高考數(shù)學總復習《拋物線》專項測試卷有答案

第第頁高考數(shù)學總復習《拋物線》專項測試卷有答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．(2024·山西臨汾第一次適應性訓練)已知拋物線C的焦點F關于其準線對稱的點為(0，－9)，則C的方程為()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y2．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1 B．2C．4 D．83．拋物線C：x2＝8y的焦點為F，在C上有一點P，|PF|＝8，PF的中點M到C的準線l的距離為()A．6 B．8C．4 D．14．(2024·山東濱州模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為該拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率為－eq\r(3)，則△PAF的面積為()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．8 D．8eq\r(3)5．(2024·湖北四地七校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))在拋物線C上，若|PF|＝4，則以線段PF為直徑的圓的方程為()A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0D．x2＋y2－2x－2y＋2＝06．(2024·湖南長沙模擬)在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的一點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36π，則p＝()A．2 B．4C．6 D．87．已知點P是拋物線C：y2＝4x上的動點，點P到y(tǒng)軸的距離為d，Q(－3,3)，則d＋|PQ|的最小值為()A．5 B．eq\r(30)＋1C．eq\r(30)－1 D．48．設F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值為()A．1 B．2C．3 D．49．(2024·山東日照模擬)如圖，PQ為經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的任一弦，拋物線的準線為l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ繞l旋轉一周所得旋轉面的面積為S1，以MN為直徑的球的面積為S2，則()A．S1>S2 B．S1<S2C．S1≥S2 D．S1≤S2二、多項選擇題10．(2024·河北衡水聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，P為拋物線上一點，則下列結論正確的是()A．焦點F到拋物線準線的距離為2B．若|PF|＝2，則點P的坐標為(1,2)C．過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2D．若點M的坐標為(1,4)，則|PM|＋|PF|的最小值為411．(2024·遼寧大連二十四中、八中、育明聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，焦點到準線的距離為2，Q為C上的一個動點，則()A．C的焦點坐標為(1,0)B．若M(3,5)，則△QMF周長的最小值為11C．若M(0,4)，則|QM|的最小值為2eq\r(,3)D．在x軸上不存在點E，使得∠QEF為鈍角三、填空題與解答題12．已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上一點，則|AB|的最小值為________．13．(2024·廣東茂名模擬)以拋物線C：y2＝4x的焦點F為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點，已知|AB|＝8，則|DE|＝________.14．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上一點，橫坐標為4，且位于x軸上方，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標．高分推薦題15．(2024·重慶巴蜀中學月考)設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作l的垂線，垂足為Q.若M(3,0)，N(－1，0)，PF與MQ相交于點T，且eq\o(TN,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(MT,\s\up6(→))，則△TMF的面積為________．解析版一、單項選擇題1．(2024·山西臨汾第一次適應性訓練)已知拋物線C的焦點F關于其準線對稱的點為(0，－9)，則C的方程為()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y解析：由題可知，拋物線C開口向上，設C的方程為x2＝2py(p>0)，則拋物線C的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，準線方程為y＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(\f(p,2)＋－9,2)＝－eq\f(p,2)，解得p＝6，所以C的方程為x2＝12y.故選B．答案：B2．已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：由題意知拋物線的準線方程為x＝－eq\f(1,4).因為|AF|＝eq\f(5,4)x0，所以根據(jù)拋物線的定義可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1.故選A．答案：A3．拋物線C：x2＝8y的焦點為F，在C上有一點P，|PF|＝8，PF的中點M到C的準線l的距離為()A．6 B．8C．4 D．1解析：過P作PD⊥l于D(圖略)，由拋物線的定義可知|PF|＝|PD|＝8，設拋物線的準線l與y軸交于點A，則|FA|＝4，故PF的中點M到C的準線l的距離為eq\f(1,2)(|FA|＋|PD|)＝6.故選A．答案：A4．(2024·山東濱州模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為該拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率為－eq\r(3)，則△PAF的面積為()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．8 D．8eq\r(3)解析：由題意，拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，如圖，設拋物線y2＝4x的準線與x軸的交點為D，則|DF|＝2.又直線AF的斜率為－eq\r(3)，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由拋物線的定義可得|PA|＝|PF|，所以△PAF是邊長為4的等邊三角形，所以△PAF的面積為eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝4eq\r(3).故選B．答案：B5．(2024·湖北四地七校聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))在拋物線C上，若|PF|＝4，則以線段PF為直徑的圓的方程為()A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0D．x2＋y2－2x－2y＋2＝0解析：因為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))在拋物線C上，所以a2＝2p×eq\f(a,2)，得a＝p，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以PF⊥x軸，|PF|＝p＝4，則以線段PF為直徑的圓的圓心坐標為(2,2)，半徑為2，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4x－4y＋4＝0.答案：C6．(2024·湖南長沙模擬)在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的一點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36π，則p＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：依題意得，△OFM的外接圓半徑為6，△OFM的外接圓圓心應位于線段OF的垂直平分線x＝eq\f(p,4)上，圓心到準線x＝－eq\f(p,2)的距離等于6，即有eq\f(p,4)＋eq\f(p,2)＝6，解得p＝8.