（寒假）新高考數(shù)學一輪復習考點精講+鞏固訓練+隨堂檢測03 三角函數(shù)概念與誘導公式（教師版）

第頁第03講三角函數(shù)概念與誘導公式知識講解角的定義平面內一條射線繞著端點從一位置旋轉到另一個位置所形成的的圖形叫做角；射線的端點叫做角的頂點，旋轉開始時的射線叫做角的始邊，旋轉終止時的射線叫做角的終邊角的分類按照角終邊的位置可分為（象限角和軸線角）按照選擇方向可分為（正角（逆時針選擇）、負角（順時針選擇）和零角（不旋轉））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，軸線角終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸正半軸上：，終邊落在軸負半軸上：，終邊落在軸上：，，終邊落在軸上：，終邊落在坐標軸上：，，終邊落在上：，終邊落在上：，或：，β，α終邊相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于x軸對稱?β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于y軸對稱?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α終邊關于原點對稱?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.終邊相同的角與終邊相同的角的集合為：，角度與弧度的關系，扇形的弧長、周長及面積公式角度制弧度制弧長公式面積公式周長公式是扇形的半徑，是圓心角的度數(shù)是扇形的半徑，是圓心角弧度數(shù)，是弧長三角函數(shù)的定義，正弦線：，余弦線：，正切線：三角函數(shù)在各象限內的符號三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函數(shù)值度弧度00100100101不存在0不存在0兩角互余的三角函數(shù)關系互余，，已知，則：兩角互補的三角函數(shù)關系互補，，，已知，則：，常見三角不等式若，則；若，則..同角三角函數(shù)的基本關系平方關系：商數(shù)關系：推導公式：誘導公式誘導類型或，，或，，或，，誘導方法：奇變偶不變，符號看象限奇偶指的是或中的奇偶，若為奇數(shù)，變函數(shù)名；，若為偶數(shù)，不變函數(shù)名；，，象限指的是原函數(shù)名的象限，再判斷符號規(guī)定：無論角多大，看作第一象限角（銳角）誘導公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，考點一、扇形的弧長及面積計算【例1】沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.【變式1】已知圓錐的側面積（單位：）為2π，且它的側面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是．【答案】【分析】利用題目所給圓錐側面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：【變式2】如圖，圓錐的底面半徑為1，側面展開圖是一個圓心角為的扇形.把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側面積為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】由已知可得出圓錐的母線，進而根據圓錐、圓臺的軸截面，即可得出答案.【詳解】假設圓錐半徑，母線為，則.設圓臺上底面為，母線為，則.由已知可得，，所以.如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面則有，所以.所以圓臺的側面積為.故選：C.考點二、三角函數(shù)求值問題綜合【例2】已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】D【分析】本題可根據直線的斜率和截距得出、，即可得出結果.【詳解】結合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.【變式3】已知點為角終邊上一點，繞原點將順時針旋轉，點旋轉到點處，則點的坐標為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)的定義求得，根據題意得到射線為角的終邊，結合兩角差的正、余弦公式，求得和的值，進而求得點的坐標，得到答案.【詳解】因為，可得，由三角函數(shù)的定義，可得，又由繞原點將順時針旋轉，可得且射線為角的終邊，所以，，所以點的坐標為.故選：B.【變式4】在平面直角坐標系中，若角的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，終邊經過點，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據三角函數(shù)特殊值求出點的坐標，由正弦函數(shù)定義即可求解.【詳解】依題意，因為，所以終邊經過的點為，所以終邊在第四象限，所以.故選：B.考點三、三角函數(shù)值的大小比較【例3】的大小關系為A．B．C．D．【答案】A【詳解】單位圓中，，，故選A.【變式5】設則A．B．C．D．【答案】C【詳解】試題分析：利用誘導公式、三角函數(shù)的單調性即可得出．解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°，∴a＜b，又，∴c＞b＞a．故選C．【變式6】已知，，，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用時，判斷的大小，由余弦函數(shù)性質判斷大小可得．【詳解】考慮在時，．所以，即，從而，即；又，即，故選：B考點四、同角三角函數(shù)的基本關系【例4】設甲：，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】根據充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關系得解.【詳解】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B【變式7】已知，且，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉化為關于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關系，即可得出結論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.【變式8】若，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用弦化切可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】因為，解得，所以，.故選：A.考點五、誘導公式的綜合應用【例5】若為偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.【變式9】已知，且，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用誘導公式可求得的值，結合角的取值范圍可求得角，進而可求得結果.【詳解】由得，又，，，故選：A.【變式10】已知，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)誘導公式，結合同角的三角函數(shù)關系將原式化簡，即可求得答案.【詳解】因為，則,故選:D．【基礎過關】1．如圖，點為角的終邊與單位圓的交點，（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根據單位圓、三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式求解.【詳解】由單位圓可知，，且為第一象限角，根據同角三角函數(shù)的基本關系可得，所以，所以.故選：D2.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，若點是角終邊上一點，則（

