應(yīng)概率，完成分布列，根據(jù)期望的公式求解即可；（3）根據(jù)數(shù)據(jù)得出其概率，期望，平均數(shù)，方差等數(shù)據(jù)分析，理由合理即可.【解答過(guò)程】（1）設(shè)“從5站中隨機(jī)選取1站，該站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)”為事件A．甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績(jī)分別為86.20，92.80，87.50，89.50，86.00．乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績(jī)分別為88.40，88.60，89.10，88.20，87.70．其中第2站和第4站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)，所以PA（2）X的所有可能取值為0，1，2，則PX=0=C20所以X的分布列為X012P331EX（3）答案一：推薦乙．從5站的成績(jī)可以看出，任意1站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)的概率為25，乙的成績(jī)高于甲的成績(jī)的概率為35．因?yàn)榇鸢付和扑]乙．用“ζ=1”表示任意1站甲的成績(jī)高于乙的成績(jī)，用“ζ=0”表示任意1站甲的成績(jī)低于乙的成績(jī)，則Pζ=1=25，Pζ=0用“η=1”表示任意1站乙的成績(jī)高于甲的成績(jī)，用“η=0”表示任意1站乙的成績(jī)低于甲的成績(jī)，則Pη=1=35，Pη=0因?yàn)镋ζ<Eη所以預(yù)測(cè)乙的成績(jī)好于甲的成績(jī)，推薦乙參加．答案三：推薦乙．設(shè)甲5站的平均成績(jī)、乙5站的平均成績(jī)、甲5站成績(jī)的方差、乙5站成績(jī)的方差分別為x甲，x乙，s甲則x甲x乙s甲s乙x甲s甲答案四：推薦甲．甲5站的平均成績(jī)?yōu)閤甲乙5站的平均成績(jī)?yōu)閤乙雖然甲、乙5站的平均成績(jī)相同，但是甲成績(jī)的極大值為92.80，乙成績(jī)的極大值為89.10，甲成績(jī)的極大值大于乙成績(jī)的極大值，所以預(yù)測(cè)甲的成績(jī)會(huì)比乙的更好，推薦甲參加．答案五：推薦甲．所有成績(jī)中兩人均有一次0分成績(jī)，是持平的，但除此之外，甲低于80分的有2次，乙有3次，甲發(fā)揮不理想的次數(shù)要少，所以甲失誤的可能性小，推薦甲參加．20．（2023春·江蘇南京·高三期末）2023年的春節(jié)期間，某市舉辦了趣味射擊過(guò)關(guān)比賽.比賽時(shí)，有甲、乙兩個(gè)靶，比賽規(guī)則如下：射手先向甲靶射擊兩次，再向乙靶射擊一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，沒(méi)有命中均得0分.現(xiàn)已知A射手向甲靶射擊一次，命中的概率為p0<p<1，再向乙靶射擊一次，命中的概率為23，假設(shè)(1)當(dāng)p=12時(shí)，求(2)現(xiàn)規(guī)定射手總得分的數(shù)學(xué)期望超過(guò)4，比賽過(guò)關(guān)，若A射手過(guò)關(guān)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.【解題思路】（1）“A射手命中甲靶次數(shù)多于命中乙靶次數(shù)”包含“射擊甲靶擊中兩次，射擊乙靶不中或命中”和“射擊甲靶的兩次中只擊中一次，射擊乙靶不擊中”，由乘法公式得出所求概率；（2）求出A射手總得分的所有可能取值以及相應(yīng)概率，進(jìn)而由E(X)>4，得出實(shí)數(shù)p的取值范圍.【解答過(guò)程】（1）記“A射手命中甲靶次數(shù)多于命中乙靶次數(shù)”為事件B.事件B發(fā)生包含：“射擊甲靶擊中兩次，射擊乙靶不中或命中”和“射擊甲靶的兩次中只擊中一次，射擊乙靶不擊中”，所以P(B)=C（2）設(shè)A射手總得分為X，則X的所有可能取值為：0,1,2,4,5,6.P(X=0)=(1?p)2P(X=2)=p2P(X=5)=C2所以E(X)=0×13(1?p)則當(dāng)E(X)>4時(shí)，6p+83>4，所以21．（2023秋·河北邯鄲·高三期末）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行，也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.11月22日，卡塔爾世界杯小組賽C組第1輪比賽中，梅西領(lǐng)銜的阿根廷隊(duì)1:2不敵沙特阿拉伯隊(duì).