故選D．答案：D7．已知點P是拋物線C：y2＝4x上的動點，點P到y(tǒng)軸的距離為d，Q(－3,3)，則d＋|PQ|的最小值為()A．5 B．eq\r(30)＋1C．eq\r(30)－1 D．4解析：∵拋物線的準線方程為x＝－1，焦點F(1,0)，∴P到直線x＝－1的距離等于|PF|，∴P到y(tǒng)軸的距離d＝|PF|－1，∴d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1.又點Q在拋物線外部，∴當F，P，Q三點共線時，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|.∵Q(－3，3)，F(xiàn)(1，0)，∴|QF|＝5，∴d＋|PQ|的最小值為5－1＝4.故選D．答案：D8．設F為拋物線y2＝2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若F為△ABC的重心，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：由題意可知，點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F為△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由拋物線的定義可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.故選C．答案：C9．(2024·山東日照模擬)如圖，PQ為經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的任一弦，拋物線的準線為l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ繞l旋轉一周所得旋轉面的面積為S1，以MN為直徑的球的面積為S2，則()A．S1>S2 B．S1<S2C．S1≥S2 D．S1≤S2解析：設PQ與x軸的夾角為θ，令|PF|＝m，|QF|＝n，則|PM|＝m，|QN|＝n，則S1＝π(|PM|＋|QN|)·|PQ|＝π(m＋n)2，S2＝π|MN|2＝π(m＋n)2sin2θ，所以S1≥S2，當且僅當θ＝90°時等號成立，故選C．答案：C二、多項選擇題10．(2024·河北衡水聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，P為拋物線上一點，則下列結論正確的是()A．焦點F到拋物線準線的距離為2B．若|PF|＝2，則點P的坐標為(1,2)C．過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2D．若點M的坐標為(1,4)，則|PM|＋|PF|的最小值為4解析：由拋物線的解析式知p＝2，所以拋物線的焦點F(1,0)，準線方程為x＝－1，所以焦點F到拋物線準線的距離為2，故A正確；設拋物線上點P(x，y)，則|PF|＝x＋1＝2，解得x＝1，故y＝±2，則點P的坐標為(1,2)或(1，－2)，故B錯誤；過焦點F且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2p＝4，故C錯誤；如圖，當M，P，F(xiàn)三點共線時，|PM|＋|PF|取得最小值，即|MF|＝eq\r(,1－12＋42)＝4，故D正確．故選AD．答案：AD11．(2024·遼寧大連二十四中、八中、育明聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，焦點到準線的距離為2，Q為C上的一個動點，則()A．C的焦點坐標為(1,0)B．若M(3,5)，則△QMF周長的最小值為11C．若M(0,4)，則|QM|的最小值為2eq\r(,3)D．在x軸上不存在點E，使得∠QEF為鈍角解析：選項A，拋物線C：x2＝2py(p>0)，焦點到準線的距離為p＝2，則C：x2＝4y，焦點F(0,1)，故A錯誤．選項B，∵M(3,5)，F(xiàn)(0,1)，∴|MF|＝eq\r(,32＋42)＝5.設點Q到準線y＝－1的距離為d，點M到準線y＝－1的距離為d′＝5－(－1)＝6，則△QMF的周長為|MF|＋|FQ|＋|QM|＝5＋d＋|QM|≥5＋d′＝5＋6＝11，當且僅當QM⊥x軸時等號成立，故B正確．選項C，設Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),4)))，M(0,4)，則|QM|＝eq\r(,x\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),4)－4))2)＝eq\f(1,4)eq\r(,x\o\al(4,0)－16x\o\al(2,0)＋256)＝eq\f(1,4)eq\r(,x\o\al(2,0)－82＋192)，當xeq\o\al(2,0)＝8時，|QM|取得最小值2eq\r(,3)，故C正確．選項D，設E(t,0)，∵Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),4)))，F(xiàn)(0,1)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－t,1)，eq\o(EQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－t，\f(x\o\al(2,0),4)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EQ,\s\up6(→))＝(－t,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－t，\f(x\o\al(2,0),4)))＝－tx0＋t2＋eq\f(x\o\al(2,0),4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(x0,2)))2≥0，∴cos∠QEF＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(EQ,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(EQ,\s\up6(→))|)≥0，則∠QEF不可能為鈍角，故D正確．故選BCD．答案：BCD三、填空題與解答題12．已知A(2,0)，B為拋物線y2＝x上一點，則|AB|的最小值為________．解析：設點B(x，y)，則x＝y(tǒng)2≥0，所以|AB|＝eq\r(,x－22＋y2)＝eq\r(,x－22＋x)＝eq\r(,x2－3x＋4)＝eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以當x＝eq\f(3,2)時，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(,7),2).答案：eq\f(\r(,7),2)13．(2024·廣東茂名模擬)以拋物線C：y2＝4x的焦點F為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點，已知|AB|＝8，則|DE|＝________.解析：由拋物線方程知eq\f(p,2)＝1，∴F(1,0)．不妨設點A在第一象限，如圖所示，由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，∴圓的半徑為r＝eq\r(,32＋42)＝5，∴|DE|＝2eq\r(,r2－p2)＝2eq\r(,25－4)＝2eq\r(,21).答案：2eq\r(,21)14．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上一點，橫坐標為4，且位于x軸上方，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標．解：(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x.(2)由(1)知，點A的坐標是(4,4)．由題意，得B(0,4)，M(0,2)，又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3).∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4)，∴直線FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)①，直線MN的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋2②，由①②聯(lián)立，得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴點N的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\