黑龍江省綏化七中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

黑龍江省綏化七中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知直線:與橢圓交于、兩點,與圓:交于、兩點.若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.2.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為,若,,則()A. B. C. D.3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.4.已知角的終邊與單位圓交于點,則等于()A. B. C. D.5.存在點在橢圓上,且點M在第一象限,使得過點M且與橢圓在此點的切線垂直的直線經(jīng)過點,則橢圓離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.7.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.18.甲乙兩人有三個不同的學習小組,,可以參加,若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組,則兩人參加同一個小組的概率為()A.B.C.D.9.已知,為兩條不同直線,,,為三個不同平面,下列命題:①若,,則;②若,,則;③若,,則;④若,,則.其中正確命題序號為()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③10.復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為則()A. B. C. D.11.已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合,且拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域是____________.(寫成區(qū)間的形式)14.(5分)已知曲線的方程為,其圖象經(jīng)過點,則曲線在點處的切線方程是____________.15.已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上,,,,,E,F(xiàn)分別為,的中點,,則球O的體積為______.16.某班有學生52人,現(xiàn)將所有學生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐的底面中,為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,平面平面,為中點.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.18.(12分)每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經(jīng)濟”,以交通業(yè)為例,當天氣太冷時,不少人都會選擇利用手機上的打車軟件在網(wǎng)上預(yù)約出租車出行,出租車公司的訂單數(shù)就會增加.下表是某出租車公司從出租車的訂單數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫(單位:℃)與網(wǎng)上預(yù)約出租車訂單數(shù)(單位:份);日平均氣溫(℃)642網(wǎng)上預(yù)約訂單數(shù)100135150185210(1)經(jīng)數(shù)據(jù)分析,一天內(nèi)平均氣溫與該出租車公司網(wǎng)約訂單數(shù)(份)成線性相關(guān)關(guān)系,試建立關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測日平均氣溫為時,該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù);(2)天氣預(yù)報未來5天有3天日平均氣溫不高于,若把這5天的預(yù)測數(shù)據(jù)當成真實的數(shù)據(jù),根據(jù)表格數(shù)據(jù),則從這5天中任意選取2天,求恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的概率.附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為:19.(12分)已知數(shù)列滿足:對一切成立.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.20.(12分)如圖,平面四邊形中,,是上的一點,是的中點,以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.(1)證明:平面平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)如圖,過點且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)過點M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D,直線AC、BD分別交直線于點E、F,求證:是定值.22.(10分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)定義:若直線與曲線都相切,我們稱直線為曲線、的公切線,證明:曲線與總存在公切線.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心,由此得到坐標的關(guān)系,再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關(guān)系,由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),且線過定點即為的圓心,因為,所以,又因為,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故選:A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用,著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用,難度一般.通過運用點差法達到“設(shè)而不求”的目的,大大簡化運算.2、C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進而得到數(shù)列的通項和前項和,根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列,所以,故即,由可得或,因為為遞增數(shù)列,故符合.此時,所以或(舍,因為為遞增數(shù)列).故,.故選C.【點睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.3、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因為在上遞減,,即.故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點,,故選:B【點睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因為過點M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選:D【點睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動一個單位得到,的定義域為,且,所以為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,所以圖像關(guān)于對稱.不等式等價于,等價于,注意到,結(jié)合圖像關(guān)于對稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式,屬于中檔題.7、A【解析】

利用復數(shù)的模的運算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點睛】本小題主要考查復數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】依題意,基本事件的總數(shù)有種,兩個人參加同一個小組,方法數(shù)有種,故概率為.9、C【解析】

根據(jù)直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系進行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得,若,,則,故①正確;若,,平面可能相交,故②錯誤;若,,則可能平行,故③錯誤;由線面垂直的性質(zhì)可得,④正確;故選:C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面,平面與平面的位置關(guān)系,屬于中檔題.10、B【解析】

求得復數(shù),結(jié)合復數(shù)除法運算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點睛】本小題主要考查復數(shù)及其坐標的對應(yīng),考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由拋物線的焦點得雙曲線的焦點,求出,由拋物線準線方程被曲線截得的線段長為,由焦半徑公式,聯(lián)立求解.【詳解】解:由拋物線,可得,則,故其準線方程為,拋物線的準線過雙曲線的左焦點,.拋物線的準線被雙曲線截得的線段長為,,又,,則雙曲線的離心率為.故選:.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過雙曲線的焦點的弦長求離心率.弦過焦點時,可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.12、A【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計算時的函數(shù)值可排除三個選項.【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù),排除B,時,函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時,,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負,函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

