高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《不等式》專項(xiàng)測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《不等式》專項(xiàng)測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________第1講不等式與不等關(guān)系復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.掌握等式的性質(zhì).2.會比較兩個數(shù)(式)的大小.3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用．一比較兩個實(shí)數(shù)的大小eq\a\vs4\al(1.作差法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>ba，b∈R，,a－b＝0?a＝ba，b∈R，,,a－b<0?a<ba，b∈R.))eq\a\vs4\al(2.作商法)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>ba∈R，b>0，,\f(a,b)＝1?a＝ba∈R，b>0，,\f(a,b)<1?a<ba∈R，b>0.))二等式的性質(zhì)對稱性：如果a＝b，那么b＝a；傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).三不等式的性質(zhì)對稱性：a>b?b<a；傳遞性：a>b，b>c?a>c；可加性：a>b?a＋c＞b＋c；可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．常/用/結(jié)/論1．a(chǎn)＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).2．a(chǎn)＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).3．a(chǎn)＞b＞0,0＜c＜d?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d).4．0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?eq\f(1,b)＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,a).表現(xiàn)為函數(shù)y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調(diào)遞減．5．若a＞b＞0，m＞0，則(1)eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)＞eq\f(b－m,a－m)(b－m＞0)；糖水加糖變甜，反映為函數(shù)y＝eq\f(b＋x,a＋x)(a＞b＞0)在(0，＋∞)單調(diào)遞增.一些不等式成立，背后常隱含函數(shù)的單調(diào)性．(2)eq\f(a,b)＞eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)＜eq\f(a－m,b－m)(b－m＞0)．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)a＞b，c＞d?a－d＞b－c.(√)(2)a＞b?a3>b3.(√)(3)a＞b?ac2＞bc2.()(4)a＞b，c＞d?ac＞bd.()(5)a＞b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).()2．設(shè)a>b，a，b，c∈R，則下列式子正確的是()A．a(chǎn)c2>bc2 B．eq\f(a,b)>1C．a(chǎn)－c>b－c D．a(chǎn)2>b2解析：a>b，若c＝0，則ac2＝bc2，故A錯誤；a>b，若b<0，則eq\f(a,b)<1，故B錯誤；a>b，不論c取何值，都有a－c>b－c，故C正確；a>b，若a，b都小于0，則a2<b2，故D錯誤．故選C．答案：C3．設(shè)a，b，c，d∈R，a＞b，c＜d，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)＋c＞b＋d B．a(chǎn)－c＞b－dC．a(chǎn)c＞bd D．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)解析：對于A，令a＝1，b＝－1，d＝1，c＝－1，滿足a＞b，c＜d，但a＋c＝b＋d，ac＝bd，故A，C錯誤；對于B，因?yàn)閍＞b，c＜d，所以由不等式的可加性，可得a＋d＞b＋c，所以a－c＞b－d，故B正確；對于D，令a＝2，b＝－1，d＝－1，c＝－2，滿足a＞b，c＜d，但eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)，故D錯誤．故選B．答案：B4．“a＋b＞2c”的一個充分條件是()A．a(chǎn)＞c或b＞c B．a(chǎn)＞c且b＜cC．a(chǎn)＞c且b＞c D．a(chǎn)＞c或b＜c解析：對于A，a＞c或b＞c，不能保證a＋b＞2c成立，故A錯誤；對于B，a＞c且b＜c，不能保證a＋b＞2c成立，故B錯誤；對于C，a＞c且b＞c，由同向不等式相加的性質(zhì)，可以推出a＋b＞2c，故C正確；對于D，a＞c或b＜c，不能保證a＋b＞2c成立，故D錯誤．故選C．答案：C題型不等式簡單性質(zhì)的理解典例1(1)若a，b都是實(shí)數(shù)，則“eq\r(a)－eq\r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)已知四個條件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的是________．解析：(1)eq\r(a)－eq\r(b)＞0?eq\r(a)＞eq\r(b)?a＞b≥0?a2＞b2，但由a2－b2＞0eq\o(?,/)eq\r(a)－eq\r(b)＞0.則“eq\r(a)－eq\r(b)＞0”是“a2－b2＞0”的充分不必要條件．故選A．(2)運(yùn)用倒數(shù)的性質(zhì)：a＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，則②熟記這一性質(zhì)，常見錯誤是a＞b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).錯誤原因是忽視ab＞0的條件．④正確．又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，所以①正確．故答案為①②④.判斷不等式是否成立的兩種方法(1)性質(zhì)法直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件．(2)特殊值法適用于排除錯誤答案，取值應(yīng)滿足題設(shè)條件且便于計(jì)算．提醒：當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能判斷時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對點(diǎn)練1(2024·廣東珠海模擬)已知a，b∈R，滿足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，則()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞0C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)＜|b|解析：因?yàn)閍b＜0，a＞b，則a＞0，b＜0，eq\f(1,a)＞0，eq\f(1,b)＜0，A不正確；eq\f(b,a)＜0，eq\f(a,b)＜0，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＜0，B不正確；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，則a2＞(－b)2，a2＞b2，C正確；由a＞－b＞0，得a＞|b|，D不正確．