梅西在開(kāi)場(chǎng)階段打入一粒點(diǎn)球，但沙特在下半場(chǎng)開(kāi)局后連入兩球反超比分，這也是亞洲球隊(duì)在本屆世界杯上獲得的首場(chǎng)勝利！為提升球隊(duì)的射門技術(shù)，某足球隊(duì)進(jìn)行一次足球定點(diǎn)射門測(cè)試，規(guī)定每人最多踢3次，每次射門的結(jié)果相互獨(dú)立.在A處射進(jìn)一球得3分，在B處射進(jìn)一球得2分，否則得0分.將隊(duì)員得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定為通過(guò)測(cè)試，立即停止射門，否則應(yīng)繼續(xù)射門，直到踢完三次為止.現(xiàn)有兩種射門方案，方案1：先在A處踢一球，以后都在B處踢；方案2：都在B處踢球.已知甲隊(duì)員在A處射門的命中率為13，在B處射門的命中率為4(1)若甲隊(duì)員選擇方案1，求他測(cè)試結(jié)束后所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX(2)你認(rèn)為甲隊(duì)員選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性更大？說(shuō)明理由.【解題思路】（1）求出X的所有可能值，再利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率求出各個(gè)取值的概率，列出分布列求出期望作答.（2）求出甲分別選方案1和方案2通過(guò)測(cè)試的概率，再比較大小作答.【解答過(guò)程】（1）設(shè)甲隊(duì)員在A處命中的事件為A，在B處命中的事件為Bi(i=1,2,3)，有X的所有可能值為0，2，3，4，P(X=0)=P(AP(X=2)=P(AP(X=3)=P(A)=13，所以X的分布列為：X0234P216132數(shù)學(xué)期望E(X)=0×2（2）設(shè)甲隊(duì)員選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為P1，選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為P由（1）知，P1P2=P(B所以甲隊(duì)員選擇方案2通過(guò)測(cè)試的可能性更大.22．（2023秋·海南·高三期末）王先生準(zhǔn)備利用家中閑置的10萬(wàn)元進(jìn)行投資，投資公司向其推薦了A，B兩種理財(cái)產(chǎn)品，其中產(chǎn)品A一年后固定獲利8%，產(chǎn)品B的一年后盈虧情況的分布列如下（表中p>0盈虧情況獲利16不賠不賺虧損4概率2p1p(1)如果王先生只投資產(chǎn)品B，求他一年后投資收益的期望值．(2)該投資公司為提高客戶積極性，對(duì)投資產(chǎn)品B的客戶贈(zèng)送鼓勵(lì)金，每年的鼓勵(lì)金為產(chǎn)品B的投資額的2%【解題思路】（1）根據(jù)概率和為1求出p，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求解盈虧情況.(2)根據(jù)0.07<0.08，0.07+0.02>0.08，能分析到先投資產(chǎn)品B，使鼓勵(lì)金達(dá)到1200元，其余資金再投資產(chǎn)品A．【解答過(guò)程】（1）由已知得2p+14+p=1如果王先生只投資產(chǎn)品B，他一年后投資收益的期望值為10×0.16×（2）產(chǎn)品B的平均收益率為0.16×1因?yàn)?.07<0.08，0.07+0.02>0.08，即產(chǎn)品B的平均收益率比產(chǎn)品A的收益率小，但加上鼓勵(lì)金后平均收益率比產(chǎn)品A的收益率大，故要使投資收益的期望值最大，應(yīng)優(yōu)先投資產(chǎn)品B，使鼓勵(lì)金達(dá)到1200元，其余資金再投資產(chǎn)品A．因?yàn)?2000.02=60000（元），所以應(yīng)該用6萬(wàn)元投資產(chǎn)品B，4萬(wàn)元投資產(chǎn)品一年后投資收益的期望值最大為4×0.08+6×0.07+0.12=0.86（萬(wàn)元）．23．（2023秋·山西·高三期末）通過(guò)核酸檢測(cè)可以初步判定被檢測(cè)者是否感染新冠病毒，檢測(cè)方式分為單檢和混檢，單檢是將一個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中單獨(dú)檢測(cè)：混檢是將多個(gè)人的采集拭子放入一個(gè)采樣管中合為一個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，再對(duì)這多個(gè)人重新采集單管拭子，逐一進(jìn)行檢測(cè)，以確定當(dāng)中的陽(yáng)性樣本．