）．A．B．C．D．【答案】C【分析】由點坐標作出終邊，根據三角函數(shù)定義求出和，把化簡再求值即可.【詳解】由題意知，，所以，，因為.故選：C.3.已知，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據，借助于誘導公式，即可求得結果．【詳解】，的值為，故選：4.如圖，在扇形中，C是弦的中點，D在上，．其中，長為．則的長度約為（提示：時，）（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據弧長公式，結合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【詳解】設圓心角，，，所以，，所以．故選：B.5.已知角的終邊經過點，且，則．【答案】/0.96【分析】根據三角函數(shù)的定義列出求解出，得到，結合誘導公式和正弦二倍角公式即可計算得到答案.【詳解】由題意知，，，所以，化簡得解得或又因為，即，所以，所以角的終邊經過點，所以，所以．故答案為：【能力提升】6.已知，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用誘導公式及二倍角余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以，所以．故選：B.7.已知，則（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用誘導公式、余弦的倍角公式可得答案.【詳解】因為，所以.故選：A.8.若，則（

）A．0B．C．3D．7【答案】D【分析】由條件結合平方關系及二倍角公式可求，根據商的關系和二倍角公式及誘導公式化簡，代入求值即可.【詳解】因為，所以，所以，即又，所以，故選：D.9.（

）A．B．C．D．6【答案】A【分析】利用二倍角公式及誘導公式計算計算可得.【詳解】.故選：A10.若，則的值為．【答案】或【分析】根據給定條件，利用齊次式法求出，再利用誘導公式及二倍角的余弦公式求解作答.【詳解】因為，則，則，即，解得，所以的值為或.故答案為：或11.由，可求得.【答案】【分析】由題意得到，利用二倍角的正弦公式得到，即可求解．【詳解】，，，，，，或（舍．故答案為：．鞏固訓練1.已知α是第四象限角，cosα＝，則sinα等于（

）A．B．－C．D．－【答案】B【分析】根據同角三角函數(shù)平方關系式以及三角函數(shù)值在各象限的符號即可解出．【詳解】由條件知α是第四象限角，所以，即sinα＝＝＝.故選：B．2.中國古代數(shù)學專著《九章算術》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，其大意為：圓的半周長乘以其半徑等于圓面積.南北朝時期杰出的數(shù)學家祖沖之曾用圓內接正多邊形的面積“替代”圓的面積，并通過增加圓內接正多邊形的邊數(shù)n使得正多邊形的面積更接近圓的面積，從而更為“精確”地估計圓周率π.據此，當n足夠大時，可以得到π與n的關系為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設圓的半徑為，由題意可得，化簡即可得出答案.【詳解】設圓的半徑為，將內接正邊形分成個小三角形，由內接正邊形的面積無限接近圓的面即可得：，解得：.故選：A.3.已知，則（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據同角三角關系分析運算，注意三角函數(shù)值的符號的判斷.【詳解】由題意可得：，整理得，且，可得，即，可得，因為，可得，所以.故選：D.4.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】先利用誘導公式和恒等變換進行化簡，再利用任意角三角函數(shù)求解即可.【詳解】由題意得，所以.故選：B.5.已知，則的大小關系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】先證明當0＜x＜時，，從而可得，再利用正切函數(shù)和余弦函數(shù)的單調性可得答案.【詳解】先證明：當0＜x＜時，如圖，角x終邊為OP，其中點P為角x的終邊與單位圓的交點，PM⊥x軸，交x軸與點M，A點為單位圓與x軸的正半軸的交點，AT⊥x軸，交角x終邊于點T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函數(shù)在上單調遞增，所以又由函數(shù)在上單調遞減，則所以所以，即故選：C．隨堂檢測1.的值為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據誘導公式，將所求的角轉化為特殊銳角，即可求解.【詳解】.故選：B.2.圓錐側面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側面積為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側面積公式計算即可.【詳解】設圓錐的半徑為r，母線長為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側面積為.故選：A.3.若則在（

）A．第一、三象限B．第一、二象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】A【分析】先確定每個函數(shù)在各個象限的符號，進一步判斷即可得出答案.【詳解】因為在第一、二象限為正，第三、四象限為負；在第一、四象限為正，第二、三象限為負.而，所以在第一、三象限.故選：A.4.如圖是一個圓臺的側面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺的體積為（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】根據給定條件，求出圓臺的上下底面圓的半徑，再求出圓臺的高并結合圓臺的體積公式求解作答.【詳解】設圓臺上底面圓半徑為，下底面圓半徑為，依題意，，且，解得，而圓臺的母線長，因此圓臺的高，所以圓臺的體積.故選：C5.設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.6.（多選）已知角的終邊與單位圓交于點，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】點代入單位圓的方程求出點可得，再由弦化切可得答案.【詳解】角的終邊與單位圓交于點，，，，當時，；當時，．故選：AC.7.已知，則（

）A．