要使函數(shù)有意義,需滿足,即,解得,故函數(shù)的定義域是.14、【解析】

依題意,將點的坐標代入曲線的方程中,解得.由,得,則曲線在點處切線的斜率,所以在點處的切線方程是,即.15、【解析】

可證,則為的外心,又則平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半徑,最后根據(jù)體積公式計算可得.【詳解】解:,,,因為為的中點,所以為的外心,因為,所以點在內(nèi)的投影為的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,設(shè),則,所以,所以球O體積,.故答案為:【點睛】本題考查多面體外接球體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,考查計算能力,屬于中檔題.16、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】

(1)設(shè)中點為,連接、,首先通過條件得出,加,可得,進而可得平面,再加上平面,可得平面平面,則平面;(2)設(shè)中點為,連接、,可得平面,加上平面,則可如圖建立直角坐標系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)中點為,連接、,為等邊三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,為的中位線,,平面,平面,平面,、為平面內(nèi)二相交直線,平面平面,平面DMN,平面;(2)設(shè)中點為,連接、為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,、、共線,,,,,平面平面.平面平面平面,交線為,平面平面.設(shè),則在中,由余弦定理,得:又,,,,,為中點,,建立直角坐標系(如圖),則,,,.,,設(shè)平面的法向量為,則,,取,則,,平面的法向量為,,二面角為銳角,二面角的余弦值大小為.【點睛】本題考查面面平行證明線面平行,考查向量法求二面角的大小,考查學生計算能力和空間想象能力,是中檔題.18、(1),232;(2)【解析】

(1)根據(jù)公式代入求解;(2)先列出基本事件空間,再列出要求的事件,最后求概率即可.【詳解】解:(1)由表格可求出代入公式求出,所以,所以當時,.所以可預(yù)測日平均氣溫為時該出租車公司的網(wǎng)約訂單數(shù)約為232份.(2)記這5天中氣溫不高于的三天分別為,另外兩天分別記為,則在這5天中任意選取2天有,共10個基本事件,其中恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于210份的有,共6個基本事件,所以所求概率,即恰有1天網(wǎng)約訂單數(shù)不低于20份的概率為.【點睛】考查線性回歸系數(shù)的求法以及古典概型求概率的方法,中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)先通過求得,再由得,和條件中的式子作差可得答案;(2)變形可得,通過裂項求和法可得答案.【詳解】(1)①,當時,,,當時,②,①②得:,,適合,故;(2),.【點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式,考查裂項求和,是基礎(chǔ)題.20、(1)見解析;(2)【解析】

(1)要證平面平面,只需證平面,而,所以只需證,而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形,又由于是的中點,所以,從而可證得結(jié)論;(2)由于在中,,而平面平面,所以點在平面的投影恰好為的中點,所以如圖建立空間直角坐標系,利用空間向量求解.【詳解】(1)由,所以平面四邊形為直角梯形,設(shè),因為.所以在中,,則,又,所以,由,所以為等邊三角形,又是的中點,所以,又平面,則有平面,而平面,故平面平面.(2)解法一:在中,,取中點,所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,以為坐標原點,方向為軸方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,設(shè)平面的法向量,由得取,則設(shè)直線與平面所成角大小為,則,故直線與平面所成角的正弦值為.解法二:在中,,取中點,所以,由(1)可知平面平面,平面平面,所以平面,過作于,連,則由平面平面,所以,又,則平面,又平面所以,在中,,所以,設(shè)到平面的距離為,由,即,即,可得,設(shè)直線與平面所成角大小為,則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角,考查學生的轉(zhuǎn)化思想和計算能力,屬于中檔題.21、(1);(2)證明見解析.【解析】

(1)由題意求得的坐標,代入橢圓方程求得,由此求得橢圓的標準方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,可得關(guān)于的一元二次方程,設(shè)出的坐標,分別求出直線與直線的方程,從而求得兩點的縱坐標,利用根與系數(shù)關(guān)系可化簡證得為定值.【詳解】(1)由已知可得:,代入橢圓方程得:橢圓方程為;(2)設(shè)直線CD的方程為,代入,得:設(shè),,則有,則AC的方程為,令,得BD的方程為,令,得,證畢.【點睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,是難題.22、(1);(2)見解析.【解析】

(1)求出導數(shù),問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,利用導數(shù)求出的最小值即可求解;(2)分別設(shè)切點橫坐標為,利用導

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