答案：C題型代數(shù)式大小比較的多維研討維度1差值法和商值法比較大小典例2若a＜0，b＜0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為()A．p＜q B．p≤qC．p＞q D．p≥q解析：方法一(作差法)：p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，作差變形的常見方法為因式分解，分解為幾個簡單代數(shù)式的積，易于判斷符號．∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，又(b－a)2≥0，∴p≤q.方法二(作商法)：∵p＝eq\f(a3＋b3,ab)＝eq\f(a＋ba2－ab＋b2,ab)，∴eq\f(p,q)＝eq\f(a2－ab＋b2,ab)≥eq\f(2ab－ab,ab)＝1，應(yīng)用基本不等式：a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立.此題還有另一妙解：p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋b))－(a＋b)≤2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝q.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立．∵q＜0，∴p≤q.故選B．作差(商)法的常見情形(1)作差法有兩種情形：①將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個因式相乘；②將差式通過配方轉(zhuǎn)化為幾個非負(fù)實(shí)數(shù)之和，然后判斷正負(fù)．(2)作商法通常適用于兩代數(shù)式同號的情形．對點(diǎn)練2已知a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，c＝eq\f(ln6,5)，則()A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．a(chǎn)＜b＜c D．c＜a＜b解析：因?yàn)閍－c＝eq\f(ln2,2)－eq\f(ln6,5)＝eq\f(5ln2－2ln6,10)＝eq\f(ln32－ln36,10)＜0，所以a＜c；因?yàn)閎－c＝eq\f(ln3,3)－eq\f(ln6,5)＝eq\f(5ln3－3ln6,15)＝eq\f(ln243－ln216,15)＞0，所以b＞c，即a＜c＜b.故選B．答案：B維度2特殊值法典例3(1)(2024·湖南長沙一中模擬)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x<y，設(shè)a＝xex＋y，b＝y(tǒng)ey＋x，c＝y(tǒng)ex＋x(其中e為自然對數(shù)：e＝2.71828…)，則a，b，c的大小關(guān)系是()a，b，c中均只含x，y兩個未知參數(shù)，且式子結(jié)構(gòu)簡單，故可對x，y取特殊值直接判斷．a(chǎn)－b＝(xex－x)－(yey－y)，此時(shí)可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex－x，由其單調(diào)性判斷a，b的大小關(guān)系．A．a(chǎn)<c<b B．c<a<bC．c<b<a D．b<c<a(2)(2024·北京海淀區(qū)模擬)已知x，y∈R，且x＋y＞0，則()A．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＞0通分：eq\f(x＋y,xy)，這里分母不確定正負(fù)．B．x3＋y3＞0C．lg(x＋y)＞0此式等價(jià)于x＋y＞1.D．sin(x＋y)＞0解析：(1)根據(jù)題意可取x＝1，y＝2，則a＝e＋2，特殊值法比較大小，最妙．b＝2e2＋1，c＝2e＋1，從而a<c<b，故選A．(2)令x＝1，y＝－eq\f(1,2)，顯然eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝1－2＜0，故A錯誤；因?yàn)閤3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝(x＋y)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y))2＋\f(3,4)y2))，顯然x＝eq\f(1,2)y，y＝0不能同時(shí)成立，所以(x＋y)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y))2＋\f(3,4)y2))＞0，故B正確；取x＝1，y＝0，則lg(x＋y)＝0，故C錯誤；取x＝1，y＝3，則sin(x＋y)＝sin4＜0，故D錯誤．故選B．當(dāng)x＋y＞0時(shí)，正弦值可正、可負(fù)，能直接判斷命題的真假，不必舉特例．解有關(guān)不等式選擇題時(shí)，可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取值要有代表性．對點(diǎn)練3若a＞b＞0，且ab＝1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)＜log2(a＋b)B．eq\f(b,2a)＜log2(a＋b)＜a＋eq\f(1,b)C．a(chǎn)＋eq\f(1,b)＜log2(a＋b)＜eq\f(b,2a)D．log2(a＋b)＜a＋eq\f(1,b)＜eq\f(b,2a)解析：令a＝3，b＝eq\f(1,3)，則a＋eq\f(1,b)＝6，1＜log2(a＋b)＝log2eq\f(10,3)＜2，eq\f(b,2a)＝eq\f(\f(1,3),23)＝eq\f(1,24)，即a＋eq\f(1,b)＞log2(a＋b)＞eq\f(b,2a).故選B．答案：B維度3中間量法典例4(1)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0．20.3，則()對數(shù)式logab中，若a，b∈(1，＋∞)，或a，b∈(0,1)時(shí)，logab為正數(shù)，反之，若a∈(1，＋∞)，b∈(0,1)或a∈(0,1)，b∈(1，＋∞)時(shí)，logab為負(fù)數(shù)．A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜a(2)(2024·河南鄭州模擬)設(shè)x＞0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，則()對于不屬于同一類的代數(shù)式比較大小，則常用中間值法.比如：ex和lnx不屬于同一類，則中間量應(yīng)為x.由于ex＞x，而x＞lnx，從而實(shí)現(xiàn)將ex和lnx與有理函數(shù)聯(lián)系起來．A．P＞Q B．P＜QC．P≤Q D．P≥Q解析：(1)a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，c＝0.20.3＜0.20＝1，即c∈(0,1)，故a＜c＜b.