高考數(shù)學總復習《直線、平面平行的判定及性質(zhì)》專項測試卷有答案

第第頁高考數(shù)學總復習《直線、平面平行的判定及性質(zhì)》專項測試卷有答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．(2024·遼寧本溪模擬)對于平面α和不重合的兩條直線m，n，下列選項中正確的是()A．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥nB．如果m?α，n與α相交，那么m，n是異面直線C．如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α2．(2024·浙江模擬)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且m?α，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．(2024·廣東廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點E，F(xiàn)，則()A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四邊形MNEF為平行四邊形D．四邊形MNEF為梯形4．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，點E是線段AB的中點，點F在線段PA上，且EF∥平面PCD，直線PD與平面CEF交于點H，則線段CH的長度為()A.eq\r(,2) B．2C．2eq\r(,2) D．2eq\r(,3)5．(2024·天津模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．1條或2條6．(2024·遼寧東北育才學校模擬)如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)是側面CDD1C1上的動點，且B1F∥平面A1BE，則點F在側面CDD1C1上的軌跡的長度是()A．a(chǎn) B.eq\f(a,2)C.eq\r(2)a D.eq\f(\r(2),2)a二、多項選擇題7．(2024·江蘇蘇州中學質(zhì)量評估)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，則()A．平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面PAD平行B．平面PAD和平面PBC的交線與底面ABCD平行C．平面PAB和平面PCD的交線與底面ABCD平行D．平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行8．(2024·江蘇南京質(zhì)檢)如圖是正方體的平面展開圖．在這個正方體中，下列四個命題中，正確的是()A．BM與ED平行B．CN與BE是異面直線C．AF與平面BDM平行D．平面CAN與平面BEM平行9．(2024·山東棗莊模擬)如圖，向透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜角度的不同，有下面幾個結論，其中正確的是()圖1圖2圖3A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜角度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D．當容器傾斜如圖3所示時，AE·AH為定值三、填空題與解答題10．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．11．如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)．12.如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，點D是BC的中點，欲過點A′作一截面與平面AC′D平行．(1)問應當怎樣畫線，并說明理由；(2)求所作截面與平面AC′D將三棱柱分成的三部分的體積之比．13．如圖，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE＝AF＝4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2eq\r(6).(1)求五棱錐A′-BCDFE的體積．(2)在線段A′C上是否存在一點M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，請說明理由．高分推薦題15．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(,5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(,2),4)，\f(\r(,5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(,5),2)，\r(,2))) D．[eq\r(,2)，eq\r(,3)]16．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對角線BD，CD1上的點，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點，eq\f(AR,AB)的值為多少時，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請給出證明．解析版1．(2024·遼寧本溪模擬)對于平面α和不重合的兩條直線m，n，下列選項中正確的是()A．如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥nB．如果m?α，n與α相交，那么m，n是異面直線C．如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α解析：由線面平行的性質(zhì)定理，可知A正確，B選項中，n可以與m相交，C選項中，直線n可以與平面α相交，D選項中，n可以在平面α內(nèi)，故選A.答案：A2．(2024·浙江模擬)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且m?α，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且m?α，n?α，由“α∥β”可得“m∥β且n∥β”，根據(jù)面面平行的判定定理可知“m∥β且n∥β”不能得“α∥β”，所以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件．故選A.答案：A3．(2024·廣東廣州模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，過MN作一平面分別交底面△ABC的邊BC，AC于點E，F(xiàn)，則()A．MF∥EBB．A1B1∥NEC．