混檢按一個(gè)采樣管中放入的采集拭子個(gè)數(shù)可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等．調(diào)查研究顯示，在群體總陽(yáng)性率較低（低于0.1%）時(shí)，混檢能較大幅度地提高檢測(cè)效力、降低檢測(cè)成本．根據(jù)流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果顯示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率為p(0<p<1)．若對(duì)該城市全體居民進(jìn)行一輪核酸檢測(cè)，記每一組n位居民采用“n合1”（n∈N?）混檢方式共需檢測(cè)(1)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知當(dāng)0<p<0.0005時(shí)，(1?p)n≈1?npn∈N?．若p=0.0001【解題思路】(1)根據(jù)題干條件分情況X=1和X=n+1求概率,寫(xiě)出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可;(2)由(1)的數(shù)學(xué)期望得出每位居民檢測(cè)的次數(shù),再應(yīng)用基本不等式求出核酸檢測(cè)中每位居民檢測(cè)的最少次數(shù),取等條件可求n.【解答過(guò)程】（1）X的取值為1和n+1，P(X=1)=(1?p)P(X=n+1)=1?(1?p)隨機(jī)變量X的分布列為：X1n+1P1?p1?可得E(X)=1×(1?p)（2）由（1）可知每位居民檢測(cè)的次數(shù)約為E(X)n又由1n當(dāng)且僅當(dāng)1n=0.0001n，即故當(dāng)n=100時(shí)，采用“100合1”，這一輪核酸檢測(cè)中每位居民檢測(cè)的次數(shù)最少．24．（2022春·山東聊城·高二期中）為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，山東電視臺(tái)舉行國(guó)寶知識(shí)大賽，先進(jìn)行預(yù)賽，規(guī)則如下：①有易、中、難三類題，共進(jìn)行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機(jī)抽出該類題中的一個(gè)回答；②答對(duì)得分，答錯(cuò)不得分；③四輪答題中，每類題最多選擇兩次．四輪答題得分總和不低于10分進(jìn)入決賽．選手甲答對(duì)各題是相互獨(dú)立的，答對(duì)每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對(duì)概率0.70.50.3答對(duì)得分345(1)若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對(duì)了一個(gè)，你認(rèn)為他后兩輪應(yīng)該怎樣選擇答題，并說(shuō)明理由；(2)甲四輪答題中，選擇了一個(gè)容易題、兩個(gè)中等題、一個(gè)難題，若容易題答對(duì)，記甲預(yù)賽四輪得分總和為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．【解題思路】（1）先分析得甲后兩輪還有三種方案，利用獨(dú)立事件的概率的乘法公式將每種方案進(jìn)決賽的概率求出，比較之即可得解；（2）根據(jù)題意得到X的可能取值，結(jié)合獨(dú)立事件的概率的乘法公式將X的每一個(gè)取值的概率求出，從而得到X的的分布列，從而求得X的數(shù)學(xué)期望．【解答過(guò)程】（1）依題意，甲前兩輪都選擇了中等題，只答對(duì)了一個(gè)，則甲得分為4分，要進(jìn)入決賽，還需要得6分，所以甲后兩輪的選擇有三種方案：方案一：都選擇容易題，則總得分不低于10分的概率為P1方案二：都選擇難題，則總得分不低于10分的概率為P2方案三：選擇一個(gè)容易題、一個(gè)難題，則總得分不低于10分的概率為：P3因?yàn)镻1（2）依題意，X的可能取值為3、7、8、11、12、16，則P(X=3)=1P(X=8)=1P(X=12)=2×1所以X的分布列為：X378111216P773733所以E(X)=3×725．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品α分為兩類不同劑型α1和α2．