故選B．(2)因?yàn)?x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)等號成立)，而x＞0，所以P＞2.由基本不等式知其有最小值．又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P＞Q.故選A．由函數(shù)性質(zhì)求出最大值．利用中間量法比較不等式大小時(shí)要根據(jù)已知數(shù)、式靈活選擇中間值．指數(shù)式比較大小，一般選取1或指數(shù)式的底數(shù)作為中間值；對數(shù)式比較大小，一般選取0或1作為中間值，其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的單調(diào)性判斷其與f(1)，f(a)的大?。畬c(diǎn)練4(2024·四川南充模擬)設(shè)a＝0.50.2，b＝log0.20.5，c＝log0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．b＞c＞a解析：因?yàn)閍＝0.50.2＞0.5＝eq\f(1,2)，b＝log0.20.5＝log0.2eq\r(0.25)＜log0.2eq\r(0.2)＝eq\f(1,2)，c＝log0.50.2>log0.50.5＝1，所以c＞1＞a＞eq\f(1,2)＞b，故選C．答案：C維度4單調(diào)性法典例5(2022·全國甲卷，文)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則()兩代數(shù)式結(jié)構(gòu)相同，應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，自變量的選擇也很關(guān)鍵，哪里變化，哪里為自變量．A．a(chǎn)＞0＞b B．a(chǎn)＞b＞0C．b＞a＞0 D．b＞0＞a解析：∵9m＝10，∴m∈(1,2)，令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)＝mxm－1－1，∵x＞1且1＜m＜2，∴xm－1＞1，∴f′(x)＞0，∴f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，又9m＝10，∴9m－10＝0，即f(9)＝0，又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)＜f(9)＜f(10)，即b＜0＜a.故選A．利用單調(diào)性法比較大小主要是指如何構(gòu)造函數(shù).應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性比較大小．(1)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是此類問題求解的關(guān)鍵，解題時(shí)，指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用是解題的主要形式．(2)通過對稱性、周期性，可以將比較大小的數(shù)式轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間，有利于其大小比較．(3)導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用，拓寬了這類問題的命題形式和解題難度，值得我們關(guān)注和重視．對點(diǎn)練5(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．b>a>c(2)已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．解析：(1)由y＝1.01x在R上單調(diào)遞增，得a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，得a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c.故選D．(2)方法一：M－N＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)－eq\f(e2022＋1,e2023＋1)＝eq\f(e2021＋1e2023＋1－e2022＋12,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021＋e2023－2e2022,e2022＋1e2023＋1)＝eq\f(e2021e－12,e2022＋1e2023＋1)＞0.∴M＞N.方法二：令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，顯然f(x)是R上的減函數(shù)，∴f(2021)＞f(2022)，即M＞N.答案：(1)D(2)M＞N題型不等式的綜合性問題典例6(1)若0＜x＜1，a＞0且a≠1，則|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小關(guān)系是______________．(2)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．解析：(1)方法一(作差法)：當(dāng)a＞1時(shí)，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0.底數(shù)，真數(shù)不在同一范圍，則對數(shù)值為負(fù)．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)＞0.底數(shù)a，真數(shù)(1－x2)都大于0小于1，則對數(shù)值為正．綜上，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.方法二(作商法)：∵eq\f(|loga1－x|,|loga1＋x|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(loga1－x,loga1＋x)))＝|log(1＋x)(1－x)|，應(yīng)用換底公式的變形．又0＜x＜1，∴1＋x＞1,0＜1－x＜1，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)eq\f(1,1－x)＝log(1＋x)eq\f(1＋x,1－x2)＝1－log(1＋x)(1－x2)，又0＜1－x2＜1，∴l(xiāng)og(1＋x)(1－x2)＜0，1－log(1＋x)(1－x2)＞1，即eq\f(|loga1－x|,|loga1＋x|)＞1.努力變形，構(gòu)造出1－log(1＋x)(1－x2)的形式，再判別對數(shù)式和0的大小關(guān)系．于是|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.故答案為|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.(2)方法一：設(shè)2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，經(jīng)典解法，用已知條件中的代數(shù)式，表示出目標(biāo)式，求解參數(shù)．對應(yīng)系數(shù)相等，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2).))∴2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)∈(3,8)．方法二：令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝x＋y，,b＝x－