四邊形MNEF為平行四邊形D．四邊形MNEF為梯形解析：由于B，E，F(xiàn)三點共面，F(xiàn)∈平面BEF，M?平面BEF，故MF，EB為異面直線，故A錯誤；由于B1，N，E三點共面，B1∈平面B1NE，A1?平面B1NE，故A1B1，NE為異面直線，故B錯誤；∵在平行四邊形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM∥BN，AM＝BN，故四邊形AMNB為平行四邊形，∴MN∥AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，顯然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN，∴四邊形MNEF為梯形，故C錯誤，D正確．答案：D4．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，點E是線段AB的中點，點F在線段PA上，且EF∥平面PCD，直線PD與平面CEF交于點H，則線段CH的長度為()A.eq\r(,2) B．2C．2eq\r(,2) D．2eq\r(,3)解析：∵PD與平面CEF交于點H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，過點C作CH∥EF交PD于點H，過點H作HM∥PA交AD于點M，連接CM，如圖所示．∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM.∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四邊形ABCM為平行四邊形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中點，則H為PD的中點，∴CH＝eq\r(,CM2＋MH2)＝eq\r(,22＋22)＝2eq\r(,2).答案：C5．(2024·天津模擬)若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．1條或2條解析：如圖所示，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以與平面α(平面EFGH)平行的棱有2條．答案：C6．(2024·遼寧東北育才學校模擬)如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F(xiàn)是側面CDD1C1上的動點，且B1F∥平面A1BE，則點F在側面CDD1C1上的軌跡的長度是()A．a(chǎn) B.eq\f(a,2)C.eq\r(2)a D.eq\f(\r(2),2)a解析：設G，H，I分別為CD，CC1，C1D1的中點，連接BG，GE，B1I，B1H，HI，CD1，易得A1，B，G，E四點共面，且平面A1BGE∥平面B1HI.又∵B1F∥平面A1BE，∴F落在線段HI上．∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，∴HI＝eq\f(1,2)CD1＝eq\f(\r(2),2)a，即F在側面CDD1C1上的軌跡的長度是eq\f(\r(2),2)a.故選D.答案：D二、多項選擇題7．(2024·江蘇蘇州中學質(zhì)量評估)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，則()A．平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面PAD平行B．平面PAD和平面PBC的交線與底面ABCD平行C．平面PAB和平面PCD的交線與底面ABCD平行D．平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行解析：對于A，設平面PBC∩平面PAD＝l，在平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與l平行，且不在平面PAD內(nèi)，則在平面PBC內(nèi)存在無數(shù)條直線與平面PAD平行，故A正確；對于B，若l∥平面ABCD，l?平面PBC，平面PBC∩平面ABCD＝BC，則l∥BC，同理，l∥AD，則BC∥AD，這與四邊形ABCD為梯形矛盾，故B錯誤；對于C，設平面PAB∩平面PCD＝m，∵AB∥CD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴AB∥m，又AB?平面ABCD，m?平面ABCD，∴m∥平面ABCD，故C正確；對于D，假設平面PAD內(nèi)存在一條直線a與BC平行，則BC∥平面PAD，又BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，則BC∥AD，不符合題意，∴平面PAD內(nèi)任意一條直線都不與BC平行，故D正確．故選ACD.答案：ACD8．(2024·江蘇南京質(zhì)檢)如圖是正方體的平面展開圖．在這個正方體中，下列四個命題中，正確的是()A．BM與ED平行B．CN與BE是異面直線C．AF與平面BDM平行D．平面CAN與平面BEM平行解析：由展開圖還原得到正方體的直觀圖，如圖，BM與ED異面，故A錯誤；易知CN與BE平行，故B錯誤；因為四邊形AFMD是平行四邊形，所以AF∥MD，又AF?平面BDM，MD?平面BDM，所以AF∥平面BDM，故C正確；顯然AC∥EM，又AC?平面BEM，EM?平面BEM，所以AC∥平面BEM，同理AN∥平面BEM，又AC∩AN＝A，所以平面CAN∥平面BEM，故D正確．答案：CD9．(2024·山東棗莊模擬)如圖，向透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜角度的不同，有下面幾個結論，其中正確的是()圖1圖2圖3A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜角度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D．當容器傾斜如圖3所示時，AE·AH為定值解析：由于AB固定，所以在傾斜的過程中，始終有CD∥HG∥EF∥AB，且平面AEHD∥平面BFGC，故水的部分始終呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB為棱柱的一條側棱，沒有水的部分也始終呈棱柱形，故A正確；對于水面EFGH所在四邊形，從圖2、圖3可以看出，EF，GH長度不變，而EH，F(xiàn)G的長度隨傾斜角度變化而變化，所以水面EFGH所在四邊形的面積是變化的，故B錯誤；假設A1C1與水面所在的平面始終平行，又C1D1與水面所在的平面始終平行，則長方體上底面A1B1C1D1與水面所在的平面始終平行，這就與傾斜時兩個平面不平行矛盾，故C錯誤；水量不變時，棱柱AEH-BFG的體積是定值，又該棱柱的高AB不變，且VAEH-BFG＝eq\f(1,2)·AE·AH·AB，所以AE·AH＝eq\f(2VAEH-BFG,AB)，即AE·AH是定值，故D正確．答案：AD三、填空題與解答題10．