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑α1和α2合格的概率分別為34和35，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑α1和α(1)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次檢測(cè)后兩類試劑α1和α2合格的種類數(shù)為X，求(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品α進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率均為p(0<p<1)且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，若當(dāng)p=p0時(shí)，f(p)最大，求【解題思路】（1）先得到劑型α1與α2合格的概率，求出（2）求出fp=1?p2p+【解答過(guò)程】（1）劑型α1合格的概率為：3劑型α2合格的概率為：3由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則PX=0PX=1PX=2則X的分布列為X012P6136數(shù)學(xué)期望EX（2）檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為1?p2檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為1?p3則fp令x=1?p，因?yàn)?<p<1，所以0<x<1，原函數(shù)可化為gx因?yàn)閤2當(dāng)且僅當(dāng)x2=1?x此時(shí)p=1?22，所以26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某中學(xué)2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有“夾球跑”和“定點(diǎn)投籃”兩個(gè)項(xiàng)目，某班代表隊(duì)共派出1男（甲同學(xué)）2女（乙同學(xué)和丙同學(xué)）三人參加這兩個(gè)項(xiàng)目，其中男生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨(dú)完成“夾球跑”的概率為a（0<a<0.4）．假設(shè)每個(gè)同學(xué)能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學(xué)能完成“夾球跑”的人數(shù)為ξ．(1)證明：在的概率分布中，Pξ=1(2)對(duì)于“定點(diǎn)投籃”項(xiàng)目，比賽規(guī)則如下：該代表隊(duì)先指派一人上場(chǎng)投籃，如果投中，則比賽終止，如果沒(méi)有投中，則重新指派下一名同學(xué)繼續(xù)投籃，如果三名同學(xué)均未投中，比賽也終止．該班代表隊(duì)的領(lǐng)隊(duì)了解后發(fā)現(xiàn)，甲、乙、丙三名同學(xué)投籃命中的概率依次為ti=Pξ=i（i=1【解題思路】（1）分別求出Pξ=i（i=0（2）由（1）知t1>t2>t3，設(shè)三人任意順序出場(chǎng)時(shí)三場(chǎng)投中的概率分別為p1，p2，p3，計(jì)算比賽時(shí)所需派出的人數(shù)【解答過(guò)程】（1）由已知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，Pξ=0Pξ=1Pξ=2Pξ=3∵0<a<0.4，∴Pξ=1Pξ=1Pξ=1所以概率Pξ=1（2）由（1）知，當(dāng)0<a<0.4時(shí)，有t1且t2?t所以應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小．證明如下：假設(shè)p1，p2，p3為t1，該順序下三人能完成項(xiàng)目的概率為p1，p2，p3，記在比賽時(shí)所需派出的人數(shù)為η，則η=1η123Pp1?1?數(shù)學(xué)期望Eη∵t1>t2要使1?p11?p2盡可能小，則需要p1,p2∴3?2p所以應(yīng)當(dāng)以甲、乙、丙的順序安排出場(chǎng)順序，才能使得該代表隊(duì)出場(chǎng)投籃人數(shù)的均值最小．27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部A、B進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，由A部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若A部、B部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每局比賽A部獲勝的概率為p0<p<1(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求EX，并求當(dāng)EX取最大值時(shí)(2)當(dāng)p=12時(shí)，