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個面中與MN平行的是________．解析：如圖，連接AM并延長交CD于E，連接BN并延長交CD于F.由重心的性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點，且該點為CD的中點E.由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.∵AB?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案：平面ABC和平面ABD11．如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況)．解析：連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FNH∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.答案：點M在線段FH上12.如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，點D是BC的中點，欲過點A′作一截面與平面AC′D平行．(1)問應當怎樣畫線，并說明理由；(2)求所作截面與平面AC′D將三棱柱分成的三部分的體積之比．解：(1)在三棱柱ABC-A′B′C′中，點D是BC的中點，取B′C′的中點E，連接A′E，A′B，BE，則平面A′EB∥平面AC′D，A′E，A′B，BE即為應畫的線，如圖所示．理由如下：因為點D為BC的中點，點E為B′C′的中點，所以BD＝C′E.又因為BC∥B′C′，所以四邊形BDC′E為平行四邊形，所以DC′∥BE.因為DC′?平面A′BE，BE?平面A′BE，所以DC′∥平面A′BE.連接DE，則DE綉B(tài)B′，所以DE綉AA′，所以四邊形AA′ED是平行四邊形，所以AD∥A′E.因為AD?平面A′BE，A′E?平面A′BE，所以AD∥平面A′BE.又因為AD∩DC′＝D，AD?平面AC′D，DC′?平面AC′D，所以平面A′EB∥平面AC′D.(2)設棱柱的底面積為S，高為h.則V三棱錐C′-ACD＝V三棱錐B-A′B′E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)Sh＝eq\f(1,6)Sh，所以三棱柱夾在平面AC′D與平面A′EB間的部分的體積為Sh－2×eq\f(1,6)Sh＝eq\f(2,3)Sh，所以所作截面與平面AC′D將三棱柱分成的三部分的體積之比為eq\f(1,6)Sh∶eq\f(2,3)Sh∶eq\f(1,6)Sh＝1∶4∶1.13．如圖，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.(1)證明：連接BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于點P，F(xiàn)，H.∵M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.連接PF，F(xiàn)H，PH，有MN∥PF.又∵PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理可得MG∥平面ACD.∵MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)解：由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又∵PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理可得NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD.∴△MNG∽△DCA，且相似比為1∶3，∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE＝AF＝4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2eq\r(6).(1)求五棱錐A′-BCDFE的體積．(2)在線段A′C上是否存在一點M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，請說明理由．解：(1)如圖，連接AC，設AC∩EF＝H，連接A′H.因為四邊形ABCD是正方形，AE＝AF＝4，所以H是EF的中點，且EF⊥AH，從而有A′H⊥EF，CH⊥EF.又A′H∩CH＝H，所以EF⊥平面A′HC，且EF?平面ABCD.從而平面A′HC⊥平面ABCD.過點A′作A′O垂直HC且與HC相交于點O.則A′O⊥平面ABCD.因為正方形ABCD的邊長為6，AE＝AF＝4，所以A′H＝2eq\r(2)，CH＝4eq\r(2).所以在△A′HC中，cos∠A′HC＝eq\f(A′H2＋CH2－A′C2,2A′H·CH)＝eq\f(8＋32－24,2×2\r(2)×4\r(2))＝eq\f(1,2)，所以HO＝A′Hcos∠A′HC＝eq\r(2)，則A′O＝eq\r(6)，所以五棱錐A′-BCDFE的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(62－\f(1,2)×4×4))×eq\r(6)＝eq\f(28\r(6),3).(2)線段A′C上存在點M，使得BM∥平面A′EF，此時A′M＝eq\f(\r(6),2).證明如下：如圖，連接OM，BD，BM，DM，且易知BD過點O.因為A′M＝eq\f(\r(6),2)＝eq\f(1,4)A′C，HO＝eq\f(1,4)HC，所以OM∥A′H.又OM?平面A′EF，A′H?平面A′EF，所以OM∥平面A′EF.又BD∥EF，BD?平面A′EF，EF?平面A′EF，所以BD∥平面A′EF.又BD∩OM＝O，所以平面MBD∥平面A′EF.因為BM?平面MBD，所以BM∥平面A′EF.高分推薦題15．如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內(nèi)一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(,5),2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(,2),4)，\f(\r(,5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(,5),2)，\r(,2))) D．[eq\r(,2)，eq\r(,3)]解析：如圖，取B1C1的中點M，BB1的中點N，連接A1M，A1N，MN，可以證明平面A1MN∥平面AEF，所以點P位于線段MN上．因為A1M＝A1N＝eq\r(,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(,5),2